专题03 三角函数期末复习（8大考点突破+50题精练强化）-2025-2026学年高一数学下学期期末高分冲刺（沪教版2020必修第二册）

2025-2026学年高一数学春学期期末高分冲刺【培优课程】 专题13 三角函数期末复习讲义 考点01：三角函数的图像 1．为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（  ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 2.（24-25金山中学高一下期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象(　　) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 3.（24-25控江中学高一下期末）把函数的图象向右平移个单位得到曲线，再把曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线相应的函数解析式可以是（ ）. A. B. C. D. 4. 对应的图象是（  ） A． B． C． D． 5. 函数，的图象大致为（  ） A． B． C． D． 6．函数（）的图象可能是（  ） A．   B．   C．   D．   7.函数的图象与直线，及轴所围成的图形的面积是（  ） A． B． C． D． 考点02：函数的定义域、值域 8. 函数的定义域是（  ） A． B． C． D．且 9.函数在上的值域为（  ） A． B． C． D． 10.函数的最大值为_____ 11.函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为_______ 12. 若不等式在恒成立，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 考点03：函数的周期性和奇偶性 13. （24-25黄浦区高一下期末）函数的最小正周期是______． 14. 函数的最小正周期为________. 15. （24-25宝山区高一下期末）期中函数的最小正周期是_____. 16. （24-25金山中学高一下期末）函数最小正周期为______． 17. 下列函数中，最小正周期为π的函数是（  ） A． B． C． D． 18. （24-25晋元高级中学高一下期末）函数的最小正周期是，则_______． 19.（24-25控江中学高一下期末） 已知常数，函数为偶函数，则______. 20. 已知，函数是奇函数，则的值为（  ） A． B． C． D． 21. 已知，，若，则（  ） A． B． C． D． 考点04：函数的单调性 23.（24-25控江中学高一下期末）函数，的严格减区间为________. 24. 已知向量，，且函数. （1）若，，求的值； （2）求函数在上的严格增区间. 25.（24-25华师大二附中高一下期中）已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间． 26.（24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知函数，其中. （1）若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； （2）若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 考点05：函数的对称性 27. 函数的图象（  ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 28. 设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 29. 已知函数，则 ． 30.（24-25华师大二附中高一下期中）已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. D. 考点06：根据条件确定解析式 31.已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（  ） A． B． C． D． 32.函数（，，）的部分图象如下图，则下列选项中为的图象的对称中心的有（  ） A． B． C． D． 考点07：函数零点(方程根)问题 33.函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 34. 35. 函数，的图象与直线（为常数）的交点可能有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 35.已知函数，则在上的零点的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 36.函数在区间内的零点个数是 . 37.已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)若方程在区间上有解，求实数的取值范围. 考点08：求三角函数或参数的范围 38. （24-25南洋模范中学高一下期末）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是______． 39.（24-25上师大附属虹口中学高一下期末）设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 40. 若函数的图象与函数的图象有共同的对称轴，且在上单调递减，则的最大值为_________- 41.（24-25金山中学高一下期末）已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为___________. 42.函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（  ） A． B． C． D． 43.已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为_________． 44. （24-25黄浦区高一下期末）若函数满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则的取值范围是；②函数在上具有性质P，则的取值范围是或或．下列判断正确的是（ ）． A. ①和②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②均为假命题 考点09：三角函数性质的综合 45.设函数，则下列结论错误的有（  ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 46. （24-25静安区高一下期末）已知函数，则下列四个结论正确的是___________（填写所有正确结论的序号） ① 是的一个周期； ② 的图像关于对称； ③ 在闭区间上恰有3个零点； ④ 若（其中常数）在上是严格增函数，则最大值为. 考点10：综合压轴题 47. 已知向量． （1）若，求的值； （2）设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围． 48．已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，且，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意的，，都有，求的取值范围． 49. 已知函数（其中常数）的最小正周期为． (1)求函数的表达式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (3)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值． 50. （24-25上海交大附属中学高一下期末）已知函数，其中． （1）当时，求方程的解集； （2）若是偶函数，当取最小值时，求函数的取值范围； （3）若是常数函数，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学春学期期末高分冲刺【培优课程】 专题13 三角函数期末复习讲义 考点01：三角函数的图像 1．为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（  ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【答案】A 【解析】将变形为 对于函数，要得到的图象，根据“左加右减”的原则，需要将的图象上所有的点向右平行移动个单位长度。 只要把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，就可得到的图象. 故选：A. 2.（24-25金山中学高一下期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象(　　) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】因为g（x）＝cos（2x）= sin（2x）= sin（2x），故其图象向右平移个单位，可得函数的图象， 故选B． 【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式的应用，属于基础题． 3.（24-25控江中学高一下期末）把函数的图象向右平移个单位得到曲线，再把曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线相应的函数解析式可以是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换求出解析式. 【详解】依题意，曲线，曲线. 故选：D 4. 对应的图象是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分，化简，结合正弦函数图象求解即可. 【解析】由题,为偶函数,且当时, 又为的图象沿轴翻折. 故选：C 5. 函数，的图象大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性及函数在区间上的符号排除不正确选项即得. 【解析】因为定义域关于原点对称，又， 即为奇函数，所以选项A和B错误， 又当时，，当时，，此时， 又易知当时，，所以时，，结合图象可知选项C错误，选项D正确， 故选：D. 6．函数（）的图象可能是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】因为函数（） 所以，则函数为偶函数，故排除A，C选项； 又，故排除D选项，故选B符合. 故选：B. 7.函数的图象与直线，及轴所围成的图形的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数的图象，如图所示， 利用割补法，将到部分的图象与轴围成的图形补到图中到处阴影部分，凑成一个长为，宽为的长方形，后面到，同理；∴的图象与直线，及轴所围成的面积为， 故选：C. 考点02：函数的定义域、值域 8. 函数的定义域是（  ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】由题可得，即得. 【解析】由题可得，解得， ∴函数的定义域为. 故选：A. 9.函数在上的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，令，转化为二次函数求解. 【解析】， 令，由，得，变为． 该二次函数开口向下，对称轴，在递增，递减． 当时，时，，所以值域为. 故选：C. 10.函数的最大值为_____ 【分析】首先切化弦，然后根据的取值范围去绝对值，化简即可得到函数的最大值. 【解析】由于，且 ， ∴，由图像可知，当时最大 即 故选：A 11.函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为_______ 【分析】首先根据区间的定义以及的有界性确定的范围，然后再利用正切函数的单调性得到的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出即可. 【解析】，，， 根据函数在的最大值为7,最小值为3， 所以，即，根据正切函数在为单调增函数， 则，在上单调减函数， ，， 则，，，， ， 故选：B. 12. 若不等式在恒成立，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 所以， 于是有，因为，所以，要想 在时恒成立，一定有. 故选：D 考点03：函数的周期性和奇偶性 13. （24-25黄浦区高一下期末）函数的最小正周期是______． 【答案】 【分析】利用余弦型函数的最上正周期公式计算即可. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为：. 14. 函数的最小正周期为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 所以的最小正周期. 故答案为： 15. （24-25宝山区高一下期末）期中函数的最小正周期是_____. 【答案】 【分析】利用正切函数的周期公式直接求解. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为： 16. （24-25金山中学高一下期末）函数最小正周期为______． 【答案】 【分析】已知的最小正周期为,根据图象变换的原则,即可得到的最小正周期 【详解】函数的最小正周期即函数的最小正周期,所以所求最小正周期为． 故答案为 【点睛】本题考查正切型函数的最小正周期,考查图象变换 17. 下列函数中，最小正周期为π的函数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的周期公式即可判断AC；作出函数的图象，结合周期的定义即可判断BD. 【解析】对于A，函数的最小正周期为，故A不符合题意； 对于B，作出函数的图象，    由图可知，函数的最小正周期为，故B符合题意； 对于C，函数的最小正周期为，故C不符合题意； 对于D，函数，其图象如图，    由图可知，函数不是周期函数，故D不符合题意. 故选：B. 18. （24-25晋元高级中学高一下期末）函数的最小正周期是，则_______． 【答案】 【分析】由正弦型函数的周期公式可求得的值. 【详解】因为函数的最小正周期是，则. 故答案为：. 19.（24-25控江中学高一下期末） 已知常数，函数为偶函数，则______. 【答案】 【分析】利用偶函数的定义，结合和差角的余弦公式及二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数， 得，恒成立， 整理得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为： 20. 已知，函数是奇函数，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，函数是奇函数，可得，可得的值. 【解析】解:由，函数是奇函数， 可得：，即：，又， 可得：， 故选：C. 21. 已知，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入，可得，借助，再代入可得解 【解析】由题意， 由于为偶函数，因此 因此 故选：C 考点04：函数的单调性 23.（24-25控江中学高一下期末）函数，的严格减区间为________. 【答案】 【分析】由倍角公式可化简函数，然后由正弦函数单调性可得答案. 【详解】，因， 则，注意到在上单调递减， 则，则严格递减区间为：. 故答案为： 24. 已知向量，，且函数. （1）若，，求的值； （2）求函数在上的严格增区间. 【答案】（1）或 （2）严格增区间为和 【解析】 【分析】（1）首先化简函数的表达式，然后将函数值代入，根据的范围求出的值. （2）根据正弦函数的单调递增区间以及的范围直接求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 令，则，所以或. 解得或. 因为，所以或. 【小问2详解】 因为， 所以当时，函数严格递增. 解得. 因为，所以令时，；令时，. 所以函数在上严格增区间为和. 25.（24-25华师大二附中高一下期中）已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数最小正周期的计算公式求得参数的值，结合特殊角三角函数值，可得答案； （2）根据复合函数的单调性，结合正弦函数与一次函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【小问1详解】 由函数的最小正周期为，则，解得，所以， 故. 【小问2详解】 由的单调递减区间为，且为增函数， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 26.（24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知函数，其中. （1）若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； （2）若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 【答案】（1）,,Z; （2） 【解析】 【分析】（1）利用正切函数的周期性和对称性求解； （2）利用正切函数的单调性求出的范围. 【小问1详解】 ∵，∴函数的最小正周期为, 令,Z,解得，Z, ∴函数图象的对称中心为,Z. 【小问2详解】 ∵在闭区间上是严格增函数， ∴， ∴，且ω为正实数，解得 考点05：函数的对称性 27. 函数的图象（  ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】B 【分析】根据选项，采用代入法，判断选项. 【解析】A.，所以函数不关于直线对称，故A错误； B. ，所以函数关于直线对称，故B正确； C. ，所以函数不关于点对称，故C错误； D. ，所以函数不关于点对称，故D错误； 故选：B 28. 设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由最小正周期为求得，再令，，求出对称轴，即可得出答案． 【解析】因为的最小正周期为， 所以， 所以， 令，， 解得， 所以的对称轴为直线， 当时，，其它各项均不符合， 所以是函数的对称轴， 故选：A． 29. 已知函数，则 ． 【答案】2022 【分析】首先求出函数的周期，再求出，根据周期性计算可得. 【解析】易知函数的最小正周期， 而 ， 由周期性知，这样连续六项的和均为， 而共有项，， 所以． 故答案为： 30.（24-25华师大二附中高一下期中）已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的对称性，求出对称中心的表达式，结合题意验证值即可求解. 【详解】函数的对称中心为：， 即，因为为函数的对称中心， 令，解得， 当时，. 故选：D 考点06：根据条件确定解析式 31.已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由最高点得到，由相邻零点得到周期进而得到，再代入一个上升零点得到，从而得到解析式，由图象平移结合诱导公式得到平移后的解析式. 【解析】由最高点知， 因为与轴相邻交点的横坐标分别为和，所以即， 所以 将代入得， 所以， 因为，所以，所以， 图象上的所有点向左平移个单位长度得到， 故选：D. 32.函数（，，）的部分图象如下图，则下列选项中为的图象的对称中心的有（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图象知，又，，， 由图象可知，，得，， ，，， 首先对称中心的纵坐标为1，故排除C，D， 令，，得，，当时，，即A错B对. 故选：B. 考点07：函数零点(方程根)问题 33.函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分类讨论去绝对值号，得出函数的解析式，然后画出函数与的图象进行判断. 【解析】， 如图所示， 要使的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则只需. 故选：C. 34. 函数，的图象与直线（为常数）的交点可能有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】在平面直角坐标系中作出函数，的图象与直线的图象，数形结合即可求解. 【解析】在同一直角坐标系中，作出，与图象， 由图象可知，函数，的图象与直线（为常数）的交点个数可能为0，1，2，结合选项可知选项A正确； 故选：A. 35.已知函数，则在上的零点的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将函数零点转换为两函数的交点，通过图像即可得到答案. 【解析】∵ ∴ 设，画出图像    可得在图像上的零点的个数为3. 故选：C. 36.函数在区间内的零点个数是 . 【答案】4 【解析】令，则， 设， 则当时，， 当时，， 画出函数的图象， ， 易知函数的图象与直线有4个不同的交点， 故答案为：4 37.已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)若方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）令，则， 的单调递减区间为； （2）， ， 在上单调递增， ， 方程在区间上有解，的取值范围为. 考点08：求三角函数或参数的范围 38. （24-25南洋模范中学高一下期末）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先将化简为，再根据在区间上只有一个零点和两个最大值点，结合正弦型三角函数的处理办法求出的取值范围. 【详解】 ， 由，，得， 时，，最大时，也最大， 若在区间上只有一个零点和两个最大值点， 则只需，解得． 故答案为：. 39.（24-25上师大附属虹口中学高一下期末）设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围. 【详解】令，则 令，则 则问题转化为在区间上至少有两个，至多有三个t，使得，求的取值范围. 作出和的图像，观察交点个数， 可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为， 由题意列不等式的： 解得：. 故选：B 【点睛】研究y=Asin(ωx+φ)+B的性质通常用换元法（令），转化为研究的图像和性质较为方便. 40. 若函数的图象与函数的图象有共同的对称轴，且在上单调递减，则的最大值为_________- 【答案】 【分析】由，可求出的对称轴，再根据轴对称图形对称区间的单调性的性质将区间置于两相邻对称轴之间，从而可求得的最大值. 【解析】由，得， 所以的图象的对称轴为， 令，得，令，得， 因为对称轴两侧的单调性相反，且在上单调递减， 所以在直线的右侧，在直线的左侧， 所以，所以的最大值为， 故答案为： 41.（24-25金山中学高一下期末）已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为___________. 【答案】3 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同，通过，，三种情况讨论求解即可 【详解】，任意实数均有. 当时，任意实数均有，且， 时，符合题意； 任意实数均有，即， ， 只能任意实数均有，则， 当时，，则， ，符合题意； 当时，. 所以，， 又，符合题意. 综上所述，满足条件的有序实数对有，，共3个. 故答案为：3 42.函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的最小正周期为，则， 所以，所以， 由图可知， 所以． 故选：D. 43.已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】根据题意，为函数的最小值，为的最大值，由正弦函数性质求解． 【详解】由题，可得为函数的最小值，为的最大值， 所以，则，又， ，得，由， 所以当时，为最小值. 故答案：. 44. （24-25黄浦区高一下期末）若函数满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则的取值范围是；②函数在上具有性质P，则的取值范围是或或．下列判断正确的是（ ）． A. ①和②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②均为假命题 【答案】B 【分析】由已知可得函数的值域应关于原点对称，据此分析命题①②求得的范围，进而可判断命题的真假. 【详解】对于集合D内的任意，都存在，使得， 故函数的值域应关于原点对称， 对于命题①，当时，，要使函数值关于原点对称， 则，所以， 故若函数在上具有性质P，则的取值范围是， 故①为真命题； 对于命题②，，则， 若时，关于对称时值域关于原点对称，，解得， 当时，则，可得， 当时，则即可，解得， 当时，，可满足题意，即时恒成立， 综上所述：函数在上具有性质P， 则的取值范围是或或，故②是假命题． 故选：B. 考点09：三角函数性质的综合 45.设函数，则下列结论错误的有（  ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】C 【分析】由周期公式可判断A；利用余弦函数减区间解不等式可判断B；根据余弦型函数的对称轴过最值点，直接验证可判断CD. 【解析】函数的最小正周期，所以A正确； 由得：，因为是的真子集，所以在区间上单调递减，故B正确； 因为，所以的图象关于直线对称，故C不正确；D正确. 故选：C 46. （24-25静安区高一下期末）已知函数，则下列四个结论正确的是___________（填写所有正确结论的序号） ① 是的一个周期； ② 的图像关于对称； ③ 在闭区间上恰有3个零点； ④ 若（其中常数）在上是严格增函数，则最大值为. 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据三角函数对称性，周期性得性质，和函数零点的定义，以及单调区间，分别判断各命题的正误. 【详解】已知，则， 所以①错误， ，所以②正确， 当时，， 当时，， 所以，在上有无数个零点，所以③错误， 当时，，若，则，在上不严格递增，不符合题意， 于是，，，因此，即，所以的最大值为，则④正确. 故答案为：②④. 考点10：综合压轴题 47. 已知向量． （1）若，求的值； （2）设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标表示，由可得，再结合齐次式求解即可； （2）根据平面向量的坐标表示，由三角恒等变换化简可得，进而结合余弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由，则，即， 所以. 【小问2详解】 由， 则， 所以， 当时，，则， 则， 要使关于的不等式有解， 则，则，解得. 48．已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，且，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意的，，都有，求的取值范围． 【答案】(1);(2);(3) 【解析】（1）解：由函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是， 可得，解得，所以，即， 又由，可得， 因为，所以，所以， 将的向右平移个单位长度，可得函数， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知：，不等式，即为， 可得，解得， 所以不等式的解集为. （3）解：由（1）知：， 当，可得，当时，， 因为对任意的 ，，都有， 即当时，恒成立，即恒成立， 即当时，恒成立， 设，可得恒成立， 令， 当时，即时，即时，， 所以，即，即实数的取值范围为. 49. 已知函数（其中常数）的最小正周期为． (1)求函数的表达式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (3)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【解析】（1）， 因为的最小正周期为，且， 所以即，所以． （2）因为，所以． 所以，令． 又在上有解， 所以在上有解， 所以． （3）由题意可知：， 因为， 所以中有一个为1，另一个为， 因为的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且的最小值是， 所以，所以，或， 因此的值为或． 50. （24-25上海交大附属中学高一下期末）已知函数，其中． （1）当时，求方程的解集； （2）若是偶函数，当取最小值时，求函数的取值范围； （3）若是常数函数，求的值． 【答案】（1），或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，求解方程即可； （2）的定义域为，由是偶函数得，展开并整理得，进而为正奇数，当取最小值即时，，化简，，利用换元法令，，将的值域问题转化为函数，且的值域即可. （3）因为，，若是常数函数，则，当时不是常数函数；当时，通过说明不是常数函数；证明当时成立；当时，通过，说明不是常数函数即可. 【小问1详解】 当时，， 由得：，解得，或， 即，或， 故所求方程的解集为，或； 【小问2详解】 的定义域为，由是偶函数得：，即： ， 所以， 从而，进而，所以为正奇数， 当取最小值即时，， 所以，， 令，，则，且， 所以函数的值域转化为，且的值域， 对称轴，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值； 又当时，，当时，； 故函数的取值范围为； 【小问3详解】 因为，，所以若是常数函数，则， ①当时，由（1）知，不是常数函数； ②当时，，此时，， 不是常数函数； ③当时， ， 所以，是常数函数； ④当时，，不是常数函数； 综上所述：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $