11.5线段的垂直平分线自主达标测试题2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

**基本信息** 聚焦线段垂直平分线性质与应用，通过基础概念辨析、性质计算到创新探究的梯度设计，培养几何直观、推理能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|垂直平分线交点性质（1题）、尺规作图（2题）|基础概念辨析，强化性质理解| |填空题|8/24|勾股定理应用（9题）、含30°直角三角形（10题）|结合计算，深化性质与几何综合| |解答题|8/72|性质证明（17题）、创新探究（24题“美好等腰三角形”）|分层设计，从基础证明到跨情境创新，体现推理与模型意识|

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《11.5线段的垂直平分线》 自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．到三角形三个顶点的距离相等的点是（    ）． A．三角形两边垂直平分线交点 B．三角形两个内角平分线交点 C．三角形两条中线交点 D．三角形两条高线所在直线的交点 2．已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（    ） A．B． C． D． 3．在中，，，的垂直平分线交于点D，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，线段的垂直平分线交于点，已知，则等于 （ ） A． B． C． D．不能确定 5．如图，在中，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交BC于点Q，分别以点C，Q为圆心，以大于长为半径画弧交于点P，连接AP交BC于点D，则一定有（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在锐角中，边的垂直平分线分别交边、于点、，边的垂直平分线分别交边、于点、．若，，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．如图，中，，是边的中线，点E是上的动点，点F是边上的动点，若的最小值为，则的面积为（   ） A．12 B．19 C．24 D．48 二、填空题（满分24分） 9．如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了_____. 10．如图，在 中，，，， 边的垂直平分线交于点D，交于点E，那么的长为________． 11．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，，，则___________度． 12．如图，在中，为的中点，交于点，连接．若，则_________． 13．如图，在中，的垂直平分线分别交于点，若，则______． 14．如图，中，，，垂直平分线段，平分，将沿（点在上，点在上）折叠，点与点恰好重合，则________． 15．如图，在中，D为中点，，，于点F，，则的长为_____． 16．如图，在中，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是___________． 三、解答题（满分72分） 17．（8分）如图，在中，，点在边上，，连接，过点作交于点．求证：点在线段的垂直平分线上． 18．（8分）有一块三角形的广告牌，广告公司需要把它分成面积相等的两块．分别喷涂两种不同的宣传图案． 小明说：作的高，就能把广告牌分成面积相等的两块， 小亮说：作的中线，就能把广告牌分成面积相等的两块，你认为谁的说法正确？请用尺规作图作出对应的线段，并说明为什么这样作图能使得被分成面积相等的两块． 19．（8分）已知：如图，在中，，点、分别在边、上，且，与相交于点． 求证： (1)； (2)连接直线，证明直线垂直平分． 20．（8分）如图，，的垂直平分线交于D，交于E． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为23，求的周长． 21．（8分）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 22．（10分）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：． (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 23．（10分）如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点D，垂足分别为E，F，，分别交于点M，N，连接，． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，． ①求的周长； ②，求的面积． 24．（12分）【理解问题】 如图1，在和中，，，点A，D在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做美好等腰三角形．在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点D在上，，，垂足为E，的延长线与交于点F，点G在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】①小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，若，请直接写出的度数． ②参考小颖的问题尝试提出一个新的问题（不用解答）． 参考答案 1．解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点． 故选：A． 2．解：∵， ∴点在线段的垂直平分线上， 故可判断D选项正确． 故选：D． 3．解：如图， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 故选：D． 4．解：连接 点在线段的垂直平分线上 点在线段的垂直平分线上 故选：B ． 5．解：根据作图步骤， ∵分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧交于点，则是线段的垂直平分线， ∴，即：． 故选：C． 6．解：由题意得：垂直平分， ，， ， 的周长为， ， ， 的周长， 故选：C． 7．解：∵垂直平分，垂直平分 ∴， ∴的周长 ∵， ∴的周长． 8．解：连接，作，垂足为，连接， ∵，是边的中线， ∴，， ∴是的中垂线， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线，且点F与点H重合时，有最小值，最小值为的长 ∵的最小值为， ∴， ∴， 故选：A． 9． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，线段中点的定义，根据线段中点的定义和等腰三角形的性质，可求出的长，再由勾股定理可求出答案． 【详解】解：在中，， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 10．6 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，解决此题的关键是正确的运用垂直平分线的性质；先根据垂直平分线的性质得到，再根据在直角三角形中角所对的边是斜边的一半即可解决问题； 【详解】解：如图，连接， ∵边的垂直平分线交于点D， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴； 故答案为：6． 11．/21度 【分析】由三角形的内角和定理，可得，由角平分线的定义，可得，由线段垂直平分线的性质，可得，可得，从而可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理． 12．8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半，灵活运用上述知识是解题的关键． 根据垂直平分线性质，知，从而求得，利用直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵点为中点，交于点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8 ． 13．99 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和的性质．解决本题的关键是掌握数形结合的思想和整体思想的应用． 根据垂直平分线可得，则，再根据角的转换求出进而可得到的度数． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：99． 14． 【分析】连接，先根据等腰三角形性质和三角形内角和求出、的度数，再结合角平分线、线段垂直平分线的性质，推导出、，进而求出的度数，最后利用折叠的性质得到，结合等腰三角形内角和求出的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴ ∵平分， ∴，直线垂直平分， ∴， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴ ∵折叠，点与点重合， ∴， ∴， ∴ 15．8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，线段的和差等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 连接，过点作，交的延长线于点，证明垂直平分线段，得出，证明和，得出相等的边，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ∵，且D为中点， ∴垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：8． 16．17 【分析】此题考查的是线段垂直平分线的性质，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，从而得到周长，即周长的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴周长， 即周长的最小值为， ∵， ∴周长的最小值为． 故答案为：17 17．见解析 【分析】利用等角的余角相等，得到，从而得到，再利用垂直平分线的判定得到答案． 【详解】证明：∵， ， ，     ， ，     ， ，     ，     ，     点在线段的垂直平分线上． 18．小亮的说法正确．图见解析 【分析】能够把三角形分成两个面积相等的小三角形的是三角形的中线．作线段的中垂线，得到的中点，进而可画出中线． 【详解】解：小亮的说法正确．作图如下： 理由：由作图知，点E为的中点， ， 设点A到的距离为h， 则， ． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边对等角得到，证明，推出，即可证明结论； （2）根据，可得点在的垂直平分线上，由（1）知，可得点在的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵， ∴点在的垂直平分线上， 由（1）知， ∴点在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分． 20．(1) (2)的周长为37 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分，， ∴，， ∵的周长为23， ∴， ∴的周长． 21．(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 22．(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，即可得出结论； （2）证明，得，，再证明是等边三角形，得到，然后证明，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，是的中点， 是的垂直平分线， ， ， ； （2）证明：， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ． 23．(1)见解析 (2)①24；②24 【分析】（1）连接，，，根据垂直平分线的性质可知，，进而得到，可知点D在的垂直平分线上； （2）①根据垂直平分线的性质可知，，则，； ②根据等边对等角得到，，进而根据角的和差得到，即是直角三角形且为斜边，根据勾股定理可知，结合①可知，根据完全平方公式得到，则，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； （2）解：①∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为24； ②由①知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形且为斜边， ∵， ∴， 由①知，的周长为24， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 24．(1)见解析 (2)见解析 (3)①；②见解析（答案不唯一） 【分析】（1）利用美好等腰三角形的性质得，得 ，从而有；再由，结合线段垂直平分线的判定即可证明； （2）作射线交于点．由已知，则．再证明得，即可得证； （3）①证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数； ②证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：和是美好等腰三角形， ． ，即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上． 直线是线段的垂直平分线． （2）证明：如图，作射线交于点． ，垂足为， ． ． ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 和是美好等腰三角形 （3）①解：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； ②问题：在图2的基础上继续探究：分别连接、，若，请直接写出的度数． 解：如图3， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $