20.1 勾股定理及其应用 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册  

该初中数学课件聚焦勾股定理及其应用，以毕达哥拉斯地砖图案情景导入，引导学生观察直角三角形三边关系，结合网格图用“补”“割”法计算面积，逐步推导定理，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于通过情境创设与动手操作，用面积割补法证明定理培养推理意识，结合水池芦苇、圆柱梯子等实例发展模型意识与应用意识。学生能提升探究与应用能力，教师可借助清晰流程与多样化例题提高教学效率。

20.1勾股定理及其应用 1.了解勾股定理的发现过程. 2.掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理. 重点难点： 1.勾股定理的内容．      2.勾股定理的证明. 3.会用勾股定理进行简单的计算. 学习目标： 情景导入 相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察一下地面的图案，看看你能发现什么？ 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C是否也有类似的面积关系？观察下边这幅图 (每个小正方形的面积为单位1)： 探索新知 这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？ A B B A 探索新知 用“补”的方法-填补法 用“割”的方法-分割法 左图： 右图： 左图： 右图： A A B B B B A A 探索新知 根据前面求出的C的面积直接填出下表： （单位面积） A、B、C面积关系 直角三角形的三边关系 4 13 25 9 16 9 正方形 B A = = a b c 左图 右图 C B A B A 利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数. 归纳： 针对练习 1.如图，点C表示的数是(　　) A．1 B. C．1.5 D. D 2.如图，点A表示的实数是 （　　） D 　 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长. 例2 解　在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB2=AC2+BC2=82+62=100，所以AB=10. 在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE2+EF2=DF2， 从而DE2=DF2-EF2=172-152=64，所以DE=8. 1.有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 解：设水深为 x 尺，则这根芦苇的高为 (x+1) 尺，根据题意和勾股定理可列方程： x2+52 = (x+1)2，解得 x = 12. C A B 2.如图，学校教学楼前有一块长为 4 米，宽为 3 米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. （1）求这条“径路”的长； （2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？ 别踩我，我怕疼! 解：(1) 在Rt△ ABC 中， 根据勾股定理得 ∴这条“径路”的长为5米. (2) 他们仅仅少走了 (3 + 4 - 5)×2 = 4(步). 2.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(　　) A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 C 知识点三 利用勾股定理求最短距离 例4 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3，问梯子最短需多少米? A B A B A' B' 解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离. ∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5,∴AB'=13. 即梯子最短需13米. 1.如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，AD = 1，AB 在数轴上，若以点 A 为圆心，对角线 AC 的长为半径作弧交数轴于点 M，则点 M 表示的数为(　　) C 【练一练】 A. 2 B. C. D. 0 1 2 3 4 l A B C 2. 你能在数轴上画出表示 的点吗？ ？ 4 15 例1：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a=b=5，求c； （2）若a=1，c=2，求b. 解： (1)在Rt△ABC中， ∠C=90° (2)在Rt△ABC中， ∠C=90° C A B a b c 注意：1. 看好哪个角是直角，选择正确的公式来求边长 2. 规范书写格式 典例分析 （1）若a：b=1：2 ，c=5，求a； （2）若b=15，∠A=30°，求a，c. 【变式1】在Rt△ABC中，∠C=90°. 解： (1)设a=x，b=2x，由勾股定理得 x2+(2x)2=52， 解得 (2) 因此设a=x，c=2x，根据勾股定理得 (2x)2-x2=152， 解得 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解. C A B a b c 新知导入 1.在Rt△ABC中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=_______； ②若a=15，c=25，则b=______； ③若c=61，b=60，则a=__________； 2. 一直角三角形的斜边长比其中的一条直角边长大2，另一条直角边长为6，求斜边长为 。 新知导入 3、在直角三角形中,如果有两边为3，4，那 么另一边为________。 5或 要考虑哪个长度为斜边 基础练习 1.下列说法中,正确的是 （ ） A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2 C 2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 . 8 cm 10 cm 36 cm² 解：∵AE＝BE， ∴S△ABE＝ AE·BE＝ AE2. 又∵AE2＋BE2＝AB2， ∴2AE2＝AB2， ∴S△ABE＝ AB2＝ ； 同理可得S△AHC＋S△BCF＝ AC2＋ BC2. 又∵AC2＋BC2＝AB2， ∴阴影部分的面积为 AB2＝ . 如图以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积. 能力提升： 2.如图是一个没有盖的圆柱形罐头盒，盒高6 cm，盒底周长为18 cm，盒外一只蚂蚁在底部的A处，想吃到盒内对侧B处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 分析：将圆柱体的侧面展开，圆柱体侧面上两点间的最短路线长就转化为平面上两点之间的距离．作出最短距离，从而结合“勾股定理”求得最短路程． 解：如图，将圆柱体侧面展开为矩形， 则蚂蚁的爬行路线为AP＋BP， 作点A关于DE的对称点M，连接BM交DE于点P， 连接AP. ∴AP＋BP＝MP＋BP＝BM， 此时蚂蚁爬行的路程最短． 由对称的性质可知：ME＝AE＝6 cm，AB＝AC÷2＝9 cm， $