10.3.1频率的稳定性、10.3.2随机模拟同步练习-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

10.3　频率与概率 10.3.1　频率的稳定性　10.3.2　随机模拟 课后篇巩固提升 　　　　　　　　　　　　　　　　 必备知识基础练 1.掷两枚质地均匀的骰子,用随机模拟方法估计出现点数之和为10的概率时产生的整数随机数中,每几个数为一组(　　) A.1 B.2 C.3 D.10 2.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,那么P(A)与的大小关系是(　　) A.P(A)≈ B.P(A)< C.P(A)> D.P(A)= 3.关于天气预报中的“某地降水概率为10%”,下列解释正确的是(　　) A.有10%的区域降水 B.10%太小,不可能降水 C.降水的可能性为10% D.是否降水不确定,10%没有意义 4.袋子中有四个小球,分别写有“文、明、中、国”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“国”两个字都取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好第三次就停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“文、明、中、国”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数: 232　321　230　023　123　021　132　220　001 231　130　133　231　013　320　122　103　233 由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为(　　) A. B. C. D. 5.有一个样本量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:[11.5,15.5),2;[15.5,19.5),4;[19.5,23.5),9;[23.5,27.5),18;[27.5,31.5),11;[31.5,35.5),12;[35.5,39.5),7;[39.5,43.5],3.根据样本的频率分布估计,数据在范围[31.5,43.5]内的概率是(　　) A. B. C. D. 6.一袋中有红球3只,白球5只,还有黄球若干只,某人随意有放回地摸100次,其摸到红球的频数为30,那么袋中的黄球约有　　　　只.每次摸球,摸到白球的概率为　　　　.  7.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是　　　　　.  8.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的《高等数学》,下表是李老师统计的这门课3年来的学生考试成绩分布: 成绩 人数 90分以上 43 80~89分 182 70~79分 260 60~69分 90 50~59分 62 50分以下 8 经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的《高等数学》,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位). (1)90分以上;(2)60~69分;(3)60分以上. 关键能力提升练 9.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示未命中;再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数: 907　966　191　925　271　932　812　458　569　683 431　257　393　027　556　488　730　113　537　989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 (　　) A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15 10.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表: 满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2 100 1 000 根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(　　) A. B. C. D. 11.数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米2 020石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得270粒内夹谷30粒,则这批米内夹谷约为(　　) A.222石 B.224石 C.230石 D.232石 12.(多选题)下列说法中不正确的有(　　) A.做9次抛掷一枚均匀硬币的试验,结果有5次出现正面,所以出现正面的频率是 B.盒子中装有大小均匀的3个红球,3个黑球,2个白球,每种颜色的球被摸到的可能性相同 C.从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,取得的数小于0和不小于0的可能性相同 D.分别从2名男生,3名女生中各选1名作为代表,那么每名学生被选中的可能性相同 13.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获收益12%,一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%,下表是去年200例类似项目开发的实施结果: 投资成功 投资失败 192次 8次 则该公司一年后估计可获收益的平均数是　　　　.  14.容量为200的样本的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为　　　　,估计数据落在[2,10)内的概率约为　　　　.  15.深夜,某市某路段发生一起出租车交通事故.该市有两家出租车公司,红色出租车公司和蓝色出租车公司,其中红色出租车公司和蓝色出租车公司的出租车分别占整个城市出租车的15%和85%.据现场目击证人说,事故现场的出租车是红色的,并对现场目击证人的辨别能力做了测试,测得他辨认的正确率为80%,于是警察就认定红色出租车具有较大嫌疑.警察这一认定是　　　　的.(填“公平”或“不公平”)  16.某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买. 顾客人数 商品 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率; (3)若顾客购买了甲,则该顾客同时购买了乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大? 学科素养创新练 17.如图所示,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下: 所用时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 (1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率; (2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. 60=0.6,(4+16)÷40=0.5, 10.3　频率与概率 10.3.1　频率的稳定性　10.3.2　随机模拟 课后篇巩固提升 　　　　　　　　　　　　　　　　 必备知识基础练 1.掷两枚质地均匀的骰子,用随机模拟方法估计出现点数之和为10的概率时产生的整数随机数中,每几个数为一组(　　) A.1 B.2 C.3 D.10 答案B 解析因为要考查两枚骰子得出的点数之和,所以在产生的整数随机数中,应每两个数字一组. 2.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,那么P(A)与的大小关系是(　　) A.P(A)≈ B.P(A)< C.P(A)> D.P(A)= 答案A 解析在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,越来越接近P(A),因此我们可以用近似地代替P(A).故选A. 3.关于天气预报中的“某地降水概率为10%”,下列解释正确的是(　　) A.有10%的区域降水 B.10%太小,不可能降水 C.降水的可能性为10% D.是否降水不确定,10%没有意义 答案C 解析根据概率的含义判定. 4.袋子中有四个小球,分别写有“文、明、中、国”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“国”两个字都取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好第三次就停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“文、明、中、国”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数: 232　321　230　023　123　021　132　220　001 231　130　133　231　013　320　122　103　233 由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为(　　) A. B. C. D. 答案B 解析由题意得18组随机数中,巧好第三次就停止的数为023,123,132,故恰好第三次就停止的概率为,故选B. 5.有一个样本量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:[11.5,15.5),2;[15.5,19.5),4;[19.5,23.5),9;[23.5,27.5),18;[27.5,31.5),11;[31.5,35.5),12;[35.5,39.5),7;[39.5,43.5],3.根据样本的频率分布估计,数据在范围[31.5,43.5]内的概率是(　　) A. B. C. D. 答案B 解析数据在范围[31.5,43.5]内的有12+7+3=22(个),总的数据有66个,根据频率估计概率得到P=.故选B. 6.一袋中有红球3只,白球5只,还有黄球若干只,某人随意有放回地摸100次,其摸到红球的频数为30,那么袋中的黄球约有　　　　只.每次摸球,摸到白球的概率为　　　　.  答案2　 解析设x为袋中黄球的只数,则由,解得x=2.每次摸球,摸到白球的概率为. 7.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是　　　　　.  答案0.03 解析P==0.03. 8.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的《高等数学》,下表是李老师统计的这门课3年来的学生考试成绩分布: 成绩 人数 90分以上 43 80~89分 182 70~79分 260 60~69分 90 50~59分 62 50分以下 8 经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的《高等数学》,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位). (1)90分以上;(2)60~69分;(3)60分以上. 解总人数为43+182+260+90+62+8=645,根据公式可计算出选修李老师的《高等数学》的人的考试成绩在各个段上的频率依次为:≈0.067,≈0.282,≈0.403,≈0.140,≈0.096,≈0.012. 用已有的信息,可以估计出王小慧下学期选修李老师的《高等数学》得分的概率如下: (1)将“90分以上”记为事件A,则P(A)≈0.067. (2)将“60~69分”记为事件B,则P(B)≈0.140. (3)将“60分以上”记为事件C,则P(C)≈0.067+0.282+0.403+0.140=0.892. 关键能力提升练 9.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示未命中;再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数: 907　966　191　925　271　932　812　458　569　683 431　257　393　027　556　488　730　113　537　989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 (　　) A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15 答案B 解析易知20组随机数中表示恰有两次命中的数据有191,271,932,812,393,所以P==0.25. 10.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表: 满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2 100 1 000 根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(　　) A. B. C. D. 答案C 解析由题意得,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200+2 100=3 300,频率为.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为. 11.数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米2 020石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得270粒内夹谷30粒,则这批米内夹谷约为(　　) A.222石 B.224石 C.230石 D.232石 答案B 解析由题意,抽样取米一把,数得270粒内夹谷30粒,即夹谷占有的概率为,所以2 020石米中夹谷约为2 020×≈224(石). 12.(多选题)下列说法中不正确的有(　　) A.做9次抛掷一枚均匀硬币的试验,结果有5次出现正面,所以出现正面的频率是 B.盒子中装有大小均匀的3个红球,3个黑球,2个白球,每种颜色的球被摸到的可能性相同 C.从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,取得的数小于0和不小于0的可能性相同 D.分别从2名男生,3名女生中各选1名作为代表,那么每名学生被选中的可能性相同 答案BCD 解析B中,摸到白球的概率要小于摸到红球或黑球的概率;C中,取得的数小于0的概率大于不小于0的概率;D中,男生被选中的概率为,而女生被选中的概率为,故BCD均不正确. 13.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获收益12%,一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%,下表是去年200例类似项目开发的实施结果: 投资成功 投资失败 192次 8次 则该公司一年后估计可获收益的平均数是　　　　.  答案4 760 解析设可获收益为x,如果成功,x的取值为5×12%,如果失败,x的取值为-5×50%,一年后公司成功的概率为,失败的概率为,所以一年后公司收益的平均数是×10 000=4 760. 14.容量为200的样本的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为　　　　,估计数据落在[2,10)内的概率约为　　　　.  答案64　0.4 解析数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4=64,落在[2,10)内的频率为(0.02+0.08)×4=0.4,由频率估计概率知,所求概率约为0.4. 15.深夜,某市某路段发生一起出租车交通事故.该市有两家出租车公司,红色出租车公司和蓝色出租车公司,其中红色出租车公司和蓝色出租车公司的出租车分别占整个城市出租车的15%和85%.据现场目击证人说,事故现场的出租车是红色的,并对现场目击证人的辨别能力做了测试,测得他辨认的正确率为80%,于是警察就认定红色出租车具有较大嫌疑.警察这一认定是　　　　的.(填“公平”或“不公平”)  答案不公平 解析设该市的出租车有1 000辆,那么依题意可得如下信息: 类别 真实颜色 证人眼中的颜色(正确率80%) 蓝色 红色 蓝色(85%) 850 680 170 红色(15%) 150 30 120 合计 1 000 710 290 从表中可以看出,当证人说出租车是红色时,确定它是红色的概率为≈0.41,而它是蓝色的概率为≈0.59.在实际数据面前,警察仅以目击证人的证词作为推断的依据对红色出租车公司显然是不公平的. 16.某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买. 顾客人数 商品 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率; (3)若顾客购买了甲,则该顾客同时购买了乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大? 解(1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为=0.2. (2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为=0.3. (3)与(1)同理,可得,顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为=0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为=0.1,所以,若顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大. 学科素养创新练 17.如图所示,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下: 所用时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 (1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率; (2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. 解(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人), 所以用频率估计相应的概率为0.44. (2)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站. 由频数分布表知,40分钟赶往火车站,选择不同路径L1,L2的频率分别为(6+12+18)÷60=0.6,(4+16)÷40=0.5, 所以估计P(A1)=0.6,P(A2)=0.5,则P(A1)> P(A2), 因此,甲应该选择路径L1, 同理,50分钟赶到火车站,乙选择路径L1,L2的频率分别为48÷60=0.8,36÷40=0.9, 所以估计P(B1)=0.8,P(B2)=0.9,P(B1)<P(B2), 因此乙应该选择路径L2. 5 学科网（北京）股份有限公司 $$