甘肃省兰州市押题卷-【押题卷】2026年初中学业水平考试数学押题卷

**基本信息** 2026年兰州中考数学押题卷，以《九章算术》、建筑测量、人口迁徙统计等真实情境为载体，覆盖代数、几何、统计核心知识，通过基础巩固与创新应用的梯度设计，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11小题|相反数、因式分解、直线相交等基础概念|结合铁路栏杆杠杆模型考查相似三角形| |填空题|4小题|因式分解、概率、垂直平分线性质|融入二十四节气邮票情境考查概率计算| |解答题|11小题|项目式测量（正切应用）、统计分析（数据图表）、几何综合（菱形折叠）|设计“大蘑菇”高度测量项目，融合太阳高度角与解直角三角形；以百度迁徙数据考查统计图表分析|

甘肃省兰州市押题卷-2026年甘肃省兰州市初中学业水平考试数学押题卷 一．选择题（共11小题） 1．下列各数中，相反数为﹣2026的是（　　） A．2026 B．﹣2026 C． D． 2．将代数式x2+16x+64进行因式分解，结果是（　　） A．（x﹣8）2 B．（x+16）2 C．（x+4）2 D．（x+8）2 3．如图，直线MN与PQ交于点O，OH⊥PQ．若∠1＝130°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 4．铁路道口的栏杆如图所示，AB＝1.5m，BC＝6m．要使栏杆右端从栏杆水平位置上升的垂直距离CE为4m，则栏杆左端应下降的垂直距离AD为（　　） A．2m B．1.5m C．1m D．0.5m 5．若一个正多边形的每一个内角都是150°，则该正多边形的内角和的度数是（　　） A．1500° B．1800° C．1980° D．2160° 6．下列方程中有两个不相等的实数根的是（　　） A．2x2+1＝0 B．4x2+1＝﹣4x C．x2+6＝3x D．7x2﹣4x﹣1＝0 7．如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A．第30天的销售量为150件 B．第10天销售一件产品的利润是15元 C．第13天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润 8．体育老师对一班和二班学生参加体育兴趣小组的情况进行了统计（每人只能参加一个兴趣小组），并得到了如图所示的统计图，则下列说法一定正确的是（　　） A．一班和二班参加乒乓球兴趣小组的人数一样多 B．二班参加足球兴趣小组的人数占二班总人数的35% C．一班参加羽毛球兴趣小组的人数比二班参加羽毛球兴趣小组的人数多 D．二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数一样多 9．《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱 不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组（　　） A． B． C． D． 10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（　　） A．2 B．6﹣3 C．2 D．66 11．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别为AB，BC上的点，DE，AF交于点G，AE＝BF＝x．若四边形CDGF与△AEG的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2与x的函数关系为（　　） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 二．填空题（共4小题） 12．因式分解：a2（x﹣y）+9（y﹣x）＝　 　 ． 13．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小马同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀，先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票，则小马同学两次都没有抽中C（秋分）邮票的概率为　 　 ． 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线分别与AB、BC交于点D、E，连接AE，若AC＝12，S△AEC＝30，则BC的长为　 　 ． 15．如图，在扇形AOB中，已知∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，正方形OECD的顶点D、C、E分别在OA、、OB上，把正方形OECD的沿直线OB向右平移，得到正方形GNMF，其中点D的对应点F恰好与C重合，如图所示，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 三．解答题（共11小题） 16．计算：． 17．解方程：． 18．解不等式组，并写出它的所有整数解． 19．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数y＝kx﹣2的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与反比例函数的图象交于点B（﹣2，a），射线BO与反比例函数的图象交于点C，连接AC． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）求△ABC的面积． 20．项目式学习：某数学实践小组观测太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）与物体影长的关系，并借助相关知识探究合肥骆岗公园“大蘑菇”的高度．下面是小组成员进行交流展示时的部分资料及实践结果，请同学们分析成果展示并完成任务： 项目主题：测量骆岗公园“大蘑菇”建筑的高度 项目素材 合肥市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角α参照表： 时刻 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 太阳高度角α（度） 77.5 70.2 59.8 47 35 22 参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70 示意图 项目成果 “自律”小组 “自强”小组 下午16：00时，在观测点C处测“大蘑菇”AB的影子BC．但因为“大蘑菇”AB周围有一圈栅栏，所以无法直接测量影子BC的长度． 下午16：00时，从C向“大蘑菇”AB方向前进27米到达点D，在点D处用高1米的测角仪测得塔顶A的仰角为45°． 项目任务 请你求出“大蘑菇”AB的高度（注意：计算结果保留整数）． 项目任务：请你求出“大蘑菇”AB的高度（注意：计算结果保留整数）． 21．“百度迁徙”是由百度提供的一个在线数据平台，旨在通过大数据分析展现用户人口迁徙、旅行、交通出行等相关活动趋势． 下面是通过“百度迁徙”查到的相关数据和统计图表．两个统计表分别反映9月29日进入青岛（入青）和离开青岛（离青）的人数分布情况，折线图统计图反映2023年部分时间入青规模指数的变化情况，数据显示9月29日从北京入青的人数约为11200人．（注：入青规模指数） 表1：9月29日入青人数分布情况 入青来源地 入青人数占比 排名 潍坊市 15.00% 1 烟台市 14.96% 2 济南市 11.58% 3 北京市 5.60% 4 威海市 4.82% 5 … … … 表2：9月29日离青人数分布情况 离青目的地 离青人数占比 排名 潍坊市 14.14% 1 烟台市 11.73% 2 临沂市 11.44% 3 日照市 7.07% 4 菏泽市 5.69% 5 … … … 根据以上信息回答下面的问题： （1）求出9月29日入青规模指数，并补全折线统计图； （2）根据表1的数据绘制扇形统计图，“潍坊入青”对应的扇形圆心角度数为 　 　 °； （3）下列说法正确的是 　 　 ．（填序号） ①如果要表示各地入青具体人数的多少，可以选用条形统计图； ②从折线统计图可以看出，9月29日﹣10月6日相比其他时间有较大波动，主要因为假期出行的人增多； ③9月29日，从烟台入青的人数要比离青到烟台的人数多； ④9月29日，在青岛胶东机场随机调查1000名入青旅客，来自济南的约有116人． 22．某学习小组的研究性学习报告的部分内容如下，请认真阅读，完成相应问题． 主题 设计几何图形复刻仪的研究报告 设计思路 几何图形复刻仪是由共端点的两根伸缩杆（OP，OP′）和两支笔（点P，P′）构成．在复刻过程中，伸缩杆始终保持相同长度（OP＝OP′），通过调整夹角（∠POP′）的大小来控制复刻后图形的位置． 具体实例 如图1，小明利用复刻仪复刻等边三角形ABC的过程如下：使复刻仪的定点O与顶点A重合，调整∠POP′＝∠BAC，笔（点P）从A→B→C→A运动时，另一支笔（点P′）随之运动，从而将等边三角形ABC复刻到△ACD的位置．小明在复刻过程中发现，当点P从B→C运动时，总有△ACP′与△ABP全等． 根据以上信息，解决下列问题： （1）如图1，小明利用几何知识证明△ACP′≌△ABP的过程如下： ∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB． ∵∠PAP'＝∠BAC， ∴∠PAP'﹣∠PAC＝∠BAC﹣∠PAC． ∴∠CAP'＝_____①． 由设计思路可知，AP'＝_____②． ∴△ACP′≌△ABP．（_____③） 请写出①②③处空缺的内容：①　 　 ，②　 　 ，③　 　 ； （2）如图2，小明将复刻仪的定点O与顶点A重合，调整夹角∠POP'＝∠BAC，可对△ABC进行复刻．他进一步思考发现，利用尺规作图的相关知识也能得到相同的复刻结果，请你用无刻度的直尺和圆规将图中的点P复刻至AB上方的点P′处．（不写作法，保留作图痕迹） 23．某校生物老师组织学生开展“土壤的酸碱度对植物生长的影响”实验探究．学生分别向六个培养盆装入不同酸碱度（pH值）的土壤，在其他条件均相同的情况下，在每个培养盆中种植8株蒜苗．一段时间后测量蒜苗的高度（单位：cm），并对所得的相关数据进行整理、描述、分析．下面给出了部分信息： a．不同酸碱度（pH值）的土壤中蒜苗高度的平均数和中位数的条形统计图（不完整）如下： b．酸碱度（pH值）为6和6.3的土壤中蒜苗高度的数据如表： 土壤的酸碱度（pH值） 蒜苗高度/cm 平均数/cm 中位数/cm 6 13.6 12.8 14 12.8 12.9 12.7 13.3 13.5 13.2 n 6.3 12.8 11.9 11.7 12.5 11.3 13.3 12.3 12.6 m 12.4 c．不同酸碱度（pH值）的土壤中蒜苗高度的方差如表： pH值 5 6 6.3 6.8 8 10 方差 0.381 0.195 0.3625 0.364 0.425 0.4332 根据以上信息，回答下列问题： （1）请直接写出m，n的值，并补全条形统计图． （2）根据以上实验数据，该校计划在酸碱度（pH值）为6的试验田中种植120株蒜苗（其他条件与培养盆的条件相同），经过相同时间后测量蒜苗的高度，请估计这块试验田中高度不低于13cm的蒜苗有多少株． （3）请你从以上实验数据的平均数、中位数、方差这三个统计量中选择两个分析土壤的酸碱度（pH值）对蒜苗生长高度的影响． 24．如图，⊙O的直径AB＝13cm，C为⊙O上的一点，已知CD⊥AB，垂足为D，并且CD＝6cm，AD＜DB，BC平分∠ABE，CE⊥BE，垂足为E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）求AD的长． 25．已知，▱AOBC的一边OB在平面直角坐标系的x轴上，点B（8，0）． （1）如图1，点，求OA的长； （2）如图2，当OA在y轴上时，AB的中垂线EF分别交AC，AB，OB于点E，D，F． ①求证：四边形AFBE是菱形； ②若点A（0，4），动点P，Q分别从点A，B以1，0.8的速度同时出发匀速运动，动点P自A→F→O→A停止，Q自B→C→E→B停止．请问是否存在▱APBQ，若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26．综合与实践 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于平面内一点M和另一点P，在图形G上存在点Q．使得PM•QM＝k（k为常数，k＞0）且PM⊥QM于点M，则称点P为图形G关于点M的“k定积垂旋点”，点M称为垂旋中心． 【感知定义】（1）如图1，已知图形G1：线段AB，A（2，2），B（4，2），若点P为图形G1关于点M的“3定积垂旋点”，其中M（1，2）为垂旋中心，请写出一个满足要求的点P坐标　 　 ； 【类比研究】（2）如图2，已知图形G2：半径为的⊙O，若直线y＝﹣x+b上存在点P为图形G2关于点O的“4定积垂旋点”，其中O（0，0）为垂旋中心，求b的取值范围； 【应用迁移】（3）如图3，M（﹣2，0）为垂旋中心，点P（0，t）为图形G3关于点M的“6定积垂旋点”，点Q是图形G3上的一点，请解决以下问题； ①求OQ的最大值； ②请直接写出OQ取得最大值时t的值． 甘肃省兰州市押题卷-2026年甘肃省兰州市初中学业水平考试数学押题卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共11小题） 1．【解答】解：∵﹣（﹣2026）＝2026， ∴相反数为﹣2026的数是2026． 故选：A． 2．【解答】解：x2+16x+64 ＝x2+2×1×8x+82 ＝（x+8）2． 故选：D． 3．【解答】解：由条件可知∠PON＝50°． ∵OH⊥PQ， ∴∠POH＝90°． ∵∠POH＝∠2+∠PON， ∴∠2＝40°． 故选：B． 4．【解答】解：∵AD∥CE， ∴△BAD∽△BCE， ∴AD：CE＝BA：BC，即AD：4＝1.5：6， 解得AD＝1（米）． ∴栏杆A端应下降的垂直距离（AD）为1米． 故选：C． 5．【解答】解：180°﹣150°＝30°， 360°÷30°＝12， ∴该正多边形的内角和的度数为180×（12﹣2）＝1800°． 故选：B． 6．【解答】解：根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根逐项分析判断如下： A、方程为2x2+1＝0，则a＝2，b＝0，c＝1，故Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×2×1＝﹣8＜0，方程无实数根，不符合题意； B、整理方程得4x2+4x+1＝0，则a＝4，b＝4，c＝1，故Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×4×1＝0，方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、整理方程得x2﹣3x+6＝0，则a＝1，b＝﹣3，c＝6，故Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×6×1＝﹣15＜0，方程无实数根，不符合题意； D、方程为7x2﹣4x﹣1＝0，则a＝7，b＝﹣4，c＝﹣1，故Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×7×（﹣1）＝44＞0，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 故选：D． 7．【解答】解：A、根据图①可得第30天的销售量为150件， 故此选项正确，不符合题意； B、设当0≤t≤20时，解析式为w＝kt+b，由条件可得：， 解得：， ∴w＝﹣t+25， 当t＝10时，w＝﹣10+25＝15， 故此选项正确，不符合题意； C、当0≤t≤25时，设解析式y＝k1t+b1，由条件可得：， 解得：， ∴y＝4t+100， 当t＝13时，日销售利润＝wy＝（﹣13+25）×（4×13+100）＝1824（元）； 当t＝30时，日销售利润＝5×150＝750（元）， ∴第13天和第30天销售利润不相等， 故此选项错误，符合题意； D、当t＝18时，日销售利润＝wy＝（﹣18+25）（4×18+100）＝1204（元）， 当t＝25时，日销售利润＝5×200＝1000（元）． ∴第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润， 故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 8．【解答】解：A．因为两个班总人数不知道，所以一班和二班参加乒乓球兴趣小组的人数不一定相等，故不符合题意； B．二班参加足球兴趣小组的人数占二班总人数的1﹣（40%+30%）＝30%，故不符合题意； C．因为两个班的总人数不知道，所以一班参加羽毛球兴趣小组的人数与二班参加羽毛球兴趣小组的人数无法比较大小，故不符合题意； D．二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数占总人数的百分比均为30%，所以二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数一样多，故符合题意； 故选：D． 9．【解答】解：根据题意可得：． 故选：B． 10．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝6， ∴AB＝BC＝6， 根据折叠的性质得，AE⊥BF，BE＝EF， ∵∠B＝45°， ∴∠BAE＝90°﹣45°＝∠B， ∴AE＝BEAB＝3， ∴BF＝2BE＝6， ∴CF＝BF﹣BC＝66， 故选：D． 11．【解答】解：如图，连接DF， ∵AB＝3，AE＝BF＝x， ∴BC＝CD＝3，FC＝3﹣x， 设△ADG的面积为m， ∴S1＝S△ADF﹣S△ADG+S△CDF3×3﹣m3（3﹣x）＝4.5﹣m+4.5x＝9﹣mx， S2＝S△ADE﹣S△ADG3×x﹣mx﹣m， ∴S1﹣S2＝9﹣mxx+m＝﹣3x+9， ∴S1﹣S2与x的函数关系为一次函数关系． 故选：B． 二．填空题（共4小题） 12．【解答】解：由题意先整理再提公因式（x﹣y），最后结合平方差公式因式分解得， 原式＝a2（x﹣y）﹣9（x﹣y） ＝（a2﹣9）（x﹣y） ＝（a+3）（a﹣3）（x﹣y）． 故答案为：（a+3）（a﹣3）（x﹣y）． 13．【解答】解：根据题意画树状图如下： 由树状图可得，共有16种等可能性，其中小马同学两次都没有抽中C（秋分）邮票的可能性有9种． ∴小马同学两次都没有抽中C（秋分）邮票的概率为． 故答案为：． 14．【解答】解：∵在△AEC中，∠C＝90°， ∴， ∵AC＝12，S△AEC＝30， ∴CE＝30×2÷12＝5， ∴13， ∵DE垂直平分AB， ∴BE＝AE＝13， ∴BC＝BE+CE＝13+5＝18， 故答案为：18． 15．【解答】解：连接OC，如图， ∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2， ∴OC＝OA＝2， ∵正方形OECD的沿直线OB向右平移，得到正方形GNMF，其中点D的对应点F恰好与C重合， ∴OG＝CG，∠AOB＝90°， ∴OC2＝OG2+CG2＝2CG2，∠BOC＝45°， ∴， ∴正方形的面积为：CG×GN＝2，， ∵， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：3． 三．解答题（共11小题） 16．【解答】解：原式＝15+22 ＝1+2+52 ＝82 ＝8． 17．【解答】解：去分母得：x2＝x（x﹣1）+3（x﹣1）， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 18．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣2， 解不等式②，得x＜4， 综上，﹣2＜x＜4， ∴所有整数解解为﹣1，0，1，2，3． 19．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx﹣2的图象与x轴交于点A（﹣1，0）， ∴0＝﹣k﹣2， 解得：k＝﹣2， ∴该一次函数的表达式为：y＝﹣2x﹣2， ∴一次函数y＝﹣2x﹣2的图象与反比例函数的图象交于点B（﹣2，a）， ∴， 解得：， ∴该反比例函数的表达式为：，点B的坐标为（﹣2，2）， ∴一次函数的表达式为y＝﹣2x﹣2，反比例函数的表达式为； （2）∵点B的坐标为（﹣2，2），点A的坐标为（﹣1，0）， ∴根据函数的图象得：不等式的解集为：﹣2＜x＜0； （3）过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示： ∵点A的坐标（﹣1，0），点B的坐标为（﹣2，2）， ∴OA＝1，BE＝2， ∴S△OABOA×BE1， 设直线OB的表达式为：y＝tx， ∴﹣2t＝2， 解得：t＝﹣1， ∴直线OB的表示为：y＝﹣x， 解方程组：，得：，， ∴点C的坐标为（2，﹣2）， ∴CF＝2， ∴S△OACOA×CF1， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OAC＝2， 即△ABC的面积为2． 20．【解答】解：由题意可知，AB⊥BC，∠AEG＝45°，∠ACB＝35°，CD＝27米，DE＝1米， 延长EF交AB于G，则四边形BDEG为矩形， ∴DE＝BG＝1，BD＝GE， ∴BD＝GE＝AG， 设BD＝GE＝AG＝x米，则AB＝AG+BG＝x+1，BC＝BD+CD＝（x+27）米， ∴， ∴， 解得：x≈60， 经检验：x≈60是原方程的根， ∴AB＝x+1＝61米， 答：“大蘑菇”AB的高度约为61米． 21．【解答】解：（1）∵9月29日从北京入青的人数约为11200人， 又∵由表1可知：北京市入青人数占比为5.60%， ∴9月29日总入青人数为：11200÷5.60%＝200000（人）， 9月29日入青规模指数6.48； 补全折线统计图如图所示： （2）由表1可知：潍坊市入青人数占比15.00%∴潍坊市入青对应的扇形圆心角度数为：15.00%×360°＝54°； ∵烟台市入青人数占比14.96%， ∴烟台市入青对应的扇形圆心角度数为：14.96%×360°≈53.9°； ∵济南市入青人数占比11.58%， ∴济南市入青对应的扇形圆心角度数为：11.58%×360°≈41.7°； ∵北京市入青人数占比5.60%， ∴北京市入青对应的扇形圆心角度数为：5.60%×360°≈20.2°； ∵威海市入青人数占比4.82%， ∴威海市入青对应的扇形圆心角度数为：4.82%×360°≈17.4°； 根据表1的数据绘制扇形统计图，如图所示： “潍坊入青”对应的扇形圆心角度数为54°； 故答案为：54． （3）①如果要表示各地入青具体人数的多少，可以选用条形统计图， 故①正确； ②从折线统计图可以看出，9月29日﹣10月6日相比其他时间有较大波动，主要因为假期出行的人增多； 故②正确； ③根据表1表2无法比较从烟台入青的人数和离青到烟台的人数， 故③不正确； ④∵来青岛的方式还有公路运输铁路运输全部加起来从济南来的占10.58%， ∴在青岛胶东机场随机调查1000名入青旅客不能全部代表来青岛的人员， 故④不正确． 综上所述：正确的说法是①②． 故答案为：①②． 22．【解答】解：（1）如图1，小明利用几何知识证明△ACP′≌△ABP的过程如下： ∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB． ∵∠PAP'＝∠BAC， ∴∠PAP'﹣∠PAC＝∠BAC﹣∠PAC． ∴∠CAP'＝∠BAP①． 由设计思路可知，AP'＝AP②． ∴△ACP′≌△ABP．（SAS③） 故答案为：∠BAP，AP，SAS； （2）如图2，∠POP'即为所求． 23．【解答】解：（1）由题意得，m＝（12.8+11.9+11.7+12.5+11.3+13.3+12.3+12.6）÷8＝12.3； 将pH值为6的8个数据排列为：12.7，12.8，12.8，12.9，13.3，13.5，13.6，14 ∴中位数n13.1， 补全条形统计图如下： （2）根据以上实验数据，该校计划在酸碱度（pH值）为6的试验田中种植120株蒜苗（其他条件与培养盆的条件相同），经过相同时间后测量蒜苗的高度，则： 根据实验数据可得，当酸碱度（pH值）为6时，蒜苗高度不低于13cm的占比为， ∴（株） 答：这块试验田中高度不低于13cm的蒜苗有60株； （3）①从平均数角度分析：土壤的酸碱度（pH值）为6时，蒜苗生长高度的平均数最高，说明该酸碱度下蒜苗的整体生长水平最优；当pH值偏离6（无论升高或降低），平均数均呈下降趋势； ②从中位数角度分析：土壤的酸碱度（pH值）为6时，蒜苗生长高度的中位数最高，与平均数趋势一致，进一步验证该酸碱度下蒜苗的中等生长高度也最优； ③从方差角度分析：土壤的酸碱度（pH值）为6时方差最小，说明该酸碱度下蒜苗个体间的高度差异最小，生长状态最稳定；土壤的酸碱度（pH值）为10时方差最大，说明该酸碱度下蒜苗个体生长差异最大，生长状态最不稳定． 24．【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵BC平分∠ABE， ∴∠OBC＝∠CBE， ∴∠OCB＝∠CBE， ∴OC∥BE， ∵BE⊥CE， ∴OC⊥CE， ∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：如图，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠A＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝CDB＝90°， ∵∠A+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝∠ABC， ∴△ACD∽△CBD， ∴， 即CD2＝AD•BD， ∵CD＝6cm，AB＝13cm＝AD＝BD， ∴62＝AD•（13﹣AD）， 解得AD＝4或AD＝9， 当AD＝4时，BD＝13﹣4＝9， 当AD＝9时，BD＝13﹣9＝4， ∵AD＜BD， ∴AD＝4． 25．【解答】（1）解：∵点A（2，2）， ∴OA4； （2）①证明：∵四边形AOBC是平行四边形， ∴AC∥BO， ∵EF是AB的中垂线， ∴AD＝BD， ∵AC∥OB， ∴∠AEF＝∠EFB，∠EAB＝∠FBA， ∴△ADE≌△BDF（AAS）， ∴AE＝BF， 又∵BO∥AC， ∴四边形AFBE是平行四边形， ∵AD⊥EF， ∴四边形AFBE是菱形； ②解：∵EF是AB的中垂线， ∴AE＝BE， ∴平行四边形AFBE是菱形， ∴AF＝BF＝AE＝BE， ∵点A（0，4），点B（8，0）， ∴OA＝4＝CD，OB＝8＝AC， ∵AF2＝AO2+OF2， ∴BF2＝16+（8﹣BF）2， ∴BF＝5， ∴AF＝BF＝AE＝BE＝5， ∴OF＝CE＝3， 当点P在OF上时，点Q在CE上时，四边形APBQ为平行四边形， ∴BP＝AQ， 设运动时间为t秒， ∴5+t﹣5＝8﹣（0.8t﹣4）， ∴t， ∴BP＝AQ， ∴OP， ∴点P（，0），点Q（，4）． 26．【解答】解：（1）当点Q与点A重合时，由题意得，AM＝1， ∵点P为图形G1关于点M的“3定积垂旋点”，M（1，2）为垂旋中心， ∴∠PMA＝90°，PM•AM＝3， ∴PM＝3， ∴P（1，5）（答案不唯一）； 故答案为：（1，5）（答案不唯一）； （2）解：如图2，在图形G2上任取一点记为点Q， 由题意得，， ∵点P为图形G2关于点O的“4定积垂旋点”，O（0，0）为垂旋中心， ∴PO•QO＝4， ∴， ∴满足“4定积垂旋点”的点P一定在以O为圆心，为半径的圆上． ∵直线y＝﹣x+b上存在点P， ∴直线y＝﹣x+b与以O为圆心，为半径的圆存在公共点， ∵点P为图形G2关于点O的“4定积垂旋点”当直线y1＝﹣x+b1与该圆相切于点P时， ∵OP⊥直线y1＝﹣x+b1， ∴∠NPO＝90°． 由题意得：∠PNO＝45°， ∴， ∴， ∴b1＝4； 同理当直线y2＝﹣x+b2.与该圆相切于点P'时，N′O＝4，b2＝﹣4， 综上所述，﹣4≤b≤4； （3）①情况一：当图形G3在x轴上方时，如图3所示，过点M作MN⊥x轴，过点Q作QN∥PM，交MN于点N，连接PN，PQ， ∵点P（0，t）为图形G3关于点M的“6定积垂旋点”，M（﹣2，0）为垂旋中心， ∴PM•QM＝6，∠PMQ＝90°， ∴S△NMP＝S△QMP＝3， ∴， ∴， ∴NM＝3． ∵QN∥PM， ∴∠NQM＝∠PMQ＝90°， ∴图形G3是以MN为直径的⊙G（点M除外），取MN的中点G，连接GQ，GO， ∵OQ≤GQ+GO（三角形两边之和大于第三边）， ∴当点Q在OG的延长线上时OQ最大，如图4所示， ∵NM＝3， ∴， ∴． ∴； 情况二：当图形G3在x轴下方时，如图5所示．过点M作MN′⊥x轴，过点Q'作QN′∥P′M，交MN'于点N′，连接P'N'，P'Q'． 同理，图形G3是以MN′为直径的⊙G′（点M除外），取MN'的中点G'，连接G'Q'，G'O，当点Q'在OG'的延长线上时OQ'最大（如图5所示）． 同理可得，， 综上所述，OQ的最大值为4； ②情况一：当图形G3在x轴上方时，过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH∥MN， ∴△GOM∽△QOH， ∴， 即， 解得：OH＝3.2，QH＝2.4， ∴HM＝1.2， ∵∠PMQ＝90°， ∴∠OMP+∠QMH＝90°＝∠OMP+∠MPO， ∴∠QMH＝∠MPO， ∵∠POM＝∠QHM＝90°， ∴△POM∽△MHQ， ∴，即， ∴OP＝1，即t＝1； 当图形G3在x轴下方时，过点Q作QK⊥x轴于点K，则QK∥MN′， 同理解得：MK＝1.2，QK＝2.4， ∵∠PMQ＝90°， ∴∠OMP+∠QMK＝90°＝∠OMP+∠MPO， ∴∠QMK＝∠MPO， ∵∠POM＝∠QKM＝90°， ∴△POM∽△MKQ， ∴， 即， ∴OP＝1，即t＝﹣1； 综上所述，t＝﹣1或1． 声明：试题解析著作权属所有，未 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $