湖南省郴州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 高一下期末数学试卷，涵盖向量、复数、概率、立体几何等知识，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，通过垃圾分类情境、可聚向量新定义等设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合关系、充分必要条件、向量投影|基础概念辨析，如第2题结合不等式考查充要条件| |多选|3/18|三角恒等变换、复数运算|多角度考查，如第10题验证复数运算结果的实数性| |填空|3/15|解三角形、随机数法、三棱锥外接球|空间几何与统计结合，第14题需展开表面求最短距离| |解答|5/77|解三角形、频率分布直方图、立体几何翻折、可聚向量变换|分层设计，第16题以垃圾分类竞赛为情境考查数据处理，第19题新定义“可聚向量”，体现创新意识与数学抽象|

湖南省郴州市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B B B B B AC AC 题号 11 答案 AD 1．B 【分析】根据常用数集的概念进行判断即可. 【详解】对于①，是有理数，但不是整数，故①错误； 对于②，是无理数，不是有理数，故②正确； 对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误； 对于④，是无理数，也是实数，故④正确； 故正确的个数为2. 故选：B. 2．A 【分析】根据充分条件与必要条件的定义，分别验证充分性和必要性即可. 【详解】当时，，故充分性成立； 而当时也满足，所以必要性不成立. 故选：A. 3．B 【详解】取的中点D，则，， 所以， 因为，所以. 4．B 【分析】由题意可得，反证法可证明，可得不重合，利用反证法证明不共线判断A；设，计算可得对应三角形三边之比为，利用余弦定理计算可判断BCD. 【详解】由， 得， 所以， 若，则可得， 进而可得， 所以，又因为，所以， 所以，所以，所以， 这与不全相等的三个复数 ，故，同理可得，， 所以三点不重合， 若共线，则， 则可得， 所以， 因为，所以，所以可得， 这与三点不重合矛盾，所以三点不共线， 所以三点一定可构成三角形，故A错误. 设， 则，所以， 所以， 所以， 所以， 同理可得， 即三角形的三边之比为， 所以，所以为锐角， 同理为锐角，故B正确，CD错误. 5．B 【分析】先根据向量垂直求得，再根据投影向量公式求解即可. 【详解】由，又， 所以，解得， 所以， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为， 6．B 【分析】设，借助投影向量定义计算可得，，解出即可得，再利用模长定义计算即可得. 【详解】设，由向量在上的投影向量的坐标为， 则， 故，即； 由在上的投影向量的坐标为， 则， 故，即； 即有，解得，则， 则. 7．B 【分析】根据两角差的余弦公式，结合同角三角函数关系式进行求解即可. 【详解】因为都是锐角， 所以，又因为， 所以， ， 因此 ， 因为是锐角， 所以. 故选：B 8．B 【分析】根据对立事件的定义，可判定A错误；根据古典摡型的概率计算公式，可判定B正确；利用古典摡型的概率计算公式，结合，可判定C错误；结合，可判定D错误. 【详解】对于A中，当时，，，事件与同时发生， 所以事件与不对立，所以A错误； 对于B中，因为，当时，要使得为偶数，有6种情况； 当时，要使得为偶数，则，有3种情况； 当时，要使得为偶数，有6种情况， 又由抛掷两枚骰子，共有种情形，所以，所以B正确； 对于C中，事件有：，共有5种情形，概率为， 事件“”，有 ，共有18种情形， 所以概率为，且， 则，所以与不相互独立，所以C错误； 对于D中，事件“为偶数”，事件“为奇数”， 有共9种情形， 所以概率为， 又由，，可得， 所以与不相互独立，所以D错误. 故选：B. 9．AC 【分析】利用三角恒等变换公式，逐个化简求值，即可得出答案. 【详解】对于A中. 对于B中原式. 对于C中. 对于D中. 故选：AC. 【点睛】本题考查三角恒等变换公式，属于容易题. 10．AC 【分析】由共轭复数的概念，由复数代数形式的加法、减法运算可判断AB，乘除运算可判断CD.. 【详解】设，所以而不一定为实数，故 A正确，B错误； 而而不一定为实数．C正确，D错误. 11．AD 【分析】连接，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出判断A；利用数量积的定义、余弦定理、三角形面积公式求解判断BCD. 【详解】在圆内接四边形中，连接，，，    对于A，由余弦定理得，， 即，解得，而，则，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，解得，C错误； 对于D，四边形的面积，D正确. 故选：AD 12． 【分析】由余弦定理可得，可求得A；由正弦定理及三角形面积公式可得，结合C的范围即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以； 由正弦定理得，所以， ∴， 在锐角中，，则， ∴，∴． 故答案为：；． 13．19 【分析】由题目给出的随机数表，按照题目中给出的读取数表的方法读取即可. 【详解】从随机数表第7行第3列的数开始，按两位数连续向右读取， 抽出的前5名同学的号码是，所以第5名同学的号码是19. 故答案为：19. 14． 【分析】先展开平面图，根据最短距离，利用余弦定理求得，然后将该棱锥补成一个长方体求得其外接球的半径，进而代入球的表面积公式求解即可. 【详解】三棱锥的部分平面展开图如图所示：    设，由题意得：，， 在中，由余弦定理得：， 即，即， 解得或（舍去），如图所示：    该棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则外接球的半径为：， 所以该棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和两角和的正弦公式化简即可求出； （2）根据题意列出，化简得，又由余弦定理得即可求出； （3）利用定理得到，再利用为锐角三角形，得到，进而得到的取值范围. 【详解】（1）由有， ，即， ，，又，故． （2）由平方得， 所以，即，所以， 又由余弦定理得，所以， 所以的面积为. （3）由题意得，又， ， 又为锐角三角形，则有，得， 所以，所以，故． 16．(1) (2) (3)人 【详解】（1）解：由频率分布直方图性质，各矩形面积和为，组距为，可得： ，即，解得. （2）解：设中位数为， 因为，而， 所以中位数在内，根据中位数的定义可得：， 解得. 因此，这名学生这次竞赛成绩的中位数为. （3）解：由的频率为：，可得人数为：人， 由的频率为：，可得人数为：人， 所以内总人数为人，可得分层抽样的比为， 因此，这名学生这次竞赛成绩在内被抽到的人数为人. 17．(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由平面ABP可得，进而可证平面，即可得面面垂直； （2）利用等体积法求点到平面的距离，进而可求线面夹角. 【详解】（1）因为平面ABP，平面ABP，可得，， 由题意可知：，且，平面， 可得平面，由平面ABD，所以平面平面ABD. （2）由题意可知：， 设点到平面的距离为， 因为，即，解得， 所以直线AB与平面BPD所成角的正弦值为. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将异面直线所成的角转化为与所成角可得； （2）将五面体分割成一个四棱锥和一个三棱锥，三棱锥通过顶点转换法可得体积，四棱锥再分割成三个体积相等的三棱锥，再将其中的一个小三棱锥用顶点转换法可得其体积，进而可得五面体的体积. （3）过棱的中点作棱的垂面，再过点作底面的垂线，通过二面角的正切值可判断点垂足在等腰梯形上下底的中点的连线上，且为中点，利用等体积法求点面距离，计算线面角可得. 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面， 由线面平行性质得，因此异面直线与所成角等于与所成角. 在等腰梯形中，，，如图： 设两腰相交于，因为，所以分别是的中点， 所以，故是边长为的正三角形，，因此， 又在中，，，所以. 所以直线与所成的角为. （2）设为的中点，连接，如图： 由（1）知是边长为4的等边的一边上的高线，所以， 所以，， 又因为为的中点，所以. 由（1）知，且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以 所以，且到平面的距离为. 所以， 而， 所以五面体的体积. （3）过点作平面，垂足为，所以，连接，如图： 因为，为的中点，所以. 又因为平面，平面，所以 因为，，平面， 所以平面，平面，故. 所以就是二面角的平面角，故， 在直角三角形中，，， 得. 所以点在等腰梯形上下底的中点的连线上，且为中点， 所以, 设C到平面ADE的距离为h， 由，即． ,, ∴与平面所成角的正弦值为． 19．(1)或或； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）直接根据定义写出结论； （2）根据定义结合变换中维数的变化规律证明； （3）证明变换过程满足交换律、结合律（与实数加法、乘法的交换律、结合律一样），得出最后的聚数与变换过程中选取的数的顺序无关，从而易得结论． 【详解】（1），，， 所以或或； （2）设，，则，，，，， ，，所以， ，，所以， 即， 所以维可聚向量经过一次变换后得维向量仍然是可聚向量， 这样经过次变换后变成一个数， 所以对于任意一个维可聚向量，变换总可以进行次； （3）定义运算#：，首先证明这个运算满足交换律与结合律： ，即运算“#”满足交换律， 又， ， 所以，即运算“#”满足结合律， 所以维可聚向量经过变换后所得可聚数与实施的具体操作过程无关， 因此可作如下操作： 由（1），易得，，，， 原来向量记作，则，再进行4次变换化为一项， 综上可知，的聚数为． 【点睛】难点点睛：本题是综合性很强的问题，解题时需要认真审题，理解新定义，交利用定义来解题．难点是对变换过程中实施运算引入一个符号：#，，证明此运算满足交换律和结合律，从而得出变换后所得聚数与中间具体操作过程无关，从而可利用其中一种简单的变换得出结果． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省郴州市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知圆O的半径为2，弦，C是圆O上的一个动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知，且不全相等的三个复数满足，记复平面上对应的点分别为 ，则三个点 （    ） A．不能构成三角形 B．可构成锐角三角形 C．可构成直角三角形 D．可构成钝角三角形 5．已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，，向量在上的投影向量的坐标为，在上的投影向量的坐标为，则（   ） A．20 B． C．10 D． 7．已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 8．同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用表示白色骰子的点数，表示红色骰子的点数，设事件“”，事件“为偶数”，事件“”，则下列结论正确的是（   ） A．与对立 B． C．与相互独立 D．与相互独立 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．下列选下选项中，值为的是（    ） A． B． C． D． 10．已知是复数，为的共轭复数，则下列计算结果一定为实数的有（   ） A． B． C． D． 11．如图，在圆的内接四边形中，，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．四边形的面积为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．锐角中，内角A,B,所对的边分别为，，，且，则角A的大小为___________；若，则面积S的取值范围是___________． 13．假设从高一（1）班60名同学中随机抽出30人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将60名同学按01，02，03，…，59，60进行编号，如果从随机数表第7行第3列的数开始，按两位数连续向右读取，抽出的第5名同学的号码是（下面摘取了此随机数表第7行和第8行）_______. 630163 785916 595567 199810 507175 128673 580744 395238 844217 533157 245506 887704 744767 217633 502583 921206 14．如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为______．    四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．在中，角的对边分别是，且，. (1)求角的大小； (2)若边上的中线，求的面积. (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 16．年月日至月日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计这名学生这次竞赛成绩的中位数； (3)在这名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取名学生进行调查，求这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． 17．如图1，在矩形ABCD中，，将沿着BD翻折到的位置，得到三棱锥，且平面ABP，如图2所示. (1)求证：平面平面ABD； (2)求直线AB与平面BPD所成角的正弦值. 18．如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，平面，，，到平面的距离为． (1)求直线与所成的角的大小； (2)求五面体的体积； (3)若二面角的正切值为，求与平面所成角的正弦值． 19．已知为维向量，若，则称为可聚向量．对于可聚向量实施变换：把的某两个坐标删除后，添加作为最后一个坐标，得到一个维新向量，如果为可聚向量，可继续实施变换，得到新向量，……，如此经过次变换后得到的向量记为．特别的，二维可聚向量变换后得到一个实数．若向量经过若干次变换后结果为实数，则称该实数为向量的聚数． (1)设，直接写出的所有可能结果； (2)求证：对于任意一个维可聚向量，变换总可以进行次； (3)设，求的聚数的所有可能结果． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $