2.2.2 有理数的除法 学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦有理数除法，涵盖倒数概念、除法法则（转化为乘法）、符号法则及0不能作除数。通过平均分欠款、向西行驶速度、已知乘积求另一个数的现实情境导入，衔接小学除法，建立与乘法逆运算的联系，搭建学习支架。 特色在于情境导入贴近生活，从实际问题抽象出数学模型，培养数学抽象能力。合作探究借助图示理解乘除逆运算，归纳法则发展逻辑推理，错误诊所和分层检测帮助精准纠错与巩固，提升运算能力和应用意识。

2.2.2 有理数的除法 2026--2027学年人教版七年级数学上册 班级：________ 姓名：________ 日期：________ 一、学习目标 【知识技能】 1. 理解有理数除法的意义，理解倒数概念 2. 掌握除法法则，能准确进行除法运算 3. 能说出两数相除的符号法则 【核心素养】 1. 数学抽象：从平均分、速度计算等情境中抽象出有理数除法的数学模型 2. 直观想象：借助数轴理解乘法与除法的逆运算关系 3. 逻辑推理：归纳概括除法法则，体会转化思想（除法转化为乘法） 二、学习重难点 【重点】除法法则的掌握与运用，尤其是符号的确定 【难点】除法转化为乘法的过程中，倒数与符号的正确处理 三、情境导入 【情境1】平均分问题 把12块巧克力平均分给4位同学，每人分得几块？ 问题1：现有 12 元欠款，由 3 个人共同承担，平均每人要承担多少元欠款？ ________ 【情境2】速度问题 一辆汽车3小时行驶了-12千米（向西行驶），这辆车的速度是多少？ 问题2：速度 = 路程 ÷ 时间，这里的除法该怎么算？ ________ 【情境3】等分问题 已知两个数的乘积是-12，其中一个数是-3，求另一个数。 问题3：根据乘法与除法的关系，这个问题是求什么？ ________ 学法提示：除法是乘法的逆运算，今天我们将学习有理数的除法，特别要注意符号的变化！ 四、合作探究 探究点1：除法是乘法的逆运算 【回顾】我们已经知道，减法是加法的逆运算。那么除法和乘法是什么关系呢？ 请完成下面的乘法算式，然后写出对应的除法算式： (-3) × (-4) = ______ 因为：(-3) × (-4) = 12，所以：12 ÷ (-3) = ______，12 ÷ (-4) = ______ 问题1：观察上面三道算式，你发现了什么？ ________ 问题2：如果 a × b = c（b≠0），那么 c ÷ a = ______，c ÷ b = ______ ________ 图1 乘法与除法的逆运算关系：(-3)×(-4)=12 → 12÷(-3)=-4 → 12÷(-4)=-3 问题3：数轴图中，-3、-4、12 三个数的位置关系是怎样的？ ________ 重要发现：乘法能推出除法，除法也是乘法的逆运算！ 探究点2：倒数的概念 【观察】 3 × () = 1 (-3) × (-) = 1 2 × 0.5 = 1 问题4：每组算式中，两个数的乘积都是多少？ ________ 问题5：这些成对的数有什么共同特点？ ________ 图2 倒数概念：乘积为1的两个数互为倒数 【倒数的定义】 ________ 如果两个数的乘积是1，就说这两个数互为倒数。 问题6：3的倒数是______，-5的倒数是______，-的倒数是______ ________ 问题7：0有倒数吗？为什么？ ________ 特别提醒：0没有倒数，因为没有任何数与0的乘积等于1！ 探究点3：除法法则 【思考】观察下面的除法算式，你能发现什么规律？ 12 ÷ 3 = 12 × () = 4 (-12) ÷ (-3) = (-12) × (-) = 4 12 ÷ (-3) = 12 × (-) = -4 (-12) ÷ 3 = (-12) × () = -4 问题8：每道除法算式都可以转化为乘法吗？转化的方法是？ ________ 【除法法则】 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。 问题9：用字母表示：a ÷ b = ______（其中 b ≠ 0） ________ 探究点4：两数相除的符号法则 图3 除法符号法则：同号得正，异号得负 问题10：观察图3，总结两数相除的符号规律： ________ ________ 【符号法则】 同号两数相除，结果为正；异号两数相除，结果为负。 【记忆口诀】 除法符号并不难，同号得正异号负； 先定符号后算值，除法变乘法更简。 探究点5：0不能作除数 【思考】下面这些除法有意义吗？ 5 ÷ 0 = ? 0 ÷ 0 = ? 问题11：5 ÷ 0 可能等于什么数？代入验证看看是否成立？ ________ 问题12：0 ÷ 0 可能等于什么数？有唯一的答案吗？ ________ 【重要结论】 0不能作除数！ 注意：0可以作被除数！0÷a=0（a≠0），但 a÷0 无意义！ 五、典型例题 例1 求下列各数的倒数：（1）3 （2）-5 （3）- （4）0.25 思路：倒数就是乘积为1的数。求倒数时，注意符号和分数的转化 解：（1）3的倒数是，因为3×()=1 （2）-5的倒数是-，因为(-5)×(-)=1 （3）-的倒数是-，因为(-)×(-)=1 （4）0.25=的倒数是4，因为()×4=1 例2 计算：(-12) ÷ (-3) 思路：先确定符号（同号得正），再计算绝对值（12÷3=4） 解：(-12) ÷ (-3) = +12÷3 = 4 例3 计算：(-8) ÷ 2 思路：异号得负，绝对值8÷2=4 解：(-8) ÷ 2 = -4 例4 计算：(-12) ÷ (-) 思路：同号得正，除以-等于乘以- 解：(-12) ÷ (-) = 12 × () = 16 （或写成：(-12) × (-) = 16） 图4 综合示例：(-12)÷(-)=16 例5 计算：0 ÷ (-7) 思路：0除以任何非零数都等于0 解：0 ÷ (-7) = 0 例6 判断：(-3) ÷ 0 = 0 是否正确？为什么？ 思路：0不能作除数！ 解：错误！0不能作除数，(-3) ÷ 0 无意义。 【变式训练】 1. 求倒数：-2的倒数是______ ________ 2. 求倒数：的倒数是______ ________ 3. 计算：(-14) ÷ 7 = ______ ________ 4. 计算：(-6) ÷ (-) = ______ ________ 六、错误诊所 下列计算中是否有错误？如果有，请指出错误并改正。 1. (-8) ÷ (-2) = -4（ ） 判断：_____ 理由：___________________________________ ________ 2. 5的倒数是（ ） 判断：_____ 理由：___________________________________ ________ 3. (-6) ÷ 0 = 0（ ） 判断：_____ 理由：___________________________________ ________ 4. (-)的倒数是-（ ） 判断：_____ 理由：___________________________________ ________ 学法提示：检查除法时，一看符号是否正确（同号得正，异号得负），二看是否0作除数，三看倒数是否求对。 七、达标检测 A组 基础巩固（必做） 1. 计算(-8) ÷ (-2)的结果是（ ） A. A. -4 B. B. 4 C. C. -16 D. D. 16 2. 计算(-12) ÷ 3的结果是（ ） A. A. 4 B. B. -4 C. C. 36 D. D. -36 3. 下列说法正确的是（ ） A. 0没有倒数 B. 1的倒数是-1 C. 任何非负数都有倒数 D. -3的倒数是3 4. 计算：(-15) ÷ (-3) = ______。 5. 计算：(-) ÷ () = ______。 B组 能力提升（选做） 6. 计算：(-24) ÷ (-6) ÷ (-2) = ______。（提示：从左到右依次计算） ________ 7. 若|a|=4，|b|=3，且a>b，则a÷b = ______。（提示：注意a、b的符号） ________ 8. 某水库的水位第一天上升了1.5米，第二天下降了-0.6米（下降-0.6米即上升0.6米），平均每天水位变化多少米？ ________ 9. 计算：(-0.75) ÷ () ÷ (-2) = ______。（提示：注意符号） ________ C组 拓展探究（挑战） 10. 已知 a × b = -12，且 a = -3，（1）求 b 的值（2）求 a ÷ b 的值（3）求 b 的倒数 ________ ________ ________ 11. 若 a、b 互为倒数，且 a = ，（1）求 b 的值（2）求 a ÷ b 的值（3）若 c = a + b，求 c ÷ a 的值 ________ ________ ________ 中考链接 1. （2024·山东泰安）计算：(-12) ÷ (-3) = ______。 2. （2025·模拟）若两个数互为倒数，且和为-2，则这两个数的积是______。 3. （2024·江苏苏州）下列计算正确的是（ ） A. (-6) ÷ (-2) = -3 B. 0 ÷ (-5) = 0 C. (-3) ÷ 0 = 0 D. (-) ÷ (-) = -1 学法提示：中考中除法常与乘法、倒数综合考察，注意符号和0的特殊情况！ 八、课堂小结 【知识结构图】 除法法则：a ÷ b = a × ()（b≠0） 符号法则：同号得正，异号得负 核心思想：除法 → 乘法（转化） 特别注意：0不能作除数 【我的收获】 1. 有理数除法的法则：_____________________________________________________。 ________ 2. 倒数的定义：乘积为______的两个数互为倒数。 ________ 3. 本节课我印象最深的是：_________________________________________________。 ________ 九、课后反思 1. 本节课我学会了________________________________________________ ________ 2. 我还不明白的地方是____________________________________________ ________ 3. 我容易出错的是________________________________________________ ________ 4. 给本节课打个分（1-10分）：______分，我的收获是___________________ ________ 参考答案 情境导入答案 情境1. 列式：12÷3=4，即每人承担 4 元欠款； 情境2. 速度 = -12÷3 = -4（千米/时），向西为负方向 情境3. 这个问题是求：(-12)÷(-3)=4，另一个数是4 合作探究要点归纳答案 探究1. (-3)×(-4)=12，12÷(-3)=-4，12÷(-4)=-3 探究2. c÷a=b，c÷b=a 探究4. 每组算式中，两个数的乘积都是1 探究5. 这些成对的数乘积为1，互为倒数 探究6. 3的倒数是，-5的倒数是-，-的倒数是- 探究7. 0没有倒数，因为没有任何数与0的乘积等于1 探究8. 可以转化，除以一个数等于乘以这个数的倒数 探究9. a÷b = a×()（b≠0） 探究10. 同号得正，异号得负 探究11. 5÷0不可能等于任何数，因为0乘任何数都是0 探究12. 0÷0可以是任何数，没有唯一答案，因此也无意义 典型例题答案 例1. （1）3的倒数是（2）-5的倒数是-（3）-的倒数是-（4）0.25=的倒数是4 例2. (-12)÷(-3)=4 例3. (-8)÷2=-4 例4. (-12)÷(-)=12×()=16 例5. 0÷(-7)=0 例6. 错误！(-3)÷0无意义，0不能作除数 变式1. -2的倒数是- 变式2. 的倒数是 变式3. (-14)÷7=-2 变式4. (-6)÷(-)=6×()=9 错误诊所答案 1. 错误！(-8)÷(-2)=4，同号相除得正。 2. 正确！5的倒数是 3. 错误！(-6)÷0无意义，0不能作除数。 4. 正确！(-)的倒数是- 达标检测答案 A1. B（4） A2. B（-4） A3. A（0没有倒数） A4. 5 A5. -（(-)×2=-） B6. -2（-24÷(-6)=4，4÷(-2)=-2） B7. 或- B8. 1.05米（1.5+0.6=2.1，2.1÷2=1.05） B9. 0.5（-0.75÷0.75=-1，-1÷(-2)=0.5） C10. （1）b = (-12)÷(-3) = 4（2）a÷b = (-3)÷4 = -（3）b的倒数是 C11. （1）b = （2）a÷b = ()÷() = （3）c = + = ，c÷a = ()÷() = 中考链接答案 1. 4 2. 1（两个数互为倒数，乘积必为1） 3. B（0÷(-5)=0） 学科网（北京）股份有限公司 $