2.2.2　直线的两点式方程2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的两点式与截距式方程，通过课前自学的表格梳理、问答辨析，结合课时学案的题型示例与探究步骤，搭建从概念理解到应用的学习支架，衔接直线方程的前后知识脉络。 其特色在于以数学抽象为基础，通过分类题型（如截距式是否过原点）和探究步骤（如两点式适用条件判断）培养逻辑推理与数学运算能力，实例丰富且易错点突出，帮助学生夯实基础，教师可直接用于高效教学。

课前自学 内容导航 课时学案 课后巩固 Content Navigation 01 02 03 2.2.2　直线的两点式方程 素养目标 1.掌握直线的两点式方程的形式、特点及适用范围．(数学抽象)2.了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围．(数学抽象)3.能用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题．(逻辑推理、数学运算) 课前自学 4 要点1　直线的两点式方程 名称 两点式 已知条件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 示意图   方程 ______________ 适用范围 斜率存在且不为0 第页 要点2　直线的截距式方程 (1)直线在x轴上的截距： 把直线l与x轴的交点(a，0)的______________叫做直线在x轴上的截距． 横坐标a 第页 (2)直线的截距式方程： 名称 截距式 已知条件 在x，y轴上的截距分别为a，b 示意图   方程 ______________ 适用范围 a≠0，b≠0 第页 1．两点式适用的范围是什么？ 答：直线不与坐标轴平行或重合． 2．截距式适用的范围是什么？ 答：直线不与坐标轴平行、重合且不过原点． 第页 4．若一条直线的方程不能用两点式表示，则也不能用截距式表示，反之，若一条直线的方程不能用截距式表示，是否也不能用两点式表示？ 答：当一条直线过原点且斜率存在时，不能用截距式表示，但可用两点式表示． 返 回 课时学案 10 例 1 √ 题型一　 直线的两点式方程 第页 11 (2)已知三角形三个顶点为A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在直线方程是(　　) A．x－13y＋5＝0 B．x－13y－5＝0 C．x＋13y＋5＝0 D．x＋13y＝0 √ 第页 探究1 利用两点式求直线方程的步骤 (1)首先判断所给两点的横坐标与纵坐标是否分别相等． (2)若两点的横坐标与纵坐标均不相等，可直接代入两点式求解． 提醒：代入点的坐标时要注意横、纵坐标的对应关系． 第页 思考题1　已知三角形的三个顶点是A(1，3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程． 第页 例 2　求过点A(4，1)，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程． 题型二　 直线的截距式方程 【思路分析】　对于直线在两坐标轴上截距相等的问题，在使用待定系数法求直线方程时，要注意方程形式的使用条件，避免丢解．还可以设直线的点斜式方程，利用截距的定义，分别求出两截距，这样就避免了丢解，此法对解决此类问题行之有效． 第页 15 第页 第页 探究2 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴平行或重合． (3)要注意截距式方程的逆向应用． 第页 思考题2　求过点A(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 第页 第页 例 3　已知直线l过点P(－2，1)． (1)当直线l与点B(－5，4)，C(3，2)的距离相等时，求直线l的方程； 题型三　 直线方程的灵活应用 【思路分析】　直线的截距式方程有明显的几何意义，由此思考如何解决与直线在x轴、y轴上的截距有关的问题． 第页 21 第页 第页 探究3 求直线方程时方程形式的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程． (2)已知直线的斜率，通常选用斜截式方程． (3)已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程． (4)已知直线上两点时，通常选用两点式方程． 第页 思考题3　(1)如图，已知直线l过点P(2，1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为________． 4 第页 (2)直线l过点(2，1)，且在y轴上的截距为x轴上的截距的2倍，则直线l的方程为_______________________． x－2y＝0或2x＋y－5＝0 第页 1．求直线的两点式方程的策略以及注意点： 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程． 2．用截距式求直线方程时，在x轴、y轴上截距a，b都必须存在且都不为0. (1)若a＝0，b≠0，则直线方程为x＝0； (2)若a≠0，b＝0，则直线方程为y＝0； (3)若a＝0，b＝0，则直线方程为y＝kx(k≠0). 返 回 课后巩固 28 √ 第页 解析　直线经过第一、二、四象限，则a>0，b>0，故选A. √ 第页 第页 4．已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点(6，－2)，则直线l的方程为__________________________． 2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0 第页 5．直线l过点P(－2，3)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为____________________． 3x－2y＋12＝0 返 回 请做：课时作业（十八） 教师备用资料 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1) eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1 3.eq \f(x,3)－eq \f(y,4)＝1是截距式方程吗？在x，y轴上的截距分别为多少？ 答：不是．应该为eq \f(x,3)＋eq \f(y,－4)＝1，在x，y轴上的截距分别为3，－4. (1)过(1，2)，(5，3)的直线方程是(　　) A.eq \f(y－2,5－1)＝eq \f(x－1,3－1)　　　　　 B.eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－1,5－1) C.eq \f(y－1,5－1)＝eq \f(x－3,5－3) D.eq \f(x－2,5－2)＝eq \f(y－3,2－3) 【解析】　所求直线过点(1，2)，(5，3)，将两点坐标代入两点式方程，得eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－1,5－1). 【解析】　因为B(3，－3)，C(0，2)，所以BC中点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋3,2)，\f(2－3,2)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2))). 则BC边上的中线过A(－5，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))两点，由两点式得eq \f(y－0,－\f(1,2)－0)＝eq \f(x＋5,\f(3,2)＋5)，整理得x＋13y＋5＝0. 【解析】　如图，直线AB过A(1，3)，B(－2，－1)，其两点式方程为eq \f(y－3,－1－3)＝eq \f(x－1,－2－1)， 整理，得4x－3y＋5＝0，这就是AB边所在直线的方程． 直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为x＝1.直线BC平行于x轴，故BC边所在直线的方程为y＝－1. 【解析】　方法一：若直线l在两坐标轴上的截距均不为0(或者说直线l不过原点)． 则可设l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1(a≠0)， 由已知l过点A(4，1)，∴eq \f(4,a)＋eq \f(1,a)＝1，得a＝5. 所以l的方程为eq \f(x,5)＋eq \f(y,5)＝1，即x＋y－5＝0. 若直线l在两坐标轴上的截距为0(或者说直线l过原点)，则可设l的方程为y＝kx. 代入点A的坐标，得k＝eq \f(1,4). 所以l的方程为y＝eq \f(1,4)x，即x－4y＝0. 综上，所求直线l的方程为x＋y－5＝0或x－4y＝0. 方法二：易知直线l的斜率存在且不为0，设过点A(4，1)的直线方程为y－1＝k(x－4)(k≠0)． 令x＝0，则y＝1－4k；令y＝0，则x＝4－eq \f(1,k). 由已知条件，得1－4k＝4－eq \f(1,k)， 解得k＝－1或k＝eq \f(1,4). ∴所求直线的方程为x＋y－5＝0或x－4y＝0. 【解析】　当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1(a≠0)．又l过点A(3，4)，所以eq \f(3,a)＋eq \f(4,－a)＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为eq \f(x,－1)＋eq \f(y,1)＝1， 即x－y＋1＝0. 当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3，4)，所以4＝k·3，解得k＝eq \f(4,3)，所以直线l的方程为y＝eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 【解析】　(1)连接BC，易知点P不在BC上． 当直线l∥BC时，kl＝kBC＝eq \f(4－2,－5－3)＝－eq \f(1,4)， 所以直线l的方程为y－1＝－eq \f(1,4)(x＋2)，即x＋4y－2＝0. 当直线l过线段BC的中点时，易得线段BC的中点为M(－1，3)，所以直线l的方程为y－1＝eq \f(1－3,－2－（－1）)(x＋2)，即2x－y＋5＝0. 综上可知，直线l的方程为x＋4y－2＝0或2x－y＋5＝0. (2)当直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为eq \f(1,2)时，求直线l的方程． 【解析】　(2)由题可知，l在两坐标轴上的截距均存在且不为0，设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1. 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(－2,a)＋\f(1,b)＝1，,\f(1,2)|ab|＝\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\f(1,2).))所以直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋4y－2＝0. 【解析】　设直线l为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>2，b>1)，因为直线l过点P(2，1)，则有eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，三角形OAB的面积为S＝eq \f(1,2)ab.对eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，利用基本不等式得1＝eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(2,a)·\f(1,b))＝eq \f(2\r(2),\r(ab))，当且仅当a＝4，b＝2时等号成立，即ab≥8. 所以三角形OAB的面积的最小值为Smin＝eq \f(1,2)×8＝4. 【解析】　当直线l过原点时，满足题意，则直线l的方程为y＝eq \f(1,2)x，即x－2y＝0； 当直线l不过原点时，可设l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,2a)＝1(a≠0)，所以eq \f(2,a)＋eq \f(1,2a)＝1，解得a＝eq \f(5,2)， 所以直线l的方程为eq \f(2x,5)＋eq \f(y,5)＝1，即2x＋y－5＝0. 综上所述，直线l的方程为x－2y＝0或2x＋y－5＝0. 解析　直线eq \f(x,3)－eq \f(y,4)＝1在x轴上的截距为3，在y轴上的截距为－4，所以直线eq \f(x,3)－eq \f(y,4)＝1在两坐标轴上的截距之和为－1. 1．直线eq \f(x,3)－eq \f(y,4)＝1在两坐标轴上的截距之和为(　　) A．1　 　　 B．－1　　　 C．7　　　 D．－7 2．已知平面直角坐标系xOy上的直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1经过第一、第二和第四象限，则a，b满足(　　) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 解析　原方程即为eq \f(y＋3,5)＝－eq \f(1,3)x，又即y＝－eq \f(5,3)x－3，所以l的斜率为－eq \f(5,3). 3．已知直线l的两点式方程为eq \f(y＋3,2＋3)＝eq \f(x－0,－3－0)，则l的斜率为________． －eq \f(5,3) 解析　由题可知，直线l不经过原点．设直线的截距式方程为eq \f(x,a＋1)＋eq \f(y,a)＝1(a≠0且a≠－1)． 由直线过定点(6，－2)，得eq \f(6,a＋1)＋eq \f(－2,a)＝1，解得a＝2或a＝1. 则直线方程是eq \f(x,3)＋eq \f(y,2)＝1或eq \f(x,2)＋eq \f(y,1)＝1， 即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0. 解析　设A(x，0)，B(0，y)． ∵点P恰为AB的中点， 则eq \f(x＋0,2)＝－2，eq \f(0＋y,2)＝3，∴x＝－4，y＝6， 即A，B两点的坐标分别为(－4，0)，(0，6)． 由截距式得直线l的方程为eq \f(x,－4)＋eq \f(y,6)＝1， 即为3x－2y＋12＝0. $