2.2.4 估算 课件 -2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦实数估算核心内容，涵盖平方根立方根夹值法、整数与小数部分确定及实数大小比较等知识点。通过环保主题公园面积、梯子稳定摆放等生活情境导入，衔接已学平方根概念，以夹值法为支架构建从概念到应用的学习脉络。 其亮点在于以生活实例为载体，通过“问题情境—方法总结—应用拓展”路径，培养学生抽象能力、运算能力与模型意识。如用公园面积估算宽，梯子问题结合勾股定理估算高度，帮助学生形成用数学解决实际问题的能力，教师可借分层练习提升教学效率。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 2.2.4 估算 第二章 实数 2.3.2 估算 精讲复习（北师大版八年级上册） 一、估算的核心意义 对于开方开不尽的平方根、立方根，无法得到精确值，我们可以通过夹值法确定无理数的大致取值范围、整数部分、小数部分，这种方法叫做估算。估算是实数大小比较、无理数取值判断的核心方法。 二、平方根估算方法（平方夹值法） 适用题型：估算$$\sqrt{a}$$（$$a$$ 非完全平方数）的大小、取值范围、整数部分。 解题步骤： 1. 找到与被开方数 $$a$$ 相邻的两个完全平方数； 2. 对两个完全平方数同时开平方，确定 $$\sqrt{a}$$ 的取值区间； 3. 较小数的算术平方根为下界，较大数的算术平方根为上界。 口诀：找相邻平方，左右夹逼定范围 $$\sqrt{13}$$例题：估算 的取值范围 解：∵ $$9<13<16$$，即 $$3^2&lt;13&lt;4^2$$ ∴ $$3<\sqrt{13}<4$$ 可得：$$\sqrt{13}$$ 的整数部分是3，小数部分是 $$\sqrt{13}-3$$。 三、立方根估算方法（立方夹值法） 适用题型：估算 $$\sqrt[3]{a}$$ 的大小、取值范围。 解题步骤： 1. 找到与被开方数 $$a$$ 相邻的两个完全立方数； 2. 同时开立方，锁定立方根的取值区间； 3. 负数立方根估算，符号跟随原数，先估算正数再添符号。 $$\sqrt[3]{50}$$例题：估算 的取值范围 解：∵ $$27<50<64$$，即 $$3^3<50<4^3$$ ∴ $$3<\sqrt[3]{50}<4$$ $$\sqrt[3]{50}$$ 整数部分为3，小数部分为 $$\sqrt[3]{50}-3$$。 四、无理数整数部分与小数部分（必考题型） 通用公式： 1. 无理数 = 整数部分 + 小数部分 2. 小数部分 = 原无理数 − 整数部分 注意：小数部分一定是大于等于0且小于1的数。 例题：求 $$\sqrt{23}$$ 的整数部分和小数部分。 解：$$16<23<25$$，$$4&lt;\sqrt{23}&lt;5$$ 整数部分：4，小数部分：$$\sqrt{23}-4$$。 五、利用估算比较实数大小 1. 同号无理数比较：通过估算取值范围，直接判断大小； 2. 无理数与有理数比较：将有理数转化为根号形式，再夹值对比； 3. 两个根式比较：正数范围内，被开方数越大，算术平方根、立方根越大。 $$\sqrt{17}$$例题：比较 与 4.2 的大小 解：$$4.2^2=17.64$$，∵ $$17<17.64$$，∴ $$\sqrt{17}<4.2$$。 六、高频易错点 1. 求小数部分直接写原数，忘记减去整数部分，是考试最大扣分点； 2. 负数无理数估算出错，负数整数部分为负整数，小数部分仍为正数； 3. 混淆平方、立方相邻数，找错夹值区间； 4. 比较大小时不估算，主观判断导致大小关系颠倒。 七、本节核心总结 1. 平方根估算找相邻完全平方数，立方根估算找相邻完全立方数； 2. 先定区间，再找整数部分，最后求小数部分； 3. 小数部分恒非负，公式：小数部分 = 无理数 − 整数部分； 4. 估算可快速解决无理数取值、大小比较两类核心题型。 能通过估算检验计算结果的合理性，能用有理数估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小； 会用计算器求平方根和立方根，并能探求数学中的规律. 能通过估算比较两个数的大小，体会估算在实际生活中的意义和应用. 例： 估算 的大小 创设情境，导入新课 估算一个根号表示的无理数： 夹逼法 在日常生活中，往往要遇到估算一个比较大的数的平方根或立方根，我们怎么办呢？ 因为 4.42 = 19.36， 4.52 = 20.25， 所以 4.4 < < 4.5. 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积为 400 000 m2. 思考探究，获取新知 S = 400000 x 2x （1）公园的宽大约是多少？ 解：设公园的宽大约为 x 米，由题意得 2x2 = 400000 x = 它有 1000 m 吗？ 怎么比较 和1000的大小关系? 公园的宽大约几百米宽，没有 1000 米. 4 （2）如果要求结果精确到 10 m，它的宽大约是多少？与同伴进行交流. 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积为 400 000 m2. S = 400000 x 2x 解：因为 4472 = 199809，4502 = 202500， 199809 < 200000 < 202500， 所以447 < 公园的宽 < 450， 所以公园的宽大约是 450 米. 估算到个位上的数字 （四舍五入） （3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是 800 m2，你能估计它的半径吗（结果精确到 1 m）？ 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积为 400 000 m2. S = 400000 x 2x 解：设圆形花圃的半径是 r m. 则有 πr2 = 800，得 因为 15.52 = 240.25，162 = 256， 所以 240.25 < < 256. 所以 15.5 < r < 16. 所以花圃的半径大约是 16 m. 方法总结： 估算出所给无理数的近似值，再比较. 1 根据所要求的精确度，四舍五入确定最终估值. 2 估算运用夹逼法，两边同时去逼近， 逐级确定其数值，四舍五入精确位. 因为 0.62 = 0.36， 0.72 = 0.49， 所以 0.6 < < 0.7. （1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？ 思考·交流 因为 103 = 1000， 900 < 1000， 所以 < 10. （1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？ 思考·交流 因为502 = 2500， 512 = 2601 所以 50 < < 51. （1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？ 思考·交流 （2）你能估算 的大小吗？（结果精确到 1） 解：因为 9.53 = 857.375， 103 = 1000， 所以 9.5 < < 10， 所以 ≈ 10. 小试身手 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定.现有一架长度为 6 m 的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到 5.6 m 高的墙头吗？ 例7 解：设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为 x m，此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的 ，根据勾股定理，有 即 因为 5.62 = 31.36 < 32，所以 因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能够抵达5.6 m 高的墙头. 尝试·思考 （1）观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键？利用计算器求下列各式的值（结果精确到 0.0001）：① ；② 。 尝试·思考 （1）观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键？利用计算器求下列各式的值（结果精确到 0.0001）：① ；② 。 （2）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开平方次数的增加，你发现了什么？改用另一个小于 1 的正数试一试，看看是否仍有类似的规律。 取 a = 106 = 1 000 000 第 1 次开平方 第 2 次开平方 第 3 次开平方 第 4 次开平方 第 5 次开平方 （2）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开平方次数的增加，你发现了什么？改用另一个小于 1 的正数试一试，看看是否仍有类似的规律。 取 a = 10－4 = 0.0001 第 1 次开平方 第 2 次开平方 第 3 次开平方 第 4 次开平方 第 5 次开平方 无论是很大的正数还是小于 1 的正数，最终结果都会趋近于 1。 在空白处填写“>”、“<”或“=”，观察并总结规律. 1 < 2 < 3 < 4 < 5 12 _____ 22 _____ 32 _____ 42 _____ 52 _____ _____ _____ _____ 1 4 9 16 25 < < < < 1 2 3 4 5 < < < < 若0<a<b时，则a2____b2， ____ . < < 两个正数，在平方（立方）和开平方（开立方）前后大小关系________. 不改变 方法总结：比较无理数与有理数的大小时，利用乘方运算来比较两者的大小. （1）通过估算，你能比较 与 的大小吗？你是怎样想的？与同伴进行交流. （2）小明是这样想的： 与 的分母相同，只要比较它们的分子就可以了. 因为 > 2，所以 －1 > 1，因此 > . 你认为小明的想法正确吗？ 正确 还有不同的做法吗？ 比较两个无理数大小的常用方法： 1.估算法：估算出所给无理数的近似值，再比较. 2.作差法：若 ，则 ；若 ， 则 . 3.乘方法：把含根号的两个无理数同时乘方(一般平方或立方)，比较乘方后的数的大小，同时考虑符号确定大小即可. 4.放缩法：将其中一个数(或两个数)放大或缩小，再比较. 5.作商法、倒数法等. 1. 估计 的值(　C　) A. 在 3 到 4 之间 B. 在 4 到 5 之间 C. 在 5 到 6 之间 D. 在 6 到 7 之间 C 2. 在0，－1，－ ，－2这四个数中，最小的数是 (　D　) A. 0 B. －1 C. － D. －2 D 随堂练习 3. 若一个正方形的面积是 8，则估计它的边长大小 在(　B　) A. 2与2.5之间 B. 2.5与3之间 C. 3与3.5之间 D. 3.5与4之间 B 4. 如图，M，N，P，Q是数轴上的四个点，这四 个点中最适合表示 的是 ⁠. 点P　 随堂练习 5. 已知m，n为两个连续的整数，且m＜ ＜n， 则m＋n＝ ⁠. 7　 解：∵ ＜ ＜ ， ∴2＜ ＜3. ∵ ＜ ＜ ， ∴4＜ ＜5. ∴ ＜ . 6. 通过估算，比较 ， 的大小. 随堂练习 7. 利用计算器比较下列各数的大小. (1) ＋ ， ； 解： ＋ ＞ . (2) ， . 解： ＞ . 解： ＋ ＞ . 解： ＞ . 随堂练习 知识点1 估算 1.［2025天津］估计1＋的值在(　　) A.1和2之间　　　 B.2和3之间 C.3和4之间　　　 D.4和5之间 返回 C 基础提优题 2. 如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示数－1，1，2，3，表示数4－的点M应落在线段(　　) A.AO上　　 B.OB上　　 C.BC上　　 D.CD上 返回 C 基础提优题 3. 、 写出一个比大且比小的整数：　 　. . 返回 2(答案 不唯一)　 基础提优题 知识点2 比较数的大小 4.若记a＝－2，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a＜b＜c　　 B.b＜a＜c C.c＜a＜b　　 D.c＜b＜a 返回 B 基础提优题 5.通过估算，比较下面各组数的大小： (1)和； 返回 【解】因为＞3，所以－2＞3－2，即－2＞1，所以＞. 基础提优题 (2)和. 返回 【解】因为＝，所以要比较和的大小，只需比较和的大小. 因为5－(2＋2)＝3－2，(2)2＝20＞32， 所以3－2＜0，所以＜. 基础提优题 知识点3 用计算器开方 6.利用计算器，比较下列各组数的大小： (1)　　　　； (2)　　　　. 返回 ＜ ＜ 综合应用题 7.用计算器计算.(结果精确到0.01) (1)－＋2π－； 返回 【解】－＋2π－≈0.866－3.142＋6.283－1.414≈2.59. (2)(－)×. 【解】(－)×≈25.205 621 73≈25.21. 基础提优题 课堂小结 估算无理数的大致范围：若a，x，b均为正数，则由a2＜x2＜b2可得a＜x＜b 检验结果合理性的依据： 分数比较 分母相同，只需比较分子大小 分母不同，先通分再比较分子大小 采用范围逼近法(放缩法)； 求近似值的方法(估算法)； 作差法；乘方法；作商法；倒数法 比较方法 估算 的应用 利用估算比较两数大小 估算 $