第01讲 有理数的引入（6大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2026年暑假六年级数学衔接讲义（沪教版五四制）

第01讲 有理数的引入（6大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 正数和负数的定义 典型例题二 相反数的定义 典型例题三 有理数的定义 典型例题四 求一个数的绝对值 典型例题五 化简多重符号 典型例题六 有理数大小比较 典型例题七 利用数轴比较有理数的大小 典型例题八 数轴上两点之间的距离 典型例题九 数轴上的动点问题 典型例题十 绝对值非负性 典型例题十一 正负数的实际应用 知识点01 正数与负数 1. 负数的由来 为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数。 2. 正数和负数 正数就是我们小学学过的除零以外的所有数，即大于零的数叫做正数。根据需要有时候在正数前面加上“+”（正） 3. 0既不是正数也不是负数 4.非负数：0和正数统称为非负数；则非正数是指0和负数 【即时训练】 1．（24-25七年级上·山东日照·期末）在，0，1，，，7，中，负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的定义，负数是指小于零的数，需逐一判断每个数是否小于零，即可作答． 【详解】解：依题意，，，，， 故负数有3个， 故选：C． 2．（25-26七年级上·北京昌平·期末）在空间站某次舱外作业中，航天员的宇航服表面温度显示：向阳面为零上，背阴面为零下．若零上记作，则零下记作___________． 【答案】 【分析】该题考查了正负数的意义，根据正负数的意义，零上温度记为正数，零下温度记为负数 【详解】解：由题意，零上记作，则零下应记作负数，即， 故答案为：． 知识点02 有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； 负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 4） 有理数的两种分类： 【即时训练】 1．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各数中：1，，2.8，，，是分数的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据有理数分类中分数的定义判断各数，初中数学中有限小数和无限循环小数都属于分数，统计符合条件的数的个数即可得到答案． 【详解】解：1是整数，不是分数； 是负分数，属于分数； 是有限小数，可化为分数，属于分数； ，是整数，则不属于分数； ，是有限小数，可化为分数，则属于分数； 是无限循环小数，可化为分数，属于分数； 综上，属于分数的数共有个． 2．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个． 【答案】6 【分析】根据非负数的定义，找出题目中符合要求的数，统计其个数即可得到结果． 【详解】解：非负数为：，，，，，，共有个． 知识点03 数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 【即时训练】 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）悦悦在直线上分别标出了几组正、负数，标注的位置正确且合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据数轴定义，负数位于原点的左侧，正数位于原点的右侧， ∴选项A和选项C错误； 选项B单位长度错误，间隔不相等； 选项D正确． 2．（2026·贵州遵义·一模）如图，数轴上有A，B，C，D，E五个点，则与点A表示的数互为相反数的数对应的点是_______．（填“B”或“C”或“D”或“E”） 【答案】B 【分析】从数轴上可以直接看出五个点表示的数，根据相反数的定义即可作答． 【详解】解：点A表示的数是2，与2互为相反数的数是，点B表示的数是， ∴与点A表示的数互为相反数的数对应的点是点B． 知识点04 相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 【即时训练】 1．（2026·云南昆明·模拟预测）新疆吐鲁番盆地的最低点艾丁湖湖面低于海平面约米，记为．昆明西山景区龙门石窟高于海平面约米，则应记为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵题目中规定低于海平面的高度记为负数， ∴高于海平面的高度记为正数， ∵该景点高于海平面约米， ∴应记为． 2．（2026·福建漳州·模拟预测）若收入3元记为元，则支出2元记为______元． 【答案】 【分析】收入和支出是一对具有相反意义的量，由收入记为正，可推出支出记为负． 【详解】解：∵收入元记为元， ∴支出元记为元． 知识点05 多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 【即时训练】 1．（2026·安徽阜阳·二模）下列四个实数中，属于负数的是（   ） A．0 B． C．26 D． 【答案】D 【详解】解：∵负数是小于0的实数，逐一判断各选项 选项A：既不是正数也不是负数，不符合题意； 选项B：，，是正数，不符合题意； 选项C：，是正数，不符合题意； 选项D：，是负数，符合题意． 2．（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）化简：_____． 【答案】2 【分析】本题考查了符号的化简，解题的关键是按照从内到外的顺序逐步化简多重符号． 从内向外逐层化简，利用有理数的符号法则即可解答． 【详解】解： 故答案为：2． 知识点06 绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 【即时训练】 1．（2026·宁夏吴忠·一模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】计算各选项的绝对值后比较大小即可得到结果． 【详解】解：，，，， ∵， ∴的绝对值最小，即对应的点与原点距离最近． 2．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）已知a为有理数，则的最小值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，，从而推导出表达式的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为1． 故答案为：1． 【典型例题一 正数和负数的定义】 【例1】（2026·广西贺州·二模）下列各数中，是负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“小于的数是负数”，判断各选项数值与的大小关系即可得到答案． 【详解】根据定义，小于的数是负数， A、，是负数，符合题意； B、既不是正数也不是负数，不符合题意； C、，是正数，不符合题意； D、，是正数，不符合题意． 【例2】（25-26七年级上·河南周口·期末）下列各数中，既不是正数也不是负数的是（   ） A． B．0 C．1 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查正数与负数的概念，依据正数、负数的定义即可判断出结果． 【详解】解：A、是负数，不符合题意； B、0既不是正数也不是负数，符合题意； C、1是正数，不符合题意； D、2024是正数，不符合题意； 故选：B． 【例3】（2026·河南南阳·一模）写出一个绝对值小于3的负数：________________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：绝对值小于3的负数可以是． 【例4】（25-26六年级下·云南楚雄·期中）在、、0、、、、263、中，正数有( )个，负数有( )个，( )既不是正数，也不是负数． 【答案】 4 3 0 【详解】解：正数：，，，，共个； 负数：，，，共个； 既不是正数，也不是负数． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各数，哪些是整数但不是正数，哪些是分数但不是负数？ 2，，0，，，，． 【答案】0，是整数但不是正数；，是分数但不是负数 【分析】本题考查整数、正数、分数、负数的定义，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．先从给定数中筛选出符合条件的整数，再筛选出符合条件的分数，注意区分整数和分数的定义，以及正负数的判断标准． 【详解】解：是整数但不是正数的有：0，； 是分数但不是负数的有：，． 2．（25-26七年级上·广西防城港·期末）把下列有理数填在相应的集合内： 正有理数集合： 负有理数集合：． 整数集合：． 【答案】；； 【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握正有理数、负有理数、整数的定义，根据正有理数、负有理数、整数的定义即可求解． 【详解】解：正有理数集合：； 负有理数集合：； 整数集合：， 故答案为：；；． 3．（25-26七年级上·重庆綦江·期末）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为4．    (1) 　 　， 　 　． (2)写出大于的所有负整数； (3)在数轴上标出表示，，0，，的点，并用“”连接起来． 【答案】(1)2，； (2)，，； (3)见解析， 【分析】本题考查有理数的比较大小，相反数，数轴，绝对值等知识点，能熟记有理数的大小法则是解题的关键． （1）根据点M表示的数即可求出a，再求出b即可； （2）根据有理数的大小比较法则即可得出答案； （3）先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为4， ∴，， 故答案为：2，； （2）解：大于的所有负整数是，，； （3）解：，， 在数轴表示为：      则． 【典型例题二 相反数的定义】 【例1】（2026·湖南邵阳·一模）2026的相反数是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：∵ 求一个数的相反数只需改变这个数的符号， ∴ 的相反数是 ． 【例2】（2026·江苏淮安·模拟预测）有理数的相反数是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【详解】解：的相反数是． 【例3】（2026·福建泉州·模拟预测）的相反数为___________． 【答案】 【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数为. 【例4】（25-26七年级上·天津·期末）的相反数是___________；的绝对值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和绝对值，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号不同的数；根据绝对值的定义，一个负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是， 故答案为：，． 1．（2025七年级上·北京·专题练习）求的相反数和绝对值 【答案】的相反数是5，绝对值为5 【分析】本题考查绝对值和相反数，掌握相关知识是解决问题的关键．根据绝对值和相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是； 是负数，则它的绝对值是它的相反数，即． 2．（24-25七年级上·福建漳州·期中）已知有理数，，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为． (1) ___ ， ____ ． (2)写出大于的所有负整数； (3)在数轴上标出表示，，，的点，并用“”连接起来． 【答案】(1)，； (2)，，； (3)数轴表示见解析，． 【分析】本题考查了有理数的比较大小，相反数，数轴，绝对值等知识点，能熟记有理数的大小法则是解题的关键． （）根据数轴，即可解答； （）根据数轴，即可解答； （）先在数轴上准确找到各数对应的点，然后通过数轴特点即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，； （2）解：根据数轴可知，大于的所有负整数：，，； （3）解：，， 如图： ∴． 3．（24-25六年级上·山西吕梁·期末）如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： （1）点，，表示的数分别为________，________，________； （2）点，，表示的数的相反数分别为________，________，________； （3）将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是________； （4）将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的点，相反数的定义． （1）直接根据数轴作答即可； （2）直接根据相反数的定义作答即可； （3）先求出点所表示的数，再求其相反数即可； （4）先求出点所表示的数，再求其相反数即可． 【详解】（1）点，，表示的数分别为，，； 故答案为：，， （2）点，，表示的数的相反数分别为，，； 故答案为： ，， （3）将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，相反数是； 故答案为： （4）将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，相反数是． 故答案为： 【典型例题三 有理数的定义】 【例1】（25-26六年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是整数，是有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是有限小数，是有理数； ，是有限小数，是有理数； （每相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数。 综上，有理数共有个． 【例2】（25-26六年级上·山东东营·期中）在下列各数，，，0，，…(每两个3之间依次增加一个2)，中，有理数有(    ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的概念，解题的关键是依据“有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，包括有限小数、无限循环小数”区分有理数与无理数． 逐一判断各数是否符合有理数的定义，统计其个数． 【详解】解：根据有理数的定义 是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数； 是整数，是有理数； 含（无理数），是无理数； …（每两个3之间依次增加一个2）是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，是有理数． 有理数共5个． 故选：C． 【例3】（25-26七年级上·全国·期末）在，，0，中，有理数有_____个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的定义，根据有理数的定义逐个判断，即可求解． 【详解】解：，，0，是有理数；不是有理数，有理数有3个． 故答案为3． 【例4】（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）在，这些数中，有理数有__________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了有理数的知识，依据有理数的定义，区分所给数中的有理数与无理数，再统计有理数的个数，有理数包含整数和分数，分数涵盖有限小数、无限循环小数，无理数为无限不循环小数． 【详解】解：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，分数包括有限小数、无限循环小数，无理数是无限不循环小数， 对所给数逐一判断： 在，这些数中， 是分数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 2021是正整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 可化为，是有限小数，属于有理数； 0.67是有限小数，属于有理数； 属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是负整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数． 综上所述，有理数共有8个． 故答案为：8． 1．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）将下列各数填在相应的集合里． ，，，，，0，， 整数集合：{                           …}； 负数集合：{                           …}． 【答案】，，0，；，，，． 【分析】本题考查的是有理数的分类与有理数的概念；本题先化简绝对值与双重符号，熟记有理数的分类是解本题的关键． 根据整数与负数的含义分别把符合条件的数填入相应的集合即可； 【详解】整数集合：{，，0，…} 负数集合：{，，，…}， 故答案为：，，0，；，，， 2．（2025七年级上·全国·专题练习）黑板上有10个有理数，小明说“其中有6个正数”，小红说“其中有6个整数”，小华说“其中正分数的个数与负分数的个数相等”，小林说“负数的个数不超过3个”．请你根据四位同学的叙述判断这10个有理数中共有几个负整数． 【答案】1 【详解】本题考查有理数的定义，分类，正确区分整数，分数以及熟记正分数和负分数的定义是解题的关键．根据正数、负数，以及正整数和负整数的定义可以解答本题． 【解答】解：因为10个有理数中有6个整数， 所以分数个， 因为正分数的个数与负分数的个数相等， 所以有2个负分数，2个正分数，因为负数的个数不超过3个，所以负数共 3个，还有一个是0， ∴负整数共1个． 3．（24-25七年级·全国·假期作业）在下列空格里打“√”，表示该数属于哪种类型的数： 类型 数 有理数 正整数 负整数 正分数 负分数 非负数 +3 　　 　　 　　 　　 　　 　　 ﹣1 　　 　　 　　 　　 　　 　　 0 　　 　　 　　 　　 　　 　　 0.5 　　 　　 　　 　　 　　 　　 ﹣6 　　 　　 　　 　　 　　 　　 【答案】见解析 【分析】依据有理数的分类，按整数、分数的关系分类可得：有理数包含正整数、0、负整数，正分数、负分数；按正数、负数与0的关系分类可得：有理数包含正整数、正分数、0、负整数、负分数． 【详解】解：+3属于有理数，正整数，非负数； ﹣1属于有理数，负分数； 0属于有理数，非负数； 0.5属于有理数，正分数，非负数； ﹣6属于有理数，负整数． 类型 数 有理数 正整数 负整数 正分数 负分数 非负数 +3 　√　 　√　 　．　 　．　 　．　 　√　 ﹣1 　√　 　．　 　．　 　．　 　√　 　．　 0 　√　 　．　 　．　 　．　 　．　 　√　 0.5 　√　 　．　 　．　 　√　 　．　 　√　 ﹣6 　√　 　．　 　√　 　．　 　．　 　．　 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，解题时注意：非负数包括正数和0． 【典型例题四 求一个数的绝对值】 【例1】（25-26六年级上·广西玉林·期中）的绝对值是（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【详解】根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数. ∵， ∴. 【例2】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图所示的数轴，字母表示的数的绝对值可能是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据字母在数轴上的位置，得出，从而得出，从而得出答案． 【详解】解：根据数轴可得：， ∴， ∴字母表示的数的绝对值可能是． 【例3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）比较大小：______，______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，求一个数的绝对值，化简多重符号．先化简表达式，再根据有理数的大小比较法则：正数大于负数，即可比较大小． 【详解】解：因为是负数，是正数， 所以， 由，， 因为， 所以， 故答案为：，． 【例4】（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知点在数轴上的位置如图所示，则点所表示的数的绝对值为______． 【答案】 【分析】此题考查的是求一个数的绝对值，数轴上的点表示有理数，根据绝对值的定义：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，即可得出结论． 【详解】解：由数轴可知：点所表示的数为 ∴点所表示的数的绝对值是 故答案为：． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）把下列各数在图中的数轴上表示出来，并用“”连接各数． ，，，，． 【答案】在数轴上表示见解析，． 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，绝对值，化简多重符号，利用绝对值的意义，相反数的意义化简后，然后在数轴上表示各数，最后利用数轴上右边的总比左边的大，用“”连接起来即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：，，， 在数轴上对应的点表示如下： 用“”连接各数如下： ． 2．（25-26七年级上·广东湛江·期中）已知下列有理数：，，，0，． (1)这些有理数中，整数有_______个，负数有______个． (2)请补充完整数轴，并把上述各数所表示的点画在数轴上，再按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1)3，2 (2)数轴见解析， 【分析】本题主要考查了有理数分类、绝对值、在数轴上表示有理数、有理数的大小比较等知识点，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据整数、负数的定义解答即可； （2）先在数轴上表示出各数，然后再比较大小即可． 【详解】（1）解：整数有、0、，共3个；负数有、有2个． 故答案为：3，2． （2）解：，， 把各数表示在数轴上如下： 由数轴得． 3．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）把下列各数：． (1)分别在数轴上表示出来； (2)将上述5个有理数填入图中相应的圈内． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是有理数的分类，在数轴上表示有理数，熟记有理数的分类是解本题的关键． （1）先化简各数，再根据正数在原点的右边，负数在原点左边，在数轴上表示各数即可； （2）根据有理数的分类逐一填入集合内即可． 【详解】（1）解：；； 在数轴上表示如下： （2）解：如图： 【典型例题五 化简多重符号】 【例1】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）的相反数是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先化简原式，再根据相反数的定义求解． 【详解】解：∵根据负负得正的去括号法则，可得，的相反数是， ∴的相反数是． 【例2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）下列各对数中互为相反数的有（   ） （1）与        （2）与 （3）与        （4）与 （5）与    （6）与 A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】B 【分析】先根据去括号法则化简每组中的两个数，再根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，逐一判断，统计符合条件的对数即可． 【详解】解：（）与只有符号不同，互为相反数； （），与互为相反数，即：与互为相反数； （），，与互为相反数，即：与互为相反数； （），，两数相等，即：与不是互为相反数； （），，与互为相反数，即：与互为相反数； （），，与互为相反数，即：与互为相反数； 综上，共有对互为相反数． 【例3】（25-26七年级上·吉林·期中）比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】此题考查有理数的大小比较，先化简两个表达式和 ，得到具体数值后比较大小． 【详解】解：，，， 因此． 故答案为：． 【例4】（24-25六年级上·黑龙江绥化·阶段检测）比较大小：（1）______；（2）_____；（3）______0． 【答案】 【分析】先对需要化简的数进行化简，再根据有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小，进行比较即可． 【详解】解：（1），，且， ； （2），， ； （3）， ． 1．（24-25七年级上·北京房山·期中）在数轴上表示下列有理数，并把这些有理数按从小到大的顺序用不等号连接起来：，，，0， 【答案】见详解 ， 【分析】本题考查了有理数的大小比较法则和数轴、绝对值、相反数等知识点，能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．先求出绝对值，和相反数，再在数轴上表示出各个数，再比较即可． 【详解】解：，， 数轴上表示有理数如下： 有理数按从小到大的顺序表示如下： ． 2．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为个单位长度上点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是 ； (2)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 【答案】(1)找原点见解析，； (2)数轴上表示见解析，． 【分析】本题考查了数轴，有理数的乘方运算，化简绝对值，利用数轴比较大小等知识，掌握知识点的应用是解题关键． （）利用点向右平移个单位确定数轴原点，再确定点表示的数即可； （）先化简，，，然后在数轴上描出表示各数的点，标上原数，根据数轴的性质用“”号把这些数按从小到大连接起来即可． 【详解】（1）解：如图，点向右平移个单位即为原点， ∴点表示， 故答案为：； （2）解：，，， 在数轴上表示如图， ∴． 3．（25-26七年级上·海南海口·期中）有理数：，，，，，． (1)将这个数分别在数轴上表示出来： (2)将上述的有理数填入图中相应的圈内． (3) (4)由数轴可知，上述点中两点之间最大的距离是多少？请列式计算． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】此题考查了数轴，绝对值、相反数，有理数的分类，有理数的运算，熟练掌握有理数的相关概念是解题的关键． （）先化简，然后在数轴上表示出各个数即可； （）根据正数、整数及负整数的概念进行解答即可； （）由（）的数轴上距离最远的两点作差进行计算即可． 【详解】（1）解：由，，， 在数轴上表示如图， （2）解：如下， （3）解：由数轴可知， ． 【典型例题六 有理数大小比较】 【例1】（2026·山东青岛·三模）下列各数中，最小的数是（     ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数大小比较法则即可求解，根据有理数大小比较法则：正数大于一切负数，两个负数相比较绝对值大的反而小． 【详解】解：，，且 ， ，整理得 ， 因此最小的数是． 【例2】（2026·内蒙古包头·二模）立春为二十四节气之首，某年立春这天北京、包头、石家庄、长沙四地最低气温分别为，，，，这些气温中最低的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴这些气温中最低的是． 【例3】（25-26七年级上·四川乐山·期末）比较大小： ______（用“＞”“＝”或“＜”填空） 【答案】＜ 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，掌握负数绝对值大的反而小是解题的关键． 根据有理数大小比较的法则求解即可． 【详解】解：∵和均为负数，， ∴． 故答案为：＜． 【例4】（25-26六年级上·黑龙江绥化·阶段检测）化简：______     比较大小：______（填“”、“ ”或“”） 【答案】 / 【分析】先判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质去绝对值；根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，先比较绝对值的大小，再得到结果． 【详解】解： ， ∴， ∴； ，， ∴， ∴． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）（1），，若，则的值是 ； （2），，若，则的值是 ； （3），，若，求，的值； （4），，若，求的值． 【答案】（1）（2）2（3），（4） 【分析】本题考查绝对值，有理数比较大小，熟练掌握相关知识是解决本题的关键． （1）根据绝对值的定义得到，又因为，则的值可求； （2）根据绝对值的定义知，再根据，则的值可求； （3）根据绝对值的定义得，，根据即可求得，的值； （4）根据绝对值的定义得，，根据求，的值即可． 【详解】解：（1）， ． ，， ． 故答案为：； （2）， ． ，， ； 故答案为：2； （3），， ，． ， ，； （4），， ，． ， ，． 2．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上点，对应的数分别为，． (1)填空： ①用“”“”或“”表示：________0；________0； ②把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来是________． (2)已知，，若点为数轴上一点，且，求点表示的数． 【答案】(1)①，；② (2)表示数为8或 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，用数轴比较有理数的大小等知识点． （1）①根据数轴可得，即可求解； ②将，表示在数轴上，即可利用数轴比较大小； （2）先求出点B表示的数，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：①根据数轴知：， ∴，， 故答案为：，； ②把，在数轴上表示为： ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴点表示的数为或． 3．（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，． (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 【答案】(1) (2)10或8 (3)的最小值是7，此时 (4) 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点距离及绝对是解题是关键． （1）求出，，4的绝对值，比较即可解答； （2）分和，两种情况，利用两点间距离公式计算即可； （3）根据绝对值的几何意义求解即可； （4）根据绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：，， 在，，4这三个数中，绝对值最小的数是； 故答案为：； （2）解：当时， ； 当时， ； 当时，求的值为8或10； （3）解：的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，，4的三点的距离之和， 只有当表示的数与点B重合时，距离之和才最小为点A和点C之间的距离为：， 此时：； （4）解：的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，4的两点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小，最小距离为； 同理，的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，5的两点的距离之和， 只有当表示的数在点A点P之间时（包含点A，点P），距离之和才最小，最小距离为； 的几何意义是：数轴上表示数的点到表示,，4，5的四点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小， 最小距离为：； 此时：． 【典型例题七 利用数轴比较有理数的大小】 【例1】（2026·湖北恩施·模拟预测）在数轴上位于左侧的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的性质，数轴上位于某个数左侧的数小于这个数，因此本题只需找出小于的数即可. 【详解】解：∵ ，，， ∴ 在左侧，符合要求. 【例2】（25-26六年级上·河北邯郸·期中）m、n在数轴上对应的点如图所示，对于m、n可能的值，下列结论不成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据数轴上右边的数大于左边的数求解即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∵，，，， 故只有A选项不成立，符合题意． 【例3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，数轴的一部分被墨水污染了．将被污染部分的所有整数用“<”连接起来为__________． 【答案】 【分析】先确定污染部分的整数，再比较大小即可． 【详解】解：数轴上被墨水污染的整数从左到右依次是， 所以用“”连接得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数和数轴的关系及数形结合的思想方法． 【例4】（25-26七年级上·陕西西安·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的数是_____ ． 【答案】b 【分析】观察数轴上a、b、c三点到原点的距离，距离原点最远的数即为绝对值最大的数． 【详解】解：观察数轴上a、b、c三点到原点的距离，点b到原点O的距离最长，点a次之，点c最短． ∴绝对值最大的是b． 1．（25-26七年级上·新疆伊犁·期中）将下列数轴补充完整，并把下列各数在数轴上表示出来，再把它们用“”连接起来． 、、2、、、 【答案】， 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数以及有理数的大小比较，解题的关键是掌握：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 【详解】解：，如下图，数轴补充完整以及在数轴上表示各数： 所以：． 2．（25-26七年级上·四川阿坝·阶段检测）有以下5个数：，，，0，． (1)画出数轴； (2)并在数轴上表示以上各数； (3)用“<”号把它们连接起来． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查有理数和数轴，绝对值，多重符号化简，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）数轴三要素是原点，正方向，单位长度，据此画图即可； （2）先将各数化简，然后在数轴上表示出来； （3）用数轴上的点表示有理数，越往右越大，据此判断即可． 【详解】（1）解：如图： ； （2）解：如图：，，    （3）解：． 3．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）已知有理数，，其中数在数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与点的距离为4.5． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示出，，并将这2个数和，表示的数用“＜”连接起来． 【答案】(1)2， (2)数轴见解析， 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较，注意：在数轴上右边的数总比左边的数大． （1）根据a，b在数轴上的对应点即可得出a，b的值； （2）把各点在数轴上表示出来，从左到右用“”连接起来即可． 【详解】（1）解：数在数轴上对应点， ； 是负数，且在数轴上对应的点与点的距离为4.5， ， 故答案为：，； （2）解：， 各点在数轴上表示如图， 由图可知，． 【典型例题八 数轴上两点之间的距离 】 【例1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若数轴上两点之间的距离是6，则点B表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】解：点表示的数为， ∵两点间的距离是， 从开始往左数个单位长度即为点表示的数， ∴点表示的数是． 【例2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（    ） A．与3相比，点M表示的数离0更接近 B．2.1和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负数 【答案】D 【详解】解：A、与3相比，点M表示的数离0更接近，说法正确，该选项不符合题意； B、2.1和点M表示的数之间有5个整数，说法正确，该选项不符合题意； C、点M表示的数在与之间，说法正确，该选项不符合题意； D、点M表示的数和0之间有无数个负数，原说法错误，该选项符合题意． 【例3】（25-26七年级上·山东济宁·期末）如图，数轴上每格表示1个单位长度．若，两点表示的两个数互为相反数，则点表示的数是___________． 【答案】 【分析】此题考查了相反数，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数． 首先根据，两点表示的两个数互为相反数和，两点之间的距离求出点A表示的数为，点B表示的数为3，然后根据点C的位置求解即可． 【详解】解：∵，两点表示的两个数互为相反数， ∴点A表示的数为，点B表示的数为3， ∴点C表示的数为． 故答案为：． 【例4】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，将一刻度尺放在数轴上若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和，则刻度尺对应数轴上的点表示的数是______．    【答案】3 【分析】本题考查有理数与数轴，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用，由题意得到数轴的单位长度是，根据两点间的距离即可求解． 【详解】解：刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和，， 数轴的单位长度是， 刻度尺对应数轴上的点表示的数是． 故答案为：． 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为______、______． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 【答案】(1)， (2)或 (3)见解析； 【分析】（1）根据数轴的定义求解即可； （2）根据数轴的定义求解即可； （3）首先化简绝对值和多重符号，然后在数轴上表示各数，再进行大小比较即可． 【详解】（1）解：点、点所表示的数分别为， （2）解：∵点C与点B的距离为3个单位长度，点B表示的数为， ∴点C表示的数为或， （3）解： ，， 如图， ∴ 2．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【答案】(1)；； (2)； (3)； (4)或； (5)有最大值和最小值 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析． （1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离； （2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系； （3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可； （4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值； （5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值． 【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 3．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】 4 64岁 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，找到题目中的等量关系． （1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】解：（1）如图1， 可知：三个火车的长为， 则一个火车的长为， 故答案为：4； （2）同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 故答案为：64岁． 【典型例题九 数轴上的动点问题】 【例1】（2026·河南焦作·二模）如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：∵数轴上的点P表示的数是，将点P向右移动3个单位长度， ∴移动后的点对应的数为． 【例2】（25-26六年级上·北京·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式．可得出点与起始位置的距离，即可求解． 【详解】解：圆的半径为1， 周长为， 圆沿数轴向右滚动一周，即点A向右平移个单位长度， A点表示的数为． 【例3】（25-26七年级上·福建南平·期中）若点到原点的距离为3，将点向右移动5个单位长度，到达点，则点在数轴上表示的数为______． 【答案】8或2 【分析】本题考查数轴上点的平移规律． 根据点在数轴上移动的规律：左减右加解答即可． 【详解】解：点A到原点的距离为3， 点表示的数为或， 此时点B表示的数是：或． 故答案为：8或2． 【例4】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）点为数轴上的一点，动点从点出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点．若点表示的数是，则点表示的数是__________． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”进行求解即可． 【详解】解：∵动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B，点表示的数是， ∴点表示的数为； 故答案为：． 1．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 【答案】(1)见解析 (2)向左爬了4个单位长度 (3) 【分析】本题主要考查了数轴的表示及数轴上的点与数的对应关系、有理数的加减运算，熟练掌握数轴上点的移动规律（右移加、左移减）是解题的关键． （1）根据蚂蚁的移动方向和单位长度，确定、、三点对应的数，再在数轴上标出位置． （2）先计算点对应的数，再根据数的正负判断移动方向和单位长度． （3）逆向分析蚂蚁的移动过程，通过运算求出点表示的数． 【详解】（1）解：点三点在数轴上的位置如图所示， （2）解：点可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了个单位长度到达的； （3）解：由题意可知蚂蚁先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，即可以看作向右爬了个单位长度， 故点表示的数为． 2．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）阅读材料：对数轴上的点进行如下操作：将点沿数轴水平方向，以每秒个单位长度的速度，向右平移秒，得到点，称这样的操作为点的“速移”， 点称为点的“速移”点． 阅读材料：若点表示的数分别为，则线段的长度可以这样计算：或，那么当点表示的数分别为时，线段的长度可以表示为或． (1)当，时， ①如果点表示的数为，那么点的“速移”点表示的数为 ； ②点的“速移”点表示的数为，那么点表示的数为 ； (2)数轴上的点表示的数为，表示的数为，点向右平移秒，得到点的“速移”点，那么的长度可以表示为 ； (3)数轴上两点间的距离为，且点在点的左侧，点通过“速移”分别向右平移，秒得到点，，如果，请直接用等式表示，的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（）根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； （）根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； （）设点在数轴上表示的数为，则点在数轴上表示的数为，再根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； 本题数轴与有理数，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①由题意可得，点表示的数为， 故答案为：； ②由题意可得，点表示的数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，点表示的数为， ∴的长度可以表示为， 故答案为：； （3）解：设点在数轴上表示的数为，则点在数轴上表示的数为， ∴点，在数轴上表示的数分别为，， ∵， ∴， 即， ∴或， ∴或． 【典型例题十 绝对值非负性】 【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（） A．2016 B．2017 C．2019 D．2002 【答案】C 【分析】此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质是解题关键． 利用绝对值的非负性，得出的最小值为0，进而确定表达式的最大值即可． 【详解】解：∵为有理数， ∴， ∴， ∴． 当时，即，取等号， ∴最大值为． 故选C． 【例2】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若，则a必为负数 B．绝对值不大于3的整数有6个，分别是，， C．若，则，反之，若，则 D．任意有理数的绝对值都是非负数 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的性质，根据绝对值的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、若，则，不一定为负数，故A选项不符合题意； B、绝对值不大于3的整数包括，，和0，共7个，故B选项不符合题意； C、若，则正确；但反之若，则，故C选项不符合题意； D、任意有理数的绝对值都是非负数，故D选项符合题意； 故选：D． 【例3】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）已知a为有理数，则的最小值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，，从而推导出表达式的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为1． 故答案为：1． 【例4】（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）①一个整数不是正数就是负数； ②一定不是负数；③数轴上的点只能表示有理数；④一个数的相反数不大于它本身，这个数是非负数．上述说法正确的是_________（填写序号）． 【答案】 ②④ 【分析】根据有理数的分类，绝对值的性质，数轴的意义，相反数的性质，逐个判断四个说法的正误，即可得到结果． 【详解】解：①整数分为正整数、0、负整数，0既不是正数也不是负数，因此一个整数还可能是0，故①错误； ②根据绝对值的非负性，可得，因此一定不是负数，故②正确； ③不是有理数，但也可以表示在数轴上，则数轴上的点不仅可以表示有理数，故③错误； ④正数的相反数是负数（小于它本身），负数的相反数是正数（大于它本身），0的相反数是0（等于它本身），则正数和0的相反数不大于它本身，所以一个数的相反数不大于它本身，这个数是非负数，故④正确． 则正确的说法有②④． 1．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）（1）已知，且，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了绝对值的非负性． （1）由已知得，，代入计算即可； （2）根据绝对值的非负性得到，，可知，． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴，， 则，； （2）解：∵，，且， ∴，， ∴，． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ （2）当取何值时，有最大值，这个最大值是多少？ 【答案】（1），0；（2），2025 【分析】此题考查绝对值的性质，代数式的最值问题， （1）根据是非负数且最小得时，有最小值，这个最小值是0； （2）根据时，有最小值为0，得有最大值，这个最大值是2025． 【详解】解：（1）因为是非负数，且非负数中最小的数是0， 所以当时，有最小值，这个最小值是0； （2）当时，有最小值，这个最小值为0， 此时有最大值，这个最大值是2025． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【答案】（1）D （2）（3）1（4）1，0 （5） 【分析】（1）按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，解答即可． （2）根据题意，分类解答即可． （3）根据，解答即可． （4）根据，得到最小值为0，此时解答即可． （5）根据，得到，得到时，取得最小值，解答即可． 本题考查了分类思想，绝对值的非负性，应用非负性求最小值，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想， 故选：D． （2）解：∵， ∴时，； 时，，解得； 故x的值为． （3）解：根据，得，， 解得， 故y的值为1． （4）解：根据，得到时，取得最小值，且最小值为0， 故， 解得； 故当x的值为1,取得最小值，且最小值为0． （5）解：根据题意，得， 故， 故时，取得最小值， 此时， 解得， 故． 【典型例题十一 正负数的实际应用】 【例1】（2026·山西阳泉·二模）某型号汽油每升的价格上涨元记作“元”，则“元”表示这种汽油每升的价格（   ） A．下降元 B．上涨元 C．下降元 D．上涨元 【答案】A 【详解】解：价格上涨元记作“元”，则“元”表示这种汽油每升的价格下降元． 【例2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下面的量中，能用表示的是（    ）． A．超市购进苹果 B．汽车运送货物比上次多 C．四袋大米重 D．王伯伯家的玉米今年比去年减产 【答案】D 【详解】解：A．超市购进苹，属于增加量，可用表示，故不符合题意； B．汽车运送货物比上次多，属于增加量，可用表示，故不符合题意； C．四袋大米重，不具有相反意义，故不符合题意；     D．王伯伯家的玉米今年比去年减产，属于减少量，可用表示，故符合题意 【例3】（2026·辽宁沈阳·一模）在零件尺寸检测中，如果一个零件的尺寸超出标准尺寸记作，那么低于标准尺寸记作__________． 【答案】 【详解】解：由题意可知，低于标准尺寸记作． 【例4】（2026·湖北武汉·一模）检测甲、乙、丙、丁四个排球，超过标准质量的克数记为正数，质量表示如下表： 球 甲 乙 丙 丁 相对于标准质量的克数（单位：克） 其中，最接近标准质量的球是______球． 【答案】 丁 【详解】解：∵，，，，且 ， ∴最小，即丁球偏离标准质量的偏差最小，因此最接近标准质量的球是丁． 1．（25-26七年级上·山西朔州·期中）体育课上，七年级（1）班男生进行了引体向上测试．以能做5个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，其中8名男生的成绩（单位：个）如下：，，，0，，，0，． (1)这8名男生中达到标准的有______人； (2)这8名男生平均每人做了多少个引体向上？ 【答案】(1)5 (2)5个 【分析】本题重点考查了正负数、平均数的概念，理解正负数的意义是解题的关键． （1）以能做个为标准，当个数时，达到标准，统计个数即可完成求解； （2）标准个数加上所给数据的平均数，即为名男生平均每人做的个数． 【详解】（1）解：，，，，个成绩达到标准，故有人达到标准． 答：这名男生中达到标准的有人． （2）解：（个）． 答：这8名男生平均每人做了个引体向上． 2．（25-26七年级上·天津南开·期中）某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 【答案】(1)周三； (2)减少了，减少了吨 (3)吨 (4)元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟悉相反意义的量是解题的关键． （1）根据表格作答即可； （2）把出入数据相加即可； （3）根据每周的变化推导即可； （4）运算出总出入的数量，再乘价钱即可求解． 【详解】（1）解：由表可得：周三水果变化量最大，最大变化量为（吨）； 故答案为：周三；； （2）解：， 答：这一周冷库里的水果减少了，变化了吨； （3）解：每周减少吨，则上周有（吨）， 答：一周前冷库里存有水果吨； （4）解：（元）， 答：这一周共需付元装卸费． 3．（24-25七年级上·山西晋城·阶段检测）山西沁州黄小米，中国国家地理标志产品，山西沁县特产．现有袋沁州黄小米，以每袋千克为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下： 序号 超过或不足数 (1)你认为哪一袋沁州黄小米的质量更接近于基准的质量？请用绝对值的知识，通过计算加以说明； (2)将上述各数表示在如图所示的数轴上，并用“”号连接起来； (3)问这袋沁州黄小米总共重多少千克？ 【答案】(1)第袋沁州黄小米的质量更接近于基准的质量； (2)数轴上表示如图，； (3)千克． 【分析】（）根据绝对值的意义即可求解； （）根据在数轴表示有理数的方法表示出有理数，再根据数轴上点的特点即可比较大小； （）利用表格中的数据先计算超出或不足的质量，再加上袋沁州黄小米的标准质量即可求出总质量； 此题考查了正负数的应用，绝对值和通过数轴比较大小，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】（1）由， 则第袋沁州黄小米的质量更接近于基准的质量； （2）各数表示在数轴上如图所示： ， ∴； （3）∵（千克）， ∴这袋沁州黄小米总共重为（千克）， 答：这袋沁州黄小米总共重为千克． 1．（2026·安徽·模拟预测）下列各数中，绝对值最小的数是（    ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】B 【分析】只需计算出各选项中数的绝对值，再比较大小即可得出结论． 【详解】解：∵，，，， 又∵， ∴绝对值最小的数是． 2．（2026·河南周口·模拟预测）中国战国时期已出现负数的雏形，汉代以“负算”表示亏缺数量，并用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．如果个红算筹记作，那么个黑算筹应记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵红为正，黑为负，个红算筹记作， ∴个黑算筹应记作． 3．（25-26六年级上·河北廊坊·阶段检测）数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出对应数轴上9个单位长度，结合刻度尺上对应长度为，求出数轴1个单位长度对应刻度尺长度，即可解答． 【详解】解：∵数轴上点A表示，点C表示， ∴，即对应数轴上9个单位长度． ∵刻度尺上对应长度为， ∴数轴1个单位长度对应刻度尺长度为：， ∵原点到点A的距离为个单位长度， ∴原点对应的刻度为：． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）点A、B、M在数轴上，且点M分别到点A、B的距离相等．点A沿着数轴从数字处以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点B沿着数轴从数字4处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点M的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒0.5个单位长度的速度向右匀速运动 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和列代数式，用到的知识点是数轴上两点之间的距离．设运动时间为t秒，表示出点A和点B的位置，利用点M到A、B距离相等得出点M是A、B的中点，求出点M的位置表达式，从而确定其运动方式． 【详解】解：设运动时间为t（）秒， ∵点A从处以每秒3个单位向左运动， ∴t秒后点A表示的数为：， ∵点B从4处以每秒2个单位向右运动， ∴t秒后点B表示的数为：， ∵点M到点A、B的距离相等， ∴点M是线段的中点， ∴点M表示的数为：， ∴点M从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动． 故选：B． 5．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 由题意先找出对应点与数的规律，再求出翻转的次数，最后可确定出2027所对应的点． 【详解】解：由题意可知：数轴上的数1，3，5，7，9，11，13，15，， 所对应的点为B，C，D，A，B，C，D，A，， 所以从数1对应的点开始，连续奇数对应的点按B，C，D，A循环， 由得，， 因为余2，所以数轴上数2027所对应的点是点C， 故选：C． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）___________． 【答案】 【分析】根据多重符号化简法则，判断负号的个数，进而得出结果． 本题主要考查了多重符号的化简，熟练掌握多重符号化简法则（当负号的个数为奇数时，结果为负；当负号的个数为偶数时，结果为正）是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（25-26六年级上·黑龙江大庆·期中）比较大小∶用“”，“”或“”填空∶_______． 【答案】 【分析】两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】解：​​，​ ∵​，即​​​， ∴​． 8．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）若，则满足条件的整数x的值有____个． 【答案】6 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是利用数轴上点的距离关系分析方程． 根据绝对值的几何意义，确定的取值范围为，再找出该范围内的整数个数． 【详解】解： 表示数轴上点到点 和点2的距离之和． 在 和2之间（包括端点）时， 即 ， 距离之和恰好为 ，与方程右边的5相等． 整数有：，共 6个． 故答案为：6 9．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，数轴上点表示的数为，点（不与重合）、到1的距离相等，点（不与重合）、到2的距离相等，点（不与重合）、到3的距离相等，．．．按此规律，点表示的数为___________． 【答案】 【分析】本题考查数字变化的规律，能依次求出点(为正整数)所表示的数并发现规律是解题的关键；依次求出点(为正整数)所表示的数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，数轴上点表示的数为，且(不与重合)，分别到1对应的点的距离相等， 所以， 即点表示的数为4； 依次类推，点表示的数为0，点表示的数为6，点表示的数为2，点表示的数为8，点表示的数为， 所以点(为正整数)表示的数为：，点表示的数为：． 当时，则， 即点表示的数为； 故答案为：． 10．（25-26七年级上·北京丰台·期中）如图，是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次． 例如，按逆时针方向旋转7个小格记为“”．此时标记线对准的数是7，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“”，此时标记线对准的刻度线表示的数是___________； 如果有一组开锁密码为“”，则锁打开时，标记线对准的刻度线表示的数是___________． 【答案】 8 25 【分析】本题考查了正负数的意义，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键．根据开锁密码的意义即可得解， 【详解】解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是7．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，此时标记线对准的数是8， ∴开锁密码为“”，表示先按顺时针方向转10格，再按逆时针方向转15格，再按顺时针方向转20格， 所以标记线按顺时针转了15格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为25． 故答案为：8；25． 11．（25-26七年级上·广东广州·期中）把下列各数填入相应的大括号里：，，，0，，，，， (1)整数集合：_____________________________； (2)分数集合：_____________________________； (3)非负有理数集合：_____________________________． 【答案】(1)、0、 (2)、、、、 (3)、、0、、 【分析】本题考查了有理数的分类，绝对值的性质及有理数的乘方，熟练掌握整数、分数、非负有理数的定义是解题的关键． （1）去绝对值，计算乘方后，根据整数的定义解答即可； （2）计算，根据分数的定义解答即可； （3）根据非负有理数的定义解答即可． 【详解】（1）解：，， 那么整数集合：、0、， 故答案为：、0、； （2）解：， 分数集合：、、、、， 故答案为：、、、、； （3）解：非负有理数集合：、、0、、， 故答案为：、、0、、． 12．（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）用数轴上的点表示下列各数，并用“”把这五个数连起来． ． 【答案】；图见解析 【分析】先根据有理数的乘方运算法则，相反数定义进行解答，然后把各数在数轴上表示出来，最后比较有理数的大小即可． 【详解】解：，， 把各数在数轴上表示为： 用“”号连接各数为：． 13．（25-26七年级上·四川泸州·期中）比较大小：（用“>”、“<”或“=”填空）． (1)2______ (2)______ (3)______ (4)______ (5)______0 (6)_______0 (7)如果，，则a_____b 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数大小比较的规则． （1）利用“正数大于负数”直接比较． （2）先求绝对值，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”比较． （3）先通分，再求绝对值，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”比较． （4）先化简两个数，再根据“负数小于正数”比较． （5）先计算式子的值，再根据“负数小于0”比较． （6）根据“任何数乘以0都得0”直接判断． （7）先判断两个数的符号，再根据“负数小于正数”比较． 【详解】（1）∵正数大于负数， ∴， 故答案为：； （2），． ∵， 根据“两个负数，绝对值大的反而小”， ∴， 故答案为：； （3）． ，． ∵， ∴． 故答案为：； （4），． ∵负数小于正数， ∴． 故答案为：； （5） 负数小于0， ∴． 故答案为：； （6）因为任何数乘以0都得0， 所以， 即 故答案为：； （7）a中有3个负数相乘，结果为负，即，是负数． b中有2个负数相乘，结果为正，即，是正数． 负数小于正数，所以． 故答案为：； 14．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）[阅读材料]的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．例如：可以看成数轴上表示数2的点与表示数1的点之间的距离，所以． (1)的几何意义是表示数x的点与表示数________的点之间的距离； (2)（ⅰ）若，求x的值； （ⅱ）求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）或；（ⅱ）3 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据绝对值的意义作答即可； （2）（ⅰ）根据绝对值的意义得到数轴上表示数的点到表示数的点的距离为3，进行求解即可； （ⅱ）根据绝对值的意义，得到当表示数的点在表示数和数1的点之间时，的值最小，为表示数和数1的点之间距离，即可得出结果． 【详解】（1）解：的几何意义是表示数x的点与表示数的点之间的距离； （2）（ⅰ）由题意，表示数轴上表示数的点到表示数的点的距离为3， ∴或； （ⅱ）表示数轴上表示数的点到表示数和数1的点之间的距离之和， ∴当表示数的点在表示数和数1的点之间时，的值最小，为表示数和数1的点之间距离，即． 15．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）【知识解读】数轴是数学学习中的一个重要工具．用数轴不只是可以将任何有理数在数轴上用点加以表示，还可以利用其中蕴含的数形结合思想解决很多较复杂问题． 【应用1：数与数的转化】（1）如图，小丽借助刻度尺画了一条数轴，原点和单位1分别与刻度的和11对齐，则刻度尺上的1对应数轴上的点A表示的有理数为 ； 【应用2：数与数量关系的刻画】（2）在下面的网格中，表示数，的点均在格点上，请按要求画图． ①已知，请在图2中的数轴上标出原点的位置； ②已知表示数的点也在格点上，请在图3中的数轴上表述原点的位置； 【应用3：数学变换的演示】（3）如图4，已知点，，将点绕着点旋转，得到点，我们称点是点关于点的反演点，记作，亦可记作； 将点、分别绕着同一点旋转，使点和点重合，此时点所对应的点用表示，则称点是点关于线段的反演点，记作，亦可记作 在数轴上，若已知点表示的数为，点与点的距离为6，点是数轴上一动点，且，，则在点的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，直接写出这个定值；如果不是，请求出它的范围． 【答案】（1） （2）①见解析；②见解析 （3）线段的长度是定值，定值为6 【分析】本题考查了数轴上反演点的定义及应用，解题的关键是正确理解反演点的旋转中心与中点关系，结合定义推导点的坐标表达式． （1）先求数轴单位长度，计算刻度尺对应数轴上的数； （2）根据数的数量关系确定原点位置； （3）利用反演点的中点定义表示、，计算的长度． 【详解】（1）解：数轴单位长度为， 刻度尺1与原点（刻度的距离为，对应数轴上的数为． 故答案为：． （2）解：①从图中可知，a与b相距2个单位长度，且，所以原点O在a与b之间，且为三等分点， 数轴上表示原点O的位置如下： ②结合图中的格点位置，及长度关系式，在图3中标出原点． （3）解：由反演点定义：，得（是、的中点）；，是找中心使转到，该中心为，故； 则． 因、距离为6，故． 答：线段的长度是定值，定值为6． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 有理数的引入（6大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 正数和负数的定义 典型例题二 相反数的定义 典型例题三 有理数的定义 典型例题四 求一个数的绝对值 典型例题五 化简多重符号 典型例题六 有理数大小比较 典型例题七 利用数轴比较有理数的大小 典型例题八 数轴上两点之间的距离 典型例题九 数轴上的动点问题 典型例题十 绝对值非负性 典型例题十一 正负数的实际应用 知识点01 正数与负数 1. 负数的由来 为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数。 2. 正数和负数 正数就是我们小学学过的除零以外的所有数，即大于零的数叫做正数。根据需要有时候在正数前面加上“+”（正） 3. 0既不是正数也不是负数 4.非负数：0和正数统称为非负数；则非正数是指0和负数 【即时训练】 1．（24-25七年级上·山东日照·期末）在，0，1，，，7，中，负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·北京昌平·期末）在空间站某次舱外作业中，航天员的宇航服表面温度显示：向阳面为零上，背阴面为零下．若零上记作，则零下记作___________． 知识点02 有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； 负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 4） 有理数的两种分类： 【即时训练】 1．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各数中：1，，2.8，，，是分数的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个． 知识点03 数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 【即时训练】 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）悦悦在直线上分别标出了几组正、负数，标注的位置正确且合理的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州遵义·一模）如图，数轴上有A，B，C，D，E五个点，则与点A表示的数互为相反数的数对应的点是_______．（填“B”或“C”或“D”或“E”） 知识点04 相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 【即时训练】 1．（2026·云南昆明·模拟预测）新疆吐鲁番盆地的最低点艾丁湖湖面低于海平面约米，记为．昆明西山景区龙门石窟高于海平面约米，则应记为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·福建漳州·模拟预测）若收入3元记为元，则支出2元记为______元． 知识点05 多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 【即时训练】 1．（2026·安徽阜阳·二模）下列四个实数中，属于负数的是（   ） A．0 B． C．26 D． 2．（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）化简：_____． 知识点06 绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 【即时训练】 1．（2026·宁夏吴忠·一模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（    ） A． B． C．2 D．6 2．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）已知a为有理数，则的最小值为__________． 【典型例题一 正数和负数的定义】 【例1】（2026·广西贺州·二模）下列各数中，是负数的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·河南周口·期末）下列各数中，既不是正数也不是负数的是（   ） A． B．0 C．1 D．2024 【例3】（2026·河南南阳·一模）写出一个绝对值小于3的负数：________________． 【例4】（25-26六年级下·云南楚雄·期中）在、、0、、、、263、中，正数有( )个，负数有( )个，( )既不是正数，也不是负数． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各数，哪些是整数但不是正数，哪些是分数但不是负数？ 2，，0，，，，． 2．（25-26七年级上·广西防城港·期末）把下列有理数填在相应的集合内： 正有理数集合： 负有理数集合：． 整数集合：． 3．（25-26七年级上·重庆綦江·期末）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为4．    (1) 　 　， 　 　． (2)写出大于的所有负整数； (3)在数轴上标出表示，，0，，的点，并用“”连接起来． 【典型例题二 相反数的定义】 【例1】（2026·湖南邵阳·一模）2026的相反数是（     ） A． B．2 C． D． 【例2】（2026·江苏淮安·模拟预测）有理数的相反数是（    ） A． B． C． D．2026 【例3】（2026·福建泉州·模拟预测）的相反数为___________． 【例4】（25-26七年级上·天津·期末）的相反数是___________；的绝对值是___________． 1．（2025七年级上·北京·专题练习）求的相反数和绝对值 2．（24-25七年级上·福建漳州·期中）已知有理数，，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为． (1) ___ ， ____ ． (2)写出大于的所有负整数； (3)在数轴上标出表示，，，的点，并用“”连接起来． 3．（24-25六年级上·山西吕梁·期末）如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： （1）点，，表示的数分别为________，________，________； （2）点，，表示的数的相反数分别为________，________，________； （3）将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是________； （4）将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是________． 【典型例题三 有理数的定义】 【例1】（25-26六年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（25-26六年级上·山东东营·期中）在下列各数，，，0，，…(每两个3之间依次增加一个2)，中，有理数有(    ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【例3】（25-26七年级上·全国·期末）在，，0，中，有理数有_____个． 【例4】（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）在，这些数中，有理数有__________个． 1．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）将下列各数填在相应的集合里． ，，，，，0，， 整数集合：{                           …}； 负数集合：{                           …}． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）黑板上有10个有理数，小明说“其中有6个正数”，小红说“其中有6个整数”，小华说“其中正分数的个数与负分数的个数相等”，小林说“负数的个数不超过3个”．请你根据四位同学的叙述判断这10个有理数中共有几个负整数． 3．（24-25七年级·全国·假期作业）在下列空格里打“√”，表示该数属于哪种类型的数： 类型 数 有理数 正整数 负整数 正分数 负分数 非负数 +3 　　 　　 　　 　　 　　 　　 ﹣1 　　 　　 　　 　　 　　 　　 0 　　 　　 　　 　　 　　 　　 0.5 　　 　　 　　 　　 　　 　　 ﹣6 　　 　　 　　 　　 　　 　　 【典型例题四 求一个数的绝对值】 【例1】（25-26六年级上·广西玉林·期中）的绝对值是（   ） A． B．0 C．1 D．3 【例2】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图所示的数轴，字母表示的数的绝对值可能是（   ） A．2 B． C．1 D． 【例3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）比较大小：______，______（填“”，“”或“”）． 【例4】（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知点在数轴上的位置如图所示，则点所表示的数的绝对值为______． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）把下列各数在图中的数轴上表示出来，并用“”连接各数． ，，，，． 2．（25-26七年级上·广东湛江·期中）已知下列有理数：，，，0，． (1)这些有理数中，整数有_______个，负数有______个． (2)请补充完整数轴，并把上述各数所表示的点画在数轴上，再按从小到大的顺序用“”连接起来． 3．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）把下列各数：． (1)分别在数轴上表示出来； (2)将上述5个有理数填入图中相应的圈内． 【典型例题五 化简多重符号】 【例1】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）的相反数是（   ） A．7 B． C． D． 【例2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）下列各对数中互为相反数的有（   ） （1）与        （2）与 （3）与        （4）与 （5）与    （6）与 A．对 B．对 C．对 D．对 【例3】（25-26七年级上·吉林·期中）比较大小：______（填“”“”或“”）． 【例4】（24-25六年级上·黑龙江绥化·阶段检测）比较大小：（1）______；（2）_____；（3）______0． 1．（24-25七年级上·北京房山·期中）在数轴上表示下列有理数，并把这些有理数按从小到大的顺序用不等号连接起来：，，，0， 2．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为个单位长度上点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是 ； (2)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 3．（25-26七年级上·海南海口·期中）有理数：，，，，，． (1)将这个数分别在数轴上表示出来： (2)将上述的有理数填入图中相应的圈内． (3) (4)由数轴可知，上述点中两点之间最大的距离是多少？请列式计算． 【典型例题六 有理数大小比较】 【例1】（2026·山东青岛·三模）下列各数中，最小的数是（     ） A． B．5 C． D． 【例2】（2026·内蒙古包头·二模）立春为二十四节气之首，某年立春这天北京、包头、石家庄、长沙四地最低气温分别为，，，，这些气温中最低的是（     ） A． B． C． D． 【例3】（25-26七年级上·四川乐山·期末）比较大小： ______（用“＞”“＝”或“＜”填空） 【例4】（25-26六年级上·黑龙江绥化·阶段检测）化简：______     比较大小：______（填“”、“ ”或“”） 1．（2025七年级上·全国·专题练习）（1），，若，则的值是 ； （2），，若，则的值是 ； （3），，若，求，的值； （4），，若，求的值． 2．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上点，对应的数分别为，． (1)填空： ①用“”“”或“”表示：________0；________0； ②把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来是________． (2)已知，，若点为数轴上一点，且，求点表示的数． 3．（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，． (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 【典型例题七 利用数轴比较有理数的大小】 【例1】（2026·湖北恩施·模拟预测）在数轴上位于左侧的数是（   ） A．0 B． C． D． 【例2】（25-26六年级上·河北邯郸·期中）m、n在数轴上对应的点如图所示，对于m、n可能的值，下列结论不成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，数轴的一部分被墨水污染了．将被污染部分的所有整数用“<”连接起来为__________． 【例4】（25-26七年级上·陕西西安·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的数是_____ ． 1．（25-26七年级上·新疆伊犁·期中）将下列数轴补充完整，并把下列各数在数轴上表示出来，再把它们用“”连接起来． 、、2、、、 2．（25-26七年级上·四川阿坝·阶段检测）有以下5个数：，，，0，． (1)画出数轴； (2)并在数轴上表示以上各数； (3)用“<”号把它们连接起来． 3．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）已知有理数，，其中数在数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与点的距离为4.5． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示出，，并将这2个数和，表示的数用“＜”连接起来． 【典型例题八 数轴上两点之间的距离 】 【例1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若数轴上两点之间的距离是6，则点B表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【例2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（    ） A．与3相比，点M表示的数离0更接近 B．2.1和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负数 【例3】（25-26七年级上·山东济宁·期末）如图，数轴上每格表示1个单位长度．若，两点表示的两个数互为相反数，则点表示的数是___________． 【例4】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，将一刻度尺放在数轴上若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和，则刻度尺对应数轴上的点表示的数是______．    1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为______、______． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 3．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【典型例题九 数轴上的动点问题】 【例1】（2026·河南焦作·二模）如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【例2】（25-26六年级上·北京·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26七年级上·福建南平·期中）若点到原点的距离为3，将点向右移动5个单位长度，到达点，则点在数轴上表示的数为______． 【例4】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）点为数轴上的一点，动点从点出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点．若点表示的数是，则点表示的数是__________． 1．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 2．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）阅读材料：对数轴上的点进行如下操作：将点沿数轴水平方向，以每秒个单位长度的速度，向右平移秒，得到点，称这样的操作为点的“速移”， 点称为点的“速移”点． 阅读材料：若点表示的数分别为，则线段的长度可以这样计算：或，那么当点表示的数分别为时，线段的长度可以表示为或． (1)当，时， ①如果点表示的数为，那么点的“速移”点表示的数为 ； ②点的“速移”点表示的数为，那么点表示的数为 ； (2)数轴上的点表示的数为，表示的数为，点向右平移秒，得到点的“速移”点，那么的长度可以表示为 ； (3)数轴上两点间的距离为，且点在点的左侧，点通过“速移”分别向右平移，秒得到点，，如果，请直接用等式表示，的数量关系． 【典型例题十 绝对值非负性】 【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（） A．2016 B．2017 C．2019 D．2002 【例2】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若，则a必为负数 B．绝对值不大于3的整数有6个，分别是，， C．若，则，反之，若，则 D．任意有理数的绝对值都是非负数 【例3】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）已知a为有理数，则的最小值为__________． 【例4】（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）①一个整数不是正数就是负数； ②一定不是负数；③数轴上的点只能表示有理数；④一个数的相反数不大于它本身，这个数是非负数．上述说法正确的是_________（填写序号）． 1．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）（1）已知，且，求的值； （2）若，求的值． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ （2）当取何值时，有最大值，这个最大值是多少？ 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【典型例题十一 正负数的实际应用】 【例1】（2026·山西阳泉·二模）某型号汽油每升的价格上涨元记作“元”，则“元”表示这种汽油每升的价格（   ） A．下降元 B．上涨元 C．下降元 D．上涨元 【例2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下面的量中，能用表示的是（    ）． A．超市购进苹果 B．汽车运送货物比上次多 C．四袋大米重 D．王伯伯家的玉米今年比去年减产 【例3】（2026·辽宁沈阳·一模）在零件尺寸检测中，如果一个零件的尺寸超出标准尺寸记作，那么低于标准尺寸记作__________． 【例4】（2026·湖北武汉·一模）检测甲、乙、丙、丁四个排球，超过标准质量的克数记为正数，质量表示如下表： 球 甲 乙 丙 丁 相对于标准质量的克数（单位：克） 其中，最接近标准质量的球是______球． 1．（25-26七年级上·山西朔州·期中）体育课上，七年级（1）班男生进行了引体向上测试．以能做5个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，其中8名男生的成绩（单位：个）如下：，，，0，，，0，． (1)这8名男生中达到标准的有______人； (2)这8名男生平均每人做了多少个引体向上？ 2．（25-26七年级上·天津南开·期中）某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 3．（24-25七年级上·山西晋城·阶段检测）山西沁州黄小米，中国国家地理标志产品，山西沁县特产．现有袋沁州黄小米，以每袋千克为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下： 序号 超过或不足数 (1)你认为哪一袋沁州黄小米的质量更接近于基准的质量？请用绝对值的知识，通过计算加以说明； (2)将上述各数表示在如图所示的数轴上，并用“”号连接起来； (3)问这袋沁州黄小米总共重多少千克？ 1．（2026·安徽·模拟预测）下列各数中，绝对值最小的数是（    ） A． B．0 C．2 D．6 2．（2026·河南周口·模拟预测）中国战国时期已出现负数的雏形，汉代以“负算”表示亏缺数量，并用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．如果个红算筹记作，那么个黑算筹应记作（   ） A． B． C． D． 3．（25-26六年级上·河北廊坊·阶段检测）数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）点A、B、M在数轴上，且点M分别到点A、B的距离相等．点A沿着数轴从数字处以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点B沿着数轴从数字4处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点M的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒0.5个单位长度的速度向右匀速运动 5．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 6．（2025七年级上·全国·专题练习）___________． 7．（25-26六年级上·黑龙江大庆·期中）比较大小∶用“”，“”或“”填空∶_______． 8．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）若，则满足条件的整数x的值有____个． 9．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，数轴上点表示的数为，点（不与重合）、到1的距离相等，点（不与重合）、到2的距离相等，点（不与重合）、到3的距离相等，．．．按此规律，点表示的数为___________． 10．（25-26七年级上·北京丰台·期中）如图，是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次． 例如，按逆时针方向旋转7个小格记为“”．此时标记线对准的数是7，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“”，此时标记线对准的刻度线表示的数是___________； 如果有一组开锁密码为“”，则锁打开时，标记线对准的刻度线表示的数是___________． 11．（25-26七年级上·广东广州·期中）把下列各数填入相应的大括号里：，，，0，，，，， (1)整数集合：_____________________________； (2)分数集合：_____________________________； (3)非负有理数集合：_____________________________． 12．（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）用数轴上的点表示下列各数，并用“”把这五个数连起来． ． 13．（25-26七年级上·四川泸州·期中）比较大小：（用“>”、“<”或“=”填空）． (1)2______ (2)______ (3)______ (4)______ (5)______0 (6)_______0 (7)如果，，则a_____b 14．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）[阅读材料]的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．例如：可以看成数轴上表示数2的点与表示数1的点之间的距离，所以． (1)的几何意义是表示数x的点与表示数________的点之间的距离； (2)（ⅰ）若，求x的值； （ⅱ）求的最小值． 15．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）【知识解读】数轴是数学学习中的一个重要工具．用数轴不只是可以将任何有理数在数轴上用点加以表示，还可以利用其中蕴含的数形结合思想解决很多较复杂问题． 【应用1：数与数的转化】（1）如图，小丽借助刻度尺画了一条数轴，原点和单位1分别与刻度的和11对齐，则刻度尺上的1对应数轴上的点A表示的有理数为 ； 【应用2：数与数量关系的刻画】（2）在下面的网格中，表示数，的点均在格点上，请按要求画图． ①已知，请在图2中的数轴上标出原点的位置； ②已知表示数的点也在格点上，请在图3中的数轴上表述原点的位置； 【应用3：数学变换的演示】（3）如图4，已知点，，将点绕着点旋转，得到点，我们称点是点关于点的反演点，记作，亦可记作； 将点、分别绕着同一点旋转，使点和点重合，此时点所对应的点用表示，则称点是点关于线段的反演点，记作，亦可记作 在数轴上，若已知点表示的数为，点与点的距离为6，点是数轴上一动点，且，，则在点的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，直接写出这个定值；如果不是，请求出它的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $