精品解析：山西省朔州市怀仁市第二中学校2025-2026学年九年级下学期5月期中数学试题

山西省朔州市怀仁市第二中学校2025-2026学年九年级下学期5月期中数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 近年来，随着环保意识的提升，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，以实现更加节能的出行方式．下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的运算性质与非零数的0次幂的意义，即可作出正确判断． 【详解】A、，故错误； B、，故错误； C、，故正确； D、，故错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的运算性质、非零数的0次幂的意义．要注意几点：单独一个字母的指数为1，而不是0；幂的乘方是指数相乘，不是相加；进行积的乘方时，积中每个因式都要分别乘方；零指数幂、负整数指数幂的底数非0． 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：几何体的左视图是， ， ∴选项符合题意． 5. 一次函数的图象过点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象分析增减性即可． 【详解】因为一次函数的一次项系数小于0,所以y随x增减而减小． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数图象的增减性,关键在于分析一次项系数与零的关系． 6. 一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分别求出∠α、∠β关系，做出判断即可. 【详解】解：A. ∠α、∠β互余,不合题意； B.根据根据同角的余角相等可得∠α＝∠β，符合题意； C. ∠α=60°，∠β=75°，不合题意； D. ∠α=45°，∠β=60°，不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了互为余角的意义.掌握同角的余角相等是解题的关键. 7. 小亮和爸爸搭乘高铁外出游玩．在网上购票时．若系统已将两人分配到同一车厢同一排（如图是高铁座位示意图）．小亮和爸爸分分配的座位挨在一起（过道两侧也认可是座位挨在一起）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， 共有20种等可能结果，其中符合题意的有8种， 小亮和爸爸分分配的座位挨在一起（过道两侧也认可是座位挨在一起）的概率是, 故选：D． 【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 8. 如图，AB是⊙的直径，AC是⊙的切线，A为切点，BC与⊙交于点D，连结OD．若，则∠AOD的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由AC是⊙的切线可得∠CAB=,又由，可得∠ABC=40;再由OD=OB，则∠BDO=40最后由∠AOD=∠OBD+∠OBD计算即可. 【详解】解：∵AC是⊙的切线 ∴∠CAB=, 又∵ ∴∠ABC=-=40 又∵OD=OB ∴∠BDO=∠ABC=40 又∵∠AOD=∠OBD+∠OBD ∴∠AOD=40+40=80 故答案为C. 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形以及三角形外角的概念.其中解题关键是运用圆的切线垂直于半径的性质. 9. 氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 水的质量 氢气的质量 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 10. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，作轴于．解直角三角形求出，即可． 【详解】解：如图，作轴于． 由题意：，， ， ，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图形变化——旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 【答案】3 【解析】 【分析】分别计算两项后求和即可得到结果． 【详解】解：． 12. 天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历（下面所有干支纪年都是所在公元纪年立春之后的干支纪年）．有十天干与十二地支，如下表： 天干名 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 — — 对应序数 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 — — 地支名 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 对应序数 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如：2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，则2008年就是戊子年．2026年是伟大的中华人民共和国成立77周年，则2026年是___________年．（用天干地支纪年法表示） 【答案】丙午 【解析】 【分析】先根据年份尾数确定天干，再计算年份除以12的余数确定地支，最后组合得到干支纪年结果. 【详解】解：确定天干：2026年的尾数为，由天干对应序数表可知，序数对应的天干为“丙”； 确定地支：计算，可得，即余数为，由地支对应序数表可知，序数对应的地支为“午”； 将天干与地支组合，可得2026年为丙午年. 13. 列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________． 【答案】240 【解析】 【分析】由设再利用待定系数法求解反比例函数解析式，把h代入函数解析式求解的值，结合图象上点的坐标含义可得答案. 【详解】解：由题意设 把代入得： 当h时，， 所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键. 14. 如图，是半圆的直径，点是的中点，连接，过作于点．若，则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，则得；在中，利用勾股定理求得圆的半径，利用扇形面积减去三角形的面积即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴ ． 15. 如图，在Rt中，是边上的中线，过点作的垂线，垂足为，交于点，则的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点C作交的延长线于F，证明，得，再证明，列比例式求解． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 二、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成各题： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 当下，人工智能技术飞速发展，正推动生产方式向智能化、高效化转变，某制造厂采用了，两种型号喷涂机器人进行电子设备的表面喷涂，提高效率的同时也能够降低对环境的污染．已知1台型机器人和2台型机器人同时工作1小时可完成52个电子设备的表面喷涂，2台型机器人和3台型机器人同时工作1小时可完成88个电子设备的表面喷涂． （1）求每台，型机器人每小时分别完成多少个电子设备的表面喷涂． （2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署30台机器人．若要确保每小时完成550个电子设备的表面喷涂，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台型机器人？ 【答案】（1）型机器人每小时完成20个电子设备的表面喷涂，型机器人每小时完成16个电子设备的表面喷涂； （2）该工厂同一时间内至少需要部署18台型机器人． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准数量关系，正确列出二元一次方程组，一元一次不等式是解题的关键． （1）设型机器人每小时完成个电子设备的表面喷涂，型机器人每小时完成个电子设备的表面喷涂，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设该工厂同一时间内需要部署台型机器人，则需要部署台型机器人，根据题意，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设型机器人每小时完成个电子设备的表面喷涂，型机器人每小时完成个电子设备的表面喷涂，由题意得： ，解得：， 答：型机器人每小时完成20个电子设备的表面喷涂，型机器人每小时完成16个电子设备的表面喷涂； 【小问2详解】 解：设该工厂同一时间内需要部署台型机器人，则需要部署台型机器人， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最小值为18， 答：该工厂同一时间内至少需要部署18台型机器人． 18. 某校举行的“吾有所爱，其名中华”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段． （1）初赛由39名学生评委给每位选手打分（百分制），对学生评委给某位选手的打分数据进行整理、描述和分析，得到频数分布直方图如图（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组），其中第3组的数据如下：85，86，86，86，86，86，87，87，88，88，88，89，89，89．根据以上信息，回答下列问题： ①这39个学生评委所打分数的中位数在第______组； ②若这39个学生评委所打分数的众数在第3组，则众数是______分； （2）决赛由7名教师评委给每位选手打分（十分制），从形象、表达、内容三项对进入决赛的3位选手分别进行打分，各项成绩分别去掉一个最高分和一个最低分，其余5名评委所打分数的平均数作为该项的最终得分，3位选手部分得分信息如下： 3位选手各项最终得分 选手 形象 表达 内容 甲 8 7 9 乙 9 8 8 丙 7 9 m 其中，7位教师评委对丙选手“内容”的打分为：8，7，7，8，8，9，10． ①表中______； ②若将形象、表达、内容三项得分依次按的比例确定最终成绩，那么哪位选手的最终成绩最高？ 【答案】（1）①3；②86 （2）①8；②丙选手的最终成绩最高． 【解析】 【分析】本题考查统计表，加权平均数、众数、中位数等知识． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）①根据平均数的定义求解即可； ②根据加权平均数的定义求解即可判断． 【小问1详解】 解：①这39个学生评委所打分数的中位数是第20个数，在第3组； ②若这39个学生评委所打分数的众数在第3组，则众数是86分； 故答案为：3；86； 【小问2详解】 解：①分数为：8，7，7，8，8，9，10， 分别去掉一个最高分和一个最低分，为8，7，8，8，9， ∴； ②甲的最终成绩，； 乙的最终成绩，； 丙的最终成绩，； ； 丙选手的最终成绩最高． 19. 第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？ 【答案】该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆． 【解析】 【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可． 【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆， 由题意得：﹣＝140， 解得：x＝4， 经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意， 15x =15×4＝60， 答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆． 【点睛】本题主要考查的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5G与4G下载的速度关系，在根据题意找出下载600兆的公益片所用时间的等量关系，是解答此题的关键． 20. 项目学习 汾河作为黄河的第二大支流，穿太原城区而过，其河面宽度因河段功能（如自然湿地、河道景观）不同在50米至300米间变化，为几何测量提供了真实场景．为了测量一条南北方向且两岸平行的河流宽度，三个数学兴趣小组设计了不同的方案，他们在河的东岸点处测得西岸的树H恰好在的正西方向．测量方案与数据如下表： 课题 测量河流宽度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 小组名称 奋进组 创新组 智慧组 测量方案示意图 测量数据 （1）根据上述分析，___________小组的数据无法计算出河宽； （2）选择一个小组的方案及数据求出河宽（结果精确到，参考数据：，）． 【答案】（1）创新组； （2）河宽为． 【解析】 【分析】（1）创新组只知道的长，的度数，无法在一个三角形中求解，无法求出长度； （2）奋进组需要利用三角形外角的性质，求出，进一步推出等腰三角形，最后在中解三角形即可，智慧组需要用到方程思想，设，分别在和中利用正切去建立方程，最后解方程求解即可． 【小问1详解】 解：通过分析，创新组只知道的长，的度数，无法在一个三角形中求解，无法求出长度； 【小问2详解】 解：奋进组解法： ， ，即， ， 中，， ， 智慧组的解法： 设， 在中，， ， 在中，， ， ， ，即， 解得：， 答：河宽为． 21. 阅读与思考 阅读材料，并完成相应的任务． 利用尺规作正五边形 1．作． 2．作直径． 3．过点C作的垂线交于点． 4．取的中点． 5．以点为圆心，以为半径作弧交于点． 6．以点为圆心，以为半径作弧交于点． 7．在上依次截取等于的弦，就可以作出圆内接正五边形． 任务： （1）在阅读该材料的过程中，君君发现点是线段的黄金分割点，请你说明理由； （2）如图，君君利用材料中的方法作出了的内接正五边形，并作出其五条对角线，得到一个五角星．他发现这五条对角线所围成的五边形仍然是一个正五边形． ①的度数为___________； ②求证：． （3）君君发现该正五边形对角线的交点分别是其所在对角线的黄金分割点． ①若正五边形的边长为2，则五角星的边的长为___________； ②由题中条件，可得的值为___________． 【答案】（1）解：设的半径为r，则． 在中，， ， ， ，即点E是线段的黄金分割点； （2）①； ②证明：， ， ， ， ， ； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）设的半径为r，则，勾股定理求出，进而求出，再求出，结合黄金分割点的定义即可说明； （2）①先求出正五边形的内角，利用弧、弦、圆心角的关系即可求解；②利用弧、弦、圆心角的关系可求，进而得到，，即可证明结论； （3）①同（2）②可得，，根据点G为的黄金分割点，，可得，即可求解；②过点作于点，由（2）②知，可得，由①知，同理，得，求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵五边形的每个内角为， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴； ②略 【小问3详解】 解：①同（2）②可得，， ∵点G为的黄金分割点，， ，即， ； ②过点作于点， 由（2）②知， ∴， 由①知， 同理，得， ， ． 22. 某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米. d（米） 0 1 2 3 4 h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5 根据上述信息，解决以下问题： （1）在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象； （2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ ； （3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 【答案】（1） 以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图所示： （2）1.5 （3）2.1米 【解析】 【分析】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型． （1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可； （2）观察图象即可得出结论； （3）根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 根据题意可知，该抛物线的对称轴为，此时最高， 即， 故答案为：1.5． 【小问3详解】 根据图象可设二次函数的解析式为：， 将代入，得， 抛物线的解析式为：， 设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：， 由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值大于， ， 解得， 水管高度至少向上调节1.6米， （米， 公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到2.1米才能符合要求． 23. 综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下数学问题：如图1，将矩形纸片以点C为中心顺时针方向旋转，当点A的对应点E落在的延长线上时，求证． 数学思考： （1）请你解决老师提出的问题． 深入探究： （2）“智慧小组”在解决老师提出的问题后，在图1的基础上又提出新的问题：如图2，过点F作，垂足为M．过点G作，垂足为N．试猜想线段，，的数量关系，并说明理由．请你解决该问题． （3）“创新小组”受到“智慧小组”的启发，在图2的基础上连接，得到图3．并且提出：若，．求的长．请你思考该问题，并直接写出结果． 【答案】 （1）证明：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∵矩形是由矩形旋转得到的， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定； （1）连接，根据矩形是由矩形旋转得到的，得出，进而证明， 根据全等三角形的性质可得，等量代换即可得证； （2）过点作于点，证明，四边形是矩形，得出，进而即可得证； （3）根据（2）可得，设，则，勾股定理得出，过点作于点，则四边形是矩形，进而求得，，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2） 理由如下：过点作于点 ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）， ∴， ∴， ∴， （3）∵， 设，则， ∵ ∴ 解得：， ∴， 又 ∴ 如图所示，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴ 在中， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省朔州市怀仁市第二中学校2025-2026学年九年级下学期5月期中数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 近年来，随着环保意识的提升，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，以实现更加节能的出行方式．下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数的图象过点，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是（　　） A. B. C. D. 7. 小亮和爸爸搭乘高铁外出游玩．在网上购票时．若系统已将两人分配到同一车厢同一排（如图是高铁座位示意图）．小亮和爸爸分分配的座位挨在一起（过道两侧也认可是座位挨在一起）的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，AB是⊙的直径，AC是⊙的切线，A为切点，BC与⊙交于点D，连结OD．若，则∠AOD的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 水的质量 氢气的质量 A. B. C. D. 10. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：___________． 12. 天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历（下面所有干支纪年都是所在公元纪年立春之后的干支纪年）．有十天干与十二地支，如下表： 天干名 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 — — 对应序数 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 — — 地支名 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 对应序数 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如：2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，则2008年就是戊子年．2026年是伟大的中华人民共和国成立77周年，则2026年是___________年．（用天干地支纪年法表示） 13. 列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________． 14. 如图，是半圆的直径，点是的中点，连接，过作于点．若，则阴影部分的面积为___________． 15. 如图，在Rt中，是边上的中线，过点作的垂线，垂足为，交于点，则的长为___________． 二、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成各题： （1）计算：； （2）化简：． 17. 当下，人工智能技术飞速发展，正推动生产方式向智能化、高效化转变，某制造厂采用了，两种型号喷涂机器人进行电子设备的表面喷涂，提高效率的同时也能够降低对环境的污染．已知1台型机器人和2台型机器人同时工作1小时可完成52个电子设备的表面喷涂，2台型机器人和3台型机器人同时工作1小时可完成88个电子设备的表面喷涂． （1）求每台，型机器人每小时分别完成多少个电子设备的表面喷涂． （2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署30台机器人．若要确保每小时完成550个电子设备的表面喷涂，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台型机器人？ 18. 某校举行的“吾有所爱，其名中华”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段． （1）初赛由39名学生评委给每位选手打分（百分制），对学生评委给某位选手的打分数据进行整理、描述和分析，得到频数分布直方图如图（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组），其中第3组的数据如下：85，86，86，86，86，86，87，87，88，88，88，89，89，89．根据以上信息，回答下列问题： ①这39个学生评委所打分数的中位数在第______组； ②若这39个学生评委所打分数的众数在第3组，则众数是______分； （2）决赛由7名教师评委给每位选手打分（十分制），从形象、表达、内容三项对进入决赛的3位选手分别进行打分，各项成绩分别去掉一个最高分和一个最低分，其余5名评委所打分数的平均数作为该项的最终得分，3位选手部分得分信息如下： 3位选手各项最终得分 选手 形象 表达 内容 甲 8 7 9 乙 9 8 8 丙 7 9 m 其中，7位教师评委对丙选手“内容”的打分为：8，7，7，8，8，9，10． ①表中______； ②若将形象、表达、内容三项得分依次按的比例确定最终成绩，那么哪位选手的最终成绩最高？ 19. 第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？ 20. 项目学习 汾河作为黄河的第二大支流，穿太原城区而过，其河面宽度因河段功能（如自然湿地、河道景观）不同在50米至300米间变化，为几何测量提供了真实场景．为了测量一条南北方向且两岸平行的河流宽度，三个数学兴趣小组设计了不同的方案，他们在河的东岸点处测得西岸的树H恰好在的正西方向．测量方案与数据如下表： 课题 测量河流宽度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 小组名称 奋进组 创新组 智慧组 测量方案示意图 测量数据 （1）根据上述分析，___________小组的数据无法计算出河宽； （2）选择一个小组的方案及数据求出河宽（结果精确到，参考数据：，）． 21. 阅读与思考 阅读材料，并完成相应的任务． 利用尺规作正五边形 1．作． 2．作直径． 3．过点C作的垂线交于点． 4．取的中点． 5．以点为圆心，以为半径作弧交于点． 6．以点为圆心，以为半径作弧交于点． 7．在上依次截取等于的弦，就可以作出圆内接正五边形． 任务： （1）在阅读该材料的过程中，君君发现点是线段的黄金分割点，请你说明理由； （2）如图，君君利用材料中的方法作出了的内接正五边形，并作出其五条对角线，得到一个五角星．他发现这五条对角线所围成的五边形仍然是一个正五边形． ①的度数为___________； ②求证：． （3）君君发现该正五边形对角线的交点分别是其所在对角线的黄金分割点． ①若正五边形的边长为2，则五角星的边的长为___________； ②由题中条件，可得的值为___________． 22. 某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米. d（米） 0 1 2 3 4 h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5 根据上述信息，解决以下问题： （1）在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象； （2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ ； （3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 23. 综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下数学问题：如图1，将矩形纸片以点C为中心顺时针方向旋转，当点A的对应点E落在的延长线上时，求证． 数学思考： （1）请你解决老师提出的问题． 深入探究： （2）“智慧小组”在解决老师提出的问题后，在图1的基础上又提出新的问题：如图2，过点F作，垂足为M．过点G作，垂足为N．试猜想线段，，的数量关系，并说明理由．请你解决该问题． （3）“创新小组”受到“智慧小组”的启发，在图2的基础上连接，得到图3．并且提出：若，．求的长．请你思考该问题，并直接写出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $