精品解析：广东省惠州市民办东江中学2025-2026学年下学期九年级学业水平适应性诊断 数学试卷

2025－2026学年春季学期九年级学业水平适应性诊断 九年级数学试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上、用2B铅在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. 0 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，即，负数小于0，0小于正数， ∴； ∴最小的数为. 2. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 惠州市2024年春节假期全市共接待游客540.2万人次，数据540.2万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：万. 4. 如图，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 根据平行线的性质即可直接得出，进而根据对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：D． 5. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，运算符合法则，D正确. 6. 某小组7位同学的中考体育测试成绩依次为27，30，29，27，30，28，30，则这组数据的众数与中位数分别是( ) A. 30，27 B. 30，29 C. 29，30 D. 30，28 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据一组数据中出现次数最多的数是众数，所以这组数据的众数是30；按照大小顺序排序后处在中间或者是中间两个数的平均数是中位数，所以这组数据的中位数是29． 故选B． 【点睛】本题考查了众数和中位数的计算，熟练掌握计算方法是解题关键. 7. 关于x的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ 即 解得 8. 如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 9. 深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键，行程问题常用的等量关系为：时间路程速度．设传统方式配送速度为，则采用无人机配送的速度是，根据采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快，列出方程即可． 【详解】解：设传统方式配送速度为，则采用无人机配送的速度是，根据题意： ， 故选：B． 10. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：．有下列结论： ①小球飞行中的高度可以是； ②小球飞行1s时的高度小于飞行2.5s时的高度； ③当时，小球的飞行高度不低于． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用．化为顶点式，利用二次函数的性质可判断①错误，分别求出和时，h的值即可判断②正确，分别求出和时，h的值即可判断③正确，由此即可得． 【详解】解：， 则小球飞行的最大高度为，结论①错误； 当时，， 当时，， ， 小球飞行1s时的高度小于飞行2.5s时的高度，结论②正确； 当时，， 当时，， 当时，小球的飞行高度不低于，结论③正确． 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解： . 12. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 . 13. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 14. 如图，平行四边形的顶点在轴正半轴上，平行轴，直线交轴于，连接，，双曲线经过点，若的面积为1，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，连接，根据平行四边形的性质可得，进而得出，根据轴，得出，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∵轴 ∴ ∵双曲线经过点， ∴； ∵双曲线在第一象限，则， ∴. 15. 如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、、，过点O作于点M，根据正六边形的性质得出，，，证明和为等边三角形，求出，证明，得出，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：连接、、，过点O作于点M，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴，，， ∴和为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 阅读小明同学进行分式化简的过程： 解：原式 第一步 第二步 第三步 请判断小明的化简过程是否正确．若不正确，请指出在哪一步开始出现错误，错误原因是什么？并写出正确的解答过程． 【答案】 解：小明的化简过程不正确，从第一步开始出现错误，错误原因是通分处理时符号错误，正确的解答过程如下： 原式  . 【解析】 【分析】第一步，通分处理时符号错误，先通分计算括号内，除法变乘法约分化简即可. 【详解】略 17. 如图，在中，点是边上一点，以为直径的与边相切于点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明：连接、，如图所示， 在和中，， ∴， ∴， ∵与相切于点E， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，由证得，得出，即可得出结论； （2）设的半径为，在中利用勾股定理进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则， ∵， ∴， ∵与边相切于点， ∴， 在中，由勾股定理，得， 解得， 故的半径为. 18. 受强台风影响，某市启动防台风级应急响应.如图，该市沿海地区海岸线近似为一条直线，观测站A、B均位于该海岸线上，且观测站B在观测站A的正东方向处．在观测站A测得台风中心C位于其东南方向，同一时刻，在观测站B测得台风中心C位于其南偏东方向，已知距离台风中心以内（含）的区域为危险区域． （1）尺规作图：作出表示台风中心C到海岸线所在直线的最短距离的线段；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）通过计算判断，该台风是否会对该市沿海地区造成安全影响？请说明理由．（结果精确到参考数据：） 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：会，理由如下： 由题意，，， 设， 在中，； 在中，； ∴， 解得， ∵， ∴该台风会对该市沿海地区造成安全影响. 【解析】 【分析】（1）根据尺规作垂线的方法作图即可； （2）分别解直角三角形和直角三角形，求出的长，进行判断即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某市旅游资源丰富，每年都有大量游客前来旅游．该市某中学数学兴趣社团开展社会实践活动，在国庆节当天随机选取100名游客进行满意度调查．每名游客分别对该市的历史文化、自然景观、地域特色、旅游产品、旅游服务五个项目打分，每个项目20分，共100分．将各项打分进行了整理，下面给出了部分信息． 信息一 每名游客对五个项目打分之和记为满意度分数，满意度分数用表示，将满意度分数数据分成如下四组：第1组，第2组，第3组，第4组．以下是满意度分数的频数分布直方图和扇形统计图的部分信息． 结合信息一解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全，并计算在扇形统计图中第4组所对应的圆心角度数是_____； （2）据统计，当天本市游客人数达到6.8万．请估计这6.8万人中满意度分数不低于80分的人数； 信息二 100名游客对本市历史文化，自然景观，地域特色，旅游服务打分的平均分和方差如下表： 历史文化 自然景观 地域特色 旅游产品 旅游服务 平均分 18.3 17.6 16.1 15.1 16.8 方差 2.1 2.3 1.8 1.9 3.4 （3）为了更好地服务游客，提升本市旅游形象，请结合信息二，写出合理建议供主管部门参考． 【答案】（1）补全直方图如图： 72 （2）3.536万人 （3）解：旅游产品的平均分最低，应进一步开发旅游产品以满足游客需求；旅游服务的满意度打分的方差大，所以服务质量良莠不齐，应加大监督力度，切实提升游客的体验感． 【解析】 【分析】（1）先用样本容量乘以第二组所占的百分比求出第二组的频数，然后再求出第四组的频数，再补全直方图，用乘以第四组所占的百分比求出圆心角的度数； （2）用样本估计整体即可解答； （3）根据平均数和方差进行分析即可解答． 【小问1详解】 解：第二组的频数为：， 第四组的频数为：； 补全直方图略； 在扇形统计图中，第4组所对应的圆心角度数是． 【小问2详解】 解：（万人）． 答：这6.8万人中满意度分数不低于80分的人数为3.536万人． 【小问3详解】 略 20. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）证明见解析 （2）条件①，四边形为矩形；条件②，四边形为菱形，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形和矩形的判定，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行得到，，再由，即可由证明全等； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据选择的条件结合菱形和矩形判定证明即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：选择条件①，四边形为矩形，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 选择条件②，四边形为菱形，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 21. 综合与实践 【项目主题】柏塘山茶最优销售定价方案探究 【现实情境】柏塘山茶是博罗县国家地理标志保护产品，柏塘镇被誉为“广东十大茶乡”． 为助力乡村振兴，某校综合实践小组走进柏塘镇，探究特级炒青茶的最优销售定价，帮助茶农提升收益． 【信息整理】小组在茶叶交易市场统计了同批次特级炒青茶不同定价下的日销量，数据如下： 表格 销售单价x（元/千克） 60 65 70 75 80 85 每日销售量（千克） 120 110 100 90 80 70 【市场调研】经了解，该款特级炒青茶每千克的生产成本为40元． 【问题解决】 （1）根据表中信息可知，该款茶叶的每日销售量（千克）是销售单价（元/千克）的_____函数（选填“一次”“二次”“反比例”），并求出关于的函数解析式； （2）若要使每日销售利润最大，请通过计算说明该茶厂的定价方案，并求出最大日销售利润． 【答案】（1） 一次， （2） 定价为80元/千克时每日销售利润最大，最大日销售利润为3200元 【解析】 【分析】（1）根据表格中x与y的变化规律判断函数类型，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据总利润等于每千克利润乘以日销售量，得到利润关于x的二次函数，再利用二次函数的性质求最大利润和对应定价即可. 【小问1详解】 解：由表格数据可知，销售单价x每增加5元，日销售量y减少10千克，因此y是x的一次函数； 设，将和代入得：，解得； ∴； 【小问2详解】 解：设每日销售利润为元，由题意得，， 整理得， ∴， ， 当时，取得最大值，最大值为； 答：该茶厂应将定价设为80元/千克，此时最大日销售利润为3200元. 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； （3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数解析式为 （2） （3）存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，由正切值的计算得到，结合题意，，设，过点作轴于点，代入计算即可求解； （3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点Q是抛物线在第三象限上的一点， ∴设，过点作轴于点， ∴，， ∵满足， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴，则， ∴； 【小问3详解】 解：二次函数解析式为， ∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 23. 综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． （1）【几何直观】如图1，中，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则与的数量关系是_____；与的数量关系是___； （2）【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； （3）【深度探究】如图3，矩形中，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则_____． 【答案】（1）相等（或）；相等（或） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可证明，根据全等三角形的性质，即可求解； （2）根据正方形的性质，旋转的性质，同（1）证明，得出，结合，即可得证； （3）同（2）的方法证明，得出四边形是矩形，连接交于点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出共圆，勾股定理求得，，进而解，求得，再证明，根据正弦的定义，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：；，理由如下： ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴，即 又∵， ∴ ∴；； 【小问2详解】 证明：∵四边形是正方形 ∴， ∵绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∵， ∴即 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形 又∵ ∴四边形是正方形； 【小问3详解】 解：∵绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∵， ∴ ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形， 如图，连接交于点，连接 ∵是的中点， 在中， ∴ ∴共圆， ∴， ∵ ∴ ∴， 在中， ∴ ∵， 在中， ∴， ∵ ∴ 又 ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年春季学期九年级学业水平适应性诊断 九年级数学试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上、用2B铅在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. 0 B. C. D. 3 2. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 惠州市2024年春节假期全市共接待游客540.2万人次，数据540.2万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某小组7位同学的中考体育测试成绩依次为27，30，29，27，30，28，30，则这组数据的众数与中位数分别是( ) A. 30，27 B. 30，29 C. 29，30 D. 30，28 7. 关于x的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：．有下列结论： ①小球飞行中的高度可以是； ②小球飞行1s时的高度小于飞行2.5s时的高度； ③当时，小球的飞行高度不低于． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：_____． 12. 计算：_____． 13. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 14. 如图，平行四边形的顶点在轴正半轴上，平行轴，直线交轴于，连接，，双曲线经过点，若的面积为1，则k的值为_____． 15. 如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 阅读小明同学进行分式化简的过程： 解：原式 第一步 第二步 第三步 请判断小明的化简过程是否正确．若不正确，请指出在哪一步开始出现错误，错误原因是什么？并写出正确的解答过程． 17. 如图，在中，点是边上一点，以为直径的与边相切于点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，求的半径． 18. 受强台风影响，某市启动防台风级应急响应.如图，该市沿海地区海岸线近似为一条直线，观测站A、B均位于该海岸线上，且观测站B在观测站A的正东方向处．在观测站A测得台风中心C位于其东南方向，同一时刻，在观测站B测得台风中心C位于其南偏东方向，已知距离台风中心以内（含）的区域为危险区域． （1）尺规作图：作出表示台风中心C到海岸线所在直线的最短距离的线段；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）通过计算判断，该台风是否会对该市沿海地区造成安全影响？请说明理由．（结果精确到参考数据：） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 某市旅游资源丰富，每年都有大量游客前来旅游．该市某中学数学兴趣社团开展社会实践活动，在国庆节当天随机选取100名游客进行满意度调查．每名游客分别对该市的历史文化、自然景观、地域特色、旅游产品、旅游服务五个项目打分，每个项目20分，共100分．将各项打分进行了整理，下面给出了部分信息． 信息一 每名游客对五个项目打分之和记为满意度分数，满意度分数用表示，将满意度分数数据分成如下四组：第1组，第2组，第3组，第4组．以下是满意度分数的频数分布直方图和扇形统计图的部分信息． 结合信息一解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全，并计算在扇形统计图中第4组所对应的圆心角度数是_____； （2）据统计，当天本市游客人数达到6.8万．请估计这6.8万人中满意度分数不低于80分的人数； 信息二 100名游客对本市历史文化，自然景观，地域特色，旅游服务打分的平均分和方差如下表： 历史文化 自然景观 地域特色 旅游产品 旅游服务 平均分 18.3 17.6 16.1 15.1 16.8 方差 2.1 2.3 1.8 1.9 3.4 （3）为了更好地服务游客，提升本市旅游形象，请结合信息二，写出合理建议供主管部门参考． 20. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 21. 综合与实践 【项目主题】柏塘山茶最优销售定价方案探究 【现实情境】柏塘山茶是博罗县国家地理标志保护产品，柏塘镇被誉为“广东十大茶乡”． 为助力乡村振兴，某校综合实践小组走进柏塘镇，探究特级炒青茶的最优销售定价，帮助茶农提升收益． 【信息整理】小组在茶叶交易市场统计了同批次特级炒青茶不同定价下的日销量，数据如下： 表格 销售单价x（元/千克） 60 65 70 75 80 85 每日销售量（千克） 120 110 100 90 80 70 【市场调研】经了解，该款特级炒青茶每千克的生产成本为40元． 【问题解决】 （1）根据表中信息可知，该款茶叶的每日销售量（千克）是销售单价（元/千克）的_____函数（选填“一次”“二次”“反比例”），并求出关于的函数解析式； （2）若要使每日销售利润最大，请通过计算说明该茶厂的定价方案，并求出最大日销售利润． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； （3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． （1）【几何直观】如图1，中，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则与的数量关系是_____；与的数量关系是___； （2）【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； （3）【深度探究】如图3，矩形中，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $