1.1.1 认识勾股定理（ 课件 -2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的认识与应用，通过《周髀算经》“勾三股四弦五”对话及毕达哥拉斯地砖情境导入，结合三角形、直角三角形边的知识回顾，搭建新旧知识学习支架。 其亮点在于融合历史文化与探究活动，用割补法求网格面积培养数学眼光与思维，通过折叠问题等分层例题提升数学语言表达，助力学生发展运算能力与创新意识，为教师提供系统教学资源。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 1.1.1认识勾股定理 第一章 勾股定理 1.1.1 认识勾股定理 同步练习题（北师大版八年级上册） 一、核心知识点梳理 勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边长为$$a、b$$，斜边长为$$c$$，则公式为：$$a^2+b^2=c^2$$。定理仅适用于直角三角形，斜边为最长边，解题需先明确直角与斜边，避免边长代入错误。 二、基础练习题 1. 填空题 （1）在Rt△ABC中，∠C=90°，若$$a=5，b=12$$，则$$c=$$______； （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，若$$a=6，c=10$$，则$$b=$$______； （3）已知直角三角形两直角边比例为3:4，斜边长为10，则两直角边长分别为______。 2. 选择题 （1）已知Rt△ABC中，∠C=90°，$$AC=12，BC=5$$，则斜边AB的长为（） A.13 B.14 C.15 D.16 （2）直角三角形三边长为2、3、$$x$$，则$$x$$对应的正方形面积为（） A.5 B.13 C.5或13 D.无法确定 三、提升解答题 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，已知直角边之和$$a+b=14\mathrm{cm}$$，斜边长$$c=10\mathrm{cm}$$，求该直角三角形的面积。 2. 已知直角三角形斜边长17cm，一条直角边长15cm，求这个三角形的面积。 四、参考答案与解析 1. 填空题 （1）13，解析：$$5^2+12^2=25+144=169=13^2$$； （2）8，解析：$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{100-36}=8$$； （3）6、8，解析：设直角边为$$3x、4x$$，$$(3x)^2+(4x)^2=10^2$$，解得$$x=2$$。 2. 选择题 （1）A，解析：$$12^2+5^2=13^2$$，符合勾股定理； （2）C，解析：$$x$$可为斜边或直角边，分两种情况计算得面积5或13。 3. 解答题 1. 解：由$$a+b=14$$得$$(a+b)^2=196$$，即$$a^2+2ab+b^2=196$$。由勾股定理$$a^2+b^2=100$$，代入得$$2ab=96$$，$$ab=48$$，面积$$S=\dfrac{1}{2}ab=24\mathrm{cm^2}$$。 2. 解：设另一直角边为$$x$$，$$x^2+15^2=17^2$$，解得$$x=8$$，面积$$S=\dfrac{1}{2}\times8\times15=60\mathrm{cm^2}$$。 五、易错小结 解题核心：牢记定理只适用于直角三角形，区分直角边与斜边；未明确边长身份时需分类讨论，计算时灵活运用平方公式简化运算，避免直接硬算出错。 了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系. 能够运用勾股定理进行简单的计算. 掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题，培养运算能力和数学的语言表达能力，欣赏数学语言的优美与简洁. 知识回顾 三角形 定义 角 边 直角 三角形 定义 角 边 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的平面图形。 三角形的内角和是 180°。 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 有一个角是 90°的三角形是直角三角形。 直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余的三角形是直角三角形。 ？ 《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话，商高对周公姬旦说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”. 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为“弦”. 按照商高的说法，如果勾长为三，股长为四，弦长必定是五. 你知道为什么吗？ 探究点一： 勾股定理的初步认识 我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）： 观察右边地面的图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？ A B C A B C 问题1 图中正方形 A、B、C 的面积之间有何关系吗？ 探究点一： 勾股定理的初步认识 以等腰直角三角形两直角边为边的小正方形的面积的和，等于以斜边为边的正方形的面积. 问题2　在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形 A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位 1 )： 这两幅图中 A，B 的面积都好求，该怎样求C的面积呢？ 探究点一： 勾股定理的初步认识 方法一：割 方法二：补 方法三：拼 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形. 探究点一： 勾股定理的初步认识 根据前面求出的 C 的面积直接填出下表： A 的面积 B 的面积 C 的面积 左图 右图 4 13 25 9 16 9 探究点一： 勾股定理的初步认识 问题3 正方形 A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？ 一直角边2 另一直角边2 斜边2 + = 探究点一： 勾股定理的初步认识 几何语言描述： 在Rt△ABC 中，∠C = 90°， ∴ a2 + b2 = c2 a b c 公式变形： （a、b、c 为正数） 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2 + b2 = c2. 探究点一： 勾股定理的初步认识 如图，从电线杆离地面 8 m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线 杆底部 6 m，那么需要多长的钢索？ 解：由勾股定理可得 AB2 = AC2 + BC2 = 62 + 82 = 100， 即 AB = 10. A C B 答：需要 10 m 的钢索. 探究点二： 勾股定理的简单应用 解：(1) 正方形的面积为 325. (2) x = 8. 例1 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度. (1) (2) 探究点二： 勾股定理的简单应用 例2 如图，长 13 m 的梯子 AC 靠在墙上，梯子的底部 C 离墙角 B 的距离 BC 为 5 m (AB⊥BC)，求梯子的顶端 A 离地面 BC 的距离 AB．​ A B C 5m 13m 解：在Rt△ABC 中， 由勾股定理得，AB2 + BC2 = AC2， 所以 AB2 + 52 = 132， 解得 AB = 12（m）． 答：梯子的顶端 A 离地面 BC 的距离AB 为 12 m. 探究点二： 勾股定理的简单应用 练 习 如图，将长为 16 cm 的橡皮筋放置在数轴上，两端固定在点 A 和点 B 处，然后把中点 C 沿垂直于 AB 的方向拉升 6 cm 至点 D 处，则橡皮筋被拉长了______cm。 【解析】由题易知 AC = AB = ×16 = 8 (cm)， CD = 6 cm。 在 Rt△ACD 中，由勾股定理， 得 AD2 = AC2 + CD2 = 82 + 62 = 100， 则 AD = 10 cm。 同理可得 BD = 10 cm。 所以 AD + BD-AB = 10+10-16 = 4 (cm)。 故橡皮筋被拉长了 4 cm。 1 2 1 2 4 随堂练习 题型二 先构造直角三角形再利用勾股定理解决问题 如图，在 △ABC 中，AB = 15，AC = 13，BC = 14，求△ABC 的面积。 思路分析 过点 A 作 AD⊥BC AD2=AB2-BD2 AD2=AC2-CD2 求 AD 求 S△ABC 随堂练习 解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， 则∠ADB = ∠ADC = 90°。 设 BD = x，则 CD = BC-BD = 14-x。 在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AD2 = AB2 - BD2 = 152-x2。 在 Rt△ACD 中，由勾股定理，得 AD2 = AC2-CD2 = 132-(14-x)2。 所以152-x2 = 132-(14-x)2， 解得 x = 9，即 BD = 9。 所以 AD2 = AB2-BD2 = 152-92 = 144。 所以 AD = 12。 所以 S△ABC = BC·AD = ×14×12 = 84。 1 2 1 2 随堂练习 题型三 利用勾股定理解决折叠问题 如图，有一张直角三角形纸片，其中∠ACB = 90°，AB = 5，AC = 3。 现将△ABC 折叠，使点 C 落在 AB 边上的点 D 处， 折痕为 AE，则 CE 的长为（ ） A. 1 B. 2 C.1.5 D. 2.5 C 随堂练习 解析：由折叠知 AD = AC = 3， CE = DE，∠ADE = ∠ACE = 90°， 所以 BD = AB-AD = 2， ∠BDE = 180°-∠ADE = 90°。 在Rt△ABC 中，BC2 =AB2-AC2 = 52-32 = 16， 所以 BC = 4，所以 BE = 4-DE。 在Rt△BDE 中，BE2 = DE2 + BD2， 即 (4-DE)2 =DE2 + 22，解得 DE = 1.5，即 CE = 1.5。 随堂练习 练 习 如图，在 Rt△ABC中，AB = 9，BC = 6，∠B = 90°，将△ABC折叠，使点 A 与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为（ ） A. B. C.4 D.5 5 3 5 2 C 随堂练习 【解析】设 BN = x，则 DN = AN = AB-BN = 9-x。 因为 D 是 BC 的中点，BC = 6，所以 BD = 3。 在Rt△BDN 中，BN2 + BD2 = DN2， 即 x2 + 32 = (9- x)2，解得 x = 4。 所以线段 BN 的长为 4。 随堂练习 知识点1 勾股定理 1.在中， ，下列结论正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 22 2.在一个直角三角形中，若一条直角边长是3，另一条直角边长是4，则 斜边长的平方是( ) D A.5 B.9 C.16 D.25 返回 考试考法 23 3.如图，在中， 。 （第3题） （1）若，，则 ____； （2）若，，则 ___； （3）若，，则 ___。 17 8 7 返回 考试考法 24 （第4题） 4. 如图，某农舍的大门是一个木制的长方形 栅栏，它的高为，宽为 ，现需要在相对的顶点间 用一块木板加固，则木板的长为_______。 返回 考试考法 25 5.［2025渭南期中］如图，在中，，垂足为，是 边上的中线，，，则的长是____ 。 13 （第5题） 返回 考试考法 26 认识勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2 利用勾股定理进行计算 课堂小结 $