2026年高考数学苏教版必修第二册基础知识梳理

目录 第9章 平面向量 3 9.1 向量概念 3 9.2 向量运算 3 10. 等和线定理 5 9.3 向量基本定理及坐标表示 6 9.4 向量应用 7 向量中其他的常用结论： 8 1. 求三角形中线的两种方法： 8 7. 极化恒等式. 10 8. 四边形中位线定理 10 9. 分数的性质 10 10. 共边定理 11 11. 合分比形式的共边定理 11 12. 奔驰定理： 11 13. 矩形性质： 13 14. 平行四边形性质： 13 19. 定比分点 15 课本典型题： 16 第10章 三角恒等变换 24 10.1 两角和与差的三角函数 24 10.2 二倍角的三角函数 24 10.3 几个三角恒等式 24 三角恒等变换中其他的常用结论： 25 P76阅读—托勒密定理 26 课本典型题 26 第11章 解三角形 35 11.1 余弦定理 35 11.2 正弦定理 35 11.3 余弦定理、正弦定理的应用 36 课本典型题 37 第12章 复数 42 12.1 复数的概念 42 12.2 复数的运算 42 12.3 复数的几何意义： 43 12.4 复数的三角形式 44 复数中其他的常用结论： 44 课本典型题 45 第13章 立体几何初步 46 13.1 基本立体图形 46 13.2 基本图形位置关系 49 ⑶ 空间余弦定理求异面直线夹角： 50 13.3 空间图形的表面积和体积 55 与球相关的切，接的问题 57 立几中其他的常用结论 57 课本典型题： 57 第14章 统计 59 14.1. 获取数据的基本途径及相关概念 59 14.2. 抽样 59 14.3. 统计数表 60 14.4. 总体特征数的估计： 60 第15章 概率 65 15.1. 随机事件和样本空间 65 15.2. 随机事件的概率 66 15.3. 互斥事件和独立事件 66 必修第二册 第9章 平面向量 9.1 向量概念 1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量. 2. 向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作；长度为零的向量叫做零向量；记为，零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量叫做单位向量. 注：零向量的方向是不确定的. 3. 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共线向量).规定：零向量与任意向量平行. 4. 任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上．因此平行向量又称为共线向量. 5. 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 6. 长度相等且方向相反的向量叫做相反向量. 规定零向量的相反向量仍是零向量． 9.2 向量运算 9.2.1 向量的加减法 1. 向量加法的三角形法则 已知向量和，在平面内任取一点，作，，则向量叫做和的和，记作，即，求两个向量和的运算叫作向量的加法． 根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 2. 向量加法的平行四边形加法法则. 对于任意两个不共线的非零向量和，还可以通过作平行四边形来求这两个向量的和．分别作，，以为邻边作，则以为起点的对角线表示的向量就是向量和的和．我们把这种方法叫作向量加法的平行四边形法则． 3. 向量的加法满足交换律、结合律. 4. 向量的减法 若，则向量叫作与的差，记为．求两个向量差的运算，叫作向量的减法． 5. 向量减法的三角形法则 已知向量和，在平面内任取一点，作，，则向量叫做和的差，记作，即. 6. 向量和起点相同时，从的终点指向的终点的向量就是． 7. ≤≤. 9.2.2 向量的数乘 1. 数乘 实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下： (1) (2)若，则当时， 的方向与的方向相同；当时， 的方向与的方向相反. 实数与向量相乘的运算，叫作向量的数乘． 2. 特别地，当时，；当时，. 3. 数乘的几何意义 当时，把向量沿着的相同方向放大或缩小； 当时，把向量沿着的相反方向放大或缩小； 4. 数乘的运算律 ；；. 向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算. 5. 利用数乘向量处理三点共线 若存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线. 6. 平面向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使. 7. 平面向量共线定理推论： 若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 8. 表示与方向相同的单位向量；表示与共线的单位向量. 9. 是的角平分线 10. 是平面中的一组不共线的向量，由平面向量的基本定理可知，平面中任意一个向量都可以用表示出来，即，则有如下结论： ① 共线 .特别的，为中点时，(中点公式) ② 一般的(鸡爪定理)：若，则. 11. 等和线定理 平面内一组基底，及任一向量，，若点P在直线AB上或者在 平行于AB的直线上，则，反之也成立，我们把直线AB以及与AB平行的直线称 为等和线. 证：∵OP直线与AB相交于点Q， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 注：(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，； (3)当直线AB在点O和等和线之间时，； (4)当等和线过O点时，k＝0； (5)若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 注：解题步骤： (1)连接AB，构造直线AB， (2)连接(有时需要延长)OP交直线AB于点Q，那么k＝， (3)求的取值范围时，在动点P的轨迹内分别作分别为距离点O最近与最远的平行线，下面记分别为点O到直线的距离，记为点O到等和线的距离.又由平面几何知识可得因为所以. 9.2.3 向量的数量积 1. 数量积定义 平面向量数量积. 两个向量的夹角要看起点是否在同一个位置，若不在，需要平移其中一个向量. 2. 夹角公式：. 3. (是两个非零向量). 4. . 5. 投影向量： 设是两个非零向量，，，过点作所在直线的垂线，垂足为，将上述由向量得到向量的变换称为向量向向量投影，向量称为向量在向量上的投影向量. 在上的投影向量为 ，其模为. 6. 向量数量积的几何意义：数量积等于向量在向量上的投影向量的数量积，即. 7. 运算律： ；； 向量的数量积运算不满足结合律，也不可以在等式两边随意消掉一个向量. 9.3 向量基本定理及坐标表示 9.3.1. 平面向量基本定理 1. 平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数，使. 2. 不共线的向量，叫做这个平面的一组基底. 3. 称为向量的分解，当，所在的直线互相垂直时，这种分解也称为向量的正交分解. 9.3.2. 向量的坐标表示与运算 1. 坐标表示 1 分别取与轴、轴正方向相同的两个单位向量，作为基底，对于平面中的向量，有且只有一对有序实数，使得.我们把有序实数对称作向量的(直角)坐标，记作. 2 向量的坐标就是终点的坐标，点的坐标就是向量的坐标. 2. 向量线性运算的坐标表示. 1 设，则： ；；， 2 设，则：，即一个向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标. 3 中点公式 3. 向量的数量积的坐标表示 1 设，则：(数量积等于它们对应坐标乘积之和) 2 设，则；；. 3 两点间的距离公式：，则. 4 夹角公式： 5 (是两个非零向量). 9.3.3. 向量平行的坐标表示 设，则：∥ 9.4 向量应用 1. 直线的方向向量 设，为直线上的两个不同的点，则.我们把向量及与它平行的非零向量都称为的方向向量.当直线与轴不垂直时，(其中叫做直线的斜率)，也是直线的一个方向向量. 向量中其他的常用结论： 1. 求三角形中线的两种方法： 方法1： 中线定理(Apollonius's theorem)，又称阿波罗尼奥斯定理：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍. 即；； 方法2： 由，两边平方可得. 2. 是钝角且不共线 是锐角且不共线 3. 三角形的四心 (1). 是的外心是外接圆圆心是中垂线交点 (2). 是的垂心是三条高的交点 证法一： 因为 要证：， 只需证：，因为， 只需证： 只需证： 只需证： 只需证：， 此式显然成立. 证法二： 如图，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以. (3). 是的内心内切圆的圆心是角平分线的交点. 证：如图，， 所以. (4). 是的重心是三条中线的交点把重心分成两段之比为 重心坐标为. 4. 极化恒等式. 在三角形ABC中，O为BC中点，则有. 类似的： 6. 角平分线定理 在三角形ABC中，是的平分线的充要条件是 . 证：， 反之若，因为，所以，所以是的平分线. 5. 四边形中位线定理 如图，在任意四边形中，分别是的中点．求证：． 6. 分数的性质 1 反比定理 若，则. 2 交比定理 若，则. 3 合比定理 若，则. 4 分比定理 若，则. 5 合分比定理 若，则. 6 等比定理 若，则. 7. 共边定理 若直线和相交于点，则. 8. 合分比形式的共边定理 若直线和相交于点，则. 9. 奔驰定理： 设是三角形内或边上一点，则有： 证法一：(完美统一) 如图，， 所以. 证法二： 如图，延长使. 则有， 又， 所以， 所以. 证法三： 如图：延长使，作平行四边形. 因为， 又因为(以共边)， (以共边)， 所以， 所以， 所以. 证法四： 设三角形的面积是. 由上图：， 所以， 所以， 所以. 10. 矩形性质： 点是矩形所在平面内的任意一点，则有点到矩形的两条对角线的两个顶点的距离的平方和相等.即：. 证： 同理：即：. 11. 平行四边形性质： 点是所在平面内的任意一点，则有 证：， ， 同理， 即. 12. 对角线向量定理： 在四边形ABCD中，有 (左右的平方和前后的平方和) 13. 在四边形中，有对边中点连线的交点是以对角线中点为端点的线段的中点，即OM＝ON. 14. (梅涅劳斯定理) 如图，若直线不经过的顶点，并且与的三边或它们的延长线分别交于， 求证：. 证：设分别是点A，B，C到直线l的距离，则. 15. (塞瓦定理) 设P、Q、R分别是三角形ABC边BC，CA，AB上的点，则AP，BQ，CR三线共点的充要条件是. 证：必要性： 设AP，BQ，CR交于点M. ，，相乘得. 充分性： ，设AM与BC交于点，则，所以，所以…. 16. 定比分点 19.1. 定义：若，则称点P为点A、B的定比分点. 注：(1)当 (2)，点P在线段AB的延长线上，此时称点P为外分点； (3)点在线段AB上； (4)点在线段AB延长线上； (5)点在线段AB反向延长线上， (6)当时，可认为对应的定比分点是无穷远点. 19.2. 定比分点坐标公式与向量公式 已知时，设A、B的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，则定比分点坐 标公式和向量坐标公式分别为：. 课本典型题： 1. 苏教版必修第二册P13T1 设是平面内任意三点，求证：. 2. 苏教版必修第二册P14T15 已知为四边形所在平面内一点，且向量满足等式．试根据题意作图，观察四边形的形状．你发现四边形有什么特殊的性质？并说明你的依据． 3. 苏教版必修第二册P23T9 证明：.如何构造一个图形解释这个公式的几何意义？ 4. 苏教版必修第二册P23T11 设是非零向量，，且，求证：. 5. 苏教版必修第二册P23T12 设是两个非零向量，且，，求与的夹角. 解：. 6. 苏教版必修第二册P23T13 设为实数，已知向量与不共线，，，当为何值时，向量与垂直？ 7. 苏教版必修第二册P23T14 设为平面内三点，求证，并确定等号成立的条件. 8. 苏教版必修第二册P23T15 在△ABC中，设，且，判断△ABC的形状． 解：因为，所以，所以，同理…… 9. 苏教版必修第二册P26例3 设是平面内的一组基底，，，，求证：三点共线. 10. 苏教版必修第二册P26T3 设是两个不共线的向量，若实数满足，则___，___. 解：. 11. 苏教版必修第二册P26T4 设为实数，若是两个不共线的向量，满足与共线，则___. 解：. 12. 苏教版必修第二册P27T5 如图，分别是四边形的对角线与的中点，设 ，，且不是共线向量，试用基底表示向量. 解：. 13. 苏教版必修第二册P27T6 如图，是两个不共线的向量，且，试用表示向量. 解：. 14. 苏教版必修第二册P30例4(线段定比分点的坐标公式) 已知，是直线上一点，且，求点的坐标. 15. 苏教版必修第二册P35T9改 已知向量，当为何值时，与的夹角是钝角？ 解：且. 16. 苏教版必修第二册P35T11 对于任意的，试用向量方法证明不等式. 17. 苏教版必修第二册P35T12 已知向量，试分别计算及，比较两次计算结果，你能发现什么？ 18. 苏教版必修第二册P37T10 已知三角形的三条中线交于一点(也称为三角形的重心)，且点将每条中线分为2：1的两段(如图，AG∶GM ＝2：1)．设△ABC三个顶点分别为，求证： (1 )点的坐标为； (２). 19. 苏教版必修第二册P40T3 已知，求在上的投影向量. 解：. 20. 苏教版必修第二册P40T6 在中长分别为，试用向量的方法证明：． 21. 苏教版必修第二册P40T7 在平面直角坐标系中，已知A(3，4)，B(5，12)，O为坐标原点，∠AOB的平分线交线段AB于点D，求点D的坐标. 解：. 22. 苏教版必修第二册P40T8 已知向量满足条件，且，求证：△ABC是正三角形． 23. 苏教版必修第二册P43T4 已知△OAB的两个顶点分别为原点O和A(5，2)，且∠A＝90°，AB＝AO．求： (1)点B的坐标； (2)的坐标． 解：（1）或；（2）或. 24. 苏教版必修第二册P43T16 已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，P是平面内任意一点．求证：. 25. 苏教版必修第二册P43T18 已知坐标平面内，，，P是直线OM上的一个动点．当取最小值时，求的坐标，并求cos∠APB的值. 解：；. 26. 苏教版必修第二册P43T19 设都是单位向量，且，求的最小值. 解：. 27. 苏教版必修第二册P45T15 已知向量的夹角为，且(其中)，当取得最小值时，求与的夹角的大小. 解：. 28. 人教B版必修第二册P174C组T3| 如图所示，△ABC中，＝，，为的中点，为上一点，且DC＝3EC，AE的延长线与BC的交点为F. (1) 用向量与表示； (2) 用向量与表示，并求出AE：EF和BF：FC的值. 29. 点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，以下命题正确的是________．（把你 认为正确的序号全部写上）．①②③④⑤ ①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中； ②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中； ③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中； ④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中； ⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中． 解：对于① 因为动点满足，，则点是的重心，故①正确； 对于② 因为动点满足，， 又在的平分线上，与的平分线所在向量共线， 的内心在满足条件的点集合中，②正确； 对于③，动点满足，，过点作，垂足为，则，， 向量与边的中线共线，因此的重心一定在满足条件的点集合中，③正确； 对于④ 方法一： 动点满足， ， ，，的垂心一定在满足条件的点集合中，④正确； 方法二： 过点作，垂足为， 所以 ，所以…… 对于⑤ 动点满足，设， 则， 由④知，，，点的轨迹为 过的的垂线，即的中垂线；的外心一定在满足条件的点集合，⑤正确． 故正确的命题是①②③④⑤． 第10章 三角恒等变换 10.1 两角和与差的三角函数 10.1.1 两角和与差的余弦 ； 10.1.2 两角和与差的正弦 10.1.3 两角和与差的正切 1. . 10.2 二倍角的三角函数 1. 倍角公式 ； . 2. 升幂缩角公式： 3. 降幂扩角公式： 10.3 几个三角恒等式 1. 积化和差 2. 和差化积 3. 半角公式 ；；. 4. 万能公式 设，求证：，，. 三角恒等变换中其他的常用结论： 1. 一次辅助角公式 .其中辅助角的终边经过点. 2. 二次辅助角公式 ，其中辅助角的终边经过点. 3. 三倍角公式 ， ， . 4. 15°的三角函数值 ；；；； . 5. ； ； 6. 在斜三角形ABC中，. 一般的，. P76阅读—托勒密定理 1. 托勒密定理：在圆的内接四边形中， 两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和． 即. 证明：如图，过C作CP交BD于P，使∠1＝∠2，又∠3＝∠4，∴△ACD∽△BCP． 得AC：BC＝AD：BP，AC·BP＝AD·BC ①. 又∠ACB＝∠DCP，∠5＝∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD＝AB：DP，AC·DP＝AB·CD ②. ①＋②得 AC(BP＋DP)＝AB·CD＋AD·BC．即AC·BD＝AB·CD＋AD·BC． 2. 广义托勒密定理：设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m、n，则有： . 3. 托勒密不等式：任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD＋AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号. 4. 托勒密定理的逆定理：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆. 课本典型题 1. 苏教版必修二P50例2 利用两角和（差）的余弦公式，求. 2. 苏教版必修二P52T4 已知，，求. 3. 苏教版必修二P52T5 已知，求. 4. 苏教版必修二P52T6 已知，求. 5. 苏教版必修二P57T8 证明： （1）； （2）； 6. 苏教版必修二P57T11 已知. （1）用表示；（2）求； 7. 苏教版必修二P60例4 在斜三角形ABC中，求证： 8. 苏教版必修二P61T2 证明. 9. 苏教版必修二P62T9 （1）若，求证：； （2）若，求的值. 10. 苏教版必修二P67T7改 用表示；用表示. 11. 苏教版必修二P67T8 求值. 12. 苏教版必修二P67T9 已知，且，. 求证：. 13. 苏教版必修二P67T10 如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，那么折痕长度l取决于角θ的大小．探求l，θ之间的关系式，并导出用θ表示l的函数表达式． 14. 苏教版必修二P67T11 试说明与的图象之间有什么样的关系． 15. 苏教版必修二P79T12 已知，求的值. 16. 苏教版必修二P79T16 已知函数.求函数的最大值. 17. 苏教版必修二P79T17 如图，在半径为R、圆心角为60°的扇形的弧AB上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA 上，点M，N在OB上，求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的大小． 18. 苏教版必修二P79T18 （1）求的值； （2）求的值. 19. 苏教版必修二P79T19 由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式，对于，我们有 由此可见，可以表示为的三次多项式. 一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫(P. L. Tschebyscheff)多项式，请尝试求出，即用一个的四次多项式来表示. 利用结论 ， 求出的值. 20. 人教A版必修一P228T练习3 已知正边形的边长为，内切圆的半径为，外接圆的半径为．求证：． 证：如图为正边形的一条边，， ， 21. 人教A版必修一P230T18 观察下列各等式： ， ， ． 分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明． 解： ． 22. 人教A版必修一P230T19 你能利用所给图形，证明下列两个等式吗？ ； ． 解：线段的中点的坐标为． 过作垂直于轴，交轴于，． 在中，． 在中，， ． 于是有，． 23. 人教A版必修一P230T20 设，．利用三角变换，估计在时的取值情况，进而猜想取一般值时的取值范围． 解：当时，， 当时， 当时， 可知，当时，；当时，；当时， ， 猜想当时 ． 24. 人教A版必修一P255T23 如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点．当的周长为2时，求的大小． 解：设，，，，则，， 于是． 又的周长为2，即，化简变形可得， 于是， 又，所以，所以． 25. 人教A版必修一P256T25 如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点到，的距离分别为，．是直线上一动点，作，且使与直线交于点．设． （1）写出面积关于角的函数解析式； （2）画出上述函数的图象； （3）由（2）中的图象求的最小值． 解：因为，所以，，． 所以 ，． （1）所求函数解析式为，． （2）略（可借助信息技术）. （3）当，即时， 的最小值为． 26. 人教A版必修一P256T26 英国数学家泰勒发现了如下公式： ， ， 其中． 这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．比如，用前三项计算，就得到． 试用你的计算工具计算，并与上述结果比较． 答案 2. 解：；. 3. 解：； 4. 解：. 6. 解：. 11. 解：. 13. 解：. 15. 解：. 16. 解：. 17. 解：. 18. 第11章 解三角形 11.1 余弦定理 1. 2. 用途：⑴已知三角形两边及其夹角；(2)已知三角形三边; (3)已知三角形两边和其中一边的对角. 3. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 11.2 正弦定理 1. .（其中为外接圆的半径） 用途：⑴已知三角形两角和任一边；⑵已知三角形两边和其中一边的对角. 2. 正弦定理的变形形式　 设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形： (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝. (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (4)＝＝＝. 3. 正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化. 4. 在中， 5. 三角形面积公式： (秦九韶—三斜求积术) 11.3 余弦定理、正弦定理的应用 解三角形中其他的常用结论： 1. 若三角形中有或. 2. 3. 正弦平方差公式： 4. 张角定理 在三角形ABC中，D是BC上的一点，∠CAD＝α，∠BAD＝β则有：. 简证：AB·AC·sin(α＋β)＝AC·ADsinα＋AB·ADsinβ，等式两边同除以AB·AC·AD可得. 5. 斯库顿定理 如图，AD是△ABC的角平分线，则AD2＝AB·AC－BD·CD.(中方＝上积－下积) 证：AD是角平分线 ，代入上式 课本典型题 1. 苏教版必修二P88例6 如图，AM是△ABC的边BC上的中线，求证：. 我们曾经用平面几何的方法证明过结论：“平行四边形各边的平方和等于两条对角线的平方和．”想一想，这个结论与例6有何联系？ 中线定理(Apollonius's theorem)，又称阿波罗尼奥斯定理 三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍. 即；； 2. 苏教版必修二P89T7(射影定理) 用余弦定理证明：在△ABC中， (1)；(2)；(3). 3. 苏教版必修二P89T8 用余弦定理证明：平行四边形两条对角线平方的和等于四条边平方的和． 4. 苏教版必修二P89T12 (1)如图，在圆的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求cosA的值； (2)在圆的内接四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，求cosA的值(用a，b，c，d表示). 5. 苏教版必修二P92T4 判断下列结论是否正确，若不正确，试举例说明；若正确，请说明理由． (1)若A，B∈(0，π)，且A＞B，则sinA＞sinB； (2)若A，B是三角形的两个内角，且A＞B，则sinA＞sinB. 7. 苏教版必修二P93例5(角平分线定理) 在三角形ABC中，是的平分线，用正弦定理证明：. 8. 苏教版必修二P94T4 在△ABC中，若A＝，a＝，则 ＝ (　　)2 8. 苏教版必修二P94T6 在三角形ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断三角形ABC的形状. 9. 苏教版必修二P94T8 在三角形ABC中，，求证：三角形ABC为正三角形. 10. 苏教版必修二P95T9 在三角形ABC中，∠BAC的外角角平分线交BC的延长线于D，用正弦定理证明：. 11. 苏教版必修二P95T11 在已知三角形的两边a，b和一边的对角A，求角B时，如果A为锐角，那么可能出现以下情况(如图)： 如果A为钝角，那么可能会出现哪几种情况？试画出草图加以说明． 12. 苏教版必修二P104T2 在三角形ABC中，已知a—b＝ccosB—cosA，判断三角形ABC的形状. 13. 苏教版必修二P104T5 已知向量满足，且与的夹角为1350，与的夹角为1200，||＝2，求. 14. 苏教版必修二P104T7 如图，已知∠A为定角，P，Q分别在∠A的两边上，PQ为定长．当P，Q处于什么位置时，△APQ的面积最大？ 15. 苏教版必修二P105T10 (1)如图(1)，在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积． (2)如图(2)，设圆O的内接四边形的边长分别为a，b，c，d，试证明其面积为 () 答：(1)；(2)详见解析， 析：(1)连接BD，分别在和 中，利用余弦定理，结合 ，得到， 然后由求解； (2)连接AC，分别在和中，利用余弦定理结合，求得，再由，结合，得到，由证明， 解：(1)如图所示： 连接BD，在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得:， 因为，则， 两式相减得， 又， 所以， 所以， (2)如图所示： 连接AC，在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得: ， 因为，则， 两式相减得：， 所以， 而， 因为， 所以， 所以， 所以， 则， ， 即. 答案： 4. 解：(1)；(2). (1)设圆的内接四边形的边长为，则其面积为， 7. 证：， 反之若，因为，所以，所以是的平分线. 8. 解：是等腰三角形或直角三角形. 9. 解： …… 12. 13. 解： 第12章 复数 12.1 复数的概念 1. 虚数单位 规定：. 2. 复数 形如的数叫做复数，全体复数所组成的集合叫作复数集，记作C． 叫做复数的实部，叫做复数的虚部. 当且仅当b＝0时，z是实数a； 时叫虚数， 时叫纯虚数. 3. 复数相等 ，即两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等． 12.2 复数的运算 1. 加法 设，，则 2. 减法 3. 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分 别相加(减) 4. 乘法 5. 共轭复数：实部相等，虚部互为相反数.即，则. 6. 运算律 ；；. 7. 除法 12.3 复数的几何意义： 1. 把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 2. 复数复平面内的点向量 3. 向量的模叫做复数的模， 4. 复数加法的几何意义 如图，设向量，分别与复数，对应，且，不共线，以，为两条邻边画平行四边形，则对角线OZ所表示的向量就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的 向量．这就是复数加法的几何意义． 5. 复数减法的几何意义． 如图，若向量，分别与复数，对应，则 它们的差－对应着向量，即向量. 如果作，那么点对应的复数就是－．这就是复数减法的几何意义． 6. 两个复数的差的模就是复平面内与这个复数对应的两点间的距离. 即复平面内的两点间距离. 7. 复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：. 12.4 复数的三角形式 1. 辐角 以x轴非负半轴为始边，向量所在的射线为终边的角叫做复数的辐角. 2. 把其中适合于的辐角的值叫做复数的辐角主值，记作. 为0的辐角是任意的． 3. 两个复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等. 4. 设复数的辐角为，则的终边经过点，且，，. 5. 复数的三角形式： ，其中的终边经过点. 而称为复数的代数形式. 知道了一个复数的代数形式，就可以求 出它的模和辐角(通常只要写出一个辐角)，从而可以将这个复数表 示为三角形式． 6. 复数三角形式的乘法 即两个复数相乘，其积的模等于这两个复数模的积，其积的辐角等于这两个复数辐角的和. 7. 复数三角形式的除法 即两个复数相除，其商的模等于这两个复数模的商，其商的辐角等于这两个复数辐角的差. 复数中其他的常用结论： 1. 欧拉公式 ，. 叫作复数的指数形式. 课本典型题 1. 苏教版必修二P114T6 给出下列命题： ① 任意两个复数都不能比较大小； ② 若，则当且仅当a＝0且b＝0时，z＝0； ③ 若z1，z2∈C，且，则z1＝z2＝0； ④ 若x＋yｉ＝1＋i(x，y∈C)，则x＝y＝1． 其中，__________是假命题. 2. 苏教版必修二P117例4 设，求证： (1)；(2). 如果把例４中的ω换成，那么欲证的两个等式还成立吗？在复数范围内，你能写出方程x3＝1的3个根吗？ 3. 苏教版必修二P124T7改 证明：（1）；（2）. 4. 苏教版必修二P124T12 （1）已知复数，复数的几何意义分别是什么？复数的 几何意义又分别是什么？ （2）已知复数以及常数，复数和的几何意义分别是什么？ 5. 苏教版必修二P130T8 向量对应的复数为，把按逆时针方向旋转，得到，求与向量对应的复数（用代数形式表示）． 6. 苏教版必修二P132问题与探究 求复数的立方根 答案： 1. ①③④ 4. 解：（2）设复数z对应的向量为，复数表示将向量模扩大到原来的k倍；表示将向量绕原点逆时针旋转90°，而模不变. 5. 解：. 6. 解：. 第13章 立体几何初步 13.1 基本立体图形 13.1.1 棱柱、棱锥和棱台 1. 棱柱的概念 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱.平移起至位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形平移所形成的的面叫作棱柱的侧面. 棱柱的性质：上下底面互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等. 2. 棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫做棱锥. 注：有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，棱锥还需要满足各三角形有 且只有一个公共顶点. 3. 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台. 注：①棱台上下底面是互相平行且相似的多边形； ②侧面都是梯形； ③各侧棱的延长线交于一点． 4. 多面体：由若干个平面多边形所围成的空间图形叫做多面体. 正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体． 它有两个特点：① 每个面都是有相同边数的正多边形； ② 每个顶点处都有相同数目的棱．正多面体的各个面是全等的正多边形，各条棱是相等的线段． 13.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球 1. 圆柱、圆锥、圆台 1. 将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形分别叫做圆柱、圆锥、圆台. 2. 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面. 3. 不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这么边都叫作母线. 2. 球 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面形成的空间图形叫作球体，简称球. 3. 旋转体 一般地，一条平面曲线绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的空间图形为旋转体. 13.1.3 直观图的斜二测画法 1. 规则： 1. 在空间图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，再取轴，使，且. 画直观图时把它们画成对应的轴、轴和轴，它们相交于点，并使（或），，轴和轴所确定的平面表示水平面. 2. 已知图形平行于x轴、轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴和轴的线段. 3. 已知图形平行于x轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于轴的线段，长度变为原来的一半. 2. 直观图与原图之间的“变”与“不变” “三变”：(1)坐标轴的夹角改变；(2)与轴平行的线段长度变为原来的一半；(3)图形改变． “三不变”：(1)平行性不改变；(2)与轴和轴平行的线段长度不改变；(3)相对位置不改变． 3. 斜二侧画法的面积是原来图形面积的. 举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为，高为， 则其面积为， 在直观图中，，， 在直观图中， 4. 圆柱、圆锥和圆台的底面是圆，在画直观图时一般不用斜二测画法，而采用正等测画法.其规则是： 1、 在空间图形中取互相垂直的直线，作为已知图形所在平面内的直角坐标系的轴和轴，画直观图时把它们画成对应的轴、轴并使（或），轴和轴所确定的平面表示水平面. 2、 已知图形平行于x轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段. 3、 平行于x轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变. 13.2 基本图形位置关系 13.2.1 平面的基本性质 1. 基本事实1：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 2. 基本事实2：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内. 空间中的点、直线和面的位置关系，可以借用集合中的符号来表示. 3. 空间中点、直线和平面的位置关系，可以借用集合中的符号来表． 例如，在长方体ABCD—A1B1C1D1中 4. 基本事实3：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面 13.2.2 空间中两条直线的位置关系 1. 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 2. 空间直线的位置关系：平行、相交和异面. 3. 平行直线 1 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：． 2 等角定理：若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，则这两个角相等 等角定理的推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 4. 异面直线 1 异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 2 异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围： 3 空间余弦定理求异面直线夹角： 设直线的夹角为，则有. 证： ，所以…… 注：分子特点：[（起终）2+（起终）2]－［（起起）2+（终终）2］ 四面体的一组对棱所成角的余弦值等于其他两组对棱的平方和的差与这组对棱乘积2倍的商的绝对值 4 若异面直线a，b所成的角是直角，则称异面直线a，b互相垂直，记作a⊥b. 13.2.3 直线和平面的位置关系 直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）． 把直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作. 1. 线面平行： 1. 直线与平面平行的判定定理 图形语言： 文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 符号语言： 2. 直线与平面平行的性质定理： 图形语言： 文字语言：一条直线与一个平面平行，如果经过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号语言：. 2. 线面垂直 线面垂直定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足 1. 直线与平面垂直的判定定理 图形语言： 文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 符号语言：. 2. 直线与平面垂直的性质定理 图形语言： 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言：. 3. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 4. 从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个面的距离. 5. 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 6. 斜线、斜足、斜线段 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线 斜线和平面的交点叫斜足； 斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段 7. 射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影 垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影 8. 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 一直线垂直于平面，所成的角是直角 一条直线平行或在平面内，所成的角是角. 斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 9. 四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正方体 13.2.4 平面与平面的位置关系 两个平面的位置关系有：平行和相交. 1. 两平面平行 1. 两个平面平行的判定定理 图形语言： 文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 符号语言：. 2. 两个平面平行的性质定理 图形语言： 文字语言：两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 符号语言：. 3. 两个平行平面间的距离 与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线. 它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段. 两个平行平面的公垂线段都相等，我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离. 2. 两平面垂直 1. 平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一个部分都叫做半平面. 2. 一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.每个半平面叫做二面角的面. 3. 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 4. 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 5. 平面与平面垂直的判定定理 图形语言： 文字语言：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直. 符号语言：. 6. 平面与平面垂直的性质定理 图形语言： 文字语言：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 符号语言： 7. 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内. 13.3 空间图形的表面积和体积 13.3.1 空间图形的表面积 1. 直棱柱、正棱柱和正棱台的侧面积 1. 直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱. 2. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 3. 直棱柱侧 4. 正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心(正多边形的外接圆圆心)。正棱锥的各侧棱相等，正棱锥的侧面是等腰三角形. 5. 正四面体的性质（棱长为）六条棱都相等（四个面都是正三角形）的正三棱锥. ① 全面积 ② 体积 ③ 对棱间的距离 ④ 相邻面所成的二面角 ⑤ 外接球半径 ⑥ 内切球半径 ⑦ 正四面体内一点到各面距离之和为定值 ⑧正四面体的外接球球心和内切球球心都在高上，且 6. 正棱锥侧 7. 正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台.正棱台的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰梯形. 8. 正棱台侧（上下底面周长为，，斜高为） 9. 正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积之间的关系 正棱柱侧正棱台侧正棱锥侧 2. 圆柱、圆锥和圆台的侧面积 圆柱侧圆台侧圆锥侧 13.3.2 空间图形的体积 1. 柱、锥、台和球的体积 1. 柱体 2. 锥体 3. 台体 4. 柱、锥、台和球的体积公式之间的关系 柱体台体锥体 5. 球 6. 球的表面积：球面 球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆，大圆的半径等于球半径． 球的表面积是球的大圆面积的4倍. 与球相关的切，接的问题 立几中其他的常用结论 1. 正三棱锥对棱垂直. 2. 正多面体共有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体． 3. 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直. 4. 表（为内切球半径） 5. 三余弦定理(又叫最小角定理或爪子定理) (1) 定理：设点A为平面上一点，过点A的斜线在平面上的射影为，为平面上的任意直线，设，，，则， 即斜线与平面一条直线夹角的余弦值等于斜线与平面所成角的余弦值乘以射影与平面内直线夹角的余弦值，. (为了便于记忆，我们约定：为斜线角，为线面角，为射影角) (2) 定理说明：这三个角中，角是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积，斜线与平面所成角是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角， 6. 三正弦定理(最大角定理) (1) 定理：设二面角的度数为，在平面上有一条射线，它和棱所成的角为，和平面所成的角为，则. (为了便于记忆，我们约定：为线面角，为线棱角， 为二面角) (2) 定理证明：如图，平面，，，、、均为直角三角形，，，，易得：， (3) 定理说明：由且知：，，所以二面角的半平面内的任意一条直线与另一个半平面所成的线面角不大于二面角，即二面角是线面角中最大的角， 课本典型题： 1. 苏教版必修二P191 证明：一个底面半径和高都等于R的圆 柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几 何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等.（做一个倒沙实验检验这一结果，并尝试用祖暅原理证明这个结论）（祖暅原理：幂势既同，则积不容异．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等） 第14章 统计 14.1. 获取数据的基本途径及相关概念 1. 总体：在获取数据时，我们把所考查对象（某一指标的数据）的全体叫做总体. 2. 个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体. 3. 样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本. 4. 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量. 14.2. 抽样 14.2.1. 抽签法 1. 抽签法. 一般地，用抽签法从个体为的总体中抽取一个容量为的样本的步骤是： 1 将总体中的个个体编号； 2 将这个号码写在形状、大小相同的号签上； 3 将号签放在同一箱中，并搅拌均匀； 4 从箱中每次抽出个号签，连续抽取次； 5 将总体中与抽到的号签编号一致的个个体取出. 注：（1）用抽签法能使每个个体被抽中的概率相等； （2）抽签法适用于总体中个数不多的情形. 2. 随机数表法. 1 随机数表法 制作一个表，这个表由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字组成，表中任一位置出现任一数字的概率相同，且不同位置的数字之前是相互独立的，这样的表称为随机数表，其中的每个数都称为“随机数”，这种抽样方法叫做随机数表法. 2 随机数表抽取样本的步骤是： 1 对总体中的个体编号（每个号码位数一致）. 2 在随机数表中任取一个数. 3 从选定的数开始按照一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过.如此继续下去，直到取满位置. 4 根据选定的号码抽取都去样本. 3. 简单随机抽样（总体个数较少） 一般地，从个体数为的总体中逐步不放回地取出个个体作为样本（），如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样. 抽签法和随机数表法都是简单随机抽样. 14.2.2. 分层抽样（总体中差异明显） 一般地，当总体由差异比较明显的几个部分组成时，为了使样本更加客观地反应总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较明显的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫做分层抽样，所分成的各个部分称为“层”. 分层抽样的步骤是： 1 将总体按一定标准分层； 2 计算各层的个体数与总体个体数的比； 3 按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量； 4 在每一层进行抽样（可用简单随机抽样）. 注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为. 14.3. 统计数表 14.3.1 扇形统计图、折线统计图、频数直方图 扇形统计图能够直观地反应各个类别在总体中所占的比例； 折线统计图可以看出变化趋势； 频数直方图既能够反应分布状况，又可以表示变化趋势； 14.3.2 频率直方图 1. 频率直方图—分布直观 将横轴均分成若干段，每一段对应的长度称为组距，然后以此段为底作矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列矩形，每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形构成了直方图.这种直方图称为频率直方图. 2. 频率分布折线图：将频率直方图中各个矩形上底边的中点顺次连接起来，并将两边端点向外延伸半个组距，就得到频率折线图，简称折线图. 3. 频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1. 14.4. 总体特征数的估计： 14.4.1. 用样本估计总体的集中趋势参数 1. 平均数：；平均数反应了一组数据的平均水平.任何一个数据的改变都可能引起平均数的改变.但在某些极端情况下，平均数也易受到一些极端值的影响而偏离一般情况. 2. 平均数的计算方法 1 利用频率计算平均数取值为的频率分别为， 则其平均数为； 2 新数据法 当选取的数据都在某一常数附近波动时，可用简单化公式. 3 平均数、方差的线性性质 若的平均数为，方差为，则有 的平均数为，方差为. 3. 众数与中位数 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据. 众数的大小只与这组数据的部分数据有关，众数作为一组数据的代表，可靠性较差，出现次数最多的数据很多时候不能反应一组数据的中心值. 中位数：将一组数据按照从小到大的顺序排列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么，排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数. 中位数反映了一组数据中心的情况，不受极端值的影响. 4. 一组数据的平均数，中位数和方差都是唯一的.众数可能不唯一，也可能不存在. 一组数据的众数一定是原数据中的数，平均数和中位数不一定是原数据中的数. 14.4.2. 用样本估计总体的离散程度参数 1. 方差与标准差： 1 定义 对数据，有 方差 简化公式 标准差：. 特别的：取值为的频率分别为，设平均数为，则其方差为 ； 注：方差刻画的数据偏离平均数的离散程度，方差越小，标明各个样本数据在样本平均数周围越集中；方差 越大，数据在样本平均数的两边越分散. 2 分层抽样数据的平均数、方差的计算 1 以分两层抽样为例. 假设第一层有个数，分别为，平均数为，方差为； 第二层有个数，分别为，平均数为，方差为.则 ，，，. 如果记样本的均值为，样本方差为，则可以算出 ， （苏教版）（人教B版） 证明：平均数的证明略 因为,同理 故 所以. 2 一般地，如果总体分为层，第层抽取的样本为，第层的样本容量为，样本平均数为 ，样本方差为，.记，那么，所有数据的样本方差为 总2 2. 极差：我们把一组数据的最大值与最小值的差叫做极差. 注：极差反映了一组数据变化最大的程度，它对一组数据中的极端值非常敏感，极差只考虑了两个极端值， 而没有考虑中间的数据，因此，极差作为数据的离散程度的参考量，可靠性较差. 3. 方差、标准差和极差的取值范围都是.若样本数据都相等，则方差为，数据无波动.反之也成立. 14.4.3. 用频率分布直方图估计总体分布 频率分布直方图中的计算 1. 众数：最高矩形底边中点的横坐标. 2. 中位数：假设中位数为，则在直线左右两侧的矩形面积之和均为. 3. 平均数 取值为的频率分别为， 则其平均数为； 在频率分布直方图中，数据取值是每个矩形底边中点的横坐标（组中值）. 即平均数等于每个矩形底边中点的横坐标与相应矩形面积乘积之和. 4. 取值为的频率分别为，设平均数为，则其方差为 ； 在频率分布直方图中，数据取值是每个矩形底边中点的横坐标（组中值）. 14.4.4. 百分位数 1. 百分位数:一组数据的k百分位数是这样一个值，它使得至少有％的数据小于或等于，且至少有 (100－k)％的数据大于或等于. 2. 计算方法： 1 将所有的数值按从小到大的顺序排列: 2 计算； 3 如果结果是整数，那么百分位数位于第位和下一位数之间，通常取这两个位置上的平均数为百分位数. 4 如果不是整数，那么将其向上去整（即去整数部分加上1），在该位置上的数值即为百分位数. 3. 中位数即为50百分位数，我们也把中位数、25百分位数（下四分位数）和75百分位数（上四分位数）称为四分为数. 第15章 概率 15.1. 随机事件和样本空间 1. 确定性现象 在一定条件下，事先就能判定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象. 2. 随机现象 在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象. 3. 试验 对某随机现象进行的实验、观察称为随机试验，简称试验. 在相同条件下，试验可以重复进行，试验的结果有多个，全部可能结果在试验前是明确的，但不能确定会出现哪一个结果. 4. 样本点、样本空间、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件 把随机试验的每一个可能结果称为样本点，用表示 所有样本点组成的集合称为样本空间.记为. 如果样本空间是一个有限集合，则称样本空间为有限样本空间. 样本空间的子集称为随机事件，也称为事件.事件一般用等大写英文字母表示. 当一个事件仅包含单一样本点时，称该事件为基本事件. （全集）是必然事件，（空集）是不可能事件. 5. 一个事件的完整表述分成两部分，前一部分为试验的条件，后一部分为试验的结果. 6. 事件A包含事件B 事件发生必导致事件发生，称事件A包含事件B（或事件B包含于事件A），记作.. 7. 事件的并 事件与至少有一个发生即为事件发生，这时称是与的并，也称是与的和，记作. 8. 事件的交 事件与同时发生即为事件发生，这时称是与的交，也称是与的积，记作. 15.2. 随机事件的概率 1. 概率的性质 ；，. 2. 古典概型 具有以下两个特点： （1）基本事件只有有限个； （2）每个基本事件的发生都是等可能的. 我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型. 对于古典概型，若一次试验的等可能基本事件共有个，事件由个等可能基本事件组合而成，那么事件发生的概率为. 3. 频率的稳定性 1 一般地，对于给定的随机事件，在相同的条件下，随着试验次数的增加，事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定.我们将频率的这个性质称为频率的稳定性.. 2 若随机事件在次试验中发生了次，则当试验次数很大时，可以用事件发生的频率来估计事件的概率，即. 15.3. 互斥事件和独立事件 1. 互斥事件 事件与不可能同时发生，即，称，为互斥事件. 2. 对立事件 互斥事件与必有一个发生，即，，称，为对立事件.记为. 3. 对立事件必为互斥事件，反之不然. 4. 加法公式 如果事件，互斥，那么事件发生的概率，等于事件，分别发生的概率的和，即 5. 加法公式的推广 如果事件都是互斥事件，那么称事件两两互斥，那么 . 6. 随机事件的概率的常用性质 1 ； 2 当时，； 3 当，不互斥时，. 7. 通过事件的运算，将较复杂的事件用简单的事件表示，然后根据概率的性质，将复杂的事件的概率转化为简单事件的概率，这既是求解概率的基本方法，也是数学研究的基本方法. 8. 相互独立事件 一般地，如果事件是否发生不影响事件发生的概率，那么称为相互独立事件.对于相互独立事件，有下面的结论： 为相互独立. 9. 独立事件的推广 一般地，如果事件相互独立，那么. 苏教版必修第二册P286圆锥截线 一般地，设圆锥面的母线与轴所成的角为θ，截面与轴所成的角 为α（0＜α＜π）． 第一种情形（ θ＜α＜π）平面与圆锥面的截线是一条曲线，截线上任意一点到平面内两个定点F1，F2的距离等于常数．这种截线称为椭圆． 第二种情形 （θ＞α），平面与圆锥面的截线由两支曲线构成，截线上任意一点到平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数．这种截线称为双曲线． 第三种情形（θ＝α），平面与圆锥面的截线是一条曲线，截线上的任意一点到平面内一个定点的距离与到一条定直线的距离相等．这种截线称为抛物线. 2 学科网（北京）股份有限公司 $