5.2.1代入消元法（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“代入消元法”，核心知识点为通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程求解。课堂导入先复习一元一次方程解法，再结合种植问题引出二元一次方程组，以消元思想为支架，构建从一元到二元的知识脉络。 其亮点在于分层设计题目，基础题夯实变形与代入步骤，能力题提升技巧运用，实际应用题（如钢笔和笔记本购买问题）培养模型意识。通过例题解析和易错总结，强化运算能力与推理意识，帮助学生发展数学思维，教师可利用系统资源实施分层教学，提升课堂效率。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 5.2.1代入消元法 第五章 二元一次方程组 北师大版八年级上册5.2.1代入消元法练习题 核心知识点回顾 代入消元法是解二元一次方程组的基础方法，核心思想是消元，将二元问题转化为一元一次方程求解。基本步骤：1. 变形，把方程组中一个方程化为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式；2. 代入，将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数；3. 求解，解一元一次方程得到一个未知数的值；4. 回代，将求得的值代入变式，求出另一个未知数；5. 写解，规范写出方程组的解。 一、基础夯实题（共3题，侧重公式运用） 1. 用含x的代数式表示y： （1）$$2x+y=5$$ （2）$$3x-2y=4$$ 2. 用代入消元法解方程组：$$\begin{cases} x=y+2 \\ 2x+3y=9 \end{cases}$$ 3. 用代入消元法解方程组：$$\begin{cases} 3x+y=7 \\ x-2y=8 \end{cases}$$ 二、能力提升题（共2题，侧重技巧运用） 1. 解方程组：$$\begin{cases} 4x+3y=10 \\ y=2x-1 \end{cases}$$ 2. 已知方程组$$\begin{cases} x+3y=6 \\ 2x-y=5 \end{cases}$$，求$$x+y$$的值。 三、实际应用题（1题，侧重知识运用） 学校购买钢笔和笔记本奖励学生，已知2支钢笔和3本笔记本共需32元，1支钢笔和2本笔记本共需19元。设每支钢笔x元，每本笔记本y元，列二元一次方程组，并用代入消元法求解钢笔和笔记本的单价。 参考答案与解析 一、基础夯实 1. （1）$$y=5-2x$$ （2）$$y=\frac{3x-4}{2}$$ 2. 把$$x=y+2$$代入$$2x+3y=9$$，得$$2(y+2)+3y=9$$，解得$$y=1$$，回代得$$x=3$$，解为$$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$$ 3. 由$$3x+y=7$$得$$y=7-3x$$，代入另一方程，解得$$x=2$$，$$y=1$$。 二、能力提升 1. 把$$y=2x-1$$代入$$4x+3y=10$$，解得$$x=1.3$$，$$y=1.6$$。 2. 解得$$x=3$$，$$y=1$$，故$$x+y=4$$。 三、实际应用 列方程组：$$\begin{cases} 2x+3y=32 \\ x+2y=19 \end{cases}$$，由第二个方程得$$x=19-2y$$，代入第一个方程，解得$$y=6$$，$$x=7$$。答：钢笔7元/支，笔记本6元/本。 易错总结：解题时优先选择变形简便、无分数的方程变式；回代需代入原式检验，避免计算失误。 通过解决实际问题，结合一元一次方程的解法，掌握代入消元法的意义，发展抽象思维能力和转化迁移思想. 会用代入法解二元一次方程组，提高解题能力；在解题过程中渗透代入消元法的化归思想. 初步体会化归思想在数学学习中的运用. 解一元一次方程： 复习导入 5x = 3（x-2）+8 去括号 5x = 3x - 6 + 8 移项 5x - 3x = -6 + 8 合并同类项 2x = 2 系数化为1 x = 1 例：y = 2x － 5 叫作用含有x的代数式表示y， x = 3y － 9 叫作用含有y的代数式表示x. （1）x － y = 2可变为：y = _______， 2x + y = 3可变为：y = _______. （2）x － y = 2可变为：x =_______， 2x + y = 3可变为：x =_______. x - 2 3 - 2x 2 + y 在上一节的种植问题中，要想知道小明和小颖各栽种了几株绿植，就需要解方程组 x－y=2， x+1=2（y－1） 新知探究 （1）两个方程中的未知数x有什么关系？未知数y呢？ （2）未知数x与未知数y之间满足什么关系？你能用其中一个未知数表示另一个未知数吗？ （3）你能设法把这个二元一次方程组转化为一元一次方程吗？ x－y=2， x+1=2（y－1） ① ② 由①，得 y= x－2 ③ 得 x+1=2（x－2－1） ④ 解所得的一元一次方程④，得 x = 7. 再把 x=7 代入③，得 y = 5. 二元化为一元 这样，我们得到二元一次方程组 的解 . 因此，小明栽种了7株绿植，小颖栽种了5株绿植. 把求出的未知数的值代入原方程组，可以知道所求得的解是否正确. 3x + 2y = 14， x = y + 3. 例1 解方程组： ① ② 解：将②代入①，得 3（y+3）+2y = 14， 3y + 9 + 2y = 14 5y = 5 y = 1 将 y = 1 代入②，得 x = 4. 所以原方程组的解是 x = 4， y = 1. 思考： 例2 解方程组： 1. 在这个方程组中，哪一个方程最简单？ 2. 怎样将两个未知数的方程变为只含有一个未知数的一元一次方程呢？ 2x + 3y = 16， x + 4y = 13. ① ② 解：由 得 = ③ 将③代入 ，消去 . 思考：怎么在二元一次方程组中选择合适的方程进行变形呢？ ② ① x x 解：由 得 = ③ 将③代入 ，消去 . ② ① y y 2x + 3y = 16， x + 4y = 13. ① ② 解：由 得 = ③ 将③代入 ，消去 . ① ② x x 13－4y 解：由 得 = ③ 将③代入 ，消去 . ① ② y y 例2 解方程组： 2x + 3y = 16， x + 4y = 13. ① ② 将③代入①，得 2（13 － 4y）+3y = 16， 26 － 8y + 3y = 16 -5y = -10 y = 2 将 y = 2 代入③，得 x = 5. 所以原方程组的解是 解：由②，得 x = 13 － 4y. 思考·交流 上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？与同伴进行交流. 解二元一次方程组的基本思路“消元” 用“代入”的方法进行“消元”，这种解方程组的方法称为代入消元法. 代入消元法是解二元一次方程组常用的方法之一. 转化 一元一次方程 二元一次方程组 消元 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 变形：从方程组中选取一个系数较简单的方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数； 代入：将变形后的方程代入另一个没有变形的方程中，消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程； 求解：解消元后的一元一次方程； 回代：把求得的未知数的值代入第一步中变形后的方程中，求出另一个未知数的值； 写解：把两个未知数的值用大括号联立起来，写成 的形式. 变形的基本原则： 1. 在方程组中选择系数相对比较简单的方程进行变形. 2. 变形时把其中一个未知数用含有另外一个未知数的式子表示出来.（即化为 y = ax + b 或 x = ay + b 的形式） 归纳总结 14 巩固练习 1. 在二次一元方程 2x－y = 5 中，用含 x 的式子表示 y为 . 2x+y=5 ① 4x－3y=6 ② 先把方程 变为 ，再代入 ，求得 的值，然后再求 的值. y = 2x－5 ① ② x y y = 5－2x 2. 用代入法解方程组 随堂练习 3. 用代入消元法解下列方程组： （1） （2） （3） （4） 【选自教材P117 随堂练习】 随堂练习 4. 已知关于 x，y 的方程组 的解满足方程 x + y = 8，求m的值. 解：把②代入①，得 3x + 5y = 2x + 3y + 2. 整理，得 x + 2y = 2. 把 x + 2y = 2 与x + y = 8联立， 得 由③，得 x = 2－2y. ⑤ 将⑤代入④，得 2－2y + y = 8.解得 y = -6. 将 y = -6 代入⑤，得 x = 14. 将 x = 14，y = -6代入②，得 m = 10. 随堂练习 5. 已知 |a + 2b + 3| +（3a - b - 5）2 = 0，求（3a + 2b）99的值. 解：因为 |a + 2b + 3| +（3a－b－5）2 = 0. 且 |a + 2b + 3| ≥0，（3a－b－5）2 ≥ 0, 所以 整理，得 由②，得 b = 3a－5. ③ 将③代入①，得 a + 2（3a－5）= -3. 解这个方程，得 a = 1. 将 a = 1 代入③，得 b = -2. 所以（3a + 2b）99 = [3 × 1 + 2 ×（-2）]99 = -1. 随堂练习 知识点1 直接代入消元法 1.用代入消元法解方程组 时，消去y，得到关于x的方程是(　　) A.2x－(1＋x)＝5　　 B.2x－1＋x＝5 C.2x＋1＋x＝5　　 D.2x＋5＝1＋x 返回 A 基础提优题 2.二元一次方程组的解为　 　　　. 返回 基础提优题 3. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点E的坐标为(2m，n)，其关于y轴对称的点F的坐标为(1＋3n，m＋8)，则m－4n＝　　　　. 返回 －17 基础提优题 知识点2 先变形，再代入消元 4.用代入消元法解方程组的最佳策略是(　　) A.消y，由②得y＝(23－9x) B.消x，由①得x＝5y＋2 C.消x，由②得x＝(23－2y) D.消y，由①得y＝(x－2) 返回 B 基础提优题 5.下面是小颖同学解方程组  的过程： 解：由①，得y＝3x－7.③ 第一步 把③代入①，得3x－(3x－7)＝7， 第二步 即7＝7. 第三步 所以此方程组无解. 第四步 其中，开始出现错误的是第　　　步. 返回 二 基础提优题 6.下面是小明同学解方程组的过程的框图表示，请你帮他补充完整： 其中，①为　　　　，②为　　　　，③为　　　　. 返回 代入 消去x 解得x 基础提优题 7.用代入消元法解下列方程组： (1) 返回 【解】 由①得b＝.③　 基础提优题 将③代入②，得5a－2(13－3a)＝7，解得a＝3. 把a＝3代入③，得b＝2. 所以原方程组的解是 返回 基础提优题 (2) 返回 【解】整理，得 由①得x＝5y－6，③ 基础提优题 把③代入②，得5×(5y－6)－y＝18，解得y＝2. 把y＝2代入③，得x＝4. 所以原方程组的解是 返回 基础提优题 8.若－2xm－ny2与3x4y2m＋n是同类项，则3n－m的立方根是(　　) A.2　　　 B.－2　　　 C.4　　　　D.－4 【点拨】因为－2xm－ny2与3x4y2m＋n是同类项，所以解得 所以3n－m＝3×(－2)－2＝－8.因为－8的立方根是－2，所以3n－m的立方根是－2. 返回 B 综合应用题 9.已知关于x，y的方程组 若x，y的值相等，则n的值为(　　) A.－1　　 B.－4　　 C.2　　 D.－2 返回 B 综合应用题 【点拨】因为x，y的值相等，所以原方程组可化为 由①得y＝n③. 把③代入②中得n＝n＋1，解得n＝－4. 综合应用题 10.关于x，y的二元一次方程组的解是二元一次方程x＋3y＝24的一个解，则a的值是(　　) A.－4　　 B.－2　　 C.2　　 D.4 返回 A 综合应用题 11. 对于x，y定义一种新运算F，规定F(x，y)＝ax＋by(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：F(0，0)＝a×0＋b×0＝0.若F(1，2)＝－3，F(2，－1)＝4，则下列结论中正确的个数为(　　) ①F(3，4)＝－5； ②若F(m，n)－2F(－m，n)＝27，则m，n有且仅有4组正整数解； ③若k＝1，则F(kx，y)＝F(x，ky)对任意有理数x，y均成立. A.3　　 B.2　　 C.1　　 D.0 返回 A 综合应用题 1 你从上面的学习中体会到代入法的基本思路是什么？ 2 代入消元法的主要步骤有哪些？ 3 用代入法解二元一次方程组的技巧： 课堂小结 消元 标号→变形→代入→求解→回代→写解 ①变形的技巧 ； ②代入的技巧 . 通过这节课的学习，我们要熟练运用代入消元法解二元一次方程组，并能检验结果是否正确． $