4.1 函数 课件 -2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数中的“函数”核心概念，涵盖变量与常量、函数定义、三种表示方法、自变量取值范围等知识点。通过摩天轮高度变化、圆柱形物体堆放等生活实例导入，衔接七年级“变量之间的关系”，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，从摩天轮、热力学温度等实例中抽象函数关系，用数学思维明确函数“唯一对应”判断依据及竖线检验法，以数学语言对比列表、关系式、图象三种表示方法的优缺点。采用精讲+典型例题+高频易错点口诀总结，帮助学生发展抽象能力与推理意识，教师可直接用于复习课提升教学效率。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 4.1 函数 第四章 一次函数 4.1 函数 精讲复习（北师大版八年级上册） 一、变量与常量（基础概念） 1. 定义 变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量。 常量：在某一变化过程中，数值始终不变的量。 2. 关键理解 常量和变量是相对某个变化过程而言的，不是绝对的，场景改变，常量变量可能互换。 示例：路程公式 $$s=vt$$ 速度v固定时：v是常量，s、t是变量； 路程s固定时：s是常量，v、t是变量。 二、函数的定义（本节核心重点） 1. 严格定义 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与之对应，那么就称 y是x的函数。 2. 自变量与因变量 自变量x：主动变化的量（自己变）； 因变量y：随自变量变化而变化的量（被动变）； 核心关系：y由x唯一决定。 3. 函数成立的两大硬性条件（判断依据） ① 有且仅有两个变量； ② x每取一个值，y有且只有一个值对应（一对一、多对一可以，一对多不是函数）。 三、函数的三种表示方法（必考） 1. 列表法 用表格列出自变量x与对应因变量y的值。 优点：直观、查找数据快；缺点：只能反映有限组数据，无法展示整体变化规律。 2. 关系式法（解析式法） 用代数式等式表示两个变量关系，如 $$y=2x+1$$、$$s=60t$$。 优点：准确、可计算任意自变量对应的函数值；缺点：不直观，无法直接看出变化趋势。 3. 图象法 在平面直角坐标系中，用点的集合画出的图形表示函数关系。 优点：直观反映增减变化、趋势、最值；缺点：读数有误差，精度低。 重要结论：三种方式可以互相转化，描述的是同一个函数关系。 四、自变量的取值范围（考试高频） 自变量x不是任意取值，必须保证式子有意义、实际问题合理。 1. 整式型：全体实数 例：$$y=3x-2$$，x可取任意实数。 2. 分式型：分母≠0 例：$$y=\dfrac{1}{x-2}$$，则 $$x eq2$$。 3. 二次根式型：被开方数≥0 例：$$y=\sqrt{x-3}$$，则$$x-3\ge0，x\ge3$$。 4. 实际问题型：符合实际意义 人数、个数、长度、路程等必须大于0、整数、非负。 五、函数值的计算 已知自变量x的值，代入函数关系式计算得到的y值，即为函数值。 示例：已知 $$y=3x-1$$，当 $$x=2$$ 时，$$y=3\times2-1=5$$。 六、函数图像判定方法（选择压轴） 竖线检验法：在图像上任意作垂直于x轴的直线，若直线与图像最多只有一个交点，则是函数图像；若出现两个及以上交点，不是函数图像（一对多，不符合定义）。 七、典型例题 例1 判断是否为函数 关系式 $$y^2=x$$ 是不是函数？ 解：不是。例如x=4时，y=2或y=-2，一个x对应两个y，不满足唯一对应，不是函数。 例2 求自变量取值范围 求 $$y=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-2}$$ 中x的取值范围。 解：需同时满足：$$x-1\ge0$$ 且 $$x-2 eq0$$ 得：$$x\ge1$$ 且 $$x eq2$$。 八、高频易错点 1. 误解函数定义：以为只要两个变量就是函数，忽略唯一对应； 2. 一对多关系判定错误，分不清是否为函数； 3. 求取值范围漏条件：分式漏分母不为0、根式漏被开方数非负； 4. 实际问题忽略取值限制（如人数不能为小数、负数）； 5. 混淆自变量与因变量。 九、本节核心口诀 变化过程两变量，x定y独是函数； 列表图象解析式，三种表达可互换； 分式分母不为零，根式里面非负行； 竖线一交为函数，一对多值不算数。 借助简单实例了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系，发展数感和量感。 通过函数的定义，能判断两个变量是否具有函数关系，形成对数学知识的理解，学会发现问题、提出问题。 掌握函数的定义，能确定函数中自变量的取值范围并解决相关问题 思考：如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离地面的高度是如何变化的？ 由低变高，再由高变低. 探索新知 探索新知 函数的概念 知识点一 右图反映了一个摩天轮上某一点离地面的高度 h(单位：m）与旋转时间 t（单位：min）之间的关系. (1) 根据右图填写下表. t/min 0 1 2 3 4 5 … h/m … 3 13 37 47 37 13 (2) 对于给定的时间 t，相应的高度 h 确定吗？ 确定 1. 圆柱形物体常常像下图那样堆放. 随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 层数 n 1 2 3 4 5 … 物体总数 y … 请填写下表. 1 3 6 10 15 对于给定任意层数 n，相应的物体总数 y 确定吗?有几个 y 值和它对应? 操作·思考 2.一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到 -273.15 ℃，则气体的压强为零. 因此，物理学中把 -273.15 ℃ 作为热力学温度的零度. 热力学温度 T（单位：K）与摄氏温度 t（单位：℃）之间有如下数量关系：T＝t+273.15，T≥0. （1）当 t 分别为 -43 ℃，-27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应的热力学 温度 T 是多少？ （2）给定一个大于 -273.15 ℃的 t 值，你都能求出相应的T 值吗？ （2）给定一个大于 -273.15 ℃的 t 值，你都能求出相应的T 值吗？ 解：当t＝ -43 ℃时，T＝ -43＋273.15＝230.15（K）； 数量关系：T＝t + 273.15，T≥0 当t＝ -27 ℃时，T＝ -27＋273.15＝246.15（K）； 当t＝0 ℃时，T＝0＋273.15＝273.15（K）； 当t＝18 ℃时，T＝18＋273.15＝291.15（K）。 解：能，因为t＞-273.15时，T＞0，满足条件且T是唯一确定。 （1）当 t 分别为 -43 ℃，-27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应的热力学 温度 T 是多少？ 都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值。 上面三个问题都研究了两个变量之间的关系，它们有什么相同点和不同点？与同伴进行交流. 思考·交流 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量. 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 注意！ 函数的概念 表示函数的方式一般有哪些? 思考 ①表格 ②关系式 ③图象 函数的表示方法 知识点二 方式 概念 优点 缺点 表格 把自变量的一系列值和对应另一个变量的值列成表格来表示两个变量之间函数关系的方式 能清晰显示自变量的每一个值和与它对应的另一个变量的值 列出的对应值有限，不能反映出函数变化的全貌 关系式 用含自变量的代数式表示函数的方式 能准确地反映整个变化过程中两个变量的对应关系，便于计算 不易直观看出函数的变化趋势，且有些函数关系不能用关系式表示 图象 用图象来表示两个变量之间的函数关系的方式 能直观、形象地反映出函数关系的变化趋势和某些性质 所画的图形是近似的、局部的，因此不够精确 表格、关系式、图象是函数的三种表示方式。 （1）函数的三种表示方式有时可以相互转化。在实际应用中，应根据具体情况，选择适当的表示方式，或者把三种方式结合起来使用。 （2）并不是所有函数都可以用三种方式表示，如某地某天的气温变化与时间的关系就很难用关系式进行表示。 特别提醒 函数自变量的取值范围与函数值 知识点三 上述的三个问题中，自变量能取哪些值? 自变量 t 的取值范围: _________________ t ＞0 尝试·思考 填写下表： 自变量 n 的取值范围:________________ n 取正整数 圆柱形物体常常像下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 层数 n 1 2 3 4 5 … 物体总数 y … 1 3 6 10 15 自变量 t 的取值范围：_________________ t ≥ -273.15 一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到 -273.15 ℃，则气体的压强为零.因此，物理学中把 -273.15 ℃ 作为热力学温度的零度.热力学温度 T（单位：K）与摄氏温度 t（单位：℃）之间有如下数量关系：T＝t+273.15，T≥0. 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a 时的函数值. 函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值. 注意！ 函数值： 即：如果y是x的函数， 当x=a时，y=b， 那么b称为当x=a时的函数值. 类型 特点 自变量的取值范围 举例 整式型 等式右边是关于自变量的整式 全体实数 分母型 等式右边的自变量在分母的位置上 使分母不为0的实数 根式型 等式右边是开平方的式子 使被开方数不小于0的实数 零次幂、负整数次幂型 等式右边是关于自变量的零次幂或负整数次幂 使底数不为0的实数 复合型 含有上述两种或多种形式 使各部分都有意义的实数的公共部分 常见函数自变量取值范围的确定： 1. 下列图象中，表示y是x的函数的是(　B　) B 2. 若一支铅笔 2 元，小敏用 11 元钱买了x支铅笔，余款为 y 元，则 y 与 x 之间的关系式为(　C　) A. y＝2x B. y＝2x＋11 C. y＝11－2x D. y＝11x－2 C 随堂练习 3. 函数y＝3－ 中，自变量x可取的值是(　A) A. 5 B. 3 C. 0 D. －5 A 4. 在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程 中，水的温度(T)随加热时间(t)变化的函数图象大致 是(　B　) B 随堂练习 6. 观察下表，y与x的关系式为 ⁠. 5. 已知变量s与t的函数关系式是s＝3t＋2t2，则当 t＝－1时，函数值s＝ ⁠. x 1 2 3 4 5 … y 2 4 6 8 10 … －1　 y＝2x　 随堂练习 下图是某物体的抛射曲线图，其中 s 表示物体与抛射点之间的水平距离，h表示物体的高度。 1. （1）这个图象反映了哪两个变 量之间的关系? 解：反映了物体与抛射点之间的水平距离和物体的高度之间的关系。 【教材P77 习题4.1 第1题】 知识技能 考试考法 （2）根据图象填写下表。 s/m 0 1 2 3 4 5 6 h/m （3）当水平距离 s 取 0 至 6 m之间一个确定的值时，相应的高度 h 确定吗? （4）高度 h 可以看成水平距离 s 的函数吗? 2 2.5 2.67 2.5 2 1.17 0 确定。 高度 h 可以看成水平距离 s 的函数。 考试考法 据研究，每人每天的食盐摄入量以不超过 6 g为宜。为控制食盐摄入量，某市向每个家庭发放一个小盐勺（容量 2 g )。设家庭人口数为 x，家庭每天所应摄入盐的勺数的最大值为 y。 2. 解:（1）当x=3时，y＝9。 （2）y＝3x（x为非负整数）。 【教材P78 习题4.1 第2题】 （1）当 x＝3 时，y 的值是多少? （2）写出 y 与 x 之间的关系式和 x 的取值范围。 考试考法 观察生活，寻找一个变化过程，说明其中的函数关系，并指出自变量的取值范围。 3. 数学理解 【教材P78 习题4.1 第3题】 解：生活中的函数关系存在很广，如：当路程一定时，时间与速度的关系是函数关系；圆的面积随半径的变化而变化也是函数关系等。 考试考法 解:能，可将反应距离看成反应时间的函数。 七年级下册“变量之间的关系”一章中有如下三个问题，能否将其中变量之间的关系看成函数： 4. 【教材P78 习题4.1 第4题】 （1）反应时间与反应距离之间的关系； 联系拓广 考试考法 能，可将 y 看成 x 的函数。 能，可将水深看成时间的函数。 （2）三角形一边上的高一定时，三角形面积 y 与该边的长度 x 之间的关系； （3）由某港口某天从 0:00 到 12:00 的水深变化曲线所确定的水深与时间之间的关系。 考试考法 函数 概念 表示方式 自变量的取值范围 函数值 ①表格 ②关系式 ③图象 课堂小结 课堂小结 $