2.2.1算术平方根 课件 -2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦算术平方根的定义、双重非负性及性质公式，通过“计算正方形边长”活动导入，从面积与边长关系抽象概念，衔接平方运算，为实数学习搭建认知支架。 其亮点在于以图形探究和对比辨析培养数学抽象与推理能力，如用正方形面积抽象概念，对比(√a)²与√a²强化理解。采用“问题-探究-总结”模式，结合口诀助记，学生提升运算与应用能力，教师可直接使用分层练习与典型例题。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 2.2.1算术平方根 第二章 实数 2.2.1 算术平方根 精讲复习（北师大版八年级上册） 一、算术平方根的定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 $$a$$，即 $$x^2=a$$，那么这个正数 x 就叫做 $$a$$ 的算术平方根。 记作：$$x=\sqrt{a}$$，读作“根号a”。 特别规定：0的算术平方根是0，即 $$\sqrt{0}=0$$。 前提条件（必考）：只有非负数才有算术平方根，即被开方数 $$a\ge0$$，负数没有算术平方根。 二、核心性质（本节重中之重） 1. 双重非负性 算术平方根具备初中数学最核心的双重非负性： ① 被开方数非负：$$a\ge0$$ ② 结果非负：$$\sqrt{a}\ge0$$ 只要出现 $$\sqrt{a}$$，默认 $$a\ge0$$，且计算结果一定大于或等于0。 2. 基础公式 （1）$$(\sqrt{a})^2=a\ \ (a\ge0)$$ （2）$$\sqrt{a^2}=|a|$$（易错高频） 区别：带括号先开方再平方，直接去根号先平方再开方，结果必须加绝对值。 三、常见算术平方根（必须熟记） $$\sqrt{1}=1，\sqrt{4}=2，\sqrt{9}=3，\sqrt{16}=4，\sqrt{25}=5$$ $$\sqrt{36}=6，\sqrt{49}=7，\sqrt{64}=8，\sqrt{81}=9，\sqrt{100}=10$$ 熟记完全平方数，是快速求解算术平方根的基础。 四、基础例题精讲 例1 求下列各数的算术平方根 （1）121 （2）0.36 （3）$$\dfrac{9}{16}$$ 解：（1）因为$$11^2=121$$，所以121的算术平方根是11，即$$\sqrt{121}=11$$； （2）因为$$0.6^2=0.36$$，所以0.36的算术平方根是0.6，即$$\sqrt{0.36}=0.6$$； （3）因为$$\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{9}{16}$$，所以$$\dfrac{9}{16}$$的算术平方根是$$\dfrac{3}{4}$$。 例2 利用非负性求值 若$$\sqrt{x-2}+|y+3|=0$$，求$$x、y$$的值。 解：因为$$\sqrt{x-2}\ge0，|y+3|\ge0$$，两个非负数相加为0，只能各自为0。 所以$$x-2=0，y+3=0$$，得$$x=2，y=-3$$。 口诀：非负相加为0，各自归零。 五、高频易错点 1. 混淆算术平方根与平方根：算术平方根只有一个，且一定是非负数； 2. 负数没有算术平方根，出现$$\sqrt{负数}$$无意义； 3. $$\sqrt{a^2}=a$$是错误的，必须是$$\sqrt{a^2}=|a|$$； 4. 审题不清：求“某数的算术平方根”和“化简根号”容易漏解、错号。 六、本节核心总结 1. 算术平方根：唯一、非负，0的算术平方根为0； 2. 双重非负性：被开方数≥0，根式结果≥0； 3. 两大公式分清：$$(\sqrt{a})^2=a$$、$$\sqrt{a^2}=|a|$$； 4. 非负数和为0，每个非负数单独等于0。 了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根，知道0的算术平方根是0； 了解算术平方根的非负性. 了解并掌握算术平方根的双重非负性，并利用这一性质进行运算，培养应用能力和运算能力. 正方形的面积/dm2 1 9 16 36 边长/dm 1 3 4 6 活动1：计算下表中各正方形的边长： 问题1：各正方形的边长与面积之间有什么关系？ 问题2：以上数据中，面积和边长的大小有什么特点？ 正方形的边长的平方等于面积值。 面积越大，边长越大。 x2 = ， y2 = ， z2 = ， w2 = ． 活动2：(1) 结合图形完成填空： x2 = 12 + 12 2 3 4 5 y2 = x2 + 12 z2 = y2 + 12 w2 = z2 + 12 探究点一： 算术平方根的概念和性质 (2) x，y，z，w 中哪些是有理数，哪些是无理数 ? z 是有理数， x、y、w 是无理数. O A B C D E x y z w 1 1 1 1 这些无理数又该如何表示呢？ 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫作 a 的算术平方根 算术平方根 特别地，我们规定：0 的算术平方根是 0，即 。 记作： 根号 被开方数 a≥0 读作：根号 a 探究点一： 算术平方根的概念和性质 1. 一个正数的算术平方根有几个？ 0 的算术平方根有一个，是 0. 2. 0 的算术平方有几个？ 负数没有算术平方根. 3. -1 有算术平方根吗？负数有算术平方根? 一个正数的算术平方根有 1 个. 正数的平方不可能是负数. 【思考·交流】 探究点一： 算术平方根的概念和性质 探究点一： 算术平方根的概念和性质 基本条件： 数的角度： 关系的角度： 形的角度： 怎么理解 (a≥0 ， ). 是一个非负数. 的平方是 a； 是 a 的算术平方根； 不计入 0， 是一个面积为正数 a 的正方形的边长. 算术平方根具有双重非负性. 解：(1) 因为 302 ＝ 900， 所以 900 的算术平方根是 30，即 ； (2) 因为 12 ＝ 1， 所以 1 的算术平方根是 1，即 ； (3) 因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 ； (4) 14 的算术平方根是 。 例1 求下列各数的算术平方根： (1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14． 探究点一： 算术平方根的概念和性质 【练一练】1. 计算: 5 0 4 6 1.3 10-4 ( 4 )2 ( 10-4 )2 观察例1中得到的几个式子： (1) 一些数的算术平方根的结果没有“ ”了，这些数有什么特点? (2) 在上面的式子中， ，也就是 一般地，当 a≥0 时， 成立吗? = a 这些数都可以化成 a2 的形式。 成立。 探究点一： 算术平方根的概念和性质 ( )2 = a (3) 成立吗? 这里的 a 是什么数 ? 你是怎么理解的 ? 与同伴进行交流. 成立，这里的 a 是非负数。 探究点一： 算术平方根的概念和性质 想一想：a＜0 时， 还成立吗? = a 不成立。如 a＜0 时， 【要点归纳】 当 a＜0 时， = -a. 当 a≥0 时， = a， 2= a ； 想一想：如何化简 呢？ = (a≥0)； (a＜0). = | a | a -a 议一议：如何区别 与 ？ 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方，后平方 先平方，后开方 a≥0 a 取任意实数 a | a | 例2 若 |m - 1| + = 0，求 m + n 的值. 解：因为 |m - 1|≥0， ≥0，又 |m - 1| + = 0， 所以 |m - 1| = 0， = 0. 所以 m = 1，n = -3. 所以 m + n = 1 + (-3) = -2. 几个非负式的和为 0，则每个式子均为 0，现阶段学过的非负式有绝对值、平方式及算术平方根. 总结 活动3：用一根绳子围成一个长、宽之比为 3∶1，面积为 75 cm² 的长方形 (如图①). 你能求出求长方形的长和宽吗？ 图① 解：设长方形的长为 3x cm，宽为 x cm. 根据边长与面积的关系得 3x · x = 75， 即 x = 25. 由边长的实际意义，得 x = 5. 因此长方形的长为 15 cm，宽为 5 cm. 探究点二：算术平方根的简单应用 探究点二：算术平方根的简单应用 问题2：用另一根绳子围成一个正方形（如图②），且正方形的面积等于原来围成的长方形的面积，你能求出正方形的边长吗？ 图② 解：由正方形的面积为 75 cm² 易知，正方形的边长为 cm. 例3 自由下落物体下落的距离 h (米)与下落时间 t (秒)的关系为 ．有一铁球从 19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 解：将 h＝19.6 代入公式，得 ， 即 ， 所以 . 即铁球到达地面需要 2 秒. 1. 求下列各数的算术平方根： 随堂练习 【教材P32 随堂练习 第1题】 36， ，17 ，0.81，10－4. 9 16 随堂练习 2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 3，AC = 5， 求 AB 的长. C B A 3 5 解：根据勾股定理得 AB = . 随堂练习 3.如图，从帐篷支撑杆 AB 的顶部 A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷. 若绳子的长度为 8 m，地面固定点 C 到帐篷支撑杆底部 B 的距离是 6.4 m，则帐篷支撑杆的高是多少？ 解：AC = 8m，BC = 6.4m， 根据勾股定理得 AB = ， 得 AB = = 4.8（m）， 即帐篷支撑杆的高是 4.8 m. 随堂练习 1. 填空题. （1）若一个数的算术平方根是 ，则这个数是 . （2） 的算术平方根是 . （3）正数 的平方为 ， 算术平方根为 . （3）(－1.44)2 的算术平方根为 . 5 1.44 运用新知，深化理解 随堂练习 2. 求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来： （1）(7.4)2；（2）(－3.9)2；（3）3.25；（4）2 . 1 4 随堂练习 知识点1 算术平方根 1.如果m没有算术平方根，那么m可以是(　　) A.－52　　 B.｜－5｜　　 C.(－5)2　　 D.－(－5) 返回 A 基础提优题 2.下列说法中不正确的有(　　) ①任何数都有算术平方根； ②一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1； ③a2的算术平方根是a； ④(3.14－π)2的算术平方根是3.14－π； ⑤算术平方根不可能是负数. A.2个　　B.3个　　C.4个　　D.5个 返回 C 基础提优题 3. (1)10－6的算术平方根是　　　　； (2)的算术平方根是　　　　. 返回 10－3 本题易误认为是求的算术平方根而出错，遇到类似求的算术平方根时，要先开方，再对开方后的数求其算术平方根. 基础提优题 4.［2026扬州期中］已知是2a－1的算术平方根，3是3a＋2b－3的算术平方根，则a＋2b的算术平方根是　　　　. 返回 【点拨】因为是2a－1的算术平方根，所以2a－1＝5，解得a＝3.因为3是3a＋2b－3的算术平方根，所以3a＋2b－3＝9，解得b＝，所以a＋2b＝6，所以a＋2b的算术平方根为. 基础提优题 知识点2 算术平方根的非负性 5.［2026杭州萧山区期中］若(x＋5)2＋｜y－2｜＋＝0，则x＋y＋z的值为(　　) A.0 　　 B.－6 　　 C.－4 　　 D.2 返回 B 几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0. 基础提优题 6.已知y＝＋－3，则2xy的值为(　　) A.－15　　 B.15　　 C.－　　 D. 返回 A 基础提优题 7.当a＝　　　　时，代数式 －3有最小值　　　　. 返回 － －3 基础提优题 算术平方根 定义 表示 特征 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ，那么这个正数 x 就叫作 a 的算术平方根，记作________. 非负数 a 的算术平方根记作“_______”.读作“_______”，其中 a 叫作___________ 正数 a 的算术平方根是_______；0 算术平方根是_______； 负数没有算术平方根 x2 = a 根号 a 被开方数 0 课堂小结 $