2026年初中数学中考复习备考模拟预测试题

**基本信息** 本试卷为初中数学中考复习模拟预测卷，涵盖选择、填空、解答题，通过传统纹样、化学结构式等跨学科情境，结合赵爽弦图、坐标法等考查抽象能力与推理意识，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|绝对值、科学记数法、概率、坐标几何等|传统纹样（第4题）、化学结构式（第7题）考查应用能力| |填空题|6/18|因式分解、正多边形、圆内接四边形、反比例函数等|七巧板（第12题）、三阶幻方（第13题）体现文化与逻辑推理| |解答题|9/72|解直角三角形、统计概率、圆综合、二次函数综合等|景区索道设计（第20题）、坐标法论文（第25题）培养模型观念与数学表达|

模拟预测试题 2026学年下学期初中数学中考复习备考 一、单选题（共30分，每小题3分） 1．点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（） A．M B．N C．P D．Q 2．交通运输部发布年清明假期（月日至日）交通出行数据，在春假与清明叠加，返乡祭扫与踏青出游交织的假日氛围中，全社会跨区域人员流动量预计达人次，将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．纹样既有装饰、识别等实际作用的图案，也是各种寓意和文化内涵的载体，是人类文明发展过程中的重要组成部分．我国传统纹样大多寓意吉祥、幸福、平安，反映了人们对美好生活的追求．校园文化艺术节小明和小红两位同学准备用剪纸作品呈现这类纹样，每人任选其中一款纹样用于剪纸作品，两位同学选中的纹样都是属于中心对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 5．将一张长方形纸条左右两侧如图1折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，再将右侧部分继续沿折叠，使再次折叠后的部分与原长方形在同一平面内，如图2．若，则图2中与一定满足的关系是（    ） A． B． C． D． 6．用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则B点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．化学有机物及其结构式见下表，若结构式中的（碳原子）的个数记为，（氢原子）的个数记为，则由结构式可知与满足的关系式是（     ） 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式 A． B． C． D． 8．在中，点，分别是，的中点，点在上（不与点，重合），连接，按如图的方式操作： ①沿和剪开； ②将绕点逆时针旋转，使点，重合； ③将绕点顺时针旋转，使点，重合； ④得到四边形． 下列条件能使四边形是矩形的条件是（    ） A．平分 B． C．平分 D． 9．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．数学兴趣小组在研究赵爽弦图时发现图中直角三角形、小正方形、大正方形内切圆半径存在的关系，若直角三角形的内切圆半径为，小正方形内切圆半径为，则大正方形的内切圆半径为（     ） A． B． C． D． 10．如图1，在中，，．是上一点，的中垂线交的边于点，．记，四边形面积为，利用数学软件画出关于的函数图象如图2所示，其中一个最高点坐标为，一个最低点坐标为，下列选项正确的是（     ） A． B． C． D．点在该函数图象上 二、填空题（共18分，每空3分） 11．一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式：___________． 12．西安某中学开展“传统文化进课堂”活动，如图，小明同学用一副七巧板拼了一个春晚主题的骏马图，若为某个正多边形的一个内角，则这个正多边形的边数是________． 13．图①是一个三阶幻方，就是将已知的个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图②是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于________． 14．如图，四边形是的内接四边形，为直径，连接，若，，则的长为________．（结果保留） 15．如图，在菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则的值为________． 16．如图，在边长为的正方形中，是边上一点，且，过点作分别交，，于点，，，若为上任意一点，则的最小值为________． 三、解答题（共72分） 17．计算：．（4分） 18．解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．（5分） 19．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．（4分） 20．河北旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道．设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台BC长为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，A、B两处的水平距离为582m，，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）（8分） (1)求索道的长（结果精确到）； (2)求水平距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 21．某校为了解九年级同学的体考准备情况，随机抽取了部分九年级男生进行米跑测试，并根据测试成绩（按测试成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级）绘制了如下两幅尚不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：（9分） (1)扇形统计图中“良好”所对应的圆心角度数是_____；请补全条形统计图； (2)该校九年级共有名男生，请你根据抽查结果估计成绩为合格的男生人数； (3)班甲、乙两位成绩获“优秀”的男生报名参加即将举行的学校运动会米跑比赛，预赛分为，，三组进行，由抽签确定分组情况．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好分在同一组的概率． 22．已知：如图，在等腰梯形中，，E是下底延长线上一点，且．（8分） (1)求证：是等腰三角形； (2)如果P是线段上的点，连接，，求证：． 23．如图，点D是外接圆上的一点，于G，连接．过点B作直线交于E，交于F．若点F是的中点．（12分） (1)求证：； (2)当时，求的半径； (3)若，连接．请你探究与之间的数量关系，并证明． 24．已知二次函数，其图像上有不同的两点坐标分别为、，记y的最小值为p．（12分） (1)若，请直接写出该二次函数图像的顶点坐标； (2)若，求m的值； (3)点与也在该函数图像上，判断是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 25．阅读与思考．（10分） 下面是某同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务． 运用“坐标法”解决几何问题 “坐标法”是一种重要的数学方法，能够用代数知识解决几何问题．其步骤如下：首先根据图形特点，在平面上建立坐标系，然后运用函数（或方程）知识研究几何图形，最后把图形性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案．具体看下面例题： 例题：如图1，在边长为6的正方形中，点，分别在，上，且，，垂足为，是对角线的中点，连接，求的长． 解：如图2，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 四边形是正方形，边长为6， ， ， ，，， 设直线的表达式为，则解得 直线的表达式为 设直线的表达式为，则，解得 直线的表达式为 …… …… …… 通过上述过程，我们发现，用“坐标法”解决几何问题，关键是根据图形特点，建立适当的坐标系． 任务： (1)继续补充完善该同学的小论文； (2)请用“坐标法”解决问题： 如图，在正方形中，，点，分别在，的延长线上，且，为的中点，连接，相交于点，连接交于点，连接，求的长． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D D D D D B A C 1．A 根据绝对值的几何意义，离原点越远的点表示的数的绝对值越大，由各点到原点的距离进行判断即可． 解：观察数轴可知：点M到原点的距离最远， ∴所表示的数的绝对值最大的点是点M． 2．B 解：将用科学记数法表示应为． 3．D 本题主要考查了负整数指数幂，积的乘方，平方差公式，同底数幂的除法等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 按照负整数指数幂，积的乘方，平方差公式，同底数幂的除法等相关运算法则逐一计算判断即可． 解：A. ，故选项不符合题意； B. ，故选项不符合题意； C. ，故选项不符合题意； D. ，故选项符合题意； 故选：． 4．D 先判断出属于中心对称图形的纹样，再画出树状图，根据概率公式计算即可． 解：根据中心对称图形的定义可知，只有第四个纹样是中心对称图形， 设四个纹样分别为A、B、C、D，画树状图如下： 可知共16种情况，其中两位同学选中的纹样都是属于中心对称图形的情况只有1种， ∴两位同学选中的纹样都是属于中心对称图形的概率是． 5．D 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，掌握这两个性质是关键；由第一次折叠知，，，则；由第二次折叠得，，则，；由，得，由此即可求得与的关系式． 解：如图，由第一次折叠知，，， ， ； 由第二次折叠得，， ，， 则； ， ， 即， ． 故选：D． 6．D 本题主要考查了二元一次方程组的综合运用．结合点的坐标与观察图形可以发现，图形中存在两个数量关系．即从竖直方向看和从水平方向看，列出方程组，从而求出长方形的长与宽．又通过图形可以发现，关于点B，两个长方形的长，一个长方形的长一个长方形的宽，从而求出点B的坐标． 解：设长方形的长为，宽为， 则， 解得， 则，； 点在第二象限， ， 故选：D． 7．D 本题主要考查函数的概念，通过观察和的增加个数，从而可得到与满足的关系式． 根据题意，绘制如下表格： 碳原子个数 氢原子个数 根据表格，可知每增加1，增加2，则 ，所以与满足的关系式为， 故选． 8．B 本题考查的是旋转的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，三角形的中位线的性质，由旋转可得，证明，，可得，结合三角形的中位线的性质可得，可得四边形是平行四边形，进一步可得答案． 解：当点不与点，重合时，将绕点逆时针旋转，使点，重合， ∴， ． 同理可得． ∴．且，，，，共线． 点，分别是，的中点， ． 四边形是平行四边形， 当时， ∴， ∴四边形是矩形， 故选：B． 9．A 根据切线长定理可得：，根据勾股定理可得：，根据小正方形的边长为，两边同时平方可得：，可得方程，解方程求出的长度即为大正方形的边长，也是大正方形内切圆的直径，根据圆的性质即可求出大正方形内切圆半径． 解：如下图所示，过点作，，， 直角三角形的内切圆半径为， ， ， 四边形是正方形， ， ，， ，， ， ， ， ， 整理得：， 在中，， ， 小正方形内切圆半径为， 小正方形的边长为， 小正方形的边长为， ， ， ， 又， ， 整理得：， ， 或，负值舍去， ， 大正方形的内切圆半径为． 10．C 由图象最低点可知当为中点时面积最小，据此求出的边长及的值；由图象最高点为分段点，分析可知此时点与点重合，据此求出和的值；当时，，点在上，点在上， 作于， 再求出，然后说明，求出，最后求出，验证即可． 解：当为中点时，，此时最短 ， 的中垂线，， ∴且与互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为正方形，面积最小， 对应图象最低点 ， 解得． 为等腰直角三角形，为中点， ，， ，故B错； 由图象可知为分段点，此时点从边运动到边，即与重合， 垂直平分，在上， ， ，故A错误； 此时在上，与重合，四边形即四边形， ，， ， ． ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ，故C正确； 当时，，点在上，点在上， 过作于，则，， 则 ， 根据题意可知，则， 根据勾股定理，得， 即， 解得． ∵， ∴， 根据勾股定理，得，即， 解得． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 所以点不在该函数图象上． 则D不正确． 11．（答案不唯一） 根据平方差公式或完全平方公式等知识解答即可． 解：∵，因式分解后有一个因式为， ∴这个多项式可以是（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解此题的关键． 12． 根据七巧板中三角板的角度特征求出的度数，再结合正多边形的外角和公式求解即可． 解：由图可得，， ∴该正多边形的一个外角为， 设这个正多边形的边数为， ∴． 13． 根据幻方每一横行、每一竖列数字之和相等，设第二行第一列的数为，利用第一列与第二行的和相等建立等式，通过移项即可求得的值． 解：设第二行第一列的数为． 根据幻方的规则，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等． 第一列的数字之和等于第二行的数字之和， ． ． ． ． 14． 根据圆内接四边形的对角互补求出的度数，再利用等边对等角及三角形内角和定理求出圆心角的度数，最后代入弧长公式计算即可． 解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， 的半径， 的长． 15． 过点B作于点E，利用菱形性质、坐标与图形、勾股定理求出点B坐标，再根据点D为中点，求出点D坐标，最后利用待定系数法求出k值即可． 解：过点B作于点E，如图， 点，点， ，，， ， 四边形为菱形， ， ， ， 解得， ， ∵与交于点，， ∴点D为中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴． 16． 根据，得到，进而得出点A和点H关于对称，从而确定，其最小值为线段长，根据勾股定理求出最小值． 解：设，则， 过点E作，连接，连接， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， 又∵， 根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴点M与点H重合，即点H与点A关于直线对称， ∴， 当点P在与的交点时，最小，最小值为线段长， 在中，，， 根据勾股定理得，， ∴的最小值为． 17．4 本题考查实数混合运算，熟练掌握负整理指数幂、零指数幂运算法则，特殊角三角函数值是解题的关键． 先计算乘方，并把特殊角三角函数值代入，求绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可． 解：原式 ． 18．， 解集在数轴上表示如下： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 将不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ∴不等式组的解集为． 19．详见解析. 利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，再由平行线的判定即可得AB∥DE． 证明：由BE＝CF可得BC＝EF， 又AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， 则∠B=∠DEF， ∴AB∥DE． 20．(1) (2) 本题考查解直角三角形解决实际应用题，矩形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握几种三角函数． （1）根据的余弦直接求解即可得到答案； （2）延长交于点，根据、两段长度相等及与水平线夹角为求出到的距离即可得到答案． （1）解：在中，，，， ． 答：索道的长约为． （2）延长交于点， ，， ． ∴四边形为矩形． ． ，， ． ． 答：水平距离的长约为． 21．(1)，图见解析； (2)估计成绩为合格的男生人数为名； (3)甲、乙两人恰好分在同一组的概率是． （1）由“良好”所占的百分比即可得到“良好”所对应的圆心角度数；结合条形统计图和扇形统计图求出抽取的总人数后即可得到合格人数并补全 条形统计图； （2）由样本中成绩为合格的人数所占百分比乘总人数即可估计成绩为合格的男生人数； （3）根据画出的树状图找出所有等可能结果，再找出符合条件的结果数即可得解． （1）解：“良好”所对应的圆心角度数是， 抽取的总人数为（人）， 合格人数为（人）， 则补全条形统计图如图： 故答案为：； （2）解：成绩为合格的男生人数为（名）． 答：估计成绩为合格的男生人数为名． （3）解：画树状图可得： 共有种等可能结果，其中两人恰好分在同一组的结果有种， （甲乙同组）， 即甲、乙两人恰好分在同一组的概率是． 本题考查的知识点是求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、画条形统计图、由样本所占百分比估计总体的数量、列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是能从条形统计图和扇形统计图正确地得出信息． 22．(1)见解析 (2)见解析 （1）利用平行线的性质得到，进而得到，由等腰梯形的性质得到，证明，得到，即可证明结论； （2）根据结合得到，由，证明，得到，根据，推出，即可证明结论． （1）证明：在等腰梯形中， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即是等腰三角形； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 本题主要考查等腰梯形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等，三角形相似． 23．(1)见解析 (2) (3)，理由见详解 （1）根据弧中点得到，根据平行线夹弧得到，即可得证； （2）作于点M，连接， 则，根据，得到，根据，得到，得到，得到，得到，得到，即可； （3）作于点M，连接，设，则，根据，，得到，，得到，由勾股定理得到，得到，得到，得到，得到，根据，即得． （1）证明：∵点F是弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：作于点M，连接，如图， ∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径； （3）解：．理由如下： 同（2），作于点M，连接， 由（2）知，，，， ∴， 设，则 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握平行弦性质，垂径定理，勾股定理解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形性质，含30°的直角三角形性质，是解决问题的关键． 24．(1) (2)， (3)是定值， 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据题意求得对称轴为直线，进而根据抛物线开口向上，结合题意，当，最小值，可得顶点坐标； （2）由（1）可得抛物线的解析式为，代入得出，根据，得出方程，解方程，即可求解； （3）根据题意得出，①，②，进而可得，根据（2）可得③，进而得出，即可求解． （1）解：∵二次函数，其图像上有不同的两点坐标分别为、 ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当，最小值， ∴该二次函数图像的顶点坐标； （2）在的函数图像上， ， ， ， ， ，； （3）和在上， ①，②， 由②①得，， 在， ③， 由①③得，， ， ． 25．(1)解：由得， ． 为中点， ， ． (2) （1）先求出，，，，用待定系数法求出直线的表达式为，直线的表达式为，联立求出，然后用两点间的距离公式求解即可； （2）以为原点，过点平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系．则，，，，求出直线的表达式为，得到，然后用两点间的距离公式求解即可． （1）略； （2）解：如图，以为原点，过点平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系． 正方形的边长为，， ，，，． 为的中点， ． 设直线的表达式为，将代入， 得，解得， 直线的表达式为． 令得， ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $