5.2 菱形 同步练习 2025-2026学年浙教版数学八年级下册

第5章 特殊平行四 边形 分值：75分 5.2菱形 第1课时 菱形的性质 选择题（每小题3分，共12分）；填空题（每小题3分） A掌握基本知识 落实4基 1菱形不一定具备的性质是() A.四条边都相等 B.对角线相等 C.是轴对称图形 D.是中心对称图形 2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,下列说法错误的是() D A.AB∥DC B.∠DAO=∠DCO CAC⊥BD D.OA=BD 3.(3分)如图，AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC=38°，点E在BC的延长线上， 则∠DCE-°。 4.(3分)若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为。 5.(3分)如图，在菱形ABCD中，DE LAB,DF⊥BC,垂足分别为E,F。若∠ADE 十∠CDF=80°，则∠EDF=°。 D 6.(8分)如图，在菱形ABCD中，BD为对角线，E为BD上的点。求证：∠DAE ∠DCE。 7.(8分)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,AB=2,AC-2。 求： (I)2分)菱形ABCD的周长。 (2)3分)BD的长。 (3)3分)菱形ABCD的面积。 B 8.(8分)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E,F分别在AB,AD上，BE=DF ,连结EF。求证：AC⊥EF。 B 9.(8分)如图，已知菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长AB至点E, 使BE=AB,连结CE。若∠E-68°，求∠BAD的度数。 D B B提升关键能力 练就4能 10.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E为边BC的中点，连结 OE。若AC=6,BD=8,则OE的长为() B 0 D A.2 B. C.3 D.5 11.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O,DH⊥BC于点H 。若AC=8,BD=6,则DH的长为() D B A鳄 B号 c D.4 12.(3分)如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16,O是线段BD上 的动点，OELAB于点E,OFLAD于点F,则OE十OF的值为一。 E B D 13.(8分)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连结EF。 (1)4分)求证：AE=AF。 (2)(4分)若∠B-60°，求∠AEF的度数。 B 14.(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE ⊥BC于点E,延长BC至点F,使得CF=BE,连结DF。 (I)4分)求证：四边形AEFD是矩形 (24分)连结OE,若AB-13,OE-2√13，求AE的长。 ©发展核心素养 培养3会 15.(3分)儿应用意识，推理能力]杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度 相等的伞骨围成菱形ABCD,伞骨连接点A固定在伞柄AP顶端，伞圈C能沿着 伞柄AP滑动。小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄AP的中点O到伞骨 连接点B,D的距离都等于AP长的一半。若夹角∠BAD=2∠BOD,则∠BCD的 度数为°。 图1 图2 第5章　特殊平行四边形 5.2　菱形 第2课时　菱形的判定 分值：73分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分) 1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是(　C　) A.三条边相等 B.两条对角线互相垂直 C.两条对角线互相垂直平分 D.两条对角线相等且互相垂直 2.如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF。若四边形ECDF为菱形，则a的值为(　B　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，CE∥FD，CD=AB=4。 ∵将线段AB水平向右平移得到线段EF， ∴AB∥EF∥CD， ∴四边形ECDF为平行四边形。 当CD=CE=4时，▱ECDF为菱形， 此时a=BE=BC－CE=6－4=2。 3.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。添加下列一个条件，仍不能判定▱ABCD是菱形，这个条件是(　B　) A.AC⊥BD B.AC=BD C.AB=BC D.∠BAC=∠DAC 4.(3分)如图，AC=8，分别以点A，C为圆心，5为半径作弧，得到交点B，D。依次连结A，B，C，D，连结BD交AC于点O。 (1)(1.5分)四边形ABCD是　菱　形。  (2)(1.5分)BD的长为　6　。  【解析】 (2)∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC=AC=4，OB=OD=BD，AC⊥BD。 在Rt△AOB中，OB= =3， ∴BD=2OB=6。 5.(8分)如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F。求证：四边形BEDF为菱形。 证明：∵DE∥BC，DF∥AB， ∴四边形BFDE是平行四边形。 ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠EBD=∠DBF。 ∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBF， ∴∠EBD=∠EDB，∴BE=ED， ∴▱BFDE是菱形。 6.(8分)小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，OB=OD。求证：四边形ABCD是菱形。”她将自己的证明过程与同学小洁交流。 小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB=OD， ∴AC垂直平分BD， ∴AB=AD，CB=CD， ∴四边形ABCD是菱形。 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明。 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”。若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明。 解：赞成小洁的说法，补充条件：OA=OC，证明如下： ∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形。 又∵AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形。 7.(8分)如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F，G，H依次是BD，BC，AC，AD的中点。求证：四边形EFGH是菱形。 证明：∵E，F，G，H分别是线段BD，BC，AC，AD的中点， ∴EH，FG分别是△ABD，△ABC的中位线，EF，HG分别是△BCD，△ACD的中位线， ∴EH=FG=AB，EF=HG=CD。 又∵AB=CD， ∴EH=FG=EF=HG， ∴四边形EFGH是菱形。 8.用直尺和圆规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中，错误的是(　C　) A. B. C. D. 9.(8分)如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，且AE=CF，连结DE，DF。请从以下给出的三个条件：①∠1=∠2，②DE=DF，③∠3=∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形。 (1)(2分)你添加的条件是　①或③　(填序号)。  (2)(6分)添加条件后，请证明▱ABCD为菱形。 解：(2)以选择条件①为例，证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C。 在△ADE和△CDF中， ∵ ∴△ADE≌△CDF(AAS)， ∴AD=CD， ∴▱ABCD为菱形。 10.(8分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD。过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连结OE。 (1)(4分)求证：四边形ABCD是菱形。 (2)(4分)若AB=10，BD=8，求OE的长。 解：(1)∵AB∥CD， ∴∠CAB=∠DCA。 ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠CAB=∠DAC， ∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD。 ∵AB=AD，∴AB=CD。 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形。 又∵AD=AB，∴▱ABCD是菱形。 (2)∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，BD⊥AC。 ∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC。 ∵BD=8，∴OB=BD=4。 在Rt△AOB 中，AB=10，OB=4， ∴OA==2， ∴OE=OA=2。 11.(8分)如图，四边形ABCD是平行四边形。 (1)(4分)尺规作图：作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹)。 (2)(4分)若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形。 解：(1)如答图，直线MN即为所求。 第11题答图 (2)设AC与EF相交于点O。由作图可知，EF垂直平分线段AC， ∴OA=OC。 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥CF， ∴∠OAE=∠OCF。 又∵∠AOE=∠COF， ∴△AOE≌△COF(ASA)， ∴AE=CF， ∴四边形AFCE是平行四边形。 又∵AC⊥EF，∴▱AFCE是菱形。 12.(10分)[推理能力]如图，在▱ABCD中，AB=2 cm，AC=5 cm，=8 cm2。点E从点B出发，以1 cm/s的速度在AB的延长线上向右运动，同时点F从点D出发，以同样的速度在CD的延长线上向左运动，运动时间为t(s)。 (1)(3分)在运动过程中，四边形AECF的形状是　平行四边形　。  (2)(3分)当t=　1　s时，四边形AECF是矩形。  (3)(4分)当t的值为多少时，四边形AECF是菱形？ 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=2 cm，AB∥CD，即CF∥AE。 易知DF=BE=t(cm)，∴CF=AE， ∴四边形AECF是平行四边形。 (2)当四边形AECF是矩形时，∠AFC=90°， ∴AF⊥CD， ∴S▱ABCD=CD·AF=8 cm2， ∴AF=4 cm。 在Rt△ACF中，AF2＋CF2=AC2， 即42＋(t＋2)2=52， 解得t1=1，t2=－5(不合题意，舍去)， ∴t=1。 (3)∵四边形AECF是平行四边形， ∴当CE=AE时，▱AECF是菱形。 ∵BE=t(cm)， ∴CE=AE=(t＋2)cm。 如答图，过点C作CG⊥BE于点G。 第12题答图 ∵=AB·CG=8 cm2， ∴CG=4 cm， ∴AG==3 cm， ∴GE=t＋2－3=(t－1)cm。 ∵CG2＋GE2=CE2， ∴42＋(t－1)2=(t＋2)2， 解得t=， ∴当t的值为时，四边形AECF是菱形。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章　特殊平行四边形 5.2　菱形 第1课时　菱形的性质 分值：75分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分) 1.菱形不一定具备的性质是(　B　) A.四条边都相等 B.对角线相等 C.是轴对称图形 D.是中心对称图形 2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法错误的是(　D　) A.AB∥DC B.∠DAO=∠DCO C.AC⊥BD D.OA=BD 3.(3分)如图，AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC=38°，点E在BC的延长线上，则∠DCE=　104　°。  【解析】 ∵四边形ABCD是菱形，∠BAC=38°， ∴∠BCD=∠BAD=2∠BAC=76°， ∴∠DCE=180°－∠BCD=180°－76°=104°。 4.(3分)若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为　24　。  5.(3分)如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F。若∠ADE＋∠CDF=80°，则∠EDF=　50　°。  【解析】 ∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠AED=∠DFC=90°。 ∵∠ADE＋∠CDF=80°，∴∠A＋∠C=180°－80°=100°。 ∵四边形ABCD是菱形，∴∠A=∠C=50°， ∴∠ADC=130°， ∴∠EDF=∠ADC－(∠ADE＋∠CDF)=50°。 6.(8分)如图，在菱形ABCD中，BD为对角线，E为BD上的点。求证：∠DAE=∠DCE。 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD。 ∵BD为对角线，∴∠ADB=∠CDB。 在△ADE和△CDE中， ∵ ∴△ADE≌△CDE(SAS)， ∴∠DAE=∠DCE。 7.(8分)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AB=2，AC=2。求： (1)(2分)菱形ABCD的周长。 (2)(3分)BD的长。 (3)(3分)菱形ABCD的面积。 解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD=AD=AB=2， ∴菱形ABCD的周长为8。 (2)∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC=AC=1，OB=OD，且∠AOB=90°。 在Rt△AOB中， OB=， ∴BD=2OB=2。 (3)S菱形ABCD=AC·BD=×2×2=2。 8.(8分)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连结EF。求证：AC⊥EF。 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠BAC=∠DAC。 又∵BE=DF，∴AE=AF， ∴AC⊥EF。 9.(8分)如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE。若∠E=68°，求∠BAD的度数。 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴DC∥AB，DC=AB。 又∵BE=AB，∴DC=BE， ∴四边形BDCE是平行四边形， ∴BD∥CE，∴∠DBA=∠E=68°。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD， ∴∠BAO=90°－∠DBA=22°， ∴∠BAD=2∠BAO=44°。 10.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE。若AC=6，BD=8，则OE的长为(　B　) A.2 B. C.3 D.5 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形， ∴OC=AC，OB=BD，AC⊥BD。 又∵AC=6，BD=8， ∴OC=3，OB=4， ∴CB==5。 又∵E为边BC的中点， ∴OE=BC=。 11.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，DH⊥BC于点H。若AC=8，BD=6，则DH的长为(　C　) A. B. C. D.4 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6， ∴AC⊥BD，AO=OC=AC=4，OB=OD=BD=3。 在Rt△BOC中，由勾股定理得，BC==5。 ∵DH⊥BC， ∴S菱形ABCD=BC·DH=AC·BD， 即5DH=×8×6，解得DH=。 12.(3分)如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16，O是线段BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F，则OE＋OF的值为 　。  【解析】 如答图，连结AC，交BD于点P，延长EO，交CD于点G。 第12题答图 根据菱形的性质，得AB=10，BP=BD=8，∠APB=90°，AB∥CD。 又∵OE⊥AB，∴OG⊥CD。 在Rt△APB中，根据勾股定理，得AP=6， ∴AC=2AP=12。 根据菱形关于BD成轴对称，得OF=OG， ∴OE＋OF=EG。 根据菱形的面积，得AC·BD=AB·EG， ∴×12×16=10EG， 解得EG=， 即OE＋OF=。 13.(8分)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF。 (1)(4分)求证：AE=AF。 (2)(4分)若∠B=60°，求∠AEF的度数。 解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠B=∠D。 ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90°。 在△ABE和△ADF中， ∵ ∴△ABE≌△ADF(AAS)， ∴AE=AF。 (2)∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＋∠BAD=180°。 又∵∠B=60°，∴∠BAD=120°。 ∵∠AEB=90°，∴∠BAE=30°。 由(1)知△ABE≌△ADF， ∴∠BAE=∠DAF=30°， ∴∠EAF=120°－30°－30°=60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF=60°。 14.(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使得CF=BE，连结DF。 (1)(4分)求证：四边形AEFD是矩形。 (2)(4分)连结OE，若AB=13，OE=2，求AE的长。 解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD=BC。 ∵BE=CF，∴BC=EF， ∴AD=EF。 又∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形。 ∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°， ∴▱AEFD是矩形。 (2)∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=AB=13，AC⊥BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD。 ∵∠AEC=90°， ∴OA=AC=OE=2， ∴AC=2OA=4。 方法一：由勾股定理，得OB==3， ∴BD=2OB=6。 ∵S菱形ABCD=BD·AC=BC·AE， ∴×6×4=13AE， 解得AE=12。 方法二：设BE=x，则EC=13－x， 由勾股定理，得AB2－BE2=AC2－EC2， 即132－x2=(4)2－(13－x)2， 解得x=5， ∴BE=5， ∴AE==12。 15.(3分)[应用意识，推理能力]杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形ABCD，伞骨连接点A固定在伞柄AP顶端，伞圈C能沿着伞柄AP滑动。小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄AP的中点O到伞骨连接点B，D的距离都等于AP长的一半。若夹角∠BAD=2∠BOD，则∠BCD的度数为　144　°。  【解析】 ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BCA=∠DCA=∠BCD，∠BAO=∠DAO=∠BAD， ∴∠BAD=2∠BAO，∠BCD=∠BAD。 ∵∠BAD=2∠BOD， ∴∠BAO=∠BOD。 由题意知OA=OB=OD=AP， ∴∠OAB=∠OBA=∠OAD=∠ODA=∠BOD。 又∵∠OAB＋∠OBA＋∠OAD＋∠ODA＋∠BOD=360°， ∴∠BAO=72°， ∴∠BCD=∠BAD=2×72°=144°。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章　特殊平行四边形 5.2　菱形 第2课时　菱形的判定 分值：73分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分) 1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是( ) A.三条边相等 B.两条对角线互相垂直 C.两条对角线互相垂直平分 D.两条对角线相等且互相垂直 2.如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF。若四边形ECDF为菱形，则a的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。添加下列一个条件，仍不能判定▱ABCD是菱形，这个条件是( ) A.AC⊥BD B.AC=BD C.AB=BC D.∠BAC=∠DAC 4.(3分)如图，AC=8，分别以点A，C为圆心，5为半径作弧，得到交点B，D。依次连结A，B，C，D，连结BD交AC于点O。 (1)(1.5分)四边形ABCD是 形。  (2)(1.5分)BD的长为 。  5.(8分)如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F。求证：四边形BEDF为菱形。 6.(8分)小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，OB=OD。求证：四边形ABCD是菱形。”她将自己的证明过程与同学小洁交流。 小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB=OD， ∴AC垂直平分BD， ∴AB=AD，CB=CD， ∴四边形ABCD是菱形。 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明。 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”。若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明。 7.(8分)如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F，G，H依次是BD，BC，AC，AD的中点。求证：四边形EFGH是菱形。 8.用直尺和圆规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中，错误的是( ) A. B. C. D. 9.(8分)如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，且AE=CF，连结DE，DF。请从以下给出的三个条件：①∠1=∠2，②DE=DF，③∠3=∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形。 (1)(2分)你添加的条件是 (填序号)。  (2)(6分)添加条件后，请证明▱ABCD为菱形。 10.(8分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD。过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连结OE。 (1)(4分)求证：四边形ABCD是菱形。 (2)(4分)若AB=10，BD=8，求OE的长。 11.(8分)如图，四边形ABCD是平行四边形。 (1)(4分)尺规作图：作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹)。 (2)(4分)若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形。 12.(10分)[推理能力]如图，在▱ABCD中，AB=2 cm，AC=5 cm，=8 cm2。点E从点B出发，以1 cm/s的速度在AB的延长线上向右运动，同时点F从点D出发，以同样的速度在CD的延长线上向左运动，运动时间为t(s)。 (1)(3分)在运动过程中，四边形AECF的形状是 。  (2)(3分)当t= s时，四边形AECF是矩形。  (3)(4分)当t的值为多少时，四边形AECF是菱形？ 学科网（北京）股份有限公司 $