专题1.4 线段的垂直平分线和角平分线【导图+知识卡片+知识梳理+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题】-2026-2027学年苏科版数学八年级上册同步培优精讲练

本讲义聚焦苏科版八年级上册“线段的垂直平分线和角平分线”核心知识点，系统梳理定义、性质定理、判定定理及尺规作图，通过知识梳理、题型讲练、中考真题演练与难度分层练，构建从基础概念到综合应用的完整学习支架。 资料含思维导图助力知识结构化，5个题型讲练结合中考真题，培养几何直观与推理能力，难度分层设计适配不同学生。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固提升，查漏补缺，发展应用意识与创新思维。

nullnull 专题1.4 线段的垂直平分线和角平分线『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 线段的垂直平分线 2 知识点二 角平分线 4 题型讲练 6 题型一 线段垂直平分线的性质 6 题型二 线段垂直平分线的判定 8 题型三 角平分线的性质定理 12 题型四 角平分线的判定定理 14 题型五 角平分线性质的实际应用 20 中考真题演练 23 难度分层训练 31 【基础夯实】 31 【培优拔高】 39 知识点一 线段的垂直平分线 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称为中垂线）；如图1，，为线段中点，则为线段垂直平份线. 图1 2. 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，​ 数学语言：点是线段的垂直平分线上一点（如图2）， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 图2 证明：直线是线段的垂直平分线， ， 在和中 3.判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 图3 数学语言：（如图3）， 点是线段的垂直平分线上一点（到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 证明：过点作，垂直为， 在和中 （） 为线段的垂直平分线. 4.尺规作图：分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段长度一半的长为半径画弧，两弧交于两点；​过这两个交点作直线，这条直线就是该线段的垂直平分线.如图4，的垂直平分线如图所示，作图中，要保留作图痕迹. 图4 知识点二 角平分线 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线; 2.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 图5 数学语言：为的角平分线（如图5），,, （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 证明：为的角平分线， 又,, 在和中 （） 特别注意：解题过程中，学生容易漏掉“,”这个条件。 3.判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上; 图6 数学语言：如图6，,, 为的角平分线（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） 证明：,, 在和中 （） 4.尺规作图：以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长为半径画弧，在角的内部交于一点；过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是该角的平分线. 图7 特别注意：（1）作图中 “半径大于线段一半”、角平分线作图中 “在角内部交于一点” 不然就没有交点。​ （2）角平分线作图和垂直平分线作图题是中考常考点. 题型一 线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴ 凳子应放置在三边垂直平分线的交点处， 故选D． 【变式训练1】如图，在中，为边上的中垂线，，，则的周长为___________ 【答案】 【分析】利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，进行线段的等量代换，将的周长转化为是正确解答本题的关键． 【详解】解：为边上的中垂线 的周长 的周长 ． 【变式训练2】（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．利用线段垂直平分线的性质，将的长度转化为的周长来求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E， ∴ ∵的周长为. 【变式训练3】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连结，若，，则的周长为______． 【答案】9 【分析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则的周长为，即可得出答案． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ， 的周长为． 题型二 线段垂直平分线的判定 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的大小； (3)如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）证明即可证明； （2）过点O作于点M，于点N，求出，再证明平分，即可求出结论； （3）先证明，得出，进而证明，点E在的垂直平分线上，再根据为等边三角形得出点A在的垂直平分线上，证明结论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ． ； （2）解：如图，过点O作于点M，于点N，则， 由（1）， ∴， ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴平分， ∴． （3）证明：由（1）得：． 在和中， ． ∵， ∴，点E在的垂直平分线上； 在中，， ∴为等边三角形， ∴，点A在的垂直平分线上； ∴直线垂直平分． 【变式训练1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作，使，（点与点在的同侧）； (2)在（1）的基础上，仅用无刻度直尺作出的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了尺规作图，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质． （1）以点为圆心，为半径作弧，以点为圆心，为半径作弧，两弧相交于点，则即为所求； （2）延长与相交于点，作直线，则直线即为的垂直平分线． 【详解】（1）解：如图所示，△ABD即为所求； ； （2）解：如图所示，直线即为所求； ． 【变式训练2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，与相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明是本题的关键． （1）根据定理即可证得； （2）由，可得，且，可得垂直平分． 【详解】（1）证明：，， 在与中， ， ， （2）证明：， ， ， 点与点在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 【变式训练3】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，是的中线，点E是边上一点，连接，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：点D是线段的中点； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质． （1）根据平行线的性质得到，证明，即可得到，即点D是的中点； （2）根据得到，证明垂直平分，可知． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， 即点D是的中点； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴． 题型三 角平分线的性质定理 【典例精讲】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，平分，，则点到直线的距离为____． 【答案】2 【分析】角的平分线上的点到角的两边的距离相等，据此求解即可． 【详解】解：∵，平分，， ∴点到直线的距离． 【变式训练1】（23-24八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，是的平分线，，垂足为E，若，则的长度为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质定理得到即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴． 【变式训练2】（24-25八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，的角平分线交于点，，，则的面积是______． 【答案】 【分析】过作于点，通过角平分线的性质可得，再由面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过作于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴的面积是． 【变式训练3】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段检测）如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点E是射线上一动点．则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解，过P点作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：∵，的面积为，， ∴， ∴， 过P点作于H，如图： ∵平分，，， ∴， ∵点E是射线上的动点， ∴的最小值为． 题型四 角平分线的判定定理 【典例精讲】（24-25八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②15 【分析】（1）连接，如图1，根据“”可证明，所以，从而得到结论； （2）①先证明，得到，然后根据（1）的结论可判断平分； ②利用三角形面积公式得到，由于，，代入解方程即可． 【详解】（1）证明：连接，如图1， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上； （2）①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而，， ∴平分； ②解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 即线段的长为15． 【变式训练1】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于点，于点根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，于点． 平分， ． ，， ， 平分， ， ， 平分． （2）解：，，，且， ， ， ， ， 故的面积为32． 【变式训练2】（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，故④正确， 综上可知，正确的结论有：①②③④，共有4个． 【变式训练3】（25-26八年级上·河北沧州·期末）学习完第十三章《三角形》和第十四章《全等三角形》等相关知识后，数学兴趣小组的同学开启了作角平分线的智慧之旅，深入探究了角平分线的作法． 问题：作的平分线 作法： （1）甲同学用尺规作出了角平分线； （2）乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线； （3）丙同学也用尺规作出了角平分线； （4）工人师傅利用带刻度的角尺，通过移动角尺使上下相同刻度在角的两边上，即得为的平分线． 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的过程中用了三角形全等的判定和性质，其判定三角形全等的依据是______； 对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定作法正确，其中也用到了三角形全等的判定方法，其依据是______（写出一种即可）； 对丙同学的作法陷入了沉思，大家由作图痕迹分析出：______，____________． 解决： (1)请将上述讨论补充完整； (2)完成对丙同学作法的证明，即将分析出的条件作为已知，证明为的平分线． 【答案】(1)；；；； (2)证明见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据、的判定方法证得三角形全等可得结论； （2）利用平行线的判定与性质、等腰三角形的性质进行证明即可． 【详解】（1）解：甲同学用尺规作出了角平分线，其判定三角形全等的依据是；乙同学用到的三角形全等的判定方法，其依据是，由丙同学的作图痕迹可知、， 故答案为：；；；；； （2）解：由作图可知， ， ， ， ， ， 平分． 题型五 角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·上海·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质，尺规作图-作角平分线等知识，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质即可得出结论； （2）利用角平分线的性质作出图形即可； （3）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）解：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组）的平分线交点到三角形三边的距离相等， 故符合要求的位置有4个， 故答案为：4； （2）解：如图所示，、、、即为加油站的位置， （3）解：作图的依据是角平分线的判定定理， 故答案为：角平分线的判定定理． 【变式训练1】（25-26八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心． 故选：C． 【变式训练2】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 【变式训练3】（25-26八年级上·河北衡水·期中）为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． (1)请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 【答案】(1)见解析； (2)这个服务站到三条公路的距离均为米． 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线性质的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别作和平分线即可； （）连接，设点到三边的距离均为，则有，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：作和平分线，交于点，则点即为所求，如图所示， （2）解：连接，设点到三边的距离均为， ∴，解得， 即这个服务站P到三条公路的距离均为米． 【真题演练1】（2025·重庆开州·中考真题）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，于点，若，则的长度为（    ） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质． 连接，过点作于点，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，根据证明，可得，再根据证明，可得，继而可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作并交延长线于点， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ∴， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，， ． 故选：B． 【真题演练2】（2025·湖北武汉·中考真题）如图，是的角平分线，是边上的中线，与相交于点，若，四边形的面积是11，则的面积是（    ） A．35 B．60 C．40 D．50 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形角平分线和中线的性质，利用面积比例关系求解是关键，包括角平分线到角两边的距离相等，以及中线将三角形分成面积相等的两部分，同时三角形面积比等于对应底或高的比． 【详解】解：如图，连接． ∵是边上的中线， ∴设，则． ∵是的角平分线， ∴点到、的距离相等，设为， 则， ∴． ∵是中线， ∴． ∵， ∴． 设，，则， 则，． ∵， ∴，则y. ∵四边形的面积为， ∴． ∵， ， ∴，解得， ∴的面积为； 故选：C． 【真题演练3】（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，D为的中点，，平分，于点F，，，则的长为___________． 【答案】11 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质等．连接，过点作于点，证明垂直平分线段，得出，证明和，得出相等的边，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵，且D为中点， ∴垂直平分线段， ∴， ∵平分， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：11． 【真题演练4】（2025·安徽合肥·中考真题）如图1，在中，是的平分线，，，． （1）点到的距离为________． （2）如图2，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为________． 【答案】 6 【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形的面积，垂线段最短，利用垂线段最短求最小值是解题的关键． （1）首先构造角平分线向角两边的垂线，根据角平分线的性质得到，结合即可求解出，即为点到的距离； （2）首先构造点N关于的对称点判断出点在线段上，即可将转化为，再根据垂线段最短得到时，的值最小，即的值最小，最终利用求解的值即可． 【详解】解：（1）如图，过点D作于点E，作于点F， ∵是的平分线， ∴， ∵，，，且， ∴，解得：； ∴点到的距离为， 故答案为：； （2）如图，构造点N关于的对称点， ∵点N关于的对称点， ∴， ∵是的平分线， ∴是等腰三角形， ∴点在线段上， ∴ 如图，当点C，M，三点共线，且时，的值最小，即的值最小， ∵，， ∴，解得：， ∴的最小值为6， 故答案为：6． 【真题演练5】（2025·江西赣州·中考真题）【回顾】如图1，点是的平分线上一点，过点作于点，于点，依据角平分线的性质可得． （1）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （2）【拓展】如图3，的外角，的平分线与内角的平分线交于点，若，请直接写出的度数． 【答案】（1）①见解析，②，，之间的数量关系为，理由见解析；（2）． 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）①过D作于F，则；证即可； ②根据推出，再证，得，即可； （2）过P作交延长线于H，于G，于K，由题意得，，推出，得出平分，即可求解； 【详解】（1）①证明：过D作于F，如图： ∵是的平分线，， ∴， ∵，且． ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：之间的数量关系为，理由如下： 由①知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：过P作交延长线于H，于G，于K，如图： ∵平分 ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·吉林通化·期中）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可知，平分，，根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可证明，即可判断选项A；利用“”证明，结合全等三角形的性质可得，即可判断选项B；结合 “直角三角形两锐角互余”可证明，即可判断选项C；由已知条件无法证明，故选项D错误，符合题意． 【详解】解：由作图可知，平分，， ∵， ∴，故选项A正确，不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故选项C正确，不符合题意； 由已知条件无法证明，故选项D错误，符合题意． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图痕迹可知，为的平分线，，结合角平分线的性质可得，即可判断A选项；由已知条件可证明，可得，即可判断B选项；根据，，可得，即可判断D选项，进而可得答案． 【详解】解：由作图痕迹可知，为的平分线，， ， ． 故A选项正确，不符合题意； ，， ． ． 故B选项正确，不符合题意； 在中，， 在中，， ． 故D选项正确，不符合题意； 由已知条件不能得出， 故C选项不正确，符合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，．以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于D，E两点，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线交于点G，若，，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵，， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为________． 【答案】12 【分析】利用角平分线的性质，得出点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解的面积． 【详解】解：如图所示，过点作于点． 平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． ∵， ． 又∵， ． 5．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，点D为直线上一点，则的周长最小值是________． 【答案】 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出的周长，再结合三角形三边关系得出当点、、在同一直线上时，的值最小为，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小为， ∴的周长最小值是． 6．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，若的面积为，那么四边形的面积为______． 【答案】 【分析】过作于点，，根据角平分线性质可得，，证明，，所以，，又的面积为，即，最后通过四边形的面积为即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴四边形的面积为． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是___________ 【答案】10 【分析】由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 在的垂直平分线上， ， 的周长 ． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据三角形的周长，求出，分割法求面积，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：∵，的周长为18， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·广东中山·阶段检测）如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知 ，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可． （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ， 在与中， ， ， ， 又∵，， 平分． （2）解：由（1）得， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 10．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知点A，B以及直线l． (1)用直尺和圆规作线段的垂直平分线，交直线l于点P（要求保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，M，N是直线l上的两点．若．求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，画出中垂线，确定点即可； （2）证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：由作图可知，， 又∵， ∴， ∴． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论中不正确的是（    ） A．的值不变 B． C．的长度不变 D．四边形的面积不变 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质．作于，于，于，可证，所以，由平分，得证，于是，所以，同时，所以，，推出，进一步得到，，所以，故B正确；因为，故A正确；由三角形全等可知，所以定值，故D正确；，的位置变化，所以的长度是变化的，故C错误． 【详解】解：如图作于，于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，于，于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴定值，故D正确， ∵为定值，故A正确， ∵，的位置变化， ∴的长度是变化的，故C错误． ∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴，故B正确， 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，延长至点，延长至点的角平分线交于点P，交于点，垂足分别为点M、N．则下列结论中正确的个数（   ）． ①平分；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点P作于D，由角平分线的性质定理可得，再根据角平分线的判定定理即可判断①；证明，得出，同理可得，从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④；根据三角形的面积法可判断⑤． 【详解】解：①如图：过点P作于D， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 由不一定等于，故②错误； ③∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，④正确． 如图：过O作， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故⑤正确． 综上，①③④⑤正确，共4个． 故选：D． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，点P为的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M、N两点，则以下结论中错误的是（   ） A． B． C．四边形的面积保持不变 D．的周长保持不变 【答案】D 【分析】本题考查角平分线性质、全等三角形判定与性质及含角的直角三角形性质，核心是通过作辅助线构造全等三角形，分析线段长度、面积、周长的变化规律．解题关键在于构造全等三角形，将动态旋转中的变量转化为定值或可比较的量． 【详解】解：过点作于点，于点． 为平分线上的点， 得； 又，， 得； 已知与互补，即， ， 在和中： ． ，故选项A正确． 在中，， ， 得； 同理，在中，． ， ． ，故选项B正确． ，， ． ，和的边长与角度固定， 四边形的面积保持不变，选项C正确． 的周长为． ， 的长度随旋转时、位置的变化而变化 的周长会因长度的变化而变化，选项D错误． 故选：D． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，，，和的平分线交于点O，于点M，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．用角平分线的性质定理求得，再利用等积法求解即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， 过O分别作的垂线，垂足为D、E，连接， ∵O是和的平分线的交点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得． 5．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，于点，，，将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处，则的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的判定和性质，构造辅助线是解题的关键； 过点作，交于点，由题意可得，，从而推出是的平分线，得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， ∵将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∴是的平分线， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，为的平分线，于，若的面积是，，，则的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，如图，过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵为的平分线，于， ∴， ∵的面积是， ∴， 即 ∵，， ∴ ∴ 故答案为：． 7．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，的外角的角平分线与边的中垂线交于点，过作于点，则、、三条线段之间的数量关系为______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质，理解题意和准确构造辅助线是解题的关键； 连接，，过点作，交于点，证明，得到，再证明，从而得到，，即可推出． 【详解】解：如图所示，连接，，过点作，交于点， ∵是的角平分线，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵是边的中垂线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴、、三条线段之间的数量关系为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·湖南常德·期末）某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图1，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，E是边上一点，且，F是边上一动点（不包括两端点），连接，，老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空： ；（填“”“”或“”） 【问题探究】 （2）任务一：如图2，若．求证：； （3）任务二：如图3，，，，若，试说明；此时，点E关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）证明见解析，的面积为12 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点H，可证明，再证明得到； （3）延长交的延长线于点Q，证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得；在线段上取点，使得，求出和，可得的面积． 【详解】（1）解：∵是的平分线，，分别是，的高， ∴． 故答案为：； （2）证明：如图2，于点H， 在和中， ， ∴， ∴． 又由（1）知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图3，∵， ∴， 延长交的延长线于点Q， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴； 如图4，在线段上取点，使得， ∵， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则， ∴． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期末）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)【问题解决】如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明发现可以用上面的方法解决该题并作出了如下的辅助线（延长至点，使，连接），请结合小明做的辅助线，直接写出的取值范围______； (2)【类比运用】如图2，，点为的中点，，，求的长； (3)【拓展探究】如图3，在和中，，，．连接，，点是的中点，连接并延长，与相交于点．若，，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解； （2）如图，延长至点，使，连接，证，求得的长，证得为线段的垂直平分线即可解答； （3）如图，延长至点，使，连接，先证，得，，再根据平行线的性质得，再证即可解答． 【详解】（1）解：在中，是的中点， ， ，， ， ， ， 即， ， ， ， ； （2）如图，延长至点，使，连接， 点为的中点， ， ，， ， ，， ， ， ，，三点共线， ， ， ， ， 为线段的垂直平分线， ； （3）如图，延长至点，使，连接， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 10．（25-26八年级上·广东东莞·期末）某数学兴趣小组进行如下探究： 如图，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即． 继续探究，如图，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即 ， ________． (1)【猜想结论】 ___________； (2)【证明结论】请证明（）中你所猜想的结论； (3)【应用结论】如图，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接． 求证：垂直平分； 在图中画出边上的高（只需体现的位置），则___________．（无需证明） 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)见解析； ． 【分析】（）根据角平分线的性质、三角形面积公式可得答案； （）过作于点，作于点，根据角平分线的性质可得，然后由，从而求证； （）连接，由得， 又， 从而得，又是的中点，则，所以，得点在垂直平分线上，然后证明，得，所以点在垂直平分线上，从而可证垂直平分； 根据高的定义画出高，然后延长交延长线于点，设，，则有，，再证明，所以，，通过，根据得出，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）证明：如图，过作于点，作于点， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （3）证明：如图，连接， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， 又∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分； 如图，即为所求， 延长交延长线于点， 设，， 由得， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 线段的垂直平分线和角平分线『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 线段的垂直平分线 2 知识点二 角平分线 4 题型讲练 6 题型一 线段垂直平分线的性质 6 题型二 线段垂直平分线的判定 7 题型三 角平分线的性质定理 9 题型四 角平分线的判定定理 10 题型五 角平分线性质的实际应用 12 中考真题演练 13 难度分层训练 15 【基础夯实】 15 【培优拔高】 18 知识点一 线段的垂直平分线 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称为中垂线）；如图1，，为线段中点，则为线段垂直平份线. 图1 2. 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，​ 数学语言：点是线段的垂直平分线上一点（如图2）， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 图2 证明：直线是线段的垂直平分线， ， 在和中 3.判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 图3 数学语言：（如图3）， 点是线段的垂直平分线上一点（到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 证明：过点作，垂直为， 在和中 （） 为线段的垂直平分线. 4.尺规作图：分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段长度一半的长为半径画弧，两弧交于两点；​过这两个交点作直线，这条直线就是该线段的垂直平分线.如图4，的垂直平分线如图所示，作图中，要保留作图痕迹. 图4 知识点二 角平分线 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线; 2.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 图5 数学语言：为的角平分线（如图5），,, （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 证明：为的角平分线， 又,, 在和中 （） 特别注意：解题过程中，学生容易漏掉“,”这个条件。 3.判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上; 图6 数学语言：如图6，,, 为的角平分线（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） 证明：,, 在和中 （） 4.尺规作图：以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长为半径画弧，在角的内部交于一点；过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是该角的平分线. 图7 特别注意：（1）作图中 “半径大于线段一半”、角平分线作图中 “在角内部交于一点” 不然就没有交点。​ （2）角平分线作图和垂直平分线作图题是中考常考点. 题型一 线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【变式训练1】如图，在中，为边上的中垂线，，，则的周长为___________ 【变式训练2】（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 【变式训练3】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连结，若，，则的周长为______． 题型二 线段垂直平分线的判定 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的大小； (3)如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分． 【变式训练1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作，使，（点与点在的同侧）； (2)在（1）的基础上，仅用无刻度直尺作出的垂直平分线． 【变式训练2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，与相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【变式训练3】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，是的中线，点E是边上一点，连接，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：点D是线段的中点； (2)当，，时，求的长． 题型三 角平分线的性质定理 【典例精讲】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，平分，，则点到直线的距离为____． 【变式训练1】（23-24八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，是的平分线，，垂足为E，若，则的长度为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式训练2】（24-25八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，的角平分线交于点，，，则的面积是______． 【变式训练3】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段检测）如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点E是射线上一动点．则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型四 角平分线的判定定理 【典例精讲】（24-25八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 【变式训练1】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【变式训练2】（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26八年级上·河北沧州·期末）学习完第十三章《三角形》和第十四章《全等三角形》等相关知识后，数学兴趣小组的同学开启了作角平分线的智慧之旅，深入探究了角平分线的作法． 问题：作的平分线 作法： （1）甲同学用尺规作出了角平分线； （2）乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线； （3）丙同学也用尺规作出了角平分线； （4）工人师傅利用带刻度的角尺，通过移动角尺使上下相同刻度在角的两边上，即得为的平分线． 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的过程中用了三角形全等的判定和性质，其判定三角形全等的依据是______； 对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定作法正确，其中也用到了三角形全等的判定方法，其依据是______（写出一种即可）； 对丙同学的作法陷入了沉思，大家由作图痕迹分析出：______，____________． 解决： (1)请将上述讨论补充完整； (2)完成对丙同学作法的证明，即将分析出的条件作为已知，证明为的平分线． 题型五 角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·上海·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 【变式训练1】（25-26八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【变式训练2】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26八年级上·河北衡水·期中）为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． (1)请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 【真题演练1】（2025·重庆开州·中考真题）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，于点，若，则的长度为（    ） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 【真题演练2】（2025·湖北武汉·中考真题）如图，是的角平分线，是边上的中线，与相交于点，若，四边形的面积是11，则的面积是（    ） A．35 B．60 C．40 D．50 【真题演练3】（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，D为的中点，，平分，于点F，，，则的长为___________． 【真题演练4】（2025·安徽合肥·中考真题）如图1，在中，是的平分线，，，． （1）点到的距离为________． （2）如图2，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为________． 【真题演练5】（2025·江西赣州·中考真题）【回顾】如图1，点是的平分线上一点，过点作于点，于点，依据角平分线的性质可得． （1）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （2）【拓展】如图3，的外角，的平分线与内角的平分线交于点，若，请直接写出的度数． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·吉林通化·期中）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，．以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于D，E两点，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线交于点G，若，，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．24 D．32 4．（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为________． 5．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，点D为直线上一点，则的周长最小值是________． 6．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，若的面积为，那么四边形的面积为______． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是___________ 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 9．（25-26八年级上·广东中山·阶段检测）如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知 ，，求的长． 10．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知点A，B以及直线l． (1)用直尺和圆规作线段的垂直平分线，交直线l于点P（要求保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，M，N是直线l上的两点．若．求证：． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论中不正确的是（    ） A．的值不变 B． C．的长度不变 D．四边形的面积不变 2．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，延长至点，延长至点的角平分线交于点P，交于点，垂足分别为点M、N．则下列结论中正确的个数（   ）． ①平分；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，点P为的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M、N两点，则以下结论中错误的是（   ） A． B． C．四边形的面积保持不变 D．的周长保持不变 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，，，和的平分线交于点O，于点M，则的长为________． 5．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，于点，，，将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处，则的面积为_____． 6．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，为的平分线，于，若的面积是，，，则的长是______． 7．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，的外角的角平分线与边的中垂线交于点，过作于点，则、、三条线段之间的数量关系为______． 8．（25-26八年级上·湖南常德·期末）某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图1，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，E是边上一点，且，F是边上一动点（不包括两端点），连接，，老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空： ；（填“”“”或“”） 【问题探究】 （2）任务一：如图2，若．求证：； （3）任务二：如图3，，，，若，试说明；此时，点E关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期末）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)【问题解决】如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明发现可以用上面的方法解决该题并作出了如下的辅助线（延长至点，使，连接），请结合小明做的辅助线，直接写出的取值范围______； (2)【类比运用】如图2，，点为的中点，，，求的长； (3)【拓展探究】如图3，在和中，，，．连接，，点是的中点，连接并延长，与相交于点．若，，请直接写出的长度． 10．（25-26八年级上·广东东莞·期末）某数学兴趣小组进行如下探究： 如图，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即． 继续探究，如图，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即 ， ________． (1)【猜想结论】 ___________； (2)【证明结论】请证明（）中你所猜想的结论； (3)【应用结论】如图，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接． 求证：垂直平分； 在图中画出边上的高（只需体现的位置），则___________．（无需证明） 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $