山西省押题卷-【押题卷】2026年初中学业水平考试数学押题卷

**基本信息** 2026年山西省中考数学押题卷，通过电子社保卡、无人机飞行、《算法统宗》分银等真实情境，融合代数、几何、统计知识，考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配中考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|实数、轴对称、整式运算、黄金分割|结合摄影构图（第4题）、道路规划（第8题）考几何应用| |填空题|5小题|二次根式、方程、方差、一次函数|以明代数学典籍（第12题）、运动员成绩统计（第13题）设题| |解答题|8小题|分式化简、反比例函数、解直角三角形、二次函数应用|房屋设计（第22题）综合抛物线与几何图形，垂等四边形（第21题）创新定义探究|

山西省押题卷-2026年山西省初中学业水平考试数学押题卷 一．选择题（共10小题） 1．下列各数在数轴上对应的点，离原点最近的是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C． D．2 2．电子社保卡是实体社保卡的线上版本，具有与实体社保卡相同的法律效力．下面是电子社保卡小程序中的一组图标，文字上方的部分是轴对称图形的是（　　） A．综合服务 B．社会保障 C．人才人事 D．常用服务 3．已知m，n均为正整数，计算的结果为（　　） A．xm+n B．xmn C．mnx D．（m+n）x 4．摄影三分法是一种广泛应用于摄影、绘画及设计等艺术领域的构图方法，其构图源于黄金分割．已知黄金分割比为，某张风景照竖版尺寸的总高度为30cm，画面主体的高度与竖版尺寸总高度的比值恰好为黄金分割比，则该风景照画面主体的高度约为（　　） A．17.32cm B．18.54cm C．19.23cm D．20.14cm 5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，E，F是▱ABCD中DA，BC延长线上的两点，连接EF分别交AB，CD于点G，H．下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，DC＝4，点E为AB的中点，在对角线BD上有一动点P，则PA+PE的最小值为（　　） A．4 B． C． D． 8．某城市的道路规划一段弧形转弯车道，交通运输部门在弯道内侧增设黄色隔离带．如图是抽象出来的几何示意图，AO＝BO＝200米，∠AOB＝120°，点C，点D分别在AO和BO上，CO＝DO＝170米，则隔离带外侧的长比内侧的长多（　　） A．20π米 B．10π米 C．300π米 D．600π米 9．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则sin∠BPC的值为（　　） A． B． C． D． 10．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又把x﹣[x]称为x的小数部分，记作{x}，则有x＝[x]+{x}．如：[1.3]＝1，{1.3}＝0.3，1.3＝[1.3]+{1.3}，下列说法中正确的有（　　）个． ①[2.8]＝2；②[﹣5.3]＝﹣5；③若1＜|x|＜2，且{x}＝0.4，则x＝1.4或x＝﹣1.6；④方程3[x]+1＝{x}+3x的解为x＝0.25． A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（共5小题） 11．将二次根式化为最简二次根式　 　 ． 12．明代读本《原本直指算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两，若每人分九两，则还差八两，求银子有多少两．设银子有x两，则可列方程为　 　 ． 13．如图是甲、乙两名运动员最近10次百米跑测试成绩（单位：s）的折线统计图．已知两名运动员这10次测试成绩的平均数相同，若从中选择一名发挥较稳定的运动员参加市级百米跑比赛，则应选择　 　 运动员．（填“甲”或“乙”） 14．当下无人机摄影已经成为大众爱好，无人机操作主要分为安全准备、基础飞行、智能模式三个层面．如图，在平面直角坐标系中，线段OA，BC分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度y1，y2（m）与飞行时间x（s）的函数关系，其中y2＝﹣4x+150，线段OA与BC相交于点P，AB⊥y轴于点B，点A的横坐标为25，则在第　 　 秒时1号和2号无人机在同一高度． 15．如图，已知正方形ABCD，点G为AB的中点，连接DG交对角线AC于点E，延长DG，在延长线上取点F，使BF⊥BE，若AB＝4，则BF的长为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．计算和化简 （1）计算：． （2）化简：． 17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴的正半轴上，且△ABO的面积为24，反比例函数的图象经过AB的中点F． （1）求k的值． （2）若点P，Q在反比例函数的图象上，且点P，Q的横坐标分别为2，6，请直接写出直线PQ的表达式和△POQ的面积． 18．学校辩论社团招新，对甲、乙两个面试者从“逻辑表达”“临场反应”“团队适配”三个维度综合评分（满分为10分，评分均为整数）．规定：评分大于等于6分为“通过面试”，评分大于等于9分为“优先录取”．统计评分后得到如下统计图表． a．甲、乙得分折线统计图b．甲、乙得分统计如下表： 平均数/分 中位数/分 方差 通过率 优先录取率 甲 7.3 a 3.21（） 80% 30% 乙 b 7 90% c 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）根据折线统计图判断，　 　 （填“＞”“＜”或“＝”），通过计算得出　 　 ． （3）甲认为自己的平均分、优先录取率更高，因此表现更优，但乙不认同．请写出两条支持乙观点的理由． 19．现有两种热门文创产品：青铜器书签和青花瓷钥匙扣．某校决定购买这两种文创产品作为运动会的奖品．已知购买4个青铜器书签的费用与购买5个青花瓷钥匙扣的费用相同，用320元购买青铜器书签的数量比用320元购买青花瓷钥匙扣的数量少2个．求青铜器书签和青花瓷钥匙扣的单价． 20．在一次综合实践活动中，小亮同学想要测量山坡上一棵松树（如图1）的高度，下面是测量该松树高度的实践报告． 主题 测量松树的高度 测量过程 如图2，小亮在斜坡P处测量松树顶B的仰角∠BPO，并测得斜坡PA的坡度i，然后他沿着斜坡PA行走至点A，在坡顶A处又测量松树顶B的仰角．∠BAC（图中所有点均在同一竖直平面内） 示意图 测量数据 ∠BPO＝45°，∠BAC＝55°，AP＝13m，坡度 参考数据 sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43 请你根据以上实践报告；求出松树的高度BC（结果保留整数）． 21．阅读与思考 下面是小欣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 垂等四边形【概念理解】 对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形． 例如，图1中的四边形ABCD的对角线AC与BD满足关系：AC⊥BD，且AC＝BD，则四边形ABCD是垂等四边形． 【问题解决】 问题1：如图2，在垂等四边形ABCD中．对角线AC与BD交于点E．若AB⊥AD，AD＝6cm，，则对角线AC的长为　 　 cm． 问题2：如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，且∠DBC＝45°．求证：四边形ABCD是垂等四边形． 证明：如图3，过点D作BD的垂线，交BC的延长线于点E． ∵AC⊥BD，ED⊥BD， ∴AC∥DE． 又∵AD∥BC， … 任务： （1）请直接写出问题1中“▲”处空缺的内容为　 　 ． （2）请补全问题的证明过程． （3）智慧小组进行了探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动．如图4，在⊙O中，已知AB是弦，OA，OB是半径．求作：⊙O的内接垂等四边形ABCD．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 22．综合与实践 问题情境：数学之美，蕴藏于方寸之间，亦流淌于生活各处．在学校开展的“数学之美——创意明信片设计”活动中，同学们匠心独运，创作出了诸多融入数学知识的优秀作品．如图1所示，房屋轮廓可近似看作由一段抛物线与线段围成的封闭图形，搭配别具巧思的“弦图”窗框，尽显数学与美学交融的独特韵味．为进一步优化整体结构，让造型更和谐雅致，同学们也提出了不少新颖的设计思路． 方案设计： 第一步：（设计抛物线轮廓）如图2，线段AB和线段CD互相垂直平分，且AB＝CD＝6cm，抛物线经过A，B，C三点，以点D为原点，过点D且与AB平行的直线为x轴，CD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线与x轴交于E，F两点（点E在点F左侧）； 第二步：（设计房屋装饰分区）如图3，隐去线段AB，作线段GH∥x轴与抛物线交于G，H两点，线段GH将房屋分为上下两部分，且下半部分的高度是上半部分高度的2倍，上半部分用简单几何图形装饰，下半部分设计门窗； 第三步：（设计门窗）如图4，正方形窗框MNPQ的边长mcm，MN∥y轴，MQ∥x轴，延长NM与抛物线交于点S，延长PQ与抛物线交于点T，MS＝2QT． 解决问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）在图3中，求线段EF和GH的长度； （3）在图4中，若点M的坐标为（1，n）． ①请直接写出n与m之间的关系式；②当m＝1时，正方形窗框如图1中所示，且被分成的五部分面积相等，请直接写出窗框的总长度（包括正方形外框和内框）． 23．综合与探究 问题情境：综合探究活动中，同学们以等边三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的关系．如图1，在等边△ABC外部取点D，连接BD，CD，并使得∠BDC的度数始终是60°，将△BCD绕点C顺时针旋转120°，得到△ECF（点E，F分别是点B，D的对应点），作直线AD与直线EF交于点G． 特例分析：（1）如图2，若点D位于边AB的左侧，当∠DBC＝90°时，请判断四边形CDGF的形状，并说明理由； 深入探究：（2）如图3，若点D位于边AC的右侧，请判断AD与EG之间满足怎样的数量关系，并说明理由； （3） 直线AD与直线CE相交于点H，当△CDH是直角三角形时，请直接写出的值． 山西省押题卷-2026年山西省初中学业水平考试数学押题卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：因为表示﹣3的点到原点的距离为3，表示﹣1的点到原点的距离为1，表示的点到原点的距离为，表示2的点到原点的距离为2， 且1＜2＜3，所以C选项符合题意． 故选：C． 2．【解答】解：A、选项图形是轴对称图形，符合题意； B、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； C、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； D、选项图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 3．【解答】解： ＝（xm）n ＝xmn， 故选：B． 4．【解答】解：设该风景照画面主体的高度为h， ∵总高度为30cm，黄金分割比， ∴，即该风景照画面主体的高度约为18.54cm． 故选：B． 5．【解答】解：解不等式x+2＞0得：x＞﹣2， 解不等式﹣x+2≥0得：x≤2， ∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2， 表示在数轴上如图： ． 故选：A． 6．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC， A．AB∥CD则，左右两边同时加1可得，即，，因此选项成立； B．AB∥CD，即AG∥DH，可得△EAG∽△EDH，对应边比例为，与选项中的比例式不符，因此选项不成立； C．AB＝CD，AB∥CD，即BG∥CH，可得△FCH∽△FBG，对应边比例为，与选项中的比例式不符，因此不成立． D．由AB∥CD可得△EAG∽△EDH，则；由AD∥BC可得△FBG∽△FCH，所以．又AB∥CD得不到 ，因此不成立，所以选项不成立． 故选：A． 7．【解答】解：如图，连接PC，EC，EC交BD于点P′，连接P′A． ∵四边形ABCD是菱形， ∵A，C关于BD对称， ∴当点P与点P′重合时，PA+PE的值最小，最小值为EC的长， ∵AC平分∠DCB， ∴∠ACD＝∠ACB∠DCB＝60°， ∵CB＝AB＝CD＝4， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC＝4， ∵E是AB的中点， ∴EC⊥AB，AE＝EB＝2， ∴EC2， ∴PA+PE的最小值为2． 故选：C． 8．【解答】解：∵AO＝BO＝200米，∠AOB＝120°，点C，点D分别在AO和BO上，CO＝DO＝170米， ∴（米）， （米）， ∴隔离带外侧的长比内侧的长多（米）． 故选：A． 9．【解答】解：如图， ∵在网格中，每个小正方形的边长均为1， ∴，，BC∥AE∥DF， ∴△BCP∽△AEP，∠AEP＝∠CDF， ∴， ∴， ∴∠AEP＝∠APE＝∠BPC＝∠CDF， ∴． 故选：A． 10．【解答】解：由题意得，[2.8]＝2，故①正确； [﹣5.3]＝﹣6，故②错误； 当x＝1.4时，[1.4]＝1，{1.4}＝1.4﹣1＝0.4， 当x＝﹣1.6时，[﹣1.6]＝﹣2，{﹣1.6}＝﹣1.6﹣（﹣2）＝0.4，故③正确； ∵x＝[x]+{x}，3[x]+1＝{x}+3x， ∴3[x]+1＝{x}+3（[x]+{x}）， ∴4{x}＝1， ∵0≤{x}＜1， ∴x＝0.25或x＝1.25或x＝2.25等，故④错误． 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：， 故答案为：2． 12．【解答】解：每人分9两，还差8两，则人数为， 每人分7两，剩余4两，则人数为， 则． 故答案为：． 13．【解答】解：根据统计图，得到乙的数据波动小，故选乙． 故答案为：乙． 14．【解答】解：当x＝0时，y2＝150， ∴点B的坐标为（0，150）， 由题意知点A的坐标为（25，150）， 设y1＝kx（k≠0）， 将（25，150）代入y1＝kx得150＝25k， ∴k＝6， ∴y1＝6x， ∴线段OA对应的函数表达式为：y1＝6x， 由题意可知． 则6x＝﹣4x+150， 解得：x＝15， ∴6x＝90， ∴点P的坐标为（15，90）， ∴则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度为90m， 故答案为：15． 15．【解答】解：∵正方形ABCD，AB＝4， ∴AD＝CD＝AB＝BC＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，AB∥CD，∠ACB＝∠ACD， ∵点G为AB的中点， ∴， ∴， ∵AB∥CD， ∴△AGE∽△CDE， ∴， 又， ∴，， ∵CE＝CE，∠BCE＝∠DCE，CB＝CD， ∴△BCE≌△DCE（SAS）， ∴，∠CBE＝∠CDE， ∵BF⊥BE，∠ABC＝90°， ∴∠FBE＝∠ABC， ∴∠FBG＝∠CBE＝∠CDE， ∵AB∥CD， ∴∠FGB＝∠CDE＝∠FBG， ∴FG＝FB， 在Rt△BEF中，BF2+BE2＝EF2， ∴， 解得， 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 16．【解答】解：（1）原式＝﹣9﹣4﹣（﹣6） ＝﹣9﹣4+6 ＝﹣7； （2）原式• ． 17．【解答】解：（1）设点A（0，m），点B（n，0）， 则，， ∴mn＝48，， ∴k＝12． （2）根据题意得反比例函数的解析式为， ∴P（2，6）； 当x＝6时，， ∴Q（6，2）； 设直线PQ的解析式为y＝mx+b， 根据题意，得， 解得， ∴y＝﹣x+8． 如图，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥x轴于点M，令PN，OQ交于点G， ∴PN＝6，ON＝2，QM＝2，OM＝6， ∴MN＝OM﹣ON＝4， 根据反比例函数的性质，得S△PON＝S△QOM， ∴S△PON﹣S△GON＝S△QOM﹣S△GON， ∴S△POG＝S四边形QGNM， ∴S△POG+S△PQG＝S四边形QGNM+S△PQG， ∴． 18．【解答】解：（1）甲得分排序为：4，5，6，7，7，8，8，9，9，10，共10个数据，中位数为第5、6个数的平均数， ∴， 乙平均分， ∵乙得分中大于等于9分的只有1个， ∴优先录取率， 故答案为：7.5，7，10%； （2）根据折线统计图判断，， 根据方差的计算公式可得： ＝1.4， 故答案为：＜，1.4； （3）第一条：乙得分的方差为1.4，低于甲得分的方差3.21，因此评委对乙的评分更稳定，乙的表现更优； 第二条：乙得分的通过率为90%，高于甲得分的通过率80%，因此乙的表现更优． 19．【解答】解：设青铜器书签的单价为x元， 根据题意列分式方程得，， 整理得，2x＝80， 解得x＝40， 经检验，x＝40是原方程的根． 此时， 答：青铜器书签的单价为40元，则青花瓷钥匙扣的单价为32元． 20．【解答】解：过点A作AD⊥PO，延长BC交PO于点E， ∴四边形ADEC是矩形， ∵AP的坡度，AP＝13m， 设AD＝5x，PD＝12x， 由勾股定理可得，（5x）2+（12x）2＝132， 解得：x＝1（负值舍去）， ∴CE＝AD＝5x＝5，PD＝12x＝12 设BC＝m， 由三角函数可知，， ∴， ∵∠BPO＝45°， ∴PE＝BE，即， 解得：m≈23． 答：松树 BC的高度约为23m． 21．【解答】（1）解：在垂等四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E， ∴AC⊥BD，且AC＝BD， ∵AB⊥AD，AD＝6cm，， ∴， 解得：BD＝10（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 故对角线AC的长为10cm， 故答案为：10； （2）证明：如图3，过点D作BD的垂线，交BC的延长线于点E． ∵AC⊥BD，ED⊥BD， ∴AC∥DE． 又∵AD∥BC， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC＝DE． ∵∠DBC＝45°， ∴∠DEB＝45°， ∴∠DEB＝∠DBC， ∴BD＝DE， ∴AC＝BD ∵AC⊥BD， 故四边形ABCD是垂等四边形； （3）解：⊙O的内接垂等四边形ABCD，如图4即为所求； 作法如下：作AB垂直平分线过圆心O，交AB于点G，在垂直平分线上取点G，，使GE＝GB，则∠GBE＝∠GEB＝45°， 根据AE＝BE，得到∠EAB＝∠EBA＝45°， ∴AE⊥BE， 延长AE，BE分别交圆于点C，D，连接AD，DC，BC，则∠DAC＝∠DBC， ∴∠ABC＝∠DAB， ∴AC＝DB， ∴四边形ABCD是垂等四边形． ∴四边形ABCD即为所求． 22．【解答】解：（1）∵线段AB和线段CD互相垂直平分，且AB＝CD＝6cm，点D且与AB平行的直线为x轴，CD所在直线为y轴建立平面直角坐标系， ∴A（﹣3，3），B（3，3），C（0，6）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将点A，点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）抛物线与x轴交于E，F两点（点E在点F左侧）， 当y＝0时，得：， 解得：， ∴， ∴； ∵线段GH将房屋分为上下两部分，且下半部分的高度是上半部分高度的2倍， ∴点H、G的纵坐标为， 当y＝4时，得：， 解得：， ∴， ∴； （3）①；理由如下： ∵MN∥y轴，延长NM与抛物线交于点S，M（1，n）， ∴，即， ∴， ∵正方形窗框MNPQ的边长mcm， ∴Q（m+1，n），PQ∥MN∥y轴， ∵延长PQ与抛物线交于点T， ∴， ∴， ∵MS＝2QT， ∴， 化简得：； ②窗框的总长度为．理由如下： 当m＝1时，， ∴，， ∵正方形的边长为1， ∴正方形外框的周长为4cm，正方形的面积为1cm2， 设组成正方形的四个直角三角形的长边为c，短边为d，且c＞d则c2+d2＝1， ∵正方形被分成的五部分面积相等， ∴每个直角三角形是正方形面积的，即， 联立得：， 解得：（已舍去不合题意的解）， 由图可知：正方形的内框边长为， ∴窗框的总长度为． 23．【解答】解：（1）四边形CDGF是菱形．理由如下： ∵将△BCD绕点C顺时针旋转120°，得到△ECF（点E，F分别是点B，D的对应点）， ∴∠DCF＝120°，∠F＝∠BDC＝60°，DC＝FC， ∴∠DCF+∠F＝180°． ∴DC∥GF， ∵∠DBC＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠BDC＝30°． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝BC． ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝30°． ∴∠ACD＝∠BCD． 在△ACD和△BCD中， ， ∴△ACD≌△BCD（SAS）． ∴∠ADC＝∠BDC＝60°． ∴∠ADC+∠DCF＝180°． ∴DG∥CF． ∴四边形CDGF是平行四边形． ∵DC＝FC， ∴四边形CDGF是菱形； （2）AD＝EG．理由如下： 如图3，延长DC到M，使DM＝DB，连接BM，CG． ∵∠BDM＝60°， ∴△DBM是等边三角形． ∴∠DBM＝∠M＝60°，BD＝BM． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝BC． ∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBM﹣∠DBC． ∴∠ABD＝∠CBM． ∴△ABD≌△CBM（SAS）． ∴∠ADB＝∠M＝60°． ∵∠BDC＝60°， ∴∠CDG＝180°﹣∠ADB﹣∠BDC＝60°． 由旋转得∠DCF＝120°，∠F＝∠BDC＝60°，CD＝CF， ∴∠DCF+∠F＝180°，∠DCF+∠CDG＝180°． ∴CF∥DG，CD∥GF． ∴四边形CDGF是平行四边形． ∵CD＝CF， ∴四边形CDGF是菱形． ∴DC＝DG． ∴△DCG是等边三角形． ∴DC＝GC，∠DCG＝60°． 由旋转得∠BCE＝120°，AC＝EC， ∵∠ACB＝60°， ∴∠ACE＝60°． ∴∠ACE﹣∠DCE＝∠DCG﹣∠DCE，即∠ACD＝∠ECG． ∴△ACD≌△ECG（SAS）． ∴AD＝EG； （3）的值为1或．理由如下： 如图4，四边形CDGF是菱形，当∠DCH＝90°时，∠ECF＝∠DCF﹣∠DCH＝30°． ∴GF∥DC，FC＝GF ∴∠FEC＝∠DCH＝90°． ∵∠ECF＝30° ∴． ∴，即GF＝2EF， ∵GF＝GE+EF， ∴2EF＝GE+EF ∴EG＝EF． ∴； 如图5，当∠DHC＝90°时，∠DCH＝90°﹣∠CDH＝30°． ∴． ∴，． ∴DH＝HG，． ∵四边形CDGF是菱形， ∴DG∥CF． ∴△EHG∽△ECF． ∴． 综上所述，的值为1或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $