第1章 三角形 单元测试卷 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 第1章三角形提优测试卷，含选择、填空、解答题，覆盖全等判定、等腰/等边三角形等核心知识，通过探究性问题与动态几何设计，培养几何直观、推理能力与创新意识，适配单元复习提优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|全等判定、等腰三角形周长|结合图形辨析，考查空间观念| |填空题|8/32|外角性质、垂直平分线、动态点问题|设置开放条件，培养抽象能力| |解答题|7/64|全等证明、翻折变换、探究性问题|分层设计综合题，发展推理能力与创新意识|

第1章三角形 提优测试卷 (时间：100分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.如图，两个三角形全等，则∠α等于() A.72°B.60°C58°D.50° 50 \c 58°728 b 答案：D 2.若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是() A.5B.10C.15D.20 答案：B 3.如图，LF=∠M,FG=HM,下列不能成为判定△FG兰△NMH的依据 是() A.FE=MNB.∠E=∠NC.∠FGE=NHMD.EG=HN H E 答案：D 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，过，点C的直线与AB交于 点D,且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠C①A=() A.30°B.45°C70°D.75° 1/15 答案：C 5.如图，在△ABC中，AB=AC,AC的垂直平分线1交BC于点D.若 ∠DAC=34°，则∠BAD的度数是（) A.78°B.68°C80°D.96 B 答案：A 6.如图，△ABC中BC边上的高为h1,△DEF中DE边上的高为h2,若 AC=EP,则下列结论中正确的是（) A.h1<h2B.h1>h2C.h1=h2D.无法确定 652 答案：C 解析：过，点A作AM⊥BC交BC于点M,过点F作FNL DE交DE的延长线于点N, 如图所示，则 AM=h1,FN=h2:AM⊥BC,FN⊥DE,∠AMC=∠FNE:∠FN=∠FDE+∠DFE=35°+30°=65 在△AMC和△NE中， IAMC=∠FNE, ∠ACM=∠FEN,·△AMC兰△FNE(AAS),AM=FN,h1=h2故选C. 、AC=FE, 2/15 30 65入 B M C 350 E 7.如图，∠A0B=150°，OP平分∠A0B,PD⊥0B于点D,PC//0B交0A于 点C,若PD=3,则0C的长为（) A.3B.4C.5D.6 A D OD B 答案：D 解析：：A0B=150°，PC//0B交0A于点C,:∠PC0=30°.过，点P作PE⊥0A 于点E:PD⊥OB,OP平分 ∠A0B,÷PE=PD=3,·PC=2PE=6.'∠A0P=∠P0D=75°，·∠CP0=75°，·0C=PC=6. 故选D, 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=20°.若某个三角形与△ABC能拼 成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有() A.4种B.5种C.6种D.7种 A B C 答案：D 3/15 解析：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，则∠ABC=70° (I)取一个△FD和△ABC全等，其中EF=AC,FD=BC,AB=D, ∠C=∠F=90°，此时有两种拼图方法：①将EF与AC拼接在一起，如图①所示 :AB=ED,∠ACB=∠EFD=90°，·点B,C(P),D在一条直线上.…△ABD为等腰 三角形，且∠B=∠D=70°，∠BAD=40° ②将DF与BC拼接在一起，如图②所示.：AB=DE,∠ACB=∠EFD=90°， 点A,C(F),E在一条直线上，·△ABE为等腰三角形. A(E B(D)C(F) C(F) C B(E)(F) ② ③ ⑦ (2)取一个△FD,使AC=EP,LF=90°，∠D=55°，∠ED=35,将EF与 AC拼接在一起，如图③所示.：∠ACB=∠EFD=90°，·，点B,C(F),D在一条直线 上.此时∠BAD=∠BAC+∠FED=20°+35°=55°，·∠BAD=∠D=55:△ABD 为等腰三角形 (3)取一个△FD,使EF=BC,∠F=90°，∠D=80°，∠FED=10°，将EF与 BC拼接在一起，如图④所示.：∠ACB=∠EFD=90°，·点A,C(F),D在一条直线 上.此时∠ABD=∠ABC+∠FED=70°+10°=80°，·∠ABD=∠D.:△ABD为等腰 三角形 (4)取一个△FD,使EF=AC,∠F=90°，∠D=40°，∠FED=50°，将EF与AC拼 接在一起，如图⑤所示，：∠ACB=∠EFD=90°，÷点B,C(F),D在一条直线上. 此时∠BAD=∠BAC+∠FED=20°+50°=70°，·∠BAD=∠ABC,:△ABD为等 腰三角形！ (5)取一个△EFD,使EF=AB,∠EFD=110°，∠D=45°，∠FED=25,将EF与 AB拼接在一起，如图⑥所示：∠EFD=110°，∠ABC=70°，∠EFD+∠ABC=180° ,:点C,B(F),D在一条直线上，此时∠CAD=∠BAC+∠FED=20°+25°=45， ·∠CAD=D÷△ACD为等腰三角形. 4/15 (⑥)以一个△EFD,使EF=BC,∠D=20°，∠FED=110°，∠EFD=50°，将 EE与BG拼接在一起，如图⑦所示，：FED=110°， ∠ABC=70°，∠FCD+∠ABC=180°，·点A,B(E),D在一条直线上.此时 ∠D-∠A=20°，△ACD为等腰三角形、等上所述，拼成的等腰三角形有7种，故 选D A(E) A(E B(E)C(F) B C(F) D B(F)C ⑤ ⑥ ⑦ 二、填空题（每小题4分，共32分） 9.如图，点B,F,C,E在一条直线上，AB//ED,AC//FD,要使 △ABC兰△DEF,只需添加一个条件，则这个条件可以是 答案：AB=DE(答案不唯一) 10.已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为 5/15 答案：50°或80° 11.如图，在等边三角形ABC中，BM是AC边上的中线，N为BC的延长线上 的一点，且CN=CM,则∠BMN的度数是 答案：120 12.如图，CA平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC=49° ,则∠BAE的度数为 答案：82 13.如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE,点D是AC的中点， 设△ABC,△ADR,△BEF的面积分别为S△ABC,S△ADF,S△E,且S△ABC=12,则 S△ADFS△BEF=】 B E 答案：2 14.如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2, 连接DE,动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC-CD-DA向终点A 运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为 6/15 答案：1或7 解析：因为AB=CD,若LABP=∠DCE=90°，BP=CE=2,根据SAS证得 △ABP兰△DCE,由题意得BP=2t=2,所以t=1.因为AB=CD,若 ∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2,根据SAS证得△BAP兰△DCE,由题意得 AP=16-2t=2,解得t=7.所以当t的值为1或7时，△ABP和△DCE全等】 15.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E是△ABC内的两点，AE平分 ∠BAC,∠D=∠DBC=60°，若BD=6cm,DE=4cm,则BC的长是 cm 答案：10 解析：如图，延长DE交BC于点M,延长AE交BC于点N."AB=AC,AE平分 ∠BAC,·AN⊥BC,BN=CN:∠DBC=∠D=60°，·△BDM为等边三角形， .BD=DM=BM=6cm:DE=4cm,.EM=6-4=2(cm).:△BDM为等 边三角形，·∠DMB=60°. :ANLBC,∠ENM=90°，∠NN=30°，÷NM=ME=1cm,÷BN=6-1=5(cm),BC=21 故答案为10. D y 16.如图，边长为6的等边△ABC,F是边AC的中点，点D是线段BF上的动 点，连接AD,在AD的右侧作等边△ADE,连接CD,CE,EF,则下列说法正确的 是 (填序号) ①BF⊥AC:②∠DEC=∠DCE;③AE=CD:④AADE的周长最小值为9；⑤当 7/15 △AEF周长最小时，∠AFE=60;⑥∠ACE的大小随着点D的移动而变化. 答案：①②③④ 解析：：△ABC是等边三角形，F是边AC的中点，：BF⊥AC.故①正确： ·BF是线段AC的垂直平分线，·AD=CD :△ADE是等边三角形，·AD=ED=AE,÷AE=ED=CD.故③正确： :∠DEC=∠DCE故②正确；：点D在线段BF上，·当AD⊥BF,即点D与点F重合 时，AD最小，即此时△ADE的周长最小.：等边三角形△ABC的边长为6，F是边 AC的中点，AD最水=AF=3,:△ADE的周长的最小值为 AD十DE十AE=3AD=9.故④正确；：△ABC,△ADE都是等边三角形， ·AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°，∠BAD=∠CAE·△BAD≌△CAE (SAS).:∠ACE=∠ABD=30°，故⑥错误；：BCE=∠BCA十∠ACE=90°，即点E在 射线CE(射线CE⊥BC)上运动.如图所示，作点A关于射线CE的对称点M,连接 ME,MC,·AE=ME,÷△AEF的周长=AF+AE+EF=AF+EM+EP,÷当 E,F,M三点共线，即点E与点E重合时，EF+EM最小，即△AEF的周长最小.：点 A与点M关于射线CE对称，AC=MC,∠ACE=∠NCE=30°，：∠ACM=60° :△ACM是等边三角形.又：F是边AC的中点，·AP⊥MF,:∠AFE=90°故⑤错 误：正确的是①②③④. 三、解答题（共64分） 17.(7分)如图，已知AB=CD,点E,F在线段BD上，且AF=CE 8/15 请从①BF=DE;②∠BAF=∠DCE;③AF=CF中.选择一个合适的选项作为 已知条件，使得△ABF兰△CDE, 你添加的条件是： (只填写一个序号).添加条件后，请证明 AE //CF. 答案：①或②（只选一个即可） 当选取①时，在△ABF与△CDE中， (AB=CD, AF=CE,,△ABF≌△CDE(SSS),∴B=∠D,:BF=DE,:BF+EF=DE+EF,BE=DF BF=DE, 在△ABE与△CDF中， (AB=CD, ∠B=D,÷△ABE兰△CDF(SAS),·∠AEB=LCFD,:AE BE=DF, 当选取②时，在△ABF与△CDE中， (AB=CD, ∠BAF=DCE,·△ABF≌ △CDE(SAS),·∠B=∠D,BF=DE,·BF+EF=DE+EF,·BE AF=CE, 在△ABE与△CDF中， (AB=CD, ∠B=D,÷△ABE≈△CDF(SAS),:∠AEB=LCFD,A BE=DF, 18.(8分)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上， 且AD=AE,连接BE,CD交于点F (I)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由： (2)求证：过点A,F的直线垂直平分线段BC 9/15 答案：(I)∠ABE=∠ACD.理由，在△ABE和△ACD中， :AB=AC,∠A=∠A,AE=AD,·△ABE兰△ACD(SAS), ·∠ABE=∠ACD (2)连接AF:AB=AC,∠ABC=∠ACB.由(1)可知 ∠ABE=∠ACD,·∠FBC=FCB,:FB=FC,:AB=AC,:点A,F均在线段BC 的垂直平分线上，即过点A,F的直线垂直平分线段BC 19.(9分)如图，已知∠ABC=∠ADC=90°，M,N分别是AC,BD的中点，连 接MB,MD (I)求证：MN⊥BD; (2)若∠BAD=45°，判断△MBD的形状，并说明理由， M N B 答案：(I):∠ABC=∠ADC=90°，M,N分别是AC,BD的中点， :在Rt△ABC中，BM=AC,在Rt△ACD中，DM=专AC, :BM=DM.又：N是BD的中点，MNL BD (2)△MBD是等腰直角三角形.理由：：M是AC的中点， ·AM=专AC=BM,·∠BAM=∠ABM,·∠BMC=2∠BAM.同理可得 ∠DMC=2∠DAM.又 :∠BAD=45°，.∠BMD=∠BMC+∠DMC=2(∠BAM+∠DAM)=2BAD=90°. 又：BM=DM,·△MBD是等腰直角三角形. 20.(8分)观察与类比： 10/15 (I)如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在△ABC外，连接AD,作 DE⊥AB于点E,交BC于点F,AD=AB,AE=AC,连接AF,求证：DF=BC+CF (2)如图②，AB=AD,AC=AE,∠ACB=∠AED=90°，延长BC交DE于点F, 写出DF,BC,CP之间的数量关系，并证明你的结论 ② 答案：(1)：DE⊥AB,∠ACB=90°，·∠AED=∠AEF=∠ACB=90°.在 ∫AC=AE,:Rt△ACF≌Rt△ABF(HL),CF=四 Rt△ACP与Rt△AEF中，{AF=AP, 在Rt△ADE与Rt△ABC中， |AD=AB,:Rt△ADE兰Rt△ABC(HL),DB=BC:DF=DE+E,&DF=BC+CR AE=AC, (2)BC=CF+DF,证明如下：连接AF,在Rt△ABC与Rt△ADE中， (AB=AD, {AC=AB,:Rt△ABC兰Rt△ADE(HL),BC=DB:∠AB=90°， ∠ACF=90°=∠AED.在Rt△ACF与Rt△AEF中， (AC=AE, {AP=AR,:Rt△ACF≈Rt△AEF(HL),CR=ER:DE=EF+DR,:BC=CR+DF 21.(10分)下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成 任务.题目背景：在Rt△ABC中，AC=BC,ACB=90°，点D在AB上. (I)作图探讨：在Rt△ABC外侧，以BC为边作△CBE兰△CAD 小明：如图①，分别以点B,C为圆心，以AD,CD长为半径画孤交于点E,连 接BE,CE,则△CBE即为所求作的三角形 11/15 ① ② 小军：如图②，分别过点B,C作AB,CD的垂线，两条垂线相交于点E,则 △CBE即为所求作的三角形 填空：小明得出△CBE兰△CAD的依据是 小军得出 △CBE兰△CAD的依据是 .(填序号) ①SSS②SAS③ASA④AAS (2)测量发现：如图③，在(1)中△CBE兰△CAD的条件下，连接AE.兴趣 小组用几何画板测量发现△CAE和△CDB的面积相等，为了证明这个发现，尝试 延长线段AC至F,点，使CF=CA,连接EP.请你完成证明过程 ③ 答案： (1)①③ (2)由题图③，得CE是△AEF的中线，·S△AE=S△FC :∠ACB=90°，÷∠BCF=90°，△CBE≌△CAD,CE=CD,∠ECB=∠DCA,90°-∠ECB=90°-2 即∠ECF=∠DCB.又：AC=BC,AC=CF,·CF=CB.在△ECF和△DCB中， CF=CB, ∠ECF=LDCB,△ECF￥ADCB(SAS).SABr=SADa,SACAE=-SACDB, CE =CD, 22.(10分)已知在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D是BC的中点，M是 AB边上的一点，连接DM,作∠MDN=60°交直线AC于点N. (I)如图①，当DM⊥AB时，求证：DM=DN 12/15 (2)如图②，当M是AB边上任意一点时，DM与DN还相等吗？请说明理由 (3)请写出AC,BM,NC之间的数量关系，并证明. B D ① ② 答案： (1):AB=AC,∠BAC=120°，D是BC的中点， :BAD=∠CAD=专LBAC=60°，即AD平分 ∠BAC:DM⊥AB,÷∠AMD=90°，：∠ADM=90°-∠MAD=90°-60°=30°：∠MDN=60°，÷∠ADN= 平分∠BAC,÷DM=DN. (2)相等，理由如下：如图①，取AB的中点B,连接DE,:AB=AC, ∠BAC=120°，D是BC的中点，·AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=60°， LADB=90°，：DE=AE=BE,:△AED是等边三角形， ÷DE=AD,∠AED=ADE=60°'∠MDN=60°，.∠EDM+∠MDA=ADN+∠MDA,·∠EDM=∠h I∠MED=∠NAD, DE=AD, 在△BDM和△ADN中， △EDM≌△ADN(ASA),.DM=DN ∠EDM=∠ADN, A N D ① ② (3)BM+NC=AC. 证明：分两种情况讨论： ①如图①，当点N在线段AC上时，由(2)可知AEDM兰△ADN, EM=AN:AM+EM=AE=AB,AM+AN=ABAB=AC, (AC-BM)+(AC-NC)=AC,:BM+NC=AC ②如图②，当点N在CA的延长线上时，由(2)可知△ADE是等边三 角形，∠AED=∠ADE=60°、：∠MDN=60°，∠MDN-∠NDE= 13/15 ∠ADE-∠NDE,即∠BDM=∠ADN:∠EMD十∠EDM=∠AED=60°， ∠N+∠ADN=∠CAD=60°，：∠EMD=△N.在△ADN和△DM中， I∠N=∠MD, ∠ADN=∠EDM,·△ADN≈△EDM(AAS),·AN=EM:BM+ME= AD=ED, BE=AB=AC,.BM+AN=AC,BM+AN+AC=AC, 即BM+NC=AC 综上所述，BM+NC=AC 23.12分)已知△ABC是等边三角形，点D是 射线CP上一点，连接BD交线段AC于点G.(I)如图①，当∠ADB=60时，求 证：DA平分∠BDF; (2)如图②，延长BA交射线CF于点F,当∠ACD=2∠ABD时，在AB上取一点 H,且FH=FC,连接CH,求证：BH=AG; (3)如图③，在(2)的条件下，将△BCH沿CH翻折，得到△NHC,CH与BD交 于点M,CN与BD交于点K,若BM=8,MK=6,求HM的长. 答案： (I)如图①，作CM⊥BD于点M,CN⊥AD,交AD的延长线于点N.:△ABC是 等边三角形， :AC=BC,∠BCA=∠ADB=60°：∠BGC=∠AGD,·∠CBM=∠CAD.在△BCM 14/15 和△ACN中， |∠BMC=∠ANC, ∠CBM=∠CAN,÷△BCM≌△ACN(AAS),·CM=CN又：CM⊥BD,CN⊥AD,·∠MDC=∠NDC BC=AC, 平分∠BDF. ① ② (2)设∠ABD=,则∠ACD=2,·∠BCD=60°+2，∠BDC=60° a=∠DBC,÷BC=DC,∠F=60°-a-a=60°-2a:FH=F℃) ·FHC=∠FCH=60°+·∠HCB=∠BCD-∠FCH=: ∠BAG=∠CBH, AB=BC, :∠HCB=∠ABD.在△ABG和△BCH中， ∠ABG=∠BCH, ·△ABG≌△BCH(ASA),·BH=AG (3)由(2)知∠ACK=60°-2a,∠KGC=∠BDC+∠ACD=60°+&， ÷在△GCK中，∠GKC=180°-∠ACK-∠KGC=60°+a=∠KGC :CG=CK::△BCH翻折得到△NCH,:CN=BC=AC=AB,HN=HB, ∠N=∠ABC=60°：CN-CK=CA-CG,即NK=AG.如图②，连接HK, :BH=HN=NK=AG,·△NHK是等边三角形，：HK=KN=BH, :HBK=∠HKB.在BK上截取BP=KM,在△BHP和△KHM中， (BH=KH, HBP=∠HKN,÷△BHP≌△KHM(SAS),HP=HM,BP=KM=6,÷PM=8-6=2.:∠DMH BP=KM, 是等边三角形，·HM=PM=2: 15/15第1章三角形提优测试卷 (时间：100分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.如图，两个三角形全等，则∠等于（) A.72°B.60°C.58°D.50° /509 58°72 2.若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（) A.5B.10C.15D.20 3.如图，LF=∠M,FG=HM,下列不能成为判定△EFG=△NMH的依 据是（) A.FE=MNB.∠E=∠NC.∠FGE=∠NHMD.EG=HN M E 1/11 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，过，点C的直线与AB交 于点D,且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA=() A.30°B.45°C.70°D.75 5.如图，在△ABC中，AB=AC,AC的垂直平分线I交BC于，点D.若 ∠DAC=34,则∠BAD的度数是（) A.78°B.68°C.80°D.96 B 6.如图，△ABC中BC边上的高为h1,△就中DE边上的高为h2,若 AC=EF,则下列结论中正确的是（) A.h<h2B.h>hC.h,=hD.无法确定 309 652 2/11 7.如图，∠AOB=150°，OP平分∠AOB,PD⊥OB于，点D,PC11OB交 OA于点C,若PD=3,则OC的长为（） A.3B.4C.5D.6 A OD B 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=20°.若某个三角形与△ABC能 拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有() A.4种B.5种C.6种D.7种 A B C 二、填空题（每小题4分，共32分） 9.如图，点B,F,C,E在一条直线上，ABI1ED,AC/IFD,要使 △ABC=△g,只需添加一个条件，则这个条件可以是 3/11 H 10.已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为 11.如图，在等边三角形ABC中，BM是AC边上的中线，N为BC的延长线 上的一点，且CN=CM,则∠BMN的度数是 12.如图，CA平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若 ∠EAC=49°，则∠BAE的度数为 B 13.如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE,点D是AC的中点， 设△ABC,△ADF,△BEF的面积分别为S△ABC,S△ADF,S△BEF,且SAABC=12, 则S△ADF-SABEF= 4/11 B E 14.如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2, 连接DE,动，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC-CD-DA向终点 A运动，设点p的运动时间为秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为一 B P 15.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E是△ABC内的两点，AE平分 ∠BAC,∠D=∠DBC=60°，若BD=6cm,DE=4cm'则BC的长是 cm. 16.如图，边长为6的等边△ABC,F是边AC的中点，点D是线段BF上 的动，点，连接AD,在AD的右侧作等边△ADE,连接CD,CE,EF,则下列说 5/11 法正确的是 (填序号). ①BF⊥AC;②∠DEC=∠DCE:③AE=CD;④AADE的周长最小值为 9;⑤当△AEF周长最小时，∠AFE=60°；⑥∠ACE的大小随着点D的移动而变 化 三、解答题（共64分） 17.(7分)如图，已知AB=CD,点E,F在线段BD上，且AF=CE 请从①BF=DE;②∠BAF=∠DCE;③AF=CF中.选择一个合适的选项作 为已知条件，使得△ABF≈△CDE 你添加的条件是： (只填写一个序号)添加条件后，请证明 AE//CF 18.(8分)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,,点D,E分别在边 6/11 AB,AC上，且AD=AE,连接BE,CD交于点F (1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由： (②)求证：过，点A,F的直线垂直平分线段BC 19.(9分)如图，已知∠ABC=∠ADC=90°，M,N分别是AC,BD的中 点，连接MB,MD (1)求证：MN⊥BD: (2)若∠BAD=45°，判断△MBD的形状，并说明理由. 20.(8分)观察与类比： (I)如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在△ABC外，连接AD,作 DE⊥AB于点E,交BC于点F,AD=AB,AE=AC,连接AF,求证： 7/11 DF=BC+CF (2)如图②，AB=AD,AC=AE,∠ACB=∠AED=90°，延长BC交DE于 点F,写出DF,BC,CF之间的数量关系，并证明你的结论 B E ② 21.(10分)下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成 任务.题目背景：在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点D在AB上. (I)作图探讨：在Rt△ABC外侧，以BC为边作△CBE≥△CAD, 小明：如图①，分别以点B,C为圆心，以AD,CD长为半径画孤交于点E, 连接BE,CE,则△CBE即为所求作的三角形. D B D ① ② 小军：如图②，分别过点B,C作AB,CD的垂线，两条垂线相交于点E, 8/11 则△CBE即为所求作的三角形， 填空：小明得出△CBE≈△CAD的依据是 ,小军得出 △CBE=△CAD的依据是 (填序号) ①SSS②SAS③ASA④AAS (2)测量发现：如图③，在(1)中△CBE≈△CAD的条件下，连接AE.兴趣 小组用几何画板测量发现△CAE和△CDB的面积相等.为了证明这个发现，尝试 延长线段AC至F,点，使CF=CA,连接EF.请你完成证明过程. D ③ 22.(10分)已知在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D是BC的中，点， M是AB边上的一点，连接DM,作∠MDN=6O交直线AC于点N (I)如图①，当DM⊥AB时，求证：DM=DN, (2)如图②，当M是AB边上任意一点时，DM与DN还相等吗？请说明理由 (3)请写出AC,BM,NC之间的数量关系，并证明. 9/11 M B B D ② 23.12分)已知△ABC是等边三角形，点D是 射线CF上一点，连接BD交线段AC于点G.(I)如图①，当∠ADB=60时， 求证：DA平分∠BDF; (2)如图②，延长BA交射线CF于点F,当∠ACD=2∠ABD时，在AB上取 一，点H,且FH=FC,连接CH,求证：BH=AG; (3)如图③，在(2)的条件下，将△BCH沿CH翻折，得到△NHC,CH与 BD交于点M,CN与BD交于点K,若BM=8,MK=6,求HM的长 ① ② ③ 10/11 11/11