精品解析：甘肃省白银市第十中学2025-2026学年第二学期九年级中考第三次学情自测数学试卷

九年级第二学期第三次模拟试题 科目：数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列各数中，绝对值最小的是（ ） A. B. 0 C. D. 2 2. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行，此次阅兵网络直播收视超19.2亿人次，引发全球广泛关注．将数据“19.2亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 物理实验中，物体A静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G竖直向下，支持力F的方向与斜面垂直，摩擦力f的方向与斜面平行．若斜面的坡角为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆的半径为1，点，，在圆周上，，则弦的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，为边上一点，平分，则的长为（ ） A. 7 B. 5 C. 2 D. 1 9. 甘肃博物馆的“砂锅娃娃”系列文创备受欢迎，一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，一名工作人员1天能缝制180个“戏精豆芽”或者240个“弹弹粉条”，若博物馆有15名工作人员缝制“戏精豆芽”和“弹弹粉条”，为了使每天缝制的两种娃娃刚好配套，假设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”，根据题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，点A，B是上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（　　） A. B. C. D. 5 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 12. 因式分解：________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，其中对应点A和坐标分别是，，则位似中心C的坐标是________． 14. 如图是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆O的直径，C，D是弧上两点．若，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的面积为________． 15. “路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离________． 16. 二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种特定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813．若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则他的准考证号是________． 三、解答题（一）：本大题共6题，共46分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 化简 20. 数学家笛卡尔于1596年出生于法国，他在数学研究工作中关注那些需要作特定长度的几何问题，在其著作《几何学》中指出“仅用尺规可以完成四种算术运算和开平方根”简卡尔用尺规求一个数的算术平方根的方法如下： 如图：已知，线段的长为，延长至点，使，点为的中点． ①以的中点为圆心，以的长为半径作圆： ②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点； ③分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交线段上方于点； ④连接交的上半部分于点，即得垂线段． 所得的长是的长的算术平方根． （1）请你根据以上步骤在图中完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）证明：． 21. 在“重走建军路，致敬新四军”红色研学活动中，学校建议同学们利用周末时间自主到以下三个基地开展研学活动． A．新四军纪念馆（主馆区）； B．新四军重建军部旧址（泰山庙）： C．新四军重建军部纪念塔（大铜马）， 小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站． （1）小明选择基地A的概率为________： （2）用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率． 22. 在甘肃省瓜州县戈壁滩上，有一尊命名为“大地之子”的巨大雕塑格外显眼（如图1），雕塑的周边都是荒漠，而荒漠又是生态很脆弱的地方，在一定意义上，这座雕塑警示人们要爱护赖以生存的环境．某数学兴趣小组开展了测量“大地之子”高度的实践活动，具体过程如下： 课题 测量“大地之子”高度 工具 皮尺、测角仪、无人机等 示意图 说明 如图2，点为雕塑的最高点，在雕塑头部和尾部选取，两处，分别将无人机竖直向上飞至，处观测点，通过无人机携带的观测设备测得无人机两次飞行高度及仰角和的度数（点，，，，，均在同一竖直平面内，且，，三点在同一条直线上，） 测量数据 ，，，， 请你根据上表中的测量数据，计算雕塑的最高点到地面的高度．（结果精确到0.1 ．参考数据：，，，，，） 四、解答题（二）：本大题共5题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 2025年3月14日是全球第六个“国际数学日”．今年的主题是“数学、艺术与创意”．某校在“国际数学日”当天举办了“数学节”活动，通过开展趣味数学游戏、知识拓展、数学创意展示等活动，展现数学魅力，传播数学文化．研究小组为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制）进行整理和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩用表示，共分成四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩： 100，98，97，95，94，93，89，88，87，86，86，85，84，82，79，79，79，68，66，65； 八年级20名学生的成绩在等级的数据：89，89，87，85，82，81． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 86 众数 79 根据以上信息，解答下列问题： （1）七年级20名学生成绩的众数为_____分；八年级20名学生成绩的中位数为_____分； （2）小华本次数学活动的最后得分是87分，在进行活动总结时，他说：“在我们年级抽取的20位同学中，我的得分是中等偏上”，若他的话没有问题，请判断小华是哪个年级的学生，并说明理由； （3）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生的数学素养竞赛成绩更好？请说明理由． 24. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）将一次函数的图象沿y轴向上平移，若平移后点A，D的对应点同时落在反比例函数的图象上，求m的值． 25. 如图，是四边形的外接圆，是的直径，交的延长线于点E，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 26. 综合与探究 【问题情景】 一节数学综合实践课上，刘老师与同学们以“线段的旋转”为背景进行了探究，具体如下： 已知：如图1，在中，，，点是边上的一点（不与A、重合），连接，将沿绕点按逆时针方向旋转得到，连接． 【猜想证明】 （1）如图2，若连接，求证：； 【深入探究】 （2）如图3，若取的中点，连接，且设它们交于点，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； 方法一：延长到H，使得，连接…… 方法二：延长到H，使得，连接…… 请选择其中一种方法做出解答． （3）如图1，在点的选取过程中，若是等腰三角形时，直接写出的长度． 27. 如图1，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，过点A直线交y轴于点D，交抛物线于点． （1）抛物线解析式为 ； （2）如图2，点F为抛物线上曲线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值； （3）如图3，点P为线段上一动点，Q为线段上一动点，且，连接，，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第二学期第三次模拟试题 科目：数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列各数中，绝对值最小的是（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质计算各选项数的绝对值，再比较绝对值的大小，即可得到结果． 【详解】∵ ，，，， 又∵ ， ∴ 绝对值最小的数是． 2. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 3. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行，此次阅兵网络直播收视超19.2亿人次，引发全球广泛关注．将数据“19.2亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：19.2亿. 4. 物理实验中，物体A静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G竖直向下，支持力F的方向与斜面垂直，摩擦力f的方向与斜面平行．若斜面的坡角为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的外角的性质和平行线的性质，进行求解即可. 【详解】解：如图，由题意，， ∴， ∵摩擦力f的方向与斜面平行， ∴. 5. 已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质即可求解. 【详解】∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴. 故选B. 【点睛】容易题.失分原因是对正比例函数的图象与性质掌握欠佳. 6. 如图，圆的半径为1，点，，在圆周上，，则弦的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理．先求出，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故选C． 7. 如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键．利用函数图象，函数值为0，则于x的方程的解为 【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解为． 故选：C． 8. 如图，在矩形中，，，为边上一点，平分，则的长为（ ） A. 7 B. 5 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，角平分线定义，正确求得的长是关键．根据平行线的性质以及角平分线的定义证明，根据等角对等边，即可求得的长，在直角中，利用勾股定理求得的长，则的长即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 又， ， ， 在直角中，， ． 故选：C． 9. 甘肃博物馆的“砂锅娃娃”系列文创备受欢迎，一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，一名工作人员1天能缝制180个“戏精豆芽”或者240个“弹弹粉条”，若博物馆有15名工作人员缝制“戏精豆芽”和“弹弹粉条”，为了使每天缝制的两种娃娃刚好配套，假设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”，根据题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据人数共15人可得方程，根据一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”可得方程，据此可得答案． 【详解】解：设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”， 由题意得，， 故选：A． 10. 如图①，点A，B是上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（　　） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】从图2看，当时，，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为，当时，由勾股定理逆定理可知，，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时，走过的角度为，可求出点P运动的速度，当时，，即是等边三角形，进而求解． 【详解】解：从图②看，当时，，即此时A、O、P三点共线， 则圆的半径为， 当时，， ∴是直角三角形，且， 则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，如图所示， 此时，走过的角度为，则走过的弧长为， ∴点P的运动速度是 ， 当时，，即是等边三角形， ∴， ∴， 此时点P走过的弧长为：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，其中对应点A和坐标分别是，，则位似中心C的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，求一次函数解析式，用待定系数法求出直线的解析式为：，再求出直线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：∵A与是对应点，与为对应点， ∴与的交点C为位似中心， ∵与都在x轴上， ∴点C在x轴上， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得： ∴位似中心坐标是， 故答案为：． 14. 如图是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆O的直径，C，D是弧上两点．若，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质，求出的度数，进而求出的度数，再利用扇形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：连接，如图，则四边形为圆内接四边形， ∵， ∴， ∴， ∵半径为， ∴这块扇形玉石的面积为. 15. “路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意，得，代入解析式，确定，得到解析式，根据，得到，代入解析式得到（舍去），解答即可． 【详解】解：根据题意，得，代入解析式， 解得， 故一次函数的解析式， 当时， ， 故点， 把代入解析式， 解得（舍去）， 故抛物线的解析式为， 当时， ， 解得， 故鱼线落在水面上的点到点A的水平距离． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，点到坐标轴的距离意义，解方程，抛物线的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 16. 二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种特定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813．若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则他的准考证号是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，读懂题意，分别找出每行的代表二进制的数字，逐个转化成10进制，即可作答． 【详解】解：依题意，第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：， 则第二行代表二进制的数字1010，转化成10进制为： ； 则第三行代表二进制的数字11011，转化成10进制为： ； 则第四行代表二进制的数字10101，转化成10进制为： ； 则第五行代表二进制的数字1000，转化成10进制为： ； 将五行编码组合到一起就是“小张”的准考证号． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共6题，共46分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 首先计算乘除，然后合并即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】． 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集是：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法． 19. 化简 【答案】 【解析】 【分析】利用分式约分化简的方法与技巧进行化简计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查分式的混合运算，利用变除为乘、分式加减法则以及分式的约分化简是解题的关键． 20. 数学家笛卡尔于1596年出生于法国，他在数学研究工作中关注那些需要作特定长度的几何问题，在其著作《几何学》中指出“仅用尺规可以完成四种算术运算和开平方根”简卡尔用尺规求一个数的算术平方根的方法如下： 如图：已知，线段的长为，延长至点，使，点为的中点． ①以的中点为圆心，以的长为半径作圆： ②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点； ③分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交线段上方于点； ④连接交的上半部分于点，即得垂线段． 所得的长是的长的算术平方根． （1）请你根据以上步骤在图中完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）证明：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干要求作出图形即可； （2）由圆周角定理可得，证明，由相似三角形的性质即可得解结论． 【小问1详解】 解：画出图形如图所示： ； 【小问2详解】 证明：连接、， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 在“重走建军路，致敬新四军”红色研学活动中，学校建议同学们利用周末时间自主到以下三个基地开展研学活动． A．新四军纪念馆（主馆区）； B．新四军重建军部旧址（泰山庙）： C．新四军重建军部纪念塔（大铜马）， 小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站． （1）小明选择基地A的概率为________： （2）用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小丽选择相同基地的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，小明选择基地A的概率为； 故答案为： 【小问2详解】 解：列表如下： A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中小明和小丽选择到相同基地的结果有3种， ∴小明和小丽选择相同基地的概率为． 22. 在甘肃省瓜州县戈壁滩上，有一尊命名为“大地之子”的巨大雕塑格外显眼（如图1），雕塑的周边都是荒漠，而荒漠又是生态很脆弱的地方，在一定意义上，这座雕塑警示人们要爱护赖以生存的环境．某数学兴趣小组开展了测量“大地之子”高度的实践活动，具体过程如下： 课题 测量“大地之子”高度 工具 皮尺、测角仪、无人机等 示意图 说明 如图2，点为雕塑的最高点，在雕塑头部和尾部选取，两处，分别将无人机竖直向上飞至，处观测点，通过无人机携带的观测设备测得无人机两次飞行高度及仰角和的度数（点，，，，，均在同一竖直平面内，且，，三点在同一条直线上，） 测量数据 ，，，， 请你根据上表中的测量数据，计算雕塑的最高点到地面的高度．（结果精确到0.1 ．参考数据：，，，，，） 【答案】雕塑的最高点到地面的高度约为4.3米 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，在中表示出，在中表示出，结合已知条件，得到方程，解方程得到结果． 【详解】解：如图②，过点作于点，过点作于点， 设米，则米， 在中，米，， （米， （米， 在中，米，， （米， （米， ， 解得， （米， 答：雕塑的最高点到地面的高度约为4.3米． 四、解答题（二）：本大题共5题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 2025年3月14日是全球第六个“国际数学日”．今年的主题是“数学、艺术与创意”．某校在“国际数学日”当天举办了“数学节”活动，通过开展趣味数学游戏、知识拓展、数学创意展示等活动，展现数学魅力，传播数学文化．研究小组为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制）进行整理和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩用表示，共分成四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩： 100，98，97，95，94，93，89，88，87，86，86，85，84，82，79，79，79，68，66，65； 八年级20名学生的成绩在等级的数据：89，89，87，85，82，81． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 86 众数 79 根据以上信息，解答下列问题： （1）七年级20名学生成绩的众数为_____分；八年级20名学生成绩的中位数为_____分； （2）小华本次数学活动的最后得分是87分，在进行活动总结时，他说：“在我们年级抽取的20位同学中，我的得分是中等偏上”，若他的话没有问题，请判断小华是哪个年级的学生，并说明理由； （3）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生的数学素养竞赛成绩更好？请说明理由． 【答案】（1）79，88 （2）七年级，理由见解析 （3）八年级成绩较好，见解析 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，平均数，中位数，众数的概念理解，正确理解题意是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据中位数的定义进行求解即可； （3）根据平均数，中位数和众数的意义求解即可． 【小问1详解】 解：由七年级20名学生的成绩可得七年级成绩的众数为， 八年级成绩为D人数为（人），成绩为C人数为（人），等级人数为6人，则等级人数为人， ∴八年级成绩第10、11个数据分别为89，87， 所以八年级的中位数为， 故答案为：79，88； 【小问2详解】 解：小华是七年级的学生，理由如下： ∵七年级的中位数为86，八年级的中位数为88，而小华的成绩， ∴小华是七年级的学生； 【小问3详解】 解：八年级成绩较好，理由如下： 因为两个年级平均数、众数相同，八年级竞赛成绩的中位数高于七年级． 24. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）将一次函数的图象沿y轴向上平移，若平移后点A，D的对应点同时落在反比例函数的图象上，求m的值． 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出A点坐标，设将一次函数的图象沿y轴向上平移个单位，平移后点A，D的对应点同时落在反比例函数的图象上，得出平移后点A，D的对应点的坐标，再根据反比例函数图象上的点的特征，可得关于、方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过，两点， ∴， 解得，， ∴反比例函数的解析式为，， 把，代入得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：令， 解得， ∴， 设将一次函数的图象沿y轴向上平移个单位，平移后点A，D的对应点同时落在反比例函数的图象上， 则平移后点，的对应点的坐标分别为，， ∴， 解得，． 25. 如图，是四边形的外接圆，是的直径，交的延长线于点E，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，求出，推出，根据切线的判定得出即可； （2）根据圆周角定理得到，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据平角的定义和圆内接四边形的性质推出，根据三角函数的定义即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 综合与探究 【问题情景】 一节数学综合实践课上，刘老师与同学们以“线段的旋转”为背景进行了探究，具体如下： 已知：如图1，在中，，，点是边上的一点（不与A、重合），连接，将沿绕点按逆时针方向旋转得到，连接． 【猜想证明】 （1）如图2，若连接，求证：； 【深入探究】 （2）如图3，若取的中点，连接，且设它们交于点，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； 方法一：延长到H，使得，连接…… 方法二：延长到H，使得，连接…… 请选择其中一种方法做出解答． （3）如图1，在点的选取过程中，若是等腰三角形时，直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）或． 【解析】 【分析】（1）由中，，，可得，再根据证明，则可得，进而可得，则可得． （2）方法一：延长到H，使得，连接 则可得是的中位线，则，．再根据证明，则可得，，进而可得．由可得， 进而可得．由可得，进而可得． 方法二：如图，延长到H，使得，连接，则可得，则，．再根据证明，则可得，，进而可．由可得．由可得，进而可得. （3）分两种情况：时和时，讨论即可得解． 【详解】（1）∵中，，， ∴， ∵将沿绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）方法一：如图，延长到H，使得，连接 ∵，是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的数量关系与位置关系是，． 方法二：如图，延长到H，使得，连接． ∵，，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的数量关系与位置关系是，． （3）∵中，，， ∴． ①当时，， 则， ， ． ②当时， ． 综上，若是等腰三角形时， 的长度为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 27. 如图1，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，过点A直线交y轴于点D，交抛物线于点． （1）抛物线解析式为 ； （2）如图2，点F为抛物线上曲线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值； （3）如图3，点P为线段上一动点，Q为线段上一动点，且，连接，，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，最小值是 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）过点F作轴于点G，求出，待定系数法求出直线的解析式为，设点F的坐标为，则，根据得出当时，取最大值，根据面积一定，，当面积最大时，四边形面积的最大，求出最大值即可； （3）过点D作轴，截取，连接、，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当M、P、O三点共线时，最小，且最小值为，根据勾股定理求出最小值即可． 【小问1详解】 解：把，，代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：过点F作轴于点G，如图所示： 把代入得：， 解得：，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点F的坐标为，则， ∴， ， ∵， ∴当时，取最大值， ∵面积一定，， ∴当面积最大时，四边形面积的最大， ∴四边形面积的最大值为． 【小问3详解】 解：存在；过点D作轴，截取，连接、，如图所示： 把代入的解析式得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当M、P、O三点共线时，最小，且最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，求二次函数解析式，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $