10.1.1　有限样本空间与随机事件　10.1.2　事件的关系和运算-分层同步练习 2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础概念到综合应用梯度递进，通过不同层次题型培养数学思维与应用意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|确定性现象、事件关系（包含/交并）、样本空间表示|以选择填空为主，如辨析三角形内角和确定性、事件包含关系，夯实概念理解| |B级|互斥/对立事件判断、样本点计算、综合事件分析|多选题与解答题结合，如游戏情境中事件互斥性判断，提升逻辑推理能力| |C级|跨学科情境应用（费马大定理）、复杂事件样本点计数|结合数学史设计问题，培养创新意识与数学语言表达能力|

10.1.1　有限样本空间与随机事件　10.1.2　事件的关系和运算 A级 必备知识基础练 1.下列事件中,确定性现象的个数为(　　) ①三角形内角和为180°; ②三角形中大边对大角,大角对大边; ③三角形中两个内角和小于90°. A.0 B.1 C.2 D.3 2.同时掷两枚硬币,“向上的面都是正面”为事件A,“至少有一枚向上的面是正面”为事件B,则下列说法中正确的是(　　) A.A=B B.A⊆B C.A⊇B D.A与B之间没有关系 3.向上抛掷一枚质地均匀的骰子两次,事件A表示两次点数之和不小于10,事件B表示两次点数之和能被5整除,则事件AB用样本点表示为(　　) A.{(5,5)} B.{(4,6),(5,5)} C.{(6,5),(5,5)} D.{(4,6),(6,4),(5,5)} 4.(多选题)已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色卡片和2张蓝色卡片,从中任取3张卡片,则下列说法中正确的是(　　) A.事件“都是红色卡片”是随机事件 B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C.事件“至少有一张红色卡片”是必然事件 D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是必然事件 5.在随机抛掷一颗骰子的试验中,事件A为“出现不大于4的偶数点”,事件B为“出现小于6的点数”,则事件A∪的含义为　　　　　,事件A∩B的含义为　　　　　.  6.某射手进行射击测试,设事件A为“射中10环”,事件B为“射中9环”,事件C为“射中8环”. (1)“射中10环或9环”可表示为　　　　.  (2)“不够8环”可表示为　　　　.  7.用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色,每个圆只涂一种颜色.设事件A=“三个圆的颜色全不相同”,事件B=“三个圆的颜色不全相同”,事件C=“其中两个圆的颜色相同”,事件D=“三个圆的颜色全相同”. (1)写出试验的样本空间; (2)用集合的形式表示事件A,B,C,D. B级 关键能力提升练 8.任意抛两枚一元硬币,记事件A=“恰好一枚正面朝上”;事件B=“恰好两枚正面朝上”;事件C=“恰好两枚正面朝下”;事件D=“至少一枚正面朝上”;事件E=“至多一枚正面朝上”,则下列事件为对立事件的是(　　) A.A与B B.C与D C.B与C D.C与E 9.从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,若“这2个数的和大于4”为事件A,“这2个数的和为偶数”为事件B,则A+B和AB包含的样本点数分别为(　　) A.1,6 B.4,2 C.5,1 D.6,1 10.(多选题)下列各组事件中是互斥事件的有(　　) A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6 B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分 C.播种100粒菜籽,发芽90粒与发芽80粒 D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70% 11.连续抛掷一枚硬币3次,观察正面、反面朝上的情况.事件A“正面朝上的次数不超过反面朝上的次数”中含有　　　　　个样本点.  12.从一批产品中取出三件产品,设事件A=“三件产品全不是次品”,事件B=“三件产品全是次品”,事件C=“三件产品不全是次品”,则下列结论不正确的是　　　　.  ①A与C互斥　②B与C互斥　③任何两个均互斥　④任何两个均不互斥 13.甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各伸出1到5根手指,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢. (1)若以A表示和为6的事件,写出事件A的样本点; (2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问:B与C是否为互斥事件?为什么? C级 学科素养创新练 14.法国的数学家皮耶·德·费马曾留下一个猜想:当整数n>2时,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解.该定理被称为费马大定理.现任取x,y,z,n∈{1,2,3,4,5},则根据费马大定理可得事件“等式xn+yn=zn成立”包含的样本点的个数为　　　　　.  参考答案 1.C　若两内角的和小于90°,则第三个内角必大于90°,故不是锐角三角形,∴③为随机现象,而①,②均为确定性现象.故选C. 2.B　因为同时抛掷两枚硬币,所以基本事件的样本空间为Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},其中事件A={(正,正)},事件B={(正,正),(正,反),(反,正)},所以A⊆B.故选B. 3.D　事件A样本点表示的集合为{(5,5),(6,6),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5)},事件B样本点表示的集合为{(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(5,5),(4,6),(6,4)},所以事件AB表示两次点数之和不小于10且两次点数之和能被5整除,用样本点表示为{(4,6),(6,4),(5,5)}.故选D. 4.ABC　对于A,事件“都是红色卡片”是随机事件,故A正确;对于B,事件“都是蓝色卡片”是不可能事件,故B正确;对于C,因为只有2张蓝色卡片,从中任取3张卡片,至少有一张红色卡片,所以事件“至少有一张红色卡片”是必然事件,故C正确;对于D,事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件,故D错误.故选ABC. 5.出现2,4,6点　出现2,4点　易知事件为“出现6点”,则事件A∪为“出现2,4,6点”,事件A∩B为“出现2,4点”. 6.(1)A∪B　(2) 7.解(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色,则试验的样本空间 Ω={(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝),(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黄,蓝)}. (2)事件A={(红,黄,蓝)}, 事件B={(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黄,蓝)}, 事件C={(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝)}, 事件D={(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝)}. 8.B　在A选项中,事件A与事件B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥但不对立事件,故A错误;在B选项中,事件C与事件D不能同时发生,也不能同时不发生,是对立事件,故B正确;在C选项中,事件B与事件C不能同时发生,但能同时不发生,是互斥但不对立事件,故C错误;在D选项中,事件C与事件E能同时发生,不是互斥事件,故D错误.故选B. 9.C　从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.其中事件A包含的样本点有(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个. 事件B包含的样本点有(1,3),(2,4),共2个,所以事件A+B包含的样本点有(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共5个;事件AB包含的样本点有(2,4),共1个.故选C. 10.ACD　对于A,一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6,不可能同时发生,故A中两事件为互斥事件;对于B,设事件A1为“平均分不低于90分”,事件A2为“平均分不高于90分”,则A1∩A2为“平均分等于90分”,事件A1与事件A2可能同时发生,故它们不是互斥事件;对于C,播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒,不可能同时发生,故C中两事件为互斥事件;对于D,检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%,不可能同时发生,故D中两事件为互斥事件.故选ACD. 11.4　用1表示硬币“正面朝上”,用0表示硬币“反面朝上”,则A={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},共含有4个样本点. 12.①③④　在①中,事件A与事件C能同时发生,所以A与C不是互斥事件,故①错误; 在②中,事件B与事件C不能同时发生,B与C互斥,故②正确; 在③中,事件A与事件C不是互斥事件,故③错误; 在④中,事件B与事件C互斥,故④错误. 13.解(1)样本空间与点集S={(x,y)|x∈N*,y∈N*,1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一对应. 事件A包含的样本点共5个,即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1). (2)B与C不是互斥事件,因为事件B与事件C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意. 14.12　当n>2时,由费马大定理知等式xn+yn=zn不成立;当n=2时,(x,y,z)可取(3,4,5)或(4,3,5),共2种情况;当n=1时,等式即为x+y=z,(x,y,z)可取(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),(2,2,4),(1,3,4),(3,1,4),(1,4,5),(4,1,5),(2,3,5),(3,2,5),共10种情况. 综上,使等式成立的样本点的个数为12. 4 学科网（北京）股份有限公司 $