第03讲 有理数的乘法与除法 -（暑期衔接课堂）2026年暑假六年级数学衔接讲义（沪教版五四制）

第03讲 有理数的乘法与除法（2大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 两个有理数的乘法运算 典型例题二 多个有理数的乘法运算 典型例题三 倒数 典型例题四 有理数乘法运算律 典型例题五 有理数的除法运算 典型例题六 有理数乘除混合运算 典型例题七 有理数四则混合运算 典型例题八 根据点在数轴的位置判断式子的正负 典型例题九 数轴上的翻折 典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用 知识点01 有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值是两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（2026·天津河东·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：． 2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）________； 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，任何数与0相乘都得0，据此可得答案． 【详解】解：， 故答案为：0． 知识点02 有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）将十进制数29转化为二进制表示为（   ） A．11100 B．11101 C．11001 D．11111 【答案】B 【分析】本题考查十进制数转化为二进制数，使用“除2取余，逆序排列”的方法求解即可 【详解】解：∵余1 余0 余1 余1 余1 将所得余数从下往上逆序排列，得到二进制数11101， 故选：B 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）通过字母表示数，我们可以借助符号描述有理数的除法法则：当有理数a、b同号时，；当有理数a、b异号时，；____（请借助符号把该法则补充完整）． 【答案】当，时， 【分析】本题考查有理数除法法则的概念，完整的有理数除法法则分为同号两数相除、异号两数相除、零除以非零有理数三种情况，题干给出前两种情况，只需补充剩余的零除以非零数的情况即可． 【详解】根据有理数除法法则，除数不能为零，零除以任何一个不为零的有理数结果都为零，因此用符号描述该法则为：当，时，． 【典型例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】2026·四川德阳·一模）计算 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【例2】（2026·河南信阳·模拟预测）若的运算结果为正数8，则□内的数字可以是（     ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘积为正判断两个因数同号，再结合选项特征筛选，最后计算验证即可得到答案. 【详解】解：∵ 有理数乘法中，乘积为正数时，两个因数同号，已知其中一个因数是负数， ∴ 方框内的数一定是负数， 观察选项，只有A选项是负数， 验证计算得：，符合题意. 【例3】（24-25七年级上·四川绵阳·阶段检测）若，则的倒数是___． 【答案】 【分析】根据有理数乘法法则求出x的值，再根据乘积为1的两个数互为倒数即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 【例4】（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，小林有5张标有数字的卡片，从中取出2张，则卡片上两数乘积的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，依题意，选取绝对值较大且符号相同的两数相乘，即可求解． 【详解】解：依题意，卡片上两数乘积的最大值为 故答案为：． 1．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算顺序和法则，是解题的关键． （1）运用有理数的加法交换律、结合律计算即可； （2）先计算乘法，再计算加法即可求解． 【详解】（1）解：， （2）解：． 2．（24-25七年级上·重庆永川·阶段检测）对于任意非零有理数、，定义如下运算：， 求：的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题中所给新定义运算进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； 【答案】（1）0，；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据定义的运算法则计算各式即可； （2）根据定义的运算法则计算即可； （3）根据定义的运算法则列出算式并整理，然后将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：（1），， 故答案为：0；； （2） ． （3）， ， ． 【典型例题二 多个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·青海海南·期末）如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中（） A．最多有一个数为0 B．至少有一个数为0 C．均为0 D．均不为0 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的性质，若多个有理数的积为0，则至少有一个因数为0，据此即可解答． 【详解】解：∵2025个有理数相乘所得的积为0， ∴这2025个数中至少有一个数为0． 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·河北衡水·期末）四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的符号法则，根据“”的个数，奇负偶正，得到被污染的有理数是一个负数，进行判断即可． 【详解】解：∵四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，积为负数， ∴被污染的有理数是一个负数；故满足题意的只有A选项； 故选：A． 【例3】（25-26六年级上·上海静安·期末）绝对值小于3.5的所有有理数的乘积为___________． 【答案】0 【分析】本题考查绝对值的性质及有理数的乘法运算，由于绝对值小于3.5的有理数中包含0，根据有理数乘法法则，0与任何数相乘都得0，因此乘积为0． 【详解】解：∵绝对值小于3.5的有理数包括0， ∴所有有理数的乘积为0． 故答案为：0． 【例4】（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘法运算．根据新定义运算，转化为有理数的乘法运算解答即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）不计算，说出下列各式积的符号： (1)； (2)． 【答案】(1)负 (2)正 【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算．通过计数每个表达式中负因数的个数来确定乘积的符号．负因数个数为奇数时，积为负；为偶数时，积为正． （1）根据负因数个数为3即可判断． （2）根据负因数个数为2即可判断． 【详解】（1）解：式子中有三个负因数：、、， 负因数个数为3，是奇数， 所以积为负． （2）解：式子中有两个负因数：、， 负因数个数为2，是偶数， 所以积为正． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）根据乘法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数的乘法运算，掌握知识点是解题的关键． （1）先判断代数式的正负性，再进行约分，即可解答； （2）有理数的乘法运算中，有0因数，结果为0． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． 【典型例题三 倒数】 【例1】（25-26七年级上·重庆巴南·期末）6的倒数为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【详解】6的倒数为. 【例2】（2026·浙江绍兴·二模）数字的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：数字的倒数是． 【例3】（2026·河北邯郸·二模）若，则“”表示的数是____． 【答案】 【分析】根据倒数的定义可得与互为倒数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与互为倒数， ∴“”表示的数是． 【例4】（2026·江苏南京·一模）2026的相反数是____________；2026的倒数是____________． 【答案】 【分析】本题考查相反数和倒数的定义，根据对应定义直接求解即可． 【详解】解：2026的相反数是；2026的倒数是． 1．（25-26七年级上·全国·期末）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及相反数定义、倒数定义、绝对值等相关知识，掌握相关数学知识得到式子与字母的值是解决问题的关键． 先由题意，得到，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：∵和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数， ， 即， ∴ ． 2．（25-26七年级上·四川达州·期中）已知a，b，c三个数在数轴上对应的位置如图所示． (1)填空：_______0；_______0；_______0；（填“”“”或“”） (2)已知，表示数a的点到原点距离为4，且m与c互为相反数，n与b互为倒数，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了数轴及数轴上点的特征，绝对值的意义，相反数和倒数的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置关系及有理数的加减运算判定即可； （2）根据绝对值的意义，相反数和倒数的定义得到，，，代入求值即可． 【详解】（1）解：由图可得，，所以，，． 故填：，，． （2）解：因为表示数a的点到原点距离为4，且m与c互为相反数，n与b互为倒数， 所以，，， 所以． 3．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）项目式学习 项目背景 在有理数除法运算中，当除数是一个复杂的有理数的和差形式时，直接计算比较繁琐，可先求原式的倒数，再利用乘法分配律简化计算，最后取倒数得到结果． 学习目标 理解“倒数法”在有理数除法中的原理；熟练运用乘法分配律进行有理数乘法运算． 材料阅读 计算：． 解：原式的倒数： ， 故原式． 任务解决 用倒数法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了倒数、有理数的除法、乘法分配律，理解“倒数法”是解题的关键． 仿照题意的“倒数法”进行计算即可． 【详解】解：原式的倒数： ， 故原式． 【典型例题四 有理数乘法运算律】 【例1】（2026·河北邢台·二模）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 【例2】（25-26七年级上·广东汕头·期末）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列判断正确的是（   ） ……第①步 ……第②步 ．……第③步 A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 【答案】B 【详解】解：第①步是将带分数拆分为，没有运用乘法交换律，故A选项错误； 按照乘法对加法的分配律展开计算： ， ∴第②步运用了乘法对加法的分配律，但计算时符号错误，结果错误，故B选项正确，C选项错误； 第②步计算已经出错，∴第③步的结果错误，故D选项错误． 【例3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________． 【答案】58 【详解】解： ． 【例4】（25-26七年级上·福建宁德·期中）北师大版七年级上册课本有一道题，给出了两种解法如下： 下面是计算的两种解法． 解法一： ． 解法二： ． “解法二”计算过程中，运用的运算律是__________． 【答案】乘法分配律 【分析】本题考查有理数的乘法，熟知在有理数运算中，乘法分配律是指一个数与几个数的和或差相乘，等于这个数分别与这些数相乘，再把积相加或相减． 根据解法二，将24分别与括号内的每个分数相乘，运用了乘法分配律． 【详解】解：解法二中，24与、、分别相乘，然后相加减，符合乘法分配律． 故答案为：乘法分配律． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 2．（2026·河北沧州·二模）洪洪在计算的过程中产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 思路二： 解：原式 = (1)在思路一中的“□”内填上合适的数，并完成计算； (2)在思路二中的“○”内填上“”“”、“×”、或“÷”中的一个运算符号，使得运算过程正确．并完成计算． 【答案】(1)；； (2)； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 3．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）认真阅读小兵同学的解题过程，完成相应任务． 解：（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） （第六步） 任务一：填空 ①为了计算简便，第一步应用的运算律是 ．（用符号表示） ②在计算的过程中，第三步的变形依据是 ． ③ 步出现错误，错误的原因是 ． 任务二：请直接写出计算结果． 【答案】任务一：①乘法分配律；②去括号法则； ③第一步，错误地添加了“”；任务二：30 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，乘法运算律，熟练掌握有理数混合运算法则，是解题的关键． 任务一：①根据乘法分配律，进行解答即可； ②根据去括号法则进行解答即可； ③根据有理数混合运算的步骤进行解答即可； 任务二：根据有理数四则混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：任务一：①为了计算简便，第一步应用的运算律是乘法分配律； ②在计算的过程中，第三步的变形依据是去括号法则； ③第一步出现错误，错误的原因是：错误地添加了“”； 任务二： ． 【典型例题五 有理数的除法运算】 【例1】（2026·天津红桥·三模）计算的结果等于（     ） A． B．4 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数的法则计算，先确定符号再计算绝对值即可． 【详解】解：． 【例2】（2026·北京门头沟·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴得到，进而根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ， ， ． 【例3】（25-26六年级上·广东河源·期中）若，则内的数字是________． 【答案】 【详解】解：根据乘除互为逆运算可得，内的数字是． 【例4】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）在数轴上，点A和点B分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是8，则这两点所表示的数分别是______． 【答案】和 【分析】利用相反数的定义结合数轴上两点间距离的性质求解即可． 【详解】解：点和点分别表示互为相反数的两个数， 原点到点与原点到点的距离相等，且两个数一正一负， ，两点间的距离是， 原点到点和点的距离都等于， 这两点所表示的数分别是和． 1．（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算： （1）变除法为乘法，再约分化简即可； （2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简； （3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可； （4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 2．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）数学老师布置了一道思考题计算：，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 小明的解法：原式的倒数为，所以 (1)请你判断小明的解答是否正确？答 ；并说明理由： ． (2)请你运用小明的解法解答问题．计算： 【答案】(1)正确；一个数的倒数的倒数等于它本身 (2) 【分析】此题主要考查了倒数以及有理数除法的知识，熟练掌握一个非零数的倒数的求解是关键． （1）小明的解答正确，因为一个数的倒数的倒数等于它本身； （2计算原式的倒数，再求倒数即可． 【详解】（1）解：正确；理由：一个数的倒数的倒数等于它本身． （2） ． 3．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）阅读下列材料，并回答问题： 计算：． 解法一：原式； 解法二：； 解法三：原式的倒数为； 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的；错误原因是 (2)请你选择合适的解法计算：． 【答案】(1)一，除法没有分配律 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法计算，熟知有理数的相关计算法则是解题的关键． （1）由于除法没有分配律，故解法一错误； （2）仿照题意求出原式的倒数即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，解法一是错误的，错误原因是除法没有分配律； （2）解： ， ∴． 【典型例题六 有理数乘除混合运算】 【例1】（25-26七年级上·山西长治·期末）( ) A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，关键是掌握同级运算从左到右依次进行，或把除法转化为乘法后再计算，注意符号的处理． 【详解】解： ． 故选：D． 【例2】（2026·贵州贵阳·一模）某馄饨店每碗有10个馄饨．其中虾仁馄饨14元/碗，鲜肉馄饨10元/碗．现计划推出“双拼”馄饨，其中含虾仁馄饨、鲜肉馄饨各5个，这种馄饨每碗合理定价为（    ） A．24元 B．22元 C．14元 D．12元 【答案】D 【分析】先分别计算单个虾仁馄饨和单个鲜肉馄饨的单价，再计算5个两种馄饨的总价，即可得到双拼馄饨的合理定价． 【详解】解：∵每碗馄饨共10个，虾仁馄饨14元/碗，鲜肉馄饨10元/碗， ∴单个虾仁馄饨价格为元，单个鲜肉馄饨价格为元， ∵双拼馄饨含两种馄饨各5个， ∴总定价为元． 【例3】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算．先计算乘除运算，将除法转化为乘法，利用有理数运算法则，负负得正，最后计算数值． 【详解】解：原式 故答案为：． 【例4】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）五个人聚会，如果每两人要握一次手，那么五个人共握_______次． 【答案】10 【分析】本题主要考查了握手问题．根据每个人需要与其他4个人握手，解答即可． 【详解】解：∵每个人需要与其他4个人握手， ∴总握手次数为次． 故答案为10 1．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）先算乘除，后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26六年级上·广东茂名·期中）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式 判断小明的解法是否正确．若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【答案】不正确，原因是同级运算的运算顺序错误； 【分析】有理数的乘除混合运算属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算． 【详解】解：不正确，原因是同级运算的运算顺序错误． 正确解答如下： 原式 ． 3．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）在如图的集合中选出整数和分数进行运算，并使运算结果分别符合下列要求． （注：每小问写出一个符合要求的式子及结果） 0，，26，2.4，，，，，， (1)选择一个整数和一个分数，使运算结果为整数； (2)选择一个整数和两个分数，使运算结果为正分数； (3)选择两个整数和两个分数，仅包含乘除运算，使运算结果为负分数． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)；（答案不唯一） (3)（答案不唯一） 【分析】此题主要考查有理数的四则运算，解题的关键是根据题意列出式子进行求解． （1）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （2）根据有理数的加法运算法则即可求解； （3）根据有理数的乘除运算法则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【典型例题七 有理数四则混合运算】 【例1】（25-26七年级上·河南周口·期末）定义新运算：，则的值为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算的理解及有理数的混合运算，将对应数值代入给定的运算公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵定义新运算 ∴ 故选：A． 【例2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若算式的运算结果为，则算式中的“”内应填入的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题的关键． 分别计算出填入各个不同符号的运算结果，再进行比较即可． 【详解】解：选项A，若算式中的“”内应填入的运算符号是“”，即，故选项A不符合题意； 选项B，若算式中的“”内应填入的运算符号是“”，即，故选项B不符合题意； 选项C，若算式中的“”内应填入的运算符号是“”，即，故选项C符合题意； 选项D，若算式中的“”内应填入的运算符号是“”，即，故选项D不符合题意． 故选：C． 【例3】 （24-25六年级上·黑龙江绥化·阶段检测）规定这种新的运算“*”对于任意数x，y，满足，例如，则______． 【答案】1 【分析】本题是定义新运算问题，根据新运算的规则，将所求新运算转化为常规有理数运算，再根据有理数运算法则计算即可． 【详解】∵ 对于任意有理数，满足， ∴ ． 【例4】（2026·甘肃定西·模拟预测）对于任意实数，，定义一种新运算：，例如：，，则________，________． 【答案】 【分析】先根据新运算的分段规则，分别判断两个运算中与的大小关系，再代入对应的公式进行计算． 【详解】解：，， ； ，， ． 1．（25-26七年级上·全国·寒假作业）在数学中，为了简便，记．，，，…，．求． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算方法是解题的关键．根据定义计算结果即可． 【详解】解： ． 2．（2026·河北廊坊·一模）定义一种新运算“□”，即，例如：．根据定义解答下列问题： (1)求的值； (2)通过计算说明：与的值是否相等． 【答案】(1) (2)，计算说明见解析 【分析】（1）根据题意可得，据此求解即可； （2）根据定义分别求出和的值即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴． 3．（25-26七年级上·福建福州·期中）小丽同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 根据小丽的计算过程，回答下列问题： (1)小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律； (2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了； (3)请你给出正确的解答过程． 【答案】(1)分配 (2)二 (3)35，过程见解析 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据乘法分配律可得答案； （2）除法没有分配律，据此可得答案； （3）先利用乘法分配律展开，然后计算括号内的减法，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：由解题过程可知，第一步运用了乘法分配律； （2）解：由解题过程可知，第二步开始出错了，错误原因是除号后面不能使用分配律去括号； （3）解： ． 【典型例题八 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例1】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数轴得出，且，逐项进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，，． 【例2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，A、B、C、D四个点在数轴上表示的数分别为a、b、c、d，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴，有理数的加减乘除运算．观察数轴得：，再根据有理数的加减乘除运算法则判定即可． 【详解】解：观察数轴得：， ∴；；；， 则正确的有3个． 故选：C 【例3】（2026·陕西西安·三模）如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，则______0．（填“”、“”、或者“”） 【答案】 【详解】解：由数轴可得，， ∴． 【例4】（25-26七年级上·吉林·阶段检测）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式：①；②；③；④．其中正确式子的序号是______． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，有理数加法和乘法． 根据数a、b在数轴上的位置可确定数a、b与1及的大小关系，从而可确定、、、及的符号，进而确定式子的符号，逐一作出判断． 【详解】解：①由数轴可知，，，则，故该项正确； ②由数轴可知，，，则，故该项不正确； ③由数轴可知，，，则，故该项正确； ④由数轴可知，，，则，，即，故该项正确； 则①③④正确． 故答案为：①③④． 1．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）有理数、、在数轴上的位置如图． (1)用“”或“”填空；_________0，_________0，_________0； (2)比较的大小． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，熟练掌握数轴上的数右边的比左边的大是解题的关键： （1）根据点的位置，判断数的大小关系，进而判断式子的符号即可； （2）根据点的位置，判断大小即可． 【详解】（1）解：由图可知：，， ∴，，； （2）∵，， ∴； 故． 2．（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）已知三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是． (1)填空： 0， 0；（填“＞”，“＝”或“＜”） (2)若且点到点的距离相等，当时，求的值； 【答案】(1)， (2)10 【分析】（1）根据在数轴上的位置得出，进行判断即可得出最终结果； （2）根据题意，求出的值，再结合，列出式子计算即可求出． 【详解】（1）解：由在数轴上的位置可知：， ， 比距离原点要远， ， ， 故答案为：． （2），， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了利用数轴判断式子正负，数轴上两点的距离公式，利用数轴判断a、b、c的取值范围是解此题的关键． 3．（24-25七年级上·吉林松原·期中）已知，有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示 (1)试化简：－＋． (2)若＝2，＝100，a是当＋40取最小值时x的值，求a+b+c的值． 【答案】(1)a+3b+2c (2)11 【分析】（1）根据数轴判断a、b、c各自的大小进而去化简题目即可； （2）结合（1）的结果得出a、b、c各自的值，进而计算即可． 【详解】（1）解：由数轴可得， 则， ∴原式=3a+b+c-2a+c+2b， = a+3b+2c． （2）由题意结合（1）可得 最小值为：＋40=40， ∴a=3，b=10，c= -2， ∴a+b+c=11． 【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是掌握对数轴上的点进行大小的比较和观察各自的符号． 【典型例题九 数轴上的翻折】 【例1】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 先求出折痕处的点表示的数为，然后再根据数轴上两点间距离公式进行解答即可． 【详解】解：将画在纸上的数轴上对折，表示的点与表示的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示的点重合的数是， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·山东聊城·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为和，如图．现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，例如：第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（  ） A．振 B．兴 C．中 D．华 【答案】A 【分析】本题考查了图形变化的规律型问题，找出规律是解题的关键． 找出“振”“兴”“中”“华”四个字对应的数的规律，由此即可得． 【详解】解：由题意可知：“中”字是数字除以4余2的，“华”字是数字除以4余3的，“振”字是数字能被4整除的，“兴”字是数字除以4余1的， 因为， 所以数2024对应的字“振”， 故选：A． 【例3】（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图在一条可以折叠的数轴上，和表示的数分别是和6，点为、之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，当点A落在与点B的距离为3个单位长度时，点C表示的数是________． 【答案】或0 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，数轴上的翻折；设点C表示的数为x，根据题意列式或计算即可， 【详解】解：设点C表示的数为x， 点A表示的数为，点B表示的数为6， ∴， ∵对折后点A的对应点与点B的距离为3， ∴解得， 或解得． 故答案为：或0． 【例4】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是___________． 【答案】或或 【分析】此题考查了数轴上任意两点之间的距离，结合分类讨论数学思想进行求解，要做到不重不漏．由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论，且结合作图，进行分析，即可作答． 【详解】解：点对应的数为，点对应的数为， ，三条纸条的长度为三部分， 则 三条纸条的长度分别是，，， 如图所示，当从到三条纸条长度为，，时， ， ∵点对应的数为， 此时折痕表示的数为； 如图所示，当从到三条纸条长度为，，时， ， ∵点对应的数为， 此时折痕表示的数为； 如图所示，当从到三条纸条长度为，，时， ， ∵点对应的数为， 此时折痕表示的数为； 综上，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是或或， 故答案为：或或． 1．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图所示，在数轴上有三个点，，，它们所表示的数分别为、、，试回答下列问题． (1)若点与点的距离是，求点表示的数； (2)若将数轴折叠，使点与点重合，则点与数________表示的点重合． 【答案】(1)点表示的数为或； (2)． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上表示数，有理数加减运算，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出算式或即可求解； （）先求出折痕点为，然后列出算式即可求解． 【详解】（1）解：∵点与点的距离是，表示的数为， ∴点表示的数为或； （2）解：∵点与点重合，，所表示的数分别为、， ∴折痕点为， ∴ ， ∴点与数重合， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知在纸面上有一条数轴． (1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示________的点重合． (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答下列问题： ①表示5的点与表示________的点重合，表示的点与表示________的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离为2026个单位长度（点A在点B的左侧），且折叠后A，B两点重合，求A，B两点表示的数． 【答案】(1)2 (2)①，；②点A表示的数为，点B表示的数为1014 【分析】本题考查了数轴的折叠问题，通过折叠使数轴上的点重合，考查“对称点”和“中点”概念的理解和应用. （1）根据表示1的点和表示的点重合，由此可以得到折痕点为0，由此可以得到表示的点重合的点. （2）①根据已知条件可知对称点为表示1的点，由此即可找到与表示5的点的重合点，与表示的点的重合点； ②根据题意可知A和B与对称点的距离，由此即可得到A和B两点表示的数. 【详解】（1）解：折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，所以折痕点为原点，借助数轴可得，则表示的点与表示2的点重合． 故答案为：2； （2）解：折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，所以折痕点为1； ①借助数轴可得，表示5的点与表示的点重合； 表示的点与表示的点重合； 故答案为： ②∵A，B两点之间的距离为2026个单位长度，且折叠后A，B两点重合， ∴A，B两点到折痕经过数轴上的点的距离均为1013个单位长度． 由题意知，折痕经过数轴上表示1的点，且点A在点B的左侧， ∴点A表示的数为，点B表示的数为1014． 3．（24-25七年级上·吉林·阶段检测）已知在纸面上有一数轴如图，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数； (2)在数轴上画出与点A的距离为2的点（用不同于A、B的其他字母表示），并写出这些点表示的数； (3)折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①10表示的点与数________表示的点重合； ②若数轴上M、N两点之间的距离为2018（点M在点N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数是多少？ 【答案】(1)点A表示的数为1，点B表示的数为 (2)见解析 (3)①；②点M表示的数为，点N表示的数为 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数： （1）根据数轴上点的位置即可得到答案； （2）根据数轴上两点距离计算公式得到与点A距离为2的点表示的数为或3，据此在数轴上表示出对应的点即可； （3）①先求出折叠中心为2，再根据与10重合的数到折叠中心的距离等于10到折叠中心的距离进行求解即可； ②根据题意可得点M和点N到折叠中心的距离都为1012，据此根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，点A表示的数为1，点B表示的数为； （2）解：∵点A表示的数为1， ∴与点A距离为2的点表示的数为或3， 如图所示，点C和点D即为所求； （3）解：①∵折叠纸面，在数轴上表示的点与表示5的点重合， ∴折叠中心为， ∴数轴上表示10的点与表示的点重合， 故答案为：； ②∵数轴上M，N两点之间的距离为2018（点M在点N的左侧），且M，N两点经折叠后重合， ∴点M和点N到折叠中心的距离都为1009， ∴点M表示的数为，点N表示的数为． 【典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知酒精冻结的温度是，现有一杯酒精的温度是，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低，要使这杯酒精冻结需要的时间为（   ） A．204.8分钟 B．80分钟 C．66.25分钟 D．169.6分钟 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，计算从当前温度到冻结温度的总温差，再除以每分钟降低的温度，得到时间即可． 【详解】解： （分钟） 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·广东梅州·期中）某私家车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 2025年2月8日 2025年2月12日 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（  ） A．6升 B．10升 C．8升 D．12升 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据两次加油数据，第二次加油量即为这段时间的耗油量，行驶路程为累计里程差，通过计算每千米耗油量再换算为每千米耗油量． 【详解】第二次加油量升表示从第一次加油后到第二次加油期间的耗油量， 行驶路程千米千米千米， 每千米平均耗油量为升． 故选：B． 【例3】（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）高度每增加1千米，气温大约降低，山顶的气温是，地面气温是，则山的高度大约是_________千米． 【答案】1.5 【分析】根据题意列出算式，根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得：（千米）， 则山的高度大约是1.5千米． 【例4】（25-26七年级上·河南周口·期末）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若秋分的“晷长”是尺，霜降的“晷长”是尺，则小雪的“晷长”是_________尺． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，求出相邻两个节气晷长减少或增加的量．根据相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，观察从秋分到夏至霜降晷长变化次数即可求出相邻两个节气晷长减少或增加的量，从而可得小雪的晷长． 【详解】解：∵相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，从秋分到霜降变化2次， ∴相邻两个节气晷长减少或增加的量为 （尺）， 小雪的晷长为 （尺）， 故答案为：尺． 1．（25-26六年级上·黑龙江大庆·期中）乐乐在比例尺是的房屋设计图上，量得自家房屋平面图长16厘米，宽8厘米． (1)乐乐的爸爸准备把房屋的地面铺上边长为0.8米的正方形地砖，需要多少块这样的地砖？ (2)如果每块地砖需12元钱，乐乐家买地砖需要多少钱？ 【答案】(1)200块 (2)2400元 【分析】（1）根据比例尺求出房屋地面的实际长和宽，再计算出房屋地面的面积和每块地砖的面积，进而求出所需地砖的数量即可． （2）根据地砖数量和单价求出买地砖的总费用． 【详解】（1）解：房屋实际长，宽， 房屋面积为，正方形地砖面积 地砖数为 块． （2）解：费用为元． 2．（25-26六年级上·江苏无锡·自主招生）某通讯公司开设了两种通讯业务如下： 一、使用“全球通”手机卡用户电话费计费标准：每月月租费50元，接听和打出每分钟另需付通话费均为0.4元； 二、使用“神州行”手机卡用户电话费计费标准：不缴月租费，接听和打出每分钟通话费均为0.6元． 根据以上信息： (1)张华每月平均通话时间是150分钟，他应选择用哪种手机卡电话费比较便宜？每月需电话费多少元？ (2)陈烨每月平均通话时间是300分钟，他应选择用哪种手机卡电话费比较便宜？每月需电话费多少元？ 【答案】(1)张华应选择“神州行”，每月话费90元 (2)陈烨应选择“全球通”，每月话费170元 【分析】（1）根据张华的通话时间分别计算两种业务下的话费，再进行比较即可； （2）根据陈烨的通话时间分别计算两种业务下的话费，再进行比较即可． 【详解】（1）解：“全球通”电话费（元）， “神州行”电话费（元）， 因为，所以应选择“神州行”， 答：张华应选择“神州行”，每月话费90元． （2）解：“全球通”电话费（元）， “神州行”电话费（元）， 因为，所以应选择“全球通”， 答：陈烨应选择“全球通”，每月话费170元． 3．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）最近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其在我国、新能源汽车产量都大幅增加．阳阳家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程如下表，以为标准，多于的部分记为正，不足的部分记为负，刚好的记为零． 第n天 1 2 3 4 5 6 7 路程 (1)这7天里第3天走的路程是 ，路程最多的一天比最少的一天多走 ； (2)请求出阳阳家的新能源汽车这七天共行驶了多少？ 【答案】(1)34；25 (2) 【分析】（1）用表格中第3天对应的数加上50，可求出第3天走的路程；用表格中最大的数减去最小的数，可求出路程最多的一天比最少的一天多走的路程； （2）用表格中的数之和再加上，可以求出这七天共行驶的路程． 【详解】（1）解：这7天里第3天走的路程是： ； 最多的一天比最少的一天多走的路程为： ； （2）解：阳阳家的新能源汽车这七天共行驶的路程为： ． 答：阳阳家的新能源汽车这七天共行驶了． 1．（24-25六年级上·湖北十堰·自主招生）如果四个互不相等的正整数m、n、p、q满足，则的最大值为（    ） A．40 B．48 C．50 D．52 【答案】C 【分析】根据题意可知、、、是四个互不相等的整数，乘积为9，据此确定四个数的所有可能取值，再根据要让代数式最大，系数大的变量对应取更大的值，计算最大值即可． 【详解】解：m、n、p、q是互不相等的正整数，， 、、、是互不相等的整数， 只能分解为四个互不相等整数的乘积：， 、、、这四个数就是、1、、3， 解得对应的m、n、p、q为1，3，5，7， 要使取得最大值，需让系数最大的变量取最大的数，系数次大的变量取次大的数， 令、、、，代入得： ， 即所求式子最大值为50． 2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，按照运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号先算括号内的，逐一计算验证选项即可。 【详解】选项A： ∵ ， ∴ A错误； 选项B： ∵ ， ∴ B错误； 选项C： ∵ ， ∴ C错误； 选项D： ∵ ， 计算符合运算法则，结果正确， ∴ D正确； 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）若为倒数，且满足，则值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了倒数的定义，求解代数式的值，根据，互为倒数，则，把代入，即可得出的值，再求解的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，互为倒数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 4．（25-26七年级上·广东汕头·期末）如图，数轴上有点、、，点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在点的右侧且到点的距离为，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的数．先根据两点间的距离公式求出点的对应点表示的数，再利用中点公式求出点表示的数即可解答． 【详解】解：设点表示的数为，点对折后的落点为， 点、表示的数分别是，，点落在点的右侧且到点的距离为， 点落在的位置表示的数为， 点表示的数为， ， ， 解得， 点表示的数是， 故选：． 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）区别于十进制，古巴比伦使用的是60进 制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示1~12，另一只手用五根手指表示12的1~5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是．若当其左手伸出三根手指，右手大拇指掐中第3指关节时，表示的十进制数字是（    ） A．9 B．19 C．29 D．39 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先根据题目定义可得所表示的数为，再进行计算求解. 【详解】解：， 故选：D． 6．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）已知，，且，则_______． 【答案】 【分析】先由绝对值的性质求出、的可能值，再通过加法运算判断哪些组合满足和为正的条件，最后计算符合条件的、的乘积． 【详解】解：∵，， ∴或，或． ①当，时，，满足条件，此时； ②当，时，，满足条件，此时； ③当，时，，不满足的条件，舍去； ④当，时，，不满足的条件，舍去． 综上，的值为． 7．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）若个互不相等的正整数的倒数和等于，那么的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，有理数的加法，根据倒数的定义，先从最小的正整数倒数开始，利用有理数的加法，一次求出正整数的个数即可，熟记倒数的概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·全国·期中）将，，，，，，，填入九宫格内，如图所示的处应填_____． 【答案】 【分析】题主要考查了九宫格和有理数的运算，求出每行、每列、每条斜对角线上的个数和为是关键．设左下角的数字为，右下角的数字为，先求出每行、每列、每条斜对角线上的3个数和为-3，再根据和不变依次求出、、即可． 【详解】解：如图，设左下角的数字为，右下角的数字为， 由条件可知每行、每列、每条斜对角线上的个数和， ， ， ， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）如图，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，小明通过探究得到如下结论：①若，则；②若，则；③若，则原点一定在点的右侧；④．其中正确的结论是________．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】根据、、的大小关系，以及中点的位置情况，对各结论依次进行判断即可． 【详解】解：若， 则， 又∵点在中点右边， ∴， 故，结论①正确； 若， 则、异号， ∵， ∴， ∴， 即，故结论②正确； 若， 即到原点的距离大于到原点距离， 则原点可能在右侧，也可能在点到中点之间，故结论③错误； ∵， ∴，， ∴，故结论④正确； 综上，正确的结论有①②④． 10．（2026·河南周口·一模）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按________的先后顺序彩排． 【答案】 【分析】由题意可得，节目和演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长较长的节目应该放在后面，那么在的前面，和彩排时长一样，人数不一样，那么人数较少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么在前面，再分情况分别计算，比较即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，节目和演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长较长的节目应该放在后面，那么在的前面，和彩排时长一样，人数不一样，那么人数较少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么在前面， 按照顺序，则候场时间为； 按照顺序，则候场时间为； 按照顺序，则候场时间为； 按照顺序，则候场时间为； 按照顺序，则候场时间为； 按照顺序，则候场时间为， ∵， ∴若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的先后顺序彩排． 11．（24-25七年级上·四川广元·期中）能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)100 (3) (4)9 【分析】按照四则运算顺序进行计算，然后要注意合理利用乘法分配律和结合律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（2026·河北邢台·一模）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； (2)请你写出这道题的正确解答过程． 【答案】(1)②③ (2)36 【分析】（1）第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）根据乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）解：原式 ． 13．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）课堂上，老师出了一道计算题：，小明和小丽同学的解法如下： 小明的解法： 原式． 小丽的解法：原式的倒数为：． 所以原式． (1)小明和小丽的解法中，正确的是______的解法（填“小明”或“小丽”）； (2)请你运用上述正确的方法计算：． 【答案】(1)小丽 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算和倒数，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序． （1）根据题目中小明和小丽的解答过程，可以判断小丽的解法正确； （2）仿照小丽的解法，先求所求式子的倒数，然后即可得到所求式子的值． 【详解】（1）解：小明的解法中没有按照先算小括号，再算除法的顺序做，故小明的解法错误； 小丽的解法是正确的； 故答案为：小丽； （2）解：原式的倒数为： ， 原式． 14．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． 【答案】(1)，1 (2)①p的值为1.5；②p的值为0.75或2或3.5 【分析】本题考查了数轴上数的表示，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面． （1）最大的负整数是，的相反数是1，据此解答即可； （2）①对折后点A与点C重合，即点到，的距离相等，据此求解即可； ②分三种情况进行分析计算． 【详解】（1）解：a是最大的负整数，b是a的相反数， ∴，； （2）解：①点表示，点表示4，经点对折后点与点重合， 点表示的数为：． ②当对折后点A到B，C距离相等时， 对折后对应的数：， 点表示的数为：； 当对折后点C到A，B距离相等时， 对折后对应的数：， 点表示的数为：； 当对折后点B到A，C距离相等时， 对折后对应的数：， 点表示的数为：． 综上，p的值为或2或． 15．（24-25六年级下·上海普陀·期中）小海骑变速自行车上坡时，拨一下变速器，脚蹬会变轻；想骑快时再拨一下，后轮转速就会提升，这是如何实现的？ 秘密藏在自行车的齿轮组里：如图，前后两个齿轮通过链条连接，前侧连接脚蹬的齿轮组是牙盘（动力轮），后侧连接后轮轴心的齿轮组是飞轮（从动轮），自行车后轮转速与后飞轮一致．齿轮—链条啮合的传动原理与齿轮直接啮合一致（链条改变了飞轮转动方向），通过前（后）拨器切换链条卡在牙盘/飞轮的不同齿轮上，即可改变后轮转速，相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力． 小海观察自己的变速自行车，发现后飞轮有四层不同齿数的齿轮，由外到内的齿数分别为30（1档）、24（2档）、20（3档）、16齿（4档），前牙盘最外层有36齿． (1)小海在小区平路骑行时，将自行车飞轮拨至20齿，前牙盘调到最外层36齿，此时，后轮的速度_______小海蹬车速度（填“大于”“小于”），如果小海蹬车速度为40圈/分钟，那么后轮的转速为_______圈/分钟，齿轮—链条的升（降）速率为_______． (2)已知自行车后轮直径为，在一段上坡路上，小海将飞轮拨至24齿（牙盘36齿），车后轮转了150圈，这段坡路有多少米？（结果保留） (3)在（2）的条件下，小海认为此段坡路骑起来还是费力，于是保留后飞轮24齿，将前牙盘拨到另一齿轮档位，保持40圈/分钟的蹬车速度，他想用不超过5分钟骑完该坡路，并希望尽可能省力，请问他应该把前牙盘调到多少齿？（  ） A．15齿    B．18齿    C．20齿    D．24齿 【答案】(1)大于，，； (2)这段坡路有米； (3)B 【分析】（1）由题意可知，飞轮的齿轮齿数比前牙盘的齿轮齿数少，速度更大；再根据蹬车速度和齿数求解即可； （2）根据圆的周长计算即可； （3）结合（2）条件可得若用不超过5分钟骑完该坡路，则前牙盘需不小于齿，再结合相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力，即可得解． 【详解】（1）解：将自行车飞轮拨至20齿，前牙盘调到最外层36齿，此时，后轮的速度大于小海蹬车速度， 如果小海蹬车速度为40圈/分钟，那么后轮的转速为圈/分钟，齿轮—链条的升（降）速率为； （2）解：， 答：这段坡路有米； （3）解：由（2）可知，车后轮转了150圈， 若5分钟骑完该坡路，则后轮保持圈/分钟， 则前牙盘齿数为（齿）， 若用不超过5分钟骑完该坡路，则前牙盘需不小于齿， 又因为相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力， 所以他应该把前牙盘调到18齿． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 有理数的乘法与除法（2大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 两个有理数的乘法运算 典型例题二 多个有理数的乘法运算 典型例题三 倒数 典型例题四 有理数乘法运算律 典型例题五 有理数的除法运算 典型例题六 有理数乘除混合运算 典型例题七 有理数四则混合运算 典型例题八 根据点在数轴的位置判断式子的正负 典型例题九 数轴上的翻折 典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用 知识点01 有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值是两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（2026·天津河东·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C．6 D．7 2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）________； 知识点02 有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）将十进制数29转化为二进制表示为（   ） A．11100 B．11101 C．11001 D．11111 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）通过字母表示数，我们可以借助符号描述有理数的除法法则：当有理数a、b同号时，；当有理数a、b异号时，；____（请借助符号把该法则补充完整）． 【典型例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】2026·四川德阳·一模）计算 （     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·河南信阳·模拟预测）若的运算结果为正数8，则□内的数字可以是（     ） A． B．0 C．2 D．4 【例3】（24-25七年级上·四川绵阳·阶段检测）若，则的倒数是___． 【例4】（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，小林有5张标有数字的卡片，从中取出2张，则卡片上两数乘积的最大值为_____． 1．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）计算： (1)； (2)． 2．（24-25七年级上·重庆永川·阶段检测）对于任意非零有理数、，定义如下运算：， 求：的值． 3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； 【典型例题二 多个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·青海海南·期末）如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中（） A．最多有一个数为0 B．至少有一个数为0 C．均为0 D．均不为0 【例2】（25-26七年级上·河北衡水·期末）四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【例3】（25-26六年级上·上海静安·期末）绝对值小于3.5的所有有理数的乘积为___________． 【例4】（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）不计算，说出下列各式积的符号： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【典型例题三 倒数】 【例1】（25-26七年级上·重庆巴南·期末）6的倒数为（   ） A． B． C．6 D． 【例2】（2026·浙江绍兴·二模）数字的倒数是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2026·河北邯郸·二模）若，则“”表示的数是____． 【例4】（2026·江苏南京·一模）2026的相反数是____________；2026的倒数是____________． 1．（25-26七年级上·全国·期末）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，求的值． 2．（25-26七年级上·四川达州·期中）已知a，b，c三个数在数轴上对应的位置如图所示． (1)填空：_______0；_______0；_______0；（填“”“”或“”） (2)已知，表示数a的点到原点距离为4，且m与c互为相反数，n与b互为倒数，求的值． 3．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）项目式学习 项目背景 在有理数除法运算中，当除数是一个复杂的有理数的和差形式时，直接计算比较繁琐，可先求原式的倒数，再利用乘法分配律简化计算，最后取倒数得到结果． 学习目标 理解“倒数法”在有理数除法中的原理；熟练运用乘法分配律进行有理数乘法运算． 材料阅读 计算：． 解：原式的倒数： ， 故原式． 任务解决 用倒数法计算：． 【典型例题四 有理数乘法运算律】 【例1】（2026·河北邢台·二模）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【例2】（25-26七年级上·广东汕头·期末）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列判断正确的是（   ） ……第①步 ……第②步 ．……第③步 A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 【例3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________． 【例4】（25-26七年级上·福建宁德·期中）北师大版七年级上册课本有一道题，给出了两种解法如下： 下面是计算的两种解法． 解法一： ． 解法二： ． “解法二”计算过程中，运用的运算律是__________． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算： 2．（2026·河北沧州·二模）洪洪在计算的过程中产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 思路二： 解：原式 = (1)在思路一中的“□”内填上合适的数，并完成计算； (2)在思路二中的“○”内填上“”“”、“×”、或“÷”中的一个运算符号，使得运算过程正确．并完成计算． 3．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）认真阅读小兵同学的解题过程，完成相应任务． 解：（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） （第六步） 任务一：填空 ①为了计算简便，第一步应用的运算律是 ．（用符号表示） ②在计算的过程中，第三步的变形依据是 ． ③ 步出现错误，错误的原因是 ． 任务二：请直接写出计算结果． 【典型例题五 有理数的除法运算】 【例1】（2026·天津红桥·三模）计算的结果等于（     ） A． B．4 C． D．1 【例2】（2026·北京门头沟·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（25-26六年级上·广东河源·期中）若，则内的数字是________． 【例4】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）在数轴上，点A和点B分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是8，则这两点所表示的数分别是______． 1．（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）数学老师布置了一道思考题计算：，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 小明的解法：原式的倒数为，所以 (1)请你判断小明的解答是否正确？答 ；并说明理由： ． (2)请你运用小明的解法解答问题．计算： 3．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）阅读下列材料，并回答问题： 计算：． 解法一：原式； 解法二：； 解法三：原式的倒数为； 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的；错误原因是 (2)请你选择合适的解法计算：． 【典型例题六 有理数乘除混合运算】 【例1】（25-26七年级上·山西长治·期末）( ) A．2 B． C．1 D．4 【例2】（2026·贵州贵阳·一模）某馄饨店每碗有10个馄饨．其中虾仁馄饨14元/碗，鲜肉馄饨10元/碗．现计划推出“双拼”馄饨，其中含虾仁馄饨、鲜肉馄饨各5个，这种馄饨每碗合理定价为（    ） A．24元 B．22元 C．14元 D．12元 【例3】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）计算：________． 【例4】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）五个人聚会，如果每两人要握一次手，那么五个人共握_______次． 1．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）计算： (1) (2) 2．（25-26六年级上·广东茂名·期中）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式 判断小明的解法是否正确．若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 3．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）在如图的集合中选出整数和分数进行运算，并使运算结果分别符合下列要求． （注：每小问写出一个符合要求的式子及结果） 0，，26，2.4，，，，，， (1)选择一个整数和一个分数，使运算结果为整数； (2)选择一个整数和两个分数，使运算结果为正分数； (3)选择两个整数和两个分数，仅包含乘除运算，使运算结果为负分数． 【典型例题七 有理数四则混合运算】 【例1】（25-26七年级上·河南周口·期末）定义新运算：，则的值为 （   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若算式的运算结果为，则算式中的“”内应填入的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【例3】 （24-25六年级上·黑龙江绥化·阶段检测）规定这种新的运算“*”对于任意数x，y，满足，例如，则______． 【例4】（2026·甘肃定西·模拟预测）对于任意实数，，定义一种新运算：，例如：，，则________，________． 1．（25-26七年级上·全国·寒假作业）在数学中，为了简便，记．，，，…，．求． 2．（2026·河北廊坊·一模）定义一种新运算“□”，即，例如：．根据定义解答下列问题： (1)求的值； (2)通过计算说明：与的值是否相等． 3．（25-26七年级上·福建福州·期中）小丽同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 根据小丽的计算过程，回答下列问题： (1)小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律； (2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了； (3)请你给出正确的解答过程． 【典型例题八 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例1】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，A、B、C、D四个点在数轴上表示的数分别为a、b、c、d，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（2026·陕西西安·三模）如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，则______0．（填“”、“”、或者“”） 【例4】（25-26七年级上·吉林·阶段检测）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式：①；②；③；④．其中正确式子的序号是______． 1．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）有理数、、在数轴上的位置如图． (1)用“”或“”填空；_________0，_________0，_________0； (2)比较的大小． 2．（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）已知三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是． (1)填空： 0， 0；（填“＞”，“＝”或“＜”） (2)若且点到点的距离相等，当时，求的值； 3．（24-25七年级上·吉林松原·期中）已知，有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示 (1)试化简：－＋． (2)若＝2，＝100，a是当＋40取最小值时x的值，求a+b+c的值． 【典型例题九 数轴上的翻折】 【例1】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【例2】（24-25七年级上·山东聊城·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为和，如图．现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，例如：第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（  ） A．振 B．兴 C．中 D．华 【例3】（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图在一条可以折叠的数轴上，和表示的数分别是和6，点为、之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，当点A落在与点B的距离为3个单位长度时，点C表示的数是________． 【例4】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是___________． 1．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图所示，在数轴上有三个点，，，它们所表示的数分别为、、，试回答下列问题． (1)若点与点的距离是，求点表示的数； (2)若将数轴折叠，使点与点重合，则点与数________表示的点重合． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知在纸面上有一条数轴． (1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示________的点重合． (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答下列问题： ①表示5的点与表示________的点重合，表示的点与表示________的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离为2026个单位长度（点A在点B的左侧），且折叠后A，B两点重合，求A，B两点表示的数． 3．（24-25七年级上·吉林·阶段检测）已知在纸面上有一数轴如图，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数； (2)在数轴上画出与点A的距离为2的点（用不同于A、B的其他字母表示），并写出这些点表示的数； (3)折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①10表示的点与数________表示的点重合； ②若数轴上M、N两点之间的距离为2018（点M在点N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数是多少？ 【典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知酒精冻结的温度是，现有一杯酒精的温度是，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低，要使这杯酒精冻结需要的时间为（   ） A．204.8分钟 B．80分钟 C．66.25分钟 D．169.6分钟 【例2】（25-26七年级上·广东梅州·期中）某私家车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 2025年2月8日 2025年2月12日 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（  ） A．6升 B．10升 C．8升 D．12升 【例3】（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）高度每增加1千米，气温大约降低，山顶的气温是，地面气温是，则山的高度大约是_________千米． 【例4】（25-26七年级上·河南周口·期末）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若秋分的“晷长”是尺，霜降的“晷长”是尺，则小雪的“晷长”是_________尺． 1．（25-26六年级上·黑龙江大庆·期中）乐乐在比例尺是的房屋设计图上，量得自家房屋平面图长16厘米，宽8厘米． (1)乐乐的爸爸准备把房屋的地面铺上边长为0.8米的正方形地砖，需要多少块这样的地砖？ (2)如果每块地砖需12元钱，乐乐家买地砖需要多少钱？ 2．（25-26六年级上·江苏无锡·自主招生）某通讯公司开设了两种通讯业务如下： 一、使用“全球通”手机卡用户电话费计费标准：每月月租费50元，接听和打出每分钟另需付通话费均为0.4元； 二、使用“神州行”手机卡用户电话费计费标准：不缴月租费，接听和打出每分钟通话费均为0.6元． 根据以上信息： (1)张华每月平均通话时间是150分钟，他应选择用哪种手机卡电话费比较便宜？每月需电话费多少元？ (2)陈烨每月平均通话时间是300分钟，他应选择用哪种手机卡电话费比较便宜？每月需电话费多少元？ 3．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）最近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其在我国、新能源汽车产量都大幅增加．阳阳家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程如下表，以为标准，多于的部分记为正，不足的部分记为负，刚好的记为零． 第n天 1 2 3 4 5 6 7 路程 (1)这7天里第3天走的路程是 ，路程最多的一天比最少的一天多走 ； (2)请求出阳阳家的新能源汽车这七天共行驶了多少？ 1．（24-25六年级上·湖北十堰·自主招生）如果四个互不相等的正整数m、n、p、q满足，则的最大值为（    ） A．40 B．48 C．50 D．52 2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）若为倒数，且满足，则值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．（25-26七年级上·广东汕头·期末）如图，数轴上有点、、，点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在点的右侧且到点的距离为，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）区别于十进制，古巴比伦使用的是60进 制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示1~12，另一只手用五根手指表示12的1~5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是．若当其左手伸出三根手指，右手大拇指掐中第3指关节时，表示的十进制数字是（    ） A．9 B．19 C．29 D．39 6．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）已知，，且，则_______． 7．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）若个互不相等的正整数的倒数和等于，那么的最小值为______． 8．（24-25七年级上·全国·期中）将，，，，，，，填入九宫格内，如图所示的处应填_____． 9．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）如图，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，小明通过探究得到如下结论：①若，则；②若，则；③若，则原点一定在点的右侧；④．其中正确的结论是________．（填写序号） 10．（2026·河南周口·一模）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按________的先后顺序彩排． 11．（24-25七年级上·四川广元·期中）能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 12．（2026·河北邢台·一模）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； (2)请你写出这道题的正确解答过程． 13．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）课堂上，老师出了一道计算题：，小明和小丽同学的解法如下： 小明的解法： 原式． 小丽的解法：原式的倒数为：． 所以原式． (1)小明和小丽的解法中，正确的是______的解法（填“小明”或“小丽”）； (2)请你运用上述正确的方法计算：． 14．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． 15．（24-25六年级下·上海普陀·期中）小海骑变速自行车上坡时，拨一下变速器，脚蹬会变轻；想骑快时再拨一下，后轮转速就会提升，这是如何实现的？ 秘密藏在自行车的齿轮组里：如图，前后两个齿轮通过链条连接，前侧连接脚蹬的齿轮组是牙盘（动力轮），后侧连接后轮轴心的齿轮组是飞轮（从动轮），自行车后轮转速与后飞轮一致．齿轮—链条啮合的传动原理与齿轮直接啮合一致（链条改变了飞轮转动方向），通过前（后）拨器切换链条卡在牙盘/飞轮的不同齿轮上，即可改变后轮转速，相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力． 小海观察自己的变速自行车，发现后飞轮有四层不同齿数的齿轮，由外到内的齿数分别为30（1档）、24（2档）、20（3档）、16齿（4档），前牙盘最外层有36齿． (1)小海在小区平路骑行时，将自行车飞轮拨至20齿，前牙盘调到最外层36齿，此时，后轮的速度_______小海蹬车速度（填“大于”“小于”），如果小海蹬车速度为40圈/分钟，那么后轮的转速为_______圈/分钟，齿轮—链条的升（降）速率为_______． (2)已知自行车后轮直径为，在一段上坡路上，小海将飞轮拨至24齿（牙盘36齿），车后轮转了150圈，这段坡路有多少米？（结果保留） (3)在（2）的条件下，小海认为此段坡路骑起来还是费力，于是保留后飞轮24齿，将前牙盘拨到另一齿轮档位，保持40圈/分钟的蹬车速度，他想用不超过5分钟骑完该坡路，并希望尽可能省力，请问他应该把前牙盘调到多少齿？（  ） A．15齿    B．18齿    C．20齿    D．24齿 学科网（北京）股份有限公司 $