5.2菱形 同步练习题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 以菱形性质与判定为核心，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从单一知识点到动态综合应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|菱形定义、对角线性质、面积计算|直接应用性质求面积（填空8）、判定菱形（单选1），强化概念理解| |能力提升|性质与判定综合、简单推理|结合全等证明线段相等（解答15）、利用对角线求边长（填空9），发展推理意识| |综合拓展|动态问题、跨知识综合|动点最值（单选7）、图形变换与证明（解答20），培养空间观念与创新意识|

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《5.2菱形》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，的对角线交于点，以下条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，菱形花坛沿着对角线修建了两条小路和，若花坛的面积为，小路的长为，则小路的长为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，且，则菱形的周长是（   ） A．12 B．20 C．22 D．24 4．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，点在边上，连接、，且，设，，则，关系正确的是（   ）． A． B． C． D． 6．如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、均在轴上，点D在轴上，点在第一象限，已知点坐标为，点坐标为，点是直线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 二、填空题 8．如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的面积为_______． 9．如图，在菱形中，对角线与交于点，点为上一点，连接，若，，，则的长为______． 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为________． 11．如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，且，，当时，四边形是____________形． 12．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为__________． 13．如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 14．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，．点，分别是，边上的动点，则的最小值为_____． 三、解答题 15．如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接． 求证：． 16．如图，菱形的对角线与交于点，过点作，过点作，与交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 17．如图，四边形是菱形，B是的中点，连接交于点M． (1)求证：． (2)连接，若，求的长． 18．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 19．如图1，在四边形中，，将线段平移得到，且为垂直平分线上一点，连接 与交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，连接交于点，连接，若，求证：四边形是菱形． 20．已知菱形，点F是射线上一动点（不与A、B重合），射线分别与直线、的角平分线、对角线相交于点E、G、H，连结． (1)如图1，当点F在线段上时． ①证明：； ②证明：． (2)取的中点M，连结，，．当E、F、D三点中其中一点为连结另两个点所成线段的中点时，求的长． 参考答案 1．D 【分析】根据菱形的判定定理分别证明即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴是菱形； B、四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形； C、四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形； D、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，故不能证明为菱形． 2．B 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：设交于，   ， 在菱形中，，且相互平分， ， ∴． 3．D 【详解】解：由于菱形对角线互相垂直平分， ∴， ∵E是中点， ∴是斜边上的中线， 则， 菱形周长． 4．B 【分析】根据菱形的性质，求出的度数，再求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．D 【分析】由菱形的性质可得，，，．由等腰三角形的性质可得，结合平行线的性质可得，再根据等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求出．根据，得出等式，变形后即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．C 【分析】利用三角形中位线定理及特殊四边形的判定与性质求解． 【详解】如图：连接，交于点O， 因为、、、分别是四边形边的中点， ∴；，， ． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵四边形面积为，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴． 7．C 【分析】先由勾股定理求出菱形边长并确定各顶点坐标，再利用菱形对角线的对称性将转化为，最后根据两点之间线段最短，计算的长度即为的最小值． 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点的坐标为， 如图，连接，过点作轴于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴点的坐标为， ∵菱形的对角线是其对称轴， ∴点关于直线的对称点是点， ∴对直线上任意一点，都有， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、、三点共线（即点运动到图中位置）时，取得最小值，最小值为线段的长度， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 8． 【分析】根据菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半，直接代入两条对角线的长度计算即可． 【详解】解：在菱形中，对角线和的长分别为和， ． 9．17 【分析】本题可先利用菱形的性质得到对角线互相垂直，再通过勾股定理求出（）的长度，接着算出的长度，最后在中用勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，． 在中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． 10． 【分析】延长交x轴于点D，根据菱形的性质可得，轴，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：延长交x轴于点D， ∵四边形是菱形， ∴， ∴轴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 11． 菱 【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到；根据，可证明四边形是平行四边形，且，由等边对等角得到，则可证明，得到，据此证明，即可得到平行四边形是菱形 ． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形 ． 12． 【分析】先利用菱形对角线性质和面积公式求出的长度，再根据直角三角形斜边中线定理得到的长度． 【详解】解：菱形的对角线，相交于点， ，， ， ， 菱形的面积为， ， 解得， ， ， ． 13． 【分析】先得到四边形是平行四边形，则当时，四边形是菱形，然后表示出，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：由题意得，，则， ∵四边形是矩形 ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵ ∴， 解得 ∴四边形是菱形，则的值为． 14．4.8 【分析】如图，连接，过点D作于点H，交于，根据菱形的性质得垂直平分，则，，当N与H重合，M与重合时，最小值为，由勾股定理求出，再根据，即可求出． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点H，交于， ∵在菱形中，对角线与相交于点，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 当N与H重合，M与重合时，最小值为， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为4.8． 15．见解析 【分析】利用菱形的性质，证明即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∵在与中 ∴， ∴， ∴． 16．(1)见解析 (2)24 【分析】（1）由菱形的性质得，再结合题意证四边形是平行四边形，即可得结论； （2）根据（1）的结论求出，再根据菱形的性质和面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 17．(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过菱形的性质证明即可； （2）先得到是直角三角形，然后根据斜边中线的性质得到，，再由勾股定理求解，最后根据全等三角形得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵B是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； （2）解：∵菱形中，，， 又∵， ∴， ∵B是的中点， ∴ ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 18．(1)见解析 (2)96 【分析】（1）根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； （2）根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ，； ∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， （）， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形的周长是40， ∴， 设、， 则有，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 整理可得：， ∴． 19．(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析； (3)证明过程见解析． 【分析】（1）由平移可得四边形是平行四边形，可得，由线段垂直平分线的性质，可得，可得，结合已知可得，即可证得结论； （2）由平行四边形的性质，结合等角对等边，可得，证明，可得，即可证得结论； （3）由平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，结合，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵将线段平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵为垂直平分线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 20．(1)①见详解；②见详解 (2)1或8 【分析】（1）①证即可得证； ②证明线段相等的方法一般为同一个三角形证等腰，不同三角形证全等，由第一问很容易得到，所以要证，可以尝试证，它们在同一个三角形中，可证等腰，即等角对等边，证，而证角相等无外乎内角和、外角、平行线、全等以及等角转化等内容，根据题干很容易得出，再通过外角和角的和差即可得证； （2）根据题意可以分两种情况，分别是是中点和是中点，画出符合题意的图形，根据题干条件证是中位线即可求解． 【详解】（1）证明：①∵四边形是菱形， ， 在和中， ， ， ； ②平分， ， ∵四边形是菱形， ， ， ∵， ， ， ， ， 由①知， ， ； （2）解：①如图，当是中点时，此时在线段上，连接， 是中点， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， 平分， ， ， 由（1）知， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ， ∵ ∴， 由（1）②知， ， ∴是中点， ∵是中点， ∴是的中位线，即， ， ； ②如图，当是中点时，此时在延长线上，连接， ∵是中点， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ，， ∵，平分， ∴，，， ， 由（1）知， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ， ∵ ∴， 由（1）②知， ， ∴是中点， ∵是中点， ∴是的中位线，即， ∵， ， ， ， 综上，的长为8或1． 学科网（北京）股份有限公司 $