宁夏押题卷-【押题卷】2026年初中学业水平考试数学押题卷

**基本信息** 2026年宁夏中考数学押题卷，以无人机测量、马面裙销售等真实情境和《孙子算经》等文化素材为载体，覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率核心知识，通过基础-综合-创新三级梯度设计，考查抽象能力、推理意识和模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|实数、几何性质、整式运算等|第5题以《孙子算经》古文情境考方程组，体现文化传承；第8题无人机测量结合解直角三角形，培养应用意识| |填空题|8题32分|概率、内切圆、位似图形等|第11题古代数学名著概率题渗透数学文化；第16题动态几何求最值，发展空间观念| |解答题|10题86分|统计分析、函数几何综合、动态几何等|23题智慧农业产量对比，考查数据观念；25题二次函数旋转与直角三角形存在性问题，提升创新意识|

宁夏押题卷-2026年宁夏初中学业水平考试数学押题卷 一．选择题（共8小题） 1．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．2 D．6 2．如图，BD是四边形ABCD的对角线．若∠1＝∠2，∠A＝80°，则∠ADC等于（　　） A．60° B．80° C．90° D．100° 3．下列计算正确的是（　　） A．（2a2）3＝8a6 B．（m﹣1）2＝m2﹣1 C．a4•a2＝a8 D．x+y＝xy 4．用四根火柴棒可以摆成如图所示的“土”字，下列图形中，是通过平移“土”字中的火柴棒而变成的文字是（　　） A． B． C． D． 5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 6．下列四个命题中，是真命题的是（　　） A．同旁内角互补 B．两点之间，直线最短 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 7．如图，平行于y轴的直线与函数和的图象分别交于A、B两点，OA交双曲线于点C，连接CD，若△OCD的面积为2．则k＝（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 8．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面120m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行73m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（　　）（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） A．41m B．42m C．43m D．77m 二．填空题（共8小题） 9．8的立方根是 　 　 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为 　 　 ． 11．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为 　 　 ． 12．关于x的不等式组无解，则a的取值范围值是　 　 ． 13．如图，Rt△ABC的内切圆⊙I分别与斜边AB、直角边BC、CA切于点D、E、F，AD＝3，BD＝2，则Rt△ABC的面积为　 　 ． 14．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC与△DEF的周长之比是4：3，则AO：AD的值为　 　 ． 15．如图，正方形ABCD的边长为a，根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S＝ 　 　 ． 16．如图，点A（0，4），点B为x轴上一动点，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，若S△ABC＝8，则线段OC最大值为 　 　 ． 三．解答题（共10小题） 17．计算：． 18．先化简，再求值：，从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为x的值代入求值． 19．如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，∠D＝2∠B． （1）用无刻度的直尺和圆规在线段BC上求作一点E，使得AE＝BE，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若∠CAD＝∠ACB，点E是BC的中点．求证：四边形AECD是菱形． 20．若四位数满足a+d＝b+c，则称这样的四位数为“和谐四位数”．例如：四位数2154，因为2+4＝1+5，所以四位数2154是和谐四位数． （1）填空：3122　 　 和谐四位数（填“是”或“不是”）； （2）若M（d≠0）是和谐四位数，将M的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数N，求证：M与N的和一定能被101整除． 21．马面裙作为汉服的重要组成部分，承载着我国深厚的历史文化底蕴．在某网店中，销量最高的A，B两款马面裙备受消费者青睐，A，B两款马面裙的售价分别为150元/件和200元/件，两款马面裙3月份的总销量为600件，销售总额为110000元． （1）求3月份A，B两款马面裙的销量分别为多少件？ （2）为满足店铺的日常运营需求，该网店决定从服装厂预定A，B两款马面裙共2400件，且A款马面裙数量不超过B款马面裙数量的，已知A款马面裙进价为100元/件，B款马面裙进价160元/件，请你设计一种方案，使得这批马面裙全部售出后获利最大，并求出最大利润． 22．如图，是由小正方形组成的8×8的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B是格点，C是网格线上一点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条． （1）在图（1）中，先在AC上画点D，使∠ABD＝45°；再在BD上画点E，使BE＝DE； （2）在图（2）中，先在网格内画一点使CM∥AB，CM＝AB；再在AC上画点N使AN＝2CN． 23．综合与实践 【项目背景】辽宁省沈阳市沈北新区某现代农业种植专业合作社采用“北斗+智慧农业”技术种植玉米，通过北斗导航精量播种、智能水肥一体化等技术实现精准管理．为对比传统种植与智慧农业模式的效果，某生物研究小组对该合作社试验田中甲（传统种植）、乙（智慧农业）两种种植模式下玉米的产量进行调查． 【调查与收集】甲、乙两种玉米均种植了500亩（每亩约4000株），各随机抽取100株作为样本． 【整理与描述】研究小组使用该技术通过实时监测玉米产量，误差可控制在2%﹣4%以内．数据整理后如下（产量单位：kg/株）： 甲样本（传统种植）的频数分布表： 产量分组（kg/株） 频数 0.30≤x＜0.35 15 0.35≤x＜0.40 40 0.40≤x＜0.45 20 0.45≤x＜0.50 20 0.50≤x≤0.55 5 根据以上信息，解答问题： （1）甲样本中0.40≤x＜0.45组的频率是　 　 ；在乙样本的扇形统计图中，0.40≤x＜0.45组对应的圆心角度数为　 　 ； 【分析与应用】（2）填表： 样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差 甲 0.405 0.35≤x＜0.40 0.0031 乙 0.4225 　 　 0.0020 （计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如（0.30≤x＜0.35的中间值为 （3）若单株产量不低于0.45kg的玉米植株即视为优品，估计这1000亩试验田中优品玉米植株的总株数； （4）结合以上统计量，简要说明为什么要推广智慧农业模式． 24．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F． （1）求证：△FBD∽△FAC； （2）如果BD平分∠ADC，BD＝5，BC＝2，求DE的长． 25．如图，抛物线C：y＝ax2+6ax+9a﹣8与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D． （1）求a的值及顶点D的坐标； （2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线C1，记抛物线C1的顶点为E，抛物线C1与x轴的交点为F，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线C1的表达式； （3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标． 26．如图1，点C（8，0）在x轴正半轴上，点A，D均在y轴正半轴上，把△ACD沿直线CD翻折，点A恰好落在x轴上的点B处． （1）若AC＝10，求点B的坐标； （2）点E为AC上一点，且DE＝BD，如图2，求BC+EC的长； （3）如图3，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，当点H在FC上移动，点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH，GH，OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 宁夏押题卷-2026年宁夏初中学业水平考试数学押题卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．2 D．6 【解答】解：|﹣5|＝5，|﹣1|＝1，|2|＝2，|6|＝6． 1＜2＜5＜6， ∴表示﹣1的点距离原点最近． 故选：B． 2．如图，BD是四边形ABCD的对角线．若∠1＝∠2，∠A＝80°，则∠ADC等于（　　） A．60° B．80° C．90° D．100° 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， ∴∠A+∠ADC＝180°， ∵∠A＝80°， ∴∠ADC＝180°﹣80°＝100°， 故选：D． 3．下列计算正确的是（　　） A．（2a2）3＝8a6 B．（m﹣1）2＝m2﹣1 C．a4•a2＝a8 D．x+y＝xy 【解答】解：A． （2a2）3＝8a6，因此选项A符合题意； B． （m﹣1）2＝m2﹣2m+1，因此选项B不符合题意； C．a4•a2＝a4+2＝a6，因此选项C不符合题意； D．x+y不一定与xy相等，因此选项D不符合题意． 故选：A． 4．用四根火柴棒可以摆成如图所示的“土”字，下列图形中，是通过平移“土”字中的火柴棒而变成的文字是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据平移只改变图形的位置，不改变图形的大小，方向和形状可知： ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选：D． 5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺， ∴y＝x+4.5； ∵将绳子对折再量木条，木条剩余1尺， ∴y＝x﹣1． ∴所列方程组为． 故选：A． 6．下列四个命题中，是真命题的是（　　） A．同旁内角互补 B．两点之间，直线最短 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故A不符合题意； B、两点之间，线段最短，故B不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故C不符合题意； D、此命题是真命题，故D符合题意． 故选：D． 7．如图，平行于y轴的直线与函数和的图象分别交于A、B两点，OA交双曲线于点C，连接CD，若△OCD的面积为2．则k＝（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【解答】解：如图，作CE⊥x轴于E，则CE∥AD， ∵OA交双曲线过点C， ∴S△OCE＝1， ∵S△OCD＝2， ∴S△OCE＝S△DCE＝1， ∴点E为OD的中点， ∵CE∥AD， ∴点C是OA的中点， ∴S△OAD＝2S△OCD＝4， ∵函数的图象经过点A，且AD⊥x轴，函数图象在第一象限， ∴k＝8， 故选：C． 8．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面120m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行73m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（　　）（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） A．41m B．42m C．43m D．77m 【解答】解：延长BA交MN于点C，则BC⊥MN， 由题意得，BC＝120m，MN＝73m， 在Rt△CNB中，∠CNB＝45°， ∴∠CNB＝∠CBN＝45°． ∴CN＝BC＝120m． ∴MC＝MN+CN＝73+120＝193（m）， 在Rt△AMC中，∠AMC＝22°， ∴AC＝MC•tan22°≈193×0.4＝77.2（m）， ∴AB＝BC﹣AC＝120﹣77.2≈43（m）， 即潮汐塔AB的高度约为43m． 故选：C． 二．填空题（共8小题） 9．8的立方根是 　2　 ． 【解答】解：∵23＝8， ∴8的立方根是2． 故答案为：2． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为 　　 ． 【解答】解：∵直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b）， ∴当x＝﹣1时，b＝﹣1+4＝3， ∴点A的坐标为（﹣1，3）， ∴关于x，y的方程组的解为， 故答案为：． 11．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为 　　 ． 【解答】解：将四部名著《周髀算经》，《算学启蒙》，《测圆海镜》，《四元玉鉴》分别记为A，B，C，D， 根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 其中恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的情况有2种， ∴恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率是， 故答案为：． 12．关于x的不等式组无解，则a的取值范围值是a≤3　 ． 【解答】解：∵不等式组无解， ∴a﹣1≤2， 解得：a≤3． 故答案为：a≤3． 13．如图，Rt△ABC的内切圆⊙I分别与斜边AB、直角边BC、CA切于点D、E、F，AD＝3，BD＝2，则Rt△ABC的面积为　6　 ． 【解答】解：∵Rt△ABC的内切圆⊙I分别与斜边AB、直角边BC、CA切于点D、E、F，AD＝3，BD＝2， ∴AD＝AF＝3，BD＝BE＝2，FC＝EC， 设FC＝EC＝x， 则（3+x）2+（2+x）2＝52， 解得：x1＝1，x2＝﹣6（不合题意舍去）， 则AC＝4，BC＝3， 故Rt△ABC的面积为：4×3＝6． 故答案为：6． 14．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC与△DEF的周长之比是4：3，则AO：AD的值为　4：7　 ． 【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为O， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∵△ABC与△DEF的周长之比是4：3， ∴AB：DE＝4：3， ∵AB∥DE， ∴△AOB∽△DOE， ∴AO：DO＝AB：DE＝4：3， ∴AO：AD＝4：7， 故答案为：4：7． 15．如图，正方形ABCD的边长为a，根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S＝ 　　 ． 【解答】解：阴影部分的面积S＝ ． 故答案为：． 16．如图，点A（0，4），点B为x轴上一动点，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，若S△ABC＝8，则线段OC最大值为 　　 ． 【解答】解：作△CDB使△CDB≌△BAC，作AE∥x轴交CD于点E，取AE的中点F，连接CF、OF， ∵△CDB≌△BAC，∠BAC＝90°， ∴∠BCD＝∠ABC，∠ABC+∠ACB＝90°， ∴CD∥AB，∠ACB+∠BCD＝90°， 即∠ACD＝90°， ∵AE∥x轴，CD∥AB， ∴∠ABO＝∠EAB＝∠AEC， 又∵∠AOB＝∠ACD＝90°， ∴△AOB∽△ACE， ∴，即AO•AE＝AB•AC， ∵S△ABC＝8， ∴， ∴AB•AC＝16， ∴AO•AE＝16， ∵AO＝4， ∴AE＝16÷4＝4， ∴， ， ∵OC≤OF+CF， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 17．计算：． 【解答】解：原式 ＝1． 18．先化简，再求值：，从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为x的值代入求值． 【解答】解： ， ∵在化简过程中出现在分母中的因式， 有x+1、x、x﹣1， ∴x+1≠0，x≠0，x﹣1≠0， ∴x≠﹣1，x≠0，x≠1， ∴当x＝2时，原式． 19．如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，∠D＝2∠B． （1）用无刻度的直尺和圆规在线段BC上求作一点E，使得AE＝BE，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若∠CAD＝∠ACB，点E是BC的中点．求证：四边形AECD是菱形． 【解答】（1）解：作AB的垂直平分线交BC于E点，则EA＝EB，如图，点E为所作； （2）证明：∵AE＝BE， ∴∠B＝∠BAE， ∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝2∠B， ∵∠D＝2∠B， ∴∠D＝∠AEC． ∵∠CAD＝∠ACB， ∴AD∥BC， ∴∠D+∠DCB＝180°， ∴∠AEC+∠DCB＝180°， ∴AE∥DC， ∴四边形AECD是平行四边形． ∵点E是BC的中点， ∴BE＝EC． ∵BE＝AE， ∴AE＝EC， ∴四边形AECD是菱形． 20．若四位数满足a+d＝b+c，则称这样的四位数为“和谐四位数”．例如：四位数2154，因为2+4＝1+5，所以四位数2154是和谐四位数． （1）填空：3122　不是　 和谐四位数（填“是”或“不是”）； （2）若M（d≠0）是和谐四位数，将M的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数N，求证：M与N的和一定能被101整除． 【解答】解：（1）由“和谐四位数”可知，且3+2＝5≠1+2， ∴3122不是和谐四位数； 故答案为：不是； （2）∵是和谐四位数， ∵a+d＝b+c， ∴， 则，， M+N＝1000a+100b+10c+d+1000d+100c+10b+a ＝1001a+1001d+110b+110c ＝1001（a+d）+110b+110c ＝1001（b+c）+110（b+c） ＝1111（b+c） ＝101×11（b+c）， ∵b+c为整数， ∴101×11（b+c）一定能被101整除， ∴M与N的和一定能被101整除． 21．马面裙作为汉服的重要组成部分，承载着我国深厚的历史文化底蕴．在某网店中，销量最高的A，B两款马面裙备受消费者青睐，A，B两款马面裙的售价分别为150元/件和200元/件，两款马面裙3月份的总销量为600件，销售总额为110000元． （1）求3月份A，B两款马面裙的销量分别为多少件？ （2）为满足店铺的日常运营需求，该网店决定从服装厂预定A，B两款马面裙共2400件，且A款马面裙数量不超过B款马面裙数量的，已知A款马面裙进价为100元/件，B款马面裙进价160元/件，请你设计一种方案，使得这批马面裙全部售出后获利最大，并求出最大利润． 【解答】解：（1）设3月份A款马面裙的销量为x件，B款马面裙的销量为y件， 由题意得：， 解得：， 答：3月份A款马面裙的销量为200件，B款马面裙的销量为400件； （2）设网店购进A款a件，再购进B款（2400﹣a）件，总利润为W元， 由题意得：， 解得：a≤800， 设总利润为W元， 由题意得：W＝（150﹣100）a+（200﹣160）（2400﹣a）＝10a+96000， ∵10＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴a＝800时，W的最大值＝10×800+96000＝104000（元）， 此时2400﹣x＝2400﹣800＝1600， 答：网店购进A款马面裙800件，B款马面裙1600件，获利最大，最大利润为104000元． 22．如图，是由小正方形组成的8×8的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B是格点，C是网格线上一点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条． （1）在图（1）中，先在AC上画点D，使∠ABD＝45°；再在BD上画点E，使BE＝DE； （2）在图（2）中，先在网格内画一点使CM∥AB，CM＝AB；再在AC上画点N使AN＝2CN． 【解答】解：（1）如图1中，点D，点E即为所求； （2）如图2中，线段CM，点N即为所求． 23．综合与实践 【项目背景】辽宁省沈阳市沈北新区某现代农业种植专业合作社采用“北斗+智慧农业”技术种植玉米，通过北斗导航精量播种、智能水肥一体化等技术实现精准管理．为对比传统种植与智慧农业模式的效果，某生物研究小组对该合作社试验田中甲（传统种植）、乙（智慧农业）两种种植模式下玉米的产量进行调查． 【调查与收集】 甲、乙两种玉米均种植了500亩（每亩约4000株），各随机抽取100株作为样本． 【整理与描述】 研究小组使用该技术通过实时监测玉米产量，误差可控制在2%﹣4%以内．数据整理后如下（产量单位：kg/株）： 甲样本（传统种植）的频数分布表： 产量分组（kg/株） 频数 0.30≤x＜0.35 15 0.35≤x＜0.40 40 0.40≤x＜0.45 20 0.45≤x＜0.50 20 0.50≤x≤0.55 5 根据以上信息，解答问题： （1）甲样本中0.40≤x＜0.45组的频率是　0.2　 ；在乙样本的扇形统计图中，0.40≤x＜0.45组对应的圆心角度数为　144°　 ； 【分析与应用】 （2）填表： 样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差 甲 0.405 0.35≤x＜0.40 0.0031 乙 0.4225 　0.40≤x＜0.45　 0.0020 （计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如（0.30≤x＜0.35的中间值为 （3）若单株产量不低于0.45kg的玉米植株即视为优品，估计这1000亩试验田中优品玉米植株的总株数； （4）结合以上统计量，简要说明为什么要推广智慧农业模式． 【解答】解：（1）甲样本中0.40≤x＜0.45组的频率； 乙样本中0.40≤x＜0.45组对应的圆心角度数为（1﹣5%﹣10%﹣20%﹣25%）×360°＝144°； 故答案为：0.2，144°； （2）0.40≤x＜0.45； ∵乙样本共100个数据，中位数为按从小到大排列数据后第50、51个数据的平均值，按从小到大排列数据后前两组频数和为100×（10%+20%）＝30，前三组频数和为100×（10%+20%+40%）＝70， ∴第50、51个数据均落在0.40≤x＜0.45组，故乙样本中位数出现的组别为0.40≤x＜0.45； 故答案为：0.40≤x＜0.45； （3）若单株产量不低于0.45kg的玉米植株即视为优品， （株）． 答：这1000亩试验田中优品玉米植株的总株数约为1100000株； （4）乙种玉米的平均数和中位数都高于甲种玉米，说明乙种玉米产量高于甲种玉米产量；乙种玉米产量的方差小于甲种玉米的方差，说明乙种玉米长势更整齐，所以要推广智慧农业模式． 24．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F． （1）求证：△FBD∽△FAC； （2）如果BD平分∠ADC，BD＝5，BC＝2，求DE的长． 【解答】（1）证明：∵∠FDB和∠FCA都是所对的圆周角， ∴∠FDB＝∠FCA， 又∵∠DFB＝∠CFA， ∴△FBD∽△FAC， （2）解：∵BD平分∠ADC， ∴∠FDB＝∠CDB， 由（1）知∠FDB＝∠FCA， ∴∠FCA＝∠CDB，即∠ECB＝∠CDB， 又∵∠CBE＝∠DBC， ∴△CBE∽△DBC， ∴，即， ∴， ∴． 25．如图，抛物线C：y＝ax2+6ax+9a﹣8与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D． （1）求a的值及顶点D的坐标； （2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线C1，记抛物线C1的顶点为E，抛物线C1与x轴的交点为F，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线C1的表达式； （3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标． 【解答】解：（1）由y＝ax2+6ax+9a﹣8得y＝a（x+3）2﹣8， ∴顶点D的坐标为（﹣3，﹣8）， ∵点B（2，0）在抛物线C上， ∴0＝a（2+3）2﹣8， 解得：a； （2）如图1，连接DE，作DH⊥x轴于H，作EM⊥x轴于M， 根据题意，点D，E关于点B（2，0）成中心对称， ∴DE过点B，且DB＝EB， 在△DBH和△EBM中， ， ∴△DBH≌△EBM（AAS）， ∴EM＝DH＝8，BM＝BH＝5， ∴抛物线C1的顶点E的坐标为（7，8）， ∵抛物线C1由C绕点P旋转180°后得到， ∴抛物线C1的函数表达式为y（x﹣7）2+8； （3）∵抛物线C1由C绕x轴上的点P旋转180°后得到， ∴顶点D，E关于点P成中心对称，由（2）知：点E的纵坐标为8， 设点E（m，8）， 如图2，作DH⊥x轴于H，EM⊥x轴于M，EN⊥DN于N， ∵旋转中心P在x轴上， ∴FG＝AB＝2BH＝10， ∴点H的坐标为（﹣3，0），点N的坐标为（m，﹣8）， 根据勾股定理得，EF2＝82+52＝89， 显然，△AEG和△BEG不可能是直角三角形， ①当△AEF是直角三角形时，显然只能有∠AEF＝90°， ∵A（﹣8，0），EM⊥x轴， ∴∠AME＝∠EMF＝90°，AM＝m+8，EM＝8，FM＝5， ∵∠AFE+∠EAM＝∠AFE+∠FEM＝90°， ∴∠EAM＝∠FEM， ∴△AEM∽△EFM， ∴，即FM•AM＝EM2， ∴5（m+8）＝82， 解得：m， ∴OP（m+3）﹣3（m﹣3）（3）， ∴点P的坐标为（，0）； ②当△BEF是直角三角形时，显然只能有∠BEF＝90°， 同理可得：△BEM∽△EFM， ∴，即FM•BM＝EM2， ∴5（m﹣2）＝64， 解得：m， ∴OP（m﹣3）（3）， ∴点P的坐标为（，0）， ③当△DEF是直角三角形时， DE2＝EN2+DN2＝162+（m+3）2＝m2+6m+265， DF2＝DH2+HF2＝82+（m+8）2＝m2+16m+128， i）当∠DEF＝90°时，DE2+EF2＝DF2， 即m2+6m+265+89＝m2+16m+128， 解得：m， ∴OP（m﹣3）（3）， ∴点P的坐标为（，0）； ii）当∠DFE＝90°时，DF2+EF2＝DE2， 即m2+16m+128+89＝m2+6m+265， 解得：m， ∴OP（m﹣3）（3）， ∴点P的坐标为（，0）； iii）∵DE＞EN＝16＞EF， ∴∠EDF≠90°， 综上所述，当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，点P的坐标为（，0）或（，0）或（，0）． 26．如图1，点C（8，0）在x轴正半轴上，点A，D均在y轴正半轴上，把△ACD沿直线CD翻折，点A恰好落在x轴上的点B处． （1）若AC＝10，求点B的坐标； （2）点E为AC上一点，且DE＝BD，如图2，求BC+EC的长； （3）如图3，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，当点H在FC上移动，点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH，GH，OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【解答】解：（1）∵点C（8，0）， ∴OC＝8， ∵把△ACD沿直线CD翻折，点A恰好落在x轴上的点B处， ∴AC＝BC＝10， ∴OB＝BC﹣OC＝2， ∴点B的坐标为（﹣2，0）； （2）∵把△ACD沿直线CD翻折，点A恰好落在x轴上的点B处， ∴AD＝BD，∠ACD＝∠BCD， ∵DE＝BD， ∴BD＝AD＝DE， 过D作DN⊥AC于N点，如图2， ∵∠ACD＝∠BCD， ∴DO＝DN， 在Rt△BDO和Rt△EDN中， ， ∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL）， ∴BO＝EN； 在Rt△DOC和Rt△DNC中， ， ∴Rt△DOC≌Rt△DNC（HL）， ∴OC＝NC， ∴BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC＝16； （3）GH＝FH+OG，证明如下： 由（2）知：DF＝DO， 在x轴的负半轴上取OM＝FH，连接DM，如图3， 在△DFH和△DOM中， ， ∴△DFH≌△DOM（SAS）， ∴DH＝DM，∠1＝∠ODM， ∵∠GDH＝∠GDO+∠FDH， ∴∠GDH＝∠1+∠2＝∠ODM+∠2＝∠GDM， 在△HDG和△MDG中， ， ∴△HDG≌△MDG（SAS）， ∴MG＝GH， ∴GH＝OM+OG＝FH+OG． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $