精品解析：2026年山东省菏泽市牡丹区九年级数学中考二模试题

九年级阶段性学业水平考试检测（二） 数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 新春佳节，班级文化长廊布置喜庆国风装饰，整齐悬挂着四个样式相同、寓意吉祥团圆的中国结，既装点教室又传承传统民俗文化．四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬挂点，，，的坐标分别是，，，．为让排布规整对称、尽显中式对称美学，下列平移中，能使四个“中国结”关于轴对称的是（ ） A. 将向右平移个单位 B. 将向右平移个单位 C. 将向右平移个单位 D. 将向右平移个单位 3. 篆刻是中华优秀传统文化的重要载体，印章雕刻是篆刻艺术的基本功．如图是一块用于篆刻印章的材料，其主体为圆柱，上方嵌入一个长方体印钮．请从下列选项中，选出该几何体的俯视图（ ） A. B. C. D. 4. 家乡菏泽产业蓬勃发展，民生建设稳步推进，根据菏泽市统计局2026年5月5日发布的统一核算结果：2026年一季度菏泽市为1178.71亿元，见证着鲁西南大地蒸蒸日上的发展势头．其中数据“1178.71亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 在“整式的乘法”单元复习课上，老师组织了一场“数学小医生”活动，要求同学们扮演“医生”，诊断同桌小明完成的道整式运算题，找出他做对的题目数量．请你作为“主诊医生”，帮小明检查一下，他做对的有（ ） ； ； ； ； ． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣题探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为平方米，从水池边到圆周，每边均相距米．设水池的边长为米，则下列方程能正确表示数量关系的是（ ） A. B. C. D. 7. 校园科技节的手工展上，小明设计了一款抛物线形的趣味投篮架．已知篮球架的轮廓抛物线表达式为：（其中为水平距离，为高度，单位：米）．根据比赛规则，投篮架的顶点（即抛物线最低点）必须落在直线上，才能确保投篮轨迹与得分线完美契合．求满足条件的的值为（ ） A. 1或 B. 2或 C. 1或 D. 2或 8. 如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为的正六边形（象征六艺兼修），内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”．请计算这部分阴影区域的面积为（ ）（结果保留π） A. B. C. D. 9. 为践行“绿色低碳、节能降耗”的校园理念，我校开展“节约一度电”实践活动．已知某型号节能灯泡在恒定总做功（消耗电能）一定的条件下，灯泡的实际功率与发光时间成反比例关系，其函数关系如图所示．当发光时间时，灯泡的实际功率P的值可以为（ ） A. 24 B. 27 C. 45 D. 50 10. 如图，某校园规划中，矩形花坛长米，宽米，园丁计划在花坛边缘安装自动灌溉装置：装置E从A出发沿向B移动，同时装置F从C出发沿向D移动，两者速度均为1米/秒，装置间的连接管l随位置变化而移动．为保证主喷头A的灌溉效果，需在A处向连接管l作垂线（垂足为G），若表示喷头到连接管的距离，则在装置移动过程中，的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，直接填写答案．） 11. 在一次函数中，随的增大而减小，且为正整数，则的值可以是________． 12. 如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 13. 某班开展“互助学习接力”活动，将班级学习小组划分为、、、四个小组，对应如图所示三棱锥的四个顶点，规则为：小球（代表学习任务）在三棱锥的顶点间传递，每传递一次，任务随机传给相邻的小组．若任务初始在组，连续传递两次后，任务回到组的概率为________． 14. 已知（且），，，，，则的值为________． 15. 定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”．如图，在中，，，若为的“妙分线”，则的长为________． 三、解答题：（本大题共8个小题，共75分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （1）计算：； （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 17. 如图，点在直线外． ①在直线上任取一点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点； ③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线； ④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ⑤连接． （1）由②得与的数量关系是__________；由③得到的结论是__________． （2）求证：四边形是菱形． 18. 菏泽是中国牡丹之都，戏曲、武术、书画之乡，近年来文旅产业蓬勃发展．为响应“传承非遗文化，讲好菏泽故事”的号召，某社区青年创业团队计划销售两款菏泽特色文创产品：A款为牡丹主题手绘折扇，B款为面塑工艺钥匙扣．已知用900元购进的A款折扇与用720元购进的B款钥匙扣数量相同，且每件A款折扇的进价比B款钥匙扣多18元． （1）求A、B两款文创产品每件的进价各是多少元？ （2）已知A款折扇每件售价112元，B款钥匙扣每件售价86元．为扩大非遗文化影响力，团队计划再用不超过7550元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，所得利润将全部用于社区非遗体验课的公益活动．请问：怎样进货才能使公益活动的资金（即利润）最大？最大资金是多少元？ 19. 【项目背景】 “一方水土养一方果”．红富士苹果是我国重要的经济果树品种，其果实品质不仅关系着果农的收成，也承载着乡村振兴的希望．某中学开展“科技助农·走进果园”综合实践活动，学生们走进本地甲、乙两处红富士种植园，以苹果果径为核心指标，调查土壤、光照、空气湿度等环境因素对果实生长的影响，为优化种植管理、提升果品质量提供数据参考． 【数据收集与整理】 从两处果园中随机采摘样本红富士苹果，在技术人员指导下测量每个果实的果径（最大横径，单位：cm），并按照果品分级标准进行分组： 从两块红富士苹果园各随机选取相同数量的红富士苹果．在技术人员指导下，测量每个红富士苹果的直径，作为样本数据．红富士苹果的果径用x（单位：cm）表示．将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的统计图，部分信息如下： （注：图1为甲园样本数据扇形统计图，图2为甲园样本数据频数分布直方图，图3为乙园样本数据频数分布直方图） 【数据分析与运用】 （1）请补全图2甲园频数分布直方图；并求出的值． （2）A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为，，，，，计算乙园样本数据的平均数． （3）下列结论一定正确的是________（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． （4）结合市场情况，将C，D两组的红富士苹果认定为一级，B组的红富士苹果认定为二级，其它组的红富士苹果认定为三级，其中一级红富士苹果的品质最优，二级次之，三级最次．试分析两个园的红富士苹果品质差异，并说明理由，为果农提出合理化建议． 20. 如图，点在以为直径的上，过点作的切线，过点作，垂足为，连接、． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 21. 【问题情境】 为打造安全、人性化的校园地下停车空间，某校基建处启动地下车库升级改造工程．在设计入库坡道时，校数学兴趣小组的同学们主动承担了方案优化任务——他们结合《车库建筑设计规范》的安全标准，运用所学解直角三角形的知识，对坡道坡度、净高、缓坡过渡等关键指标进行了严谨测算与优化，既保障了行车安全，也兼顾了空间利用效率，为学校基建工程提供了科学的数学依据． 【方案设计】 入库坡道示意图如下： 【数据收集】 ①直线主坡道的水平距离为，坡度为； ②左，右两段缓坡道为，，水平距离均为； ③和车库地面均与水平方向平行． 【问题提出】 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： （1）求主坡道的铅直高度； （2）根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． （参考数据：当时，，） 22. 已知二次函数． （1）若，且函数图像经过，两点，求此二次函数的解析式； （2）在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值． （3）已知，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证． 23. 课本再现 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段， 构造出 ，进而得到． 类比迁移 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （3）如图3，四边形是边长为3的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段性学业水平考试检测（二） 数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，掌握数轴上点的特点是解题关键．观察数轴即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得，且， ∴数轴上点表示的数可能是， 故选：B． 2. 新春佳节，班级文化长廊布置喜庆国风装饰，整齐悬挂着四个样式相同、寓意吉祥团圆的中国结，既装点教室又传承传统民俗文化．四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬挂点，，，的坐标分别是，，，．为让排布规整对称、尽显中式对称美学，下列平移中，能使四个“中国结”关于轴对称的是（ ） A. 将向右平移个单位 B. 将向右平移个单位 C. 将向右平移个单位 D. 将向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的性质求出平移后的坐标，根据关于轴对称点的坐标特点解答即可． 【详解】解：A．将向右平移个单位可得，能使四个“中国结”关于轴对称，符合题意， B．将向右平移个单位可得，不能使四个“中国结”关于轴对称，不符合题意， C．将向右平移个单位可得，不能使四个“中国结”关于轴对称，不符合题意， D．将向右平移个单位可得，不能使四个“中国结”关于轴对称，不符合题意， 3. 篆刻是中华优秀传统文化的重要载体，印章雕刻是篆刻艺术的基本功．如图是一块用于篆刻印章的材料，其主体为圆柱，上方嵌入一个长方体印钮．请从下列选项中，选出该几何体的俯视图（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图是由上向下观察的图形即可解答． 【详解】根据题意，该几何体的俯视图是一个圆且中间是两条实线，如图： ． 4. 家乡菏泽产业蓬勃发展，民生建设稳步推进，根据菏泽市统计局2026年5月5日发布的统一核算结果：2026年一季度菏泽市为1178.71亿元，见证着鲁西南大地蒸蒸日上的发展势头．其中数据“1178.71亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：数据“1178.71亿”用科学记数法表示为． 5. 在“整式的乘法”单元复习课上，老师组织了一场“数学小医生”活动，要求同学们扮演“医生”，诊断同桌小明完成的道整式运算题，找出他做对的题目数量．请你作为“主诊医生”，帮小明检查一下，他做对的有（ ） ； ； ； ； ． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式乘除相关运算法则，逐一计算每个式子，判断正误，统计小明做对的题目数量即可得到结果． 【详解】，计算正确； ，计算错误； ，计算错误； ，计算错误； ，计算错误． 综上，小明只做对了道题． 6. 为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣题探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为平方米，从水池边到圆周，每边均相距米．设水池的边长为米，则下列方程能正确表示数量关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设水池的边长为米，每边均相距米，则圆的半径为米，可种植绿植的面积为圆的面积减去正方形的面积，根据可种植绿植的面积恰好为平方米即可列出方程． 【详解】解：设水池的边长为米，每边均相距米， 则圆的半径为米， 可种植绿植的面积恰好为平方米， ． 7. 校园科技节的手工展上，小明设计了一款抛物线形的趣味投篮架．已知篮球架的轮廓抛物线表达式为：（其中为水平距离，为高度，单位：米）．根据比赛规则，投篮架的顶点（即抛物线最低点）必须落在直线上，才能确保投篮轨迹与得分线完美契合．求满足条件的的值为（ ） A. 1或 B. 2或 C. 1或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】先通过配方求出抛物线的顶点坐标，再根据顶点在直线上，将顶点坐标代入直线方程得到关于的一元二次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：对抛物线解析式配方得： ∵ ， ∴ 抛物线的顶点坐标为， ∵ 顶点落在直线上， ∴ 将顶点坐标代入直线方程得： ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 或． 8. 如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为的正六边形（象征六艺兼修），内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”．请计算这部分阴影区域的面积为（ ）（结果保留π） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆与正六边形的对称性可得，阴影区域的面积即为扇形的面积，然后求出中心角即圆心角，再由扇形面积公式求解． 【详解】解：由圆与正六边形的对称性可得，阴影区域的面积即为扇形的面积， 而， ∴扇形的面积， ∴这部分阴影区域的面积为． 9. 为践行“绿色低碳、节能降耗”的校园理念，我校开展“节约一度电”实践活动．已知某型号节能灯泡在恒定总做功（消耗电能）一定的条件下，灯泡的实际功率与发光时间成反比例关系，其函数关系如图所示．当发光时间时，灯泡的实际功率P的值可以为（ ） A. 24 B. 27 C. 45 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，成反比例关系，先求出函数解析式，分别求出  和  时的  值，从而得到  的取值范围，最后对照选项选出可能的值． 【详解】解：由题意可得成反比例关系，可设， 将代入得，，解得， ， ， 在第一象限内随着变大而变小， 当时，，当时，， 当时，， 仅有C选项中符合要求． 10. 如图，某校园规划中，矩形花坛长米，宽米，园丁计划在花坛边缘安装自动灌溉装置：装置E从A出发沿向B移动，同时装置F从C出发沿向D移动，两者速度均为1米/秒，装置间的连接管l随位置变化而移动．为保证主喷头A的灌溉效果，需在A处向连接管l作垂线（垂足为G），若表示喷头到连接管的距离，则在装置移动过程中，的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理可求的长，证明，可得，由，可得点G在以直径的圆上运动，则为直径时，有最大值为1，即可求解． 【详解】解：连接，交于O， 四边形是矩形， ，． 米，米， ． 动点E，F分别从点A，C同时出发，以速度均为1米/秒，沿，向终点B，D运动， ． ， ． 在和中 ． ，． ， ． ， 点G在以为直径的圆上运动． 为直径时，有最大值为1． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，直接填写答案．） 11. 在一次函数中，随的增大而减小，且为正整数，则的值可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题关键． 根据随的增大而减小，得出，即可求解． 【详解】解：∵在一次函数中，随的增大而减小， ∴，解得：， ∵k为正整数，则的值可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，根据题意，把放大后得到，则与位似，从而得到与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解决问题的关键． 【详解】解：把放大后得到，则与位似， 与的相似比为， 故答案为：． 13. 某班开展“互助学习接力”活动，将班级学习小组划分为、、、四个小组，对应如图所示三棱锥的四个顶点，规则为：小球（代表学习任务）在三棱锥的顶点间传递，每传递一次，任务随机传给相邻的小组．若任务初始在组，连续传递两次后，任务回到组的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图，统计出所有可能的结果总数，然后判定符合条件的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据如下树状图可得结果总数为9个，符合连续传递两次后，任务回到组的结果数为3个，所以概率为． 14. 已知（且），，，，，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先计算前几项，得到循环规律，再计算除以循环周期，即可确定的值． 【详解】由题意得： ， ， ， ， 每三项循环一次， ． 15. 定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”．如图，在中，，，若为的“妙分线”，则的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，充分理解题意是解题关键，注意分类讨论．过点A作于点H，先求出，再分和两种情况进行讨论． 【详解】解：如图1，过点A作于点H， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 分两种情况进行讨论： ①如图2，当时， ∵， ∴， ∵，，， ∴； ②如图3，当时， ∵， ∴， ∵，，， ∴； 综上，或． 故答案为：或 三、解答题：（本大题共8个小题，共75分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （1）计算：； （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】（1）6；（2），当时，原式 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂公式，负整数指数幂公式，特殊角的三角函数值，绝对值的化简，解答即可； （2）先利用分式的乘除化简，后结合分式有意义的条件，确定不能选的数，再选择适当数，求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 由 ， 得， 当时 原式． 【点睛】本题考查了零指数幂公式，负整数指数幂公式，特殊角的三角函数值，绝对值的化简，分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握公式，熟记三角函数值，化简求值是解题的关键． 17. 如图，点在直线外． ①在直线上任取一点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点； ③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线； ④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ⑤连接． （1）由②得与的数量关系是__________；由③得到的结论是__________． （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）；射线平分 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——基本作图，全等三角形的判定与性质，菱形的判定定理，解题的关键是理解尺规作图中所蕴含的线段等量关系，利用“四边相等的四边形是菱形”进行判定． （1）根据步骤②中“以点A为圆心，长为半径画弧交直线l于点B”，直接得出与的数量关系；步骤③是作角平分线的尺规作图方法，据此得出射线的性质． （2）利用尺规作图得到相等线段和角度，可证，结合菱形的判定定理“四边相等的四边形是菱形”进行证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵以点A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B， ∴， ∵步骤③是作角平分线的尺规作图方法， ∴射线平分． 故答案为：；射线平分． 【小问2详解】 证明：∵以点A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B， ∴， ∵射线平分， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， 又∵以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 18. 菏泽是中国牡丹之都，戏曲、武术、书画之乡，近年来文旅产业蓬勃发展．为响应“传承非遗文化，讲好菏泽故事”的号召，某社区青年创业团队计划销售两款菏泽特色文创产品：A款为牡丹主题手绘折扇，B款为面塑工艺钥匙扣．已知用900元购进的A款折扇与用720元购进的B款钥匙扣数量相同，且每件A款折扇的进价比B款钥匙扣多18元． （1）求A、B两款文创产品每件的进价各是多少元？ （2）已知A款折扇每件售价112元，B款钥匙扣每件售价86元．为扩大非遗文化影响力，团队计划再用不超过7550元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，所得利润将全部用于社区非遗体验课的公益活动．请问：怎样进货才能使公益活动的资金（即利润）最大？最大资金是多少元？ 【答案】（1）A款文创产品每件的进价90元，则B文创产品每件的进价是72元 （2）购进A款文创产品19件，购进B款文创产品81件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1552元 【解析】 【分析】（1）设款文创产品每件的进价元，则款文创产品每件的进价是元，根据题意，列出分式方程即可求解； （2）设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为，利用一元一次不等式求出的取值范围，再根据题意求出与的一次函数，根据一次函数的性质解答即可求解. 【小问1详解】 解：设款文创产品每件的进价元，则款文创产品每件的进价是元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（元）， 答：款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元； 【小问2详解】 解：设购进 A 款文创产品x件，则购进 B款文创产品件，总利润为 W元． 由题意，得． 解之，得． ∵x 应为正整数， ∴x 最大取 19． ． ∵，W 随 x 的增大而增大， ∴当时，利润最大，W 最大， 此时 B 款：（件）． 答：购进 A 款文创产品 19 件，购进 B 款文创产品 81 件，才能使销售完后获得的利润 最大，最大利润是 1552 元． 19. 【项目背景】 “一方水土养一方果”．红富士苹果是我国重要的经济果树品种，其果实品质不仅关系着果农的收成，也承载着乡村振兴的希望．某中学开展“科技助农·走进果园”综合实践活动，学生们走进本地甲、乙两处红富士种植园，以苹果果径为核心指标，调查土壤、光照、空气湿度等环境因素对果实生长的影响，为优化种植管理、提升果品质量提供数据参考． 【数据收集与整理】 从两处果园中随机采摘样本红富士苹果，在技术人员指导下测量每个果实的果径（最大横径，单位：cm），并按照果品分级标准进行分组： 从两块红富士苹果园各随机选取相同数量的红富士苹果．在技术人员指导下，测量每个红富士苹果的直径，作为样本数据．红富士苹果的果径用x（单位：cm）表示．将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的统计图，部分信息如下： （注：图1为甲园样本数据扇形统计图，图2为甲园样本数据频数分布直方图，图3为乙园样本数据频数分布直方图） 【数据分析与运用】 （1）请补全图2甲园频数分布直方图；并求出的值． （2）A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为，，，，，计算乙园样本数据的平均数． （3）下列结论一定正确的是________（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． （4）结合市场情况，将C，D两组的红富士苹果认定为一级，B组的红富士苹果认定为二级，其它组的红富士苹果认定为三级，其中一级红富士苹果的品质最优，二级次之，三级最次．试分析两个园的红富士苹果品质差异，并说明理由，为果农提出合理化建议． 【答案】（1），补全条形统计图如下： ； （2） （3）① （4）乙园的红富士苹果品质更优，理由：由样本数据频数分布直方图可得，甲园一级红富士苹果所占比例为，乙园一级红富士苹果所占比例为，大于甲园，因此可以认为乙园的红富士苹果品质更优；合理化建议：甲园可参考乙园的种植管理模式，优化土壤、光照、湿度等种植条件，提升大果的占比，增加一级果产量，提高收益 【解析】 【分析】（1）先算出总频数为200，再用200分别减去其它各组的频数可得a的值，然后补全条形统计图即可； （2）根据平均数公式计算即可； （3）分别根据中位数、众数和极差的定义解答即可； （4）根据统计图数据进行分析即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 补全图 2甲园频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：． 答：乙园样本数据的平均数为． 【小问3详解】 解：由统计图可知，两园样本数据的中位数均在 C 组， 故①正确； 每一组的数据是一个范围，甲园的众数，乙园的众数不能确定具体在哪一组，故②结论错误； 两园样本数据的最大数与最小数的差不一定相等，故③结论错误． 【小问4详解】 解：乙园的红富士苹果品质更优，理由略；建议略（合理即可）． 20. 如图，点在以为直径的上，过点作的切线，过点作，垂足为，连接、． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质得到，推出，，等量代换得到，然后由直径的性质得到，即可证明； （2）首先利用勾股定理求出，然后由得到，代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴，即 解得 ∴的半径为． 21. 【问题情境】 为打造安全、人性化的校园地下停车空间，某校基建处启动地下车库升级改造工程．在设计入库坡道时，校数学兴趣小组的同学们主动承担了方案优化任务——他们结合《车库建筑设计规范》的安全标准，运用所学解直角三角形的知识，对坡道坡度、净高、缓坡过渡等关键指标进行了严谨测算与优化，既保障了行车安全，也兼顾了空间利用效率，为学校基建工程提供了科学的数学依据． 【方案设计】 入库坡道示意图如下： 【数据收集】 ①直线主坡道的水平距离为，坡度为； ②左，右两段缓坡道为，，水平距离均为； ③和车库地面均与水平方向平行． 【问题提出】 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： （1）求主坡道的铅直高度； （2）根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． （参考数据：当时，，） 【答案】（1） （2）①；②符合，理由：如图， 过点作铅垂线交于点，过点作水平线交于点，过点作于点， 则四边形和四边形均为矩形， ∵， ∴， ∵主坡道的坡度为，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在 中，， 在 中，， ∴， 在中，由可得， ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范． 【解析】 【分析】（1）在中，根据坡度定义得，代入已知的长度，即可直接计算得出主坡道的铅直高度； （2）①先根据缓坡道坡度为主坡道坡度的算出缓坡道的坡度，再在中利用坡度定义，代入水平距离的长度算出铅直高度，结合右段缓坡道铅直高度与相等，将三段坡道的铅直高度相加，即可得到车库总高度； ②过点作铅垂线交于点，过点作水平线交于点，过点作于点，证明四边形和四边形均为矩形，先计算出的长度，再求出的长度，利用主坡道的坡度在中算出，进而求出和的长度，再通过角的关系证明，在中利用余弦函数算出的长度，最后将与比较，即可判断该坡道的最小净高是否符合设计规范． 【小问1详解】 ∵主坡道的坡度为， ∴在中，， ∵， ∴； 答：主坡道的铅直高度为； 【小问2详解】 ①∵缓坡道坡度为主坡道坡度的， ∴缓坡道的坡度为， ∴在中，， ∵， ∴， 由题意可知：右段缓坡道的铅直高度也等于，车库总高度等于各段坡道铅直高度之和， ∴； 答：车库高度为； ②略 22. 已知二次函数． （1）若，且函数图像经过，两点，求此二次函数的解析式； （2）在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值． （3）已知，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证． 【答案】（1） （2）2或8 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的解析式，画出函数图像，结合图像可求解； （2）分两种情况：①当C在B的左侧时，先根据三等分点的定义得：，由平移个单位可知：，计算点A和B的坐标可得的长，从而得结论．②当C在B的右侧时，同理可得结论； （3）由，得，得到，利用，即代入对代数式进行化简，并配方得出，最后注意利用条件判断，得证结论． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 当时，， ， ，， ∴，， ∴， ①如图，当C在B的左侧时， ∵B，C是线段的三等分点， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ②同理，当C在B的右侧时，， ∴， 综上，的值为2或8； 【小问3详解】 证明：由，得， 由题意，得，， 所以 ， 由条件，知．所以 ． 【点睛】本题查了二次函数的图像和性质，待定系数法求解析式，二次函数图像上点的坐标特征，抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用配方法判断代数式的取值范围，数形结合的思想的运用是解题的关键． 23. 课本再现 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段， 构造出 ，进而得到． 类比迁移 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （3）如图3，四边形是边长为3的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析（3）的长为2或3 【解析】 【分析】此题四边形的综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解决问题的关键是熟练掌握以上知识． （1）由全等三角形的判定可得出结论； （2）在上取点，使，连接，由（1）同理可得，得出，设，则，，可得出答案； （3）过点作，交于点，证明，得出，设，则，，解方程可得出答案． 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接， 四边形是正方形， ， 、分别是和的中点， ， ， ， 交正方形外角的平分线于点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）． 理由：在上取点，使，连接， 由（1）同理可得， ， ， ， ， 设， 则，， ， ； 即． （3）如图所示，过点作，交于点， 四边形是菱形，， ，，，，，， ，，， 是角平分线， ，， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 可得， 解得，， 当时，点在上，； 当时，点在延长线上， 如图所示， ； 综上所述，的长为2或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $