10.3.1频率的稳定性+10.3.2随机模拟分层同步练习-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础概念到综合应用梯度合理，注重数据意识、推理能力与应用意识培养，适配新授课知识巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|随机模拟、频率与概率关系、古典概型基础|选择填空为主，强化概念理解，如第2题辨析频率与概率| |B级|随机模拟估计概率、抽样估计、游戏公平性|解答题增加，培养推理能力，如第10题摸球游戏公平性分析| |C级|生产质量分析（概率与利润综合）|现实情境应用，提升应用意识，如第11题配件质量与利润计算|

10.3.1　频率的稳定性　10.3.2　随机模拟 A级 必备知识基础练 1.掷两枚质地均匀的骰子,用随机模拟方法估计出现点数之和为10的概率时产生的整数随机数中,为一组的数字个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.10 2.下列叙述随机事件的频率与概率的关系中,说法正确的是(　　) A.频率就是概率 B.频率是随机的,与试验次数无关 C.概率是稳定的,与试验次数无关 D.概率是随机的,与试验次数有关 3.气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%,郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息,关于明天降雨情况的描述最为准确的是(　　) A.整个城市明天的平均降雨概率为50% B.明天如果住在郊区不带伞出门很可能会淋雨 C.只有郊区可能出现降雨,而中心城区将不会有降雨 D.如果明天降雨,郊区的降雨量一定比中心城区多 4.(多选题)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表: 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 记该篮球运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的有(　　) A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18 C.P(C)=0.27 D.P(B+C)=0.55 5.一袋中有红球3个,白球5个,还有黄球若干个,某人随意有放回地摸100次,其摸到红球的频数为30,那么袋中的黄球约有　　　　个.每次摸球,摸到白球的概率为　　　　. 6.如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下: 所用时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 (1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率; (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率; (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. B级 关键能力提升练 7.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示未命中;再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数: 907　966　191　925　271　932　812　458　569　683 431　257　393　027　556　488　730　113　537　989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(　　) A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15 8.数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米2 020石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得270粒内夹谷30粒,则这批米内夹谷约为(　　) A.222石 B.224石 C.230石 D.232石 9.(多选题)小明与小华两人玩游戏,则下列游戏公平的有(　　) A.抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数,小明获胜,向上的点数为偶数,小华获胜 B.同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上,小明获胜,两枚都正面向上,小华获胜 C.从一副不含大小王的52张扑克牌中抽取一张,抽到红桃,小明获胜,抽到方片,小华获胜 D.小明、小华两人各写一个数字0或1,如果两人写的数字相同,小明获胜,否则小华获胜 10.甲、乙两人进行摸球游戏,游戏规则是:在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1,2,3,4的4个球,甲先从中随机摸出一个球,记下编号,设编号为m,放回后乙再从中随机摸出一个球,也记下编号,设编号为n,用(m,n)表示摸球的结果,如果m+n>5,算甲赢,否则算乙赢. (1)写出该实验的样本空间; (2)这种游戏规则公平吗?请说明理由. C级 学科素养创新练 11.某5G手机配件生产厂为了了解该厂生产同一型号配件的甲、乙两车间的生产质量,质检部门随机从甲、乙两车间各抽检了100件配件,其检测结果如下表: 等级 一等品 二等品 次品 甲车间配件频数 55 33 12 乙车间配件频数 65 27 8 其中一、二等品为正品. (1)分别估计甲、乙车间生产出的配件是正品的概率; (2)该厂规定一等品每件的出厂价是二等品每件的出厂价的2倍.已知每件配件的生产成本为5元,根据环保要求,每件次品需要处理费用为3元,厂家要求生产的每件配件的平均利润不低于21.7元,求二等品每件出厂的最低价. 参考答案 1.B　因为要考查两枚骰子得出的点数之和,所以在产生的整数随机数中,应每两个数字一组.故选B. 2.C　频率指的是在相同条件下重复试验,事件A出现的次数除以总数,是变化的.概率指的是在大量重复进行同一个试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数,这个常数就是事件A的概率,是不变的.故选C. 3.B　对于A,中心城区面积和郊区面积不一定相同,故整个城市明天的平均降雨概率不一定为50%,故A错误; 对于B,明天郊区的降雨概率比中心城区的降雨概率大,故B正确; 对于C,不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨,故C错误; 对于D,降雨量并不取决于降雨概率,反而是降雨时长以及有效覆盖面积(即下雨的区域在该参考区域的面积)会影响降雨量,故D错误.故选B. 4.ABC　依题意,P(A)==0.55,P(B)==0.18, 显然事件A,B互斥,P(C)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=0.27,事件B,C互斥,则P(B+C)=P(B)+P(C)=0.45,故选项A,B,C都正确,选项D不正确.故选ABC. 5.2　　设x为袋中黄球的个数,则由,解得x=2.每次摸球,摸到白球的概率为. 6.解(1)由已知共调查了100人, 其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人), ∴用频率估计相应的概率为0.44. (2)选择L1的有60人,选择L2的有40人, 故由调查结果得频率为 所用时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 (3)A1,A2,分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站. 由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6, P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2) ∴甲应选择L1, P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1), ∴乙应选择L2. 7.B　易知20组随机数中表示恰有两次命中的数据有191,271,932,812,393,所以P==0.25.故选B. 8.B　由题意,抽样取米一把,数得270粒内夹谷30粒,即夹谷占有的概率为,所以2 020石米中夹谷约为2 020×≈224(石).故选B. 9.ACD　对于A,抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的,所以游戏公平,故选项A正确;对于B,同时抛掷两枚硬币,有(正,反)、(反,正)、(反,反)、(正,正),共4种情况,恰有一枚正面向上包括(正,反),(反,正)两种情况,而两枚都正面向上仅有(正,正)一种情况,所以游戏不公平,故选项B错误;对于C,从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红桃和扑克牌是方片是等可能的,所以游戏公平,故选项C正确;对于D,小明、小华两人各写一个数字0或1,一共有四种情况:(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的,所以游戏公平,故选项D正确.故选ACD. 10.解(1)由题意,可得样本空间为 Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}. (2)这种游戏规则是不公平的,理由如下: 设甲赢为事件A,乙赢为事件B,则A,B互为对立事件, 由题意事件A包含的基本事件有(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),共6个. 由古典概型的概率计算公式可得P(A)=, 所以P(B)=1-P(A)=1-, 所以P(A)≠P(B),即这种游戏规则不公平. 11.解(1)由数表可知,甲车间生产出的配件是正品的频率为=0.88, 故甲车间生产出的配件是正品的概率估计值为0.88. 乙车间生产出的配件是正品的频率为=0.92, 故乙车间生产出的配件是正品的概率估计值为0.92. (2)设二等品每件的出厂价为a元,则一等品每件的出厂价为2a元. 由题意可知,[(55+65)(2a-5)+(33+27)(a-5)-(12+8)×(5+3)]≥21.7,整理得a-5.3≥21.7,所以a≥18. 故二等品每件出厂的最低价为18元. 6 学科网（北京）股份有限公司 $