专题1 根的判别式及根与系数关系 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 练习围绕根的判别式及根与系数关系，分层设计从基础应用到综合探究，覆盖单一知识点到跨知识综合，适配新授课巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用层|根的判别式判断根情况、求参数；根与系数关系写方程、求代数式值|基础题型结合具体方程与参数，如判断方程根的情况、已知根情况求参数，培养运算能力与推理意识| |综合理解层|根的判别式与几何综合；根与系数关系与代数式最值、方程根综合应用|结合几何图形（等腰三角形、直角三角形）和代数式转化，发展几何直观与模型意识| |探究拓展层|根的判别式与根与系数关系综合应用及创新题型（如“友好方程”“差1方程”）|跨知识综合与开放探究，提升创新意识与批判性思维|

专题1 根的判别式及根与系数关系 知识点一 根的判别式 题型1 判断方程根的情况 1．（2026•南平二模）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+3＝0，其中a在数轴上的对应点如图所示，则该方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 2．（2026•洛阳模拟）定义运算：a☆b＝ab2﹣ab﹣1．例如：2☆4＝2×42﹣2×4﹣1＝23，则方程﹣5☆x＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 3．（2026•济宁二模）数学课上，两位同学讨论关于x的方程mx﹣4＝2x+n（m，n为整数）的解的情况，对话如下： 甲同学：“这个方程有唯一解，且解为x＝2．” 乙同学．“我发现，当正整数m取最大值时，n＝4；当正整数m取最小值时，n＝﹣2．” 给出下列三个结论：①n≠﹣4；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（2026•榕城区模拟）已知a、b、c为等腰直角三角形的三条边，且b为斜边，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法判断 题型2 已知方程根的情况求字母参数的值或范围 5．（2026春•海淀区月考）若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a可能的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 6．（2026•高唐县二模）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是 　 ． 7．（2026•宿城区二模）若关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣5x+5＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围　 　 ． 8．（2026•文登区一模）关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是 　 ． 9．（2026春•蒙城县月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+2a﹣1＝0，其中a为实数． （1）求证：一元二次方程x2﹣2ax+2a﹣1＝0有实数根； （2）设一元二次方程x2﹣2ax+2a﹣1＝0的一个实数根为x1． （ⅰ）若x1＝﹣4，求a的值； （ⅱ）若﹣2＜x1＜﹣1时，求a的取值范围． 10．（2026春•龙泉市期中）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0． （1）若k＝1，求该方程的解． （2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值． （3）小慧同学提出：无论k取何值，这个方程都有实数解．请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由． 题型3 写一元二次方程 11．（2026•卢氏县二模）写出一个关于x的一元二次方程，使它有两个相等的实数根： 　 ． 题型4 根的判别式与几何图形综合 12．（2025秋•工业园区期末）如果关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等的实数根，且a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 13．（2026春•新昌县期中）已知等腰△ABC中，BC＝4，AB，AC是关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0（m是常数）的两实数根，则m的值为 　 　 ． 14．（2026春•浙江期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若Rt△ABC两直角边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，斜边BC的长为5，求k的值． 15．（2025秋•浦东新区期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+4＝0（m是不等于1的整数）． （1）解这个关于x的一元二次方程； （2）如果这个方程有两个不相等的正整数根，试求m的值； （3）在（2）的条件下，如果一个三角形的三边a、b、c满足a2﹣（m+1）a+m＝1，b2﹣（m+1）b+m＝1，，且a≠b，试求这个三角形的面积． 知识点二 根与系数的关系 题型1 根据根的情况写一元二次方程 16．（2026春•昆山市期中）请写出一个关于x一元二次方程，满足一根为2，另一根为﹣1，则这个方程可能是 　 ． 17．（2026•东莞市二模）请写出一个两实数根之积为5的一元二次方程　 　 ． 题型2 判断一元二次方程根的情况 18．（2026春•庐阳区期中）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，有下列说法：①若存在a+b+c＝0，则方程必有一根为1；②若方程两根为﹣3和2，则有c+6b＝0；③若方程中a，c异号，则该方程必有两个不相等的实根；④若b＝a+2c，则方程必有两个不相等的实根．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3 利用根与系数关系求代数式的值 19．（2026春•庐阳区期中）已知m，n（m≠n）满足m2﹣3m+1＝0，n2﹣3n+1＝0，则代数式的值是（　　） A．3 B．﹣3 C． D．﹣2 20．（2026•靖江市一模）设关于x的方程x2﹣2026x﹣1＝0的两根分别是x1、x2，则代数式的值为　 　 ． 21．（2026•厦门模拟）矩形ABCD的面积为a，设边AB长为x，若根据相关信息可列方程x（x+k）＝a，该方程的两根为x1＝m，x2＝n，其中m＜0，n＞0，则边BC长为（　　） A．﹣m B．﹣mn C．n+m D．n﹣m 题型4 利用根与系数关系求代数式的最值 22．（2026•淄博模拟）已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两个实数根，则（a+4）（b+4）的最小值是（　　） A．11 B．20 C．28 D．36 23．（2026•沧州模拟）若一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，在平行四边形ABCD中，已知AB＝m，BC＝n，则对角线AC长的最大整数值为 　 ． 题型5 利用根与系数关系求方程的根或者两根之积及两根之和 24．（2026•清新区二模）已知一元二次方程x2﹣5x+2m＝0有一个根为2，则另一根为 　 ． 25．（2026春•衢江区期中）在解关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+k＝0时，佳佳将二次项系数“﹣1”看成了“1”，得到方程有两个相等的实数根，则原方程的两根之积为　 　 ． 26．（2026春•西湖区期中）已知方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣2，x2＝3，现给出另一个方程a（x2+2x）2+b（x2+2x）+c＝0，则它的实数解是（　　） A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝2 27．（2026春•黄岩区期中）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x1＝4，x2＝﹣2，那么一元二次方程ax2+bx+c＝2ax﹣a+b（a≠0）的根为　 　 ． 28．（2026春•义乌市期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＜0）的两根为x1＝1，x2＝3，则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx+c＝2b（a＜0）的解为　 　 ． 29．（2026•香坊区二模）定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称作一对“友好方程”．如2x2﹣7x+3＝0的“友好方程”是3x2﹣7x+2＝0．那么一元二次方程﹣10x2+3x+1＝0的“友好方程”的两根之和为　 　 ． 题型6 已知代数式的值，利用根与系数关系求字母参数的值 30．（2026•莘县模拟）若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且，则p的值为　 ． 31．（2026•白云区二模）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+6＝0的两个实数根都是整数，则正整数m的值为（　　） A．1 B．3 C．1或2 D．2或3 32．（2026•广州一模）已知m，n是一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m2﹣km+nm+n＝6，则k的值为　 　 ． 33．（2026春•浙江期中）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为﹣1和5，则一次函数y＝bx+c的图象不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 34．（2026春•包河区期中）定义：若x1，x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且满足|x1﹣x2|＝1，则称此类方程为“差1方程”．例如：（x﹣2）（x﹣3）＝0是“差1方程”．若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣（m+1）＝0是“差1方程”，则m的值为 　 ． 知识点三 根的判别式与根与系数关系综合 35．（2026春•浙江期中）已知关于x的一元二次方程M：ax2+（a+c）x+c＝2（ac≠0）． （1）判断x＝﹣1是否是方程M的根，并说明理由； （2）现有一个关于x的一元二次方程N：cx2+（a+c）x+a＝2，若方程M，N仅有一个相同的根，求证：a+c＝1； （3）若a﹣c＝1，方程M的两实数根x1，x2满足|x1|＝x2，求a，c的值． 36．（2026春•清江浦区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，另两边AB、BC恰好是该方程的两个根，请求出k的值． 37．（2026春•杭州期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m﹣1＝0． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等实数根． （2）若△ABC的一条边AC的长为，另两边AB，CB的长是一元二次方程的两个实数根．当m为何值时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形？ 38．（2026春•衢江区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a不为0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为倍根方程． （1）判断关于x的方程x2﹣6x+8＝0是不是倍根方程　 　 （是或不是）． （2）若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则　 　 ． （3）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a不为0）是倍根方程，且5a+b＝0，请求出此方程的两个根． 39．（2026春•黄岩区期中）已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根； （3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 根的判别式及根与系数关系 知识点一 根的判别式 题型1 判断方程根的情况 1．（2026•南平二模）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+3＝0，其中a在数轴上的对应点如图所示，则该方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【分析】根据规定判别式解答即可． 【解答】解：由数轴得，1＜a＜3， ∴b2﹣4ac＝62﹣4×a×3＝36﹣12a＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 2．（2026•洛阳模拟）定义运算：a☆b＝ab2﹣ab﹣1．例如：2☆4＝2×42﹣2×4﹣1＝23，则方程﹣5☆x＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【分析】先根据新定义得到﹣5x2+5x﹣1＝0，再计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：根据题意得﹣5☆x＝﹣5x2+5x﹣1， ∴﹣5x2+5x﹣1＝0， 整理得5x2﹣5x+1＝0， ∵Δ＝（﹣5）2﹣4×5×1＝5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了实数的运算． 3．（2026•济宁二模）数学课上，两位同学讨论关于x的方程mx﹣4＝2x+n（m，n为整数）的解的情况，对话如下： 甲同学：“这个方程有唯一解，且解为x＝2．” 乙同学．“我发现，当正整数m取最大值时，n＝4；当正整数m取最小值时，n＝﹣2．” 给出下列三个结论：①n≠﹣4；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据根的判别式逐项分析判断即可． 【解答】解：根据根的判别式逐项分析判断如下： 方程化简得：（m﹣2）x＝n+4， 由方程有唯一解可知：m﹣2≠0，即m≠2， 将唯一解：x＝2，代入化简后的方程，得：， 若n＝﹣4，则，与m≠2矛盾； ∴n≠﹣4，结论①正确，符合题意； 根据乙同学的对话可知： 当正整数m取得最大值时：n＝4，代入，得：mmax＝6； 当正整数m取得最小值时：n＝﹣2，代入，得：mmin＝3； ∴m的最小值是3，不是1， ∴结论②错误，不符合题意； ∵3≤m≤6，包含四个正整数：3，4，5，6， ∴结论③正确，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 4．（2026•榕城区模拟）已知a、b、c为等腰直角三角形的三条边，且b为斜边，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法判断 【分析】利用等腰直角三角形的性质得到a＝c，ba，再计算根的判别式的值得到Δ＝（1﹣4）b2＜0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：∵a、b、c为等腰直角三角形的三条边，且b为斜边， ∴a＝c，ba， ∴Δ＝b2﹣4ac＝﹣2a2＜0， ∴方程没有实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了等腰直角三角形的性质． 题型2 已知方程根的情况求字母参数的值或范围 5．（2026春•海淀区月考）若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a可能的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【分析】根据题意得出a≠0，且Δ＝（﹣2）2﹣4a＞0，求解即可； 【解答】解：由条件可知a≠0，且Δ＝（﹣2）2﹣4a＞0， 解得：a≠0且a＜1， ∴结合选项，实数a可能的值为﹣1， 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 6．（2026•高唐县二模）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是k且k≠1　 ． 【分析】根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x+3＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣12（k﹣1）≥0且k﹣1≠0， 解得k且k≠1， 故答案为：k且k≠1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，熟知以上知识是解题的关键． 7．（2026•宿城区二模）若关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣5x+5＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围　且k≠1　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义，可得k≠1，再根据根的判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4×（1﹣k）×5＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣5x+5＝0有两个不相等的实数根 ∴Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4×（1﹣k）×5＞0且1﹣k≠0， 解得且k≠1． 故答案为：且k≠1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 8．（2026•文登区一模）关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是m且m≠0　 ． 【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0有两个实数根， 所以Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m﹣1）≥0且m≠0， 解得m且m≠0， 所以实数m的取值范围是m且m≠0． 故答案为：m且m≠0． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 9．（2026春•蒙城县月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+2a﹣1＝0，其中a为实数． （1）求证：一元二次方程x2﹣2ax+2a﹣1＝0有实数根； （2）设一元二次方程x2﹣2ax+2a﹣1＝0的一个实数根为x1． （ⅰ）若x1＝﹣4，求a的值； （ⅱ）若﹣2＜x1＜﹣1时，求a的取值范围． 【分析】（1）计算出Δ≥0即可； （2）①方程代入x1＝﹣4得关于a的方程，求解方程即可； ②求出方程的解x1＝2a﹣1，代入﹣2＜x1＜﹣1求解即可． 【解答】解：（1）对于方程x2﹣2ax+2a﹣1＝0， △＝（﹣2a）2﹣4×1×（2a﹣1） ＝4（a2﹣2a+1） ＝4（a﹣1）2， ∴△＝4（a﹣1）2≥0， 因此，一元二次方程x2﹣2ax+2a﹣1＝0有实数根； （2）①由条件可得： （﹣4）2﹣2a×（﹣4）+2a﹣1＝0， 16+8a+2a﹣1＝0， 10a+15＝0， 解得：； ②x2﹣2ax+2a﹣1＝0， [x﹣（2a﹣1）]（x﹣1）＝0， ∴方程的根为2a﹣1和1， ∵﹣2＜x1＜﹣1， ∴x1＝2a﹣1， ∴﹣2＜2a﹣1＜﹣1， 解得． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 10．（2026春•龙泉市期中）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0． （1）若k＝1，求该方程的解． （2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值． （3）小慧同学提出：无论k取何值，这个方程都有实数解．请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）把x＝﹣1代入方程求解即可； （3）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到Δ＝（2k﹣3）2，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论． 【解答】解：（1）若k＝1，则方程为x2﹣x＝0， ∴x（x﹣1）＝0， 解得x1＝0，x2＝1； （2）把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0， 解得k， 故k的值是； （3）小慧同学的观点是否正确， 当k≠0时， ∵方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0， ∴Δ＝（4k﹣3）2﹣4k（3k﹣3）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2， ∴Δ＝（2k﹣3）2≥0， 当k＝0时，3x﹣3＝0， 解得x＝1， ∴无论k取何值，方程都有实根． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与Δ的关系是解答此题的关键． 题型3 写一元二次方程 11．（2026•卢氏县二模）写出一个关于x的一元二次方程，使它有两个相等的实数根：x2﹣2x+1＝0（答案不唯一，符合条件即可）　 ． 【分析】根据一元二次方程根的判别式等于0时，方程有两个相等的实数根，构造满足条件的方程即可． 【解答】解：设一元二次方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），当a＝1，b＝﹣2，c＝1时， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0 即方程x2﹣2x+1＝0有两个相等的实数根． 故答案为：x2﹣2x+1＝0（答案不唯一，符合条件即可）． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 题型4 根的判别式与几何图形综合 12．（2025秋•工业园区期末）如果关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等的实数根，且a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 【分析】由方程有两个相等的实数根以及该方程为一元二次方程，结合根的判别式即可得出关于a、b、c的方程组，解方程组即可得出a2＝b2+c2，由此即可得出结论． 【解答】解：原方程可化为（c﹣a）x2+2bx+（a+c）＝0， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得：c2＝a2+b2且a≠c． 又∵a、b、c是△ABC的三边长， ∴△ABC为直角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及根的判别式，解题的关键是求出c2＝a2+b2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键． 13．（2026春•新昌县期中）已知等腰△ABC中，BC＝4，AB，AC是关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0（m是常数）的两实数根，则m的值为 　8或9　 ． 【分析】讨论：当AB＝AC时，利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9，此时AB＝AC＝3，符合三角形三边的关系；当AB＝BC或AC＝BC＝4，把x＝4代入方程x2﹣6x+m＝0得16﹣24+m＝0，解得m＝8． 【解答】解：当AB＝AC时，关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0（m是常数）有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4m＝0， 解得m＝9， 此时方程为x2﹣6x+9＝0， 解得AB＝AC＝3， 因为3+3＞4，符合三角形三边的关系； 当AB＝BC或AC＝BC＝4，即关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0（m是常数）有一个解为x＝4， ∴16﹣24+m＝0， 解得m＝8， 综上所述，m的值为8或9． 故答案为：8或9． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解和等腰三角形的性质． 14．（2026春•浙江期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若Rt△ABC两直角边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，斜边BC的长为5，求k的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出AB，AC的长，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论． 【解答】（1）证明：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0， ∵a＝1，b＝﹣（2k+1），c＝k2+k， ∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k） ＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k ＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根， ∴AB+AC＝2k+1，AB•AC＝k2+k． 由勾股定理，得AB2+AC2＝52， 即（AB+AC）2﹣2AB•AC＝25， （2k+1）2﹣2（k2+k）＝25， 整理得：k2+k﹣12＝0， 解得k1＝﹣4，k2＝3． ∵k＝﹣4时，AB+AC＝2×（﹣4）+1＝﹣7，不符合题意， ∴k的值为3． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，勾股定理，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 15．（2025秋•浦东新区期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+4＝0（m是不等于1的整数）． （1）解这个关于x的一元二次方程； （2）如果这个方程有两个不相等的正整数根，试求m的值； （3）在（2）的条件下，如果一个三角形的三边a、b、c满足a2﹣（m+1）a+m＝1，b2﹣（m+1）b+m＝1，，且a≠b，试求这个三角形的面积． 【分析】（1）运用求根公式解一元二次方程即可； （2）根据方程有两个不相等的正整数根，结合第（1）小题的根，求符合条件的m； （3）代入m＝3，得到a和b是二次方程的两个根，利用根与系数的关系求出a2+b2和ab，发现三角形是直角三角形，从而求出面积． 【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）×4 ＝4m2﹣16（m﹣1） ＝4m2﹣16m+16 ＝4（m2﹣4m+4） ＝4（m﹣2）2≥0， ∴， ∵m是不等于1的整数， ∴， ∴，， （2）由（1）知方程的解为2和， ∴的值为不是2的正整数， ∵m是不等于1的整数， ∴m﹣1＝2， ∴m＝3； （3）当m＝3时，a2﹣（m+1）a+m＝a2﹣（3+1）a+3＝1， 整理得a2﹣4a+2＝0， 同理b2﹣（m+1）b+m＝b2﹣4b+2＝0且a≠b， ∴a和b是方程x2﹣4x+2＝0的两个根， ∴a+b＝4，ab＝2， 又， ∴， ∴a2+b2＝c2， ∴这个三角形是直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法．熟练掌握相关知识是解答本题的关知识点二 根与系数的关系 题型1 根据根的情况写一元二次方程 16．（2026春•昆山市期中）请写出一个关于x一元二次方程，满足一根为2，另一根为﹣1，则这个方程可能是x2﹣x﹣2＝0（答案不唯一）　 ． 【分析】根据题意，写出符合要求的一元二次方程即可． 【解答】解：由题知， 因为一元二次方程满足一根为2，另一根为﹣1， 所以这个方程可能是：（x﹣2）（x+1）＝0， 整理得，x2﹣x﹣2＝0． 故答案为：x2﹣x﹣2＝0（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，能根据题意写出符合要求的一元二次方程是解题的关键． 17．（2026•东莞市二模）请写出一个两实数根之积为5的一元二次方程　2x2﹣9x+10＝0（答案不唯一）　 ． 【分析】根据题意可以写出一个符合题意的方程． 【解答】解：方程（2x﹣5）（x﹣2）＝0的两个根为和2，两根的积为5， ∴两实数根之积为5的一元二次方程可以为（2x﹣5）（x﹣2）＝0， 即两实数根之积为5的一元二次方程为2x2﹣9x+10＝0， 故答案为：2x2﹣9x+10＝0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程． 题型2 判断一元二次方程根的情况 18．（2026春•庐阳区期中）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，有下列说法：①若存在a+b+c＝0，则方程必有一根为1；②若方程两根为﹣3和2，则有c+6b＝0；③若方程中a，c异号，则该方程必有两个不相等的实根；④若b＝a+2c，则方程必有两个不相等的实根．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用一元二次方程解的定义对①进行判断；先根据根与系数的关系得到﹣3+2，﹣3×2，则消去a得到b、c的关系，从而可对②进行判断；利用根的判别式的意义可对③④进行判断． 【解答】解：当x＝1时，a+b+c＝0，所以①正确； 若方程两根为﹣3和2， 则﹣3+2，﹣3×2， ∴a＝b，a， ∴b， ∴c+6b＝0，所以②正确； 对于Δ＝b2﹣4ac， 当ac＜0时，Δ＞0，则此时方程有两个不相等的实数解，所以③正确； 当b＝a+2c，则Δ＝（a+2c）2﹣4ac＝a2+4c2， ∵a≠0， ∴a2＞0， ∴Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数解，所以④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了一元二次方程的解和根的判别式． 题型3 利用根与系数关系求代数式的值 19．（2026春•庐阳区期中）已知m，n（m≠n）满足m2﹣3m+1＝0，n2﹣3n+1＝0，则代数式的值是（　　） A．3 B．﹣3 C． D．﹣2 【分析】利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程x2﹣3x+1＝0的两个不相等的“共生根”，则利用根与系数的关系得到m+n＝3，mn＝1，接着把化简，然后利用整体代入的方法计算； 【解答】解：由题意，∵m2﹣3m+1＝0，n2﹣3n+1＝0，且m≠n， ∴m，n可看作方程x2﹣3x+1＝0的两个不相等的根， ∴m+n＝3，mn＝1， ∴，即． 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是看懂材料，学以致用，熟练掌握根与系数的关系． 20．（2026•靖江市一模）设关于x的方程x2﹣2026x﹣1＝0的两根分别是x1、x2，则代数式的值为　2027　 ． 【分析】依据题意，由方程x2﹣2026x﹣1＝0的两根分别是x1、x2，则，x1+x2＝2026，进而代入变形计算可以得解． 【解答】解：∵x1是方程x2﹣2026x﹣1＝0的根， ∴， ∴． ∴x1+1+x2＝（x1+x2）+1． ∵方程x2﹣2026x﹣1＝0的两根分别是x1、x2， ∴x1+x2＝2026． ∴（x1+x2）+1＝2026+1＝2027． 故答案为：2027． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 21．（2026•厦门模拟）矩形ABCD的面积为a，设边AB长为x，若根据相关信息可列方程x（x+k）＝a，该方程的两根为x1＝m，x2＝n，其中m＜0，n＞0，则边BC长为（　　） A．﹣m B．﹣mn C．n+m D．n﹣m 【分析】根据题意得到AB为方程x（x+k）＝a的一个根，则AB＝n，再根据矩形的面积公式得到BC，接着根据根与系数的关系得mn＝﹣a，所以BCm． 【解答】解：∵边AB长为x， ∴AB为方程x（x+k）＝a的一个根， ∵该方程的两根为x1＝m，x2＝n，其中m＜0，n＞0， ∴AB＝n， ∵AB•BC＝a， ∴BC， 根据根与系数的关系得mn＝﹣a， ∴BCm． 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了列代数式． 题型4 利用根与系数关系求代数式的最值 22．（2026•淄博模拟）已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两个实数根，则（a+4）（b+4）的最小值是（　　） A．11 B．20 C．28 D．36 【分析】根据题意，用t分别表示出a+b和ab，再据此表示出（a+4）（b+4），并求出最小值即可． 【解答】解：由题知， 因为a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两个实数根， 所以a+b＝2t，ab＝t2﹣2t+4， 所以（a+4）（b+4）＝ab+4（a+b）+16＝t2﹣2t+4+8t+16＝t2+6t+20＝（t+3）2+11． 又因为Δ＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）＝8t﹣16≥0， 所以t≥2， 则当t＝2时，（a+4）（b+4）有最小值为：52+11＝36． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 23．（2026•沧州模拟）若一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，在平行四边形ABCD中，已知AB＝m，BC＝n，则对角线AC长的最大整数值为 　10　 ． 【分析】先根据根与系数的关系AB＝m＝5，BC＝n＝6，再根据平行四边形的性质和三角形三边关系得到AC得到范围，然后在此范围内找出最大整数即可． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根之和与两根之积分别为m，n， ∴，， ∴AB＝m＝5，BC＝n＝6， ∵AC为平行四边形ABCD的对角线， ∴6﹣5＜AC＜6+5， 即 1＜AC＜11． ∴AC长的最大整数值为10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了解一元二次方程、三角形三边的关系和平行四边形的性质． 题型5 利用根与系数关系求方程的根或者两根之积及两根之和 24．（2026•清新区二模）已知一元二次方程x2﹣5x+2m＝0有一个根为2，则另一根为 　3　 ． 【分析】利用根与系数的关系来求方程的另一根． 【解答】解：设方程的另一根为α，则α+2＝5， 解得α＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． 25．（2026春•衢江区期中）在解关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+k＝0时，佳佳将二次项系数“﹣1”看成了“1”，得到方程有两个相等的实数根，则原方程的两根之积为　﹣1　 ． 【分析】先根据方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根求出k的值，再代入原方程，由根与系数的关系得出两根之积． 【解答】解：∵方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝4﹣4k＝0， 解得k＝1， ∴原方程为﹣x2﹣2x+1＝0， ∴x2+2x﹣1＝0， ∵Δ＝4+4＝8＞0， ∴关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴x1x2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查用判别式法判断一元二次方程的根，根与系数的关系，熟练掌握用判别式法判断一元二次方程的根的情况是解决问题的关键． 26．（2026春•西湖区期中）已知方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣2，x2＝3，现给出另一个方程a（x2+2x）2+b（x2+2x）+c＝0，则它的实数解是（　　） A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝2 【分析】将新方程中的x2+2x看作整体，对应原方程的未知数x，再分别解一元二次方程即可得到答案． 【解答】解：令y＝x2+2x则新方程可化为ay2+by+c＝0， ∴ay2+by+c＝0的解是y＝﹣2或y＝3， 即x2+2x＝﹣2或x2+2x＝3， 当x2+2x＝﹣2时，整理得x2+2x+2＝0， ∵Δ＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0， 此方程无实数解； 当x2+2x＝3时，整理得x2+2x﹣3＝0， 因式分解得（x+3）（x﹣1）＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1， 因此新方程的实数解为x1＝﹣3，x2＝1． 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是关键． 27．（2026春•黄岩区期中）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x1＝4，x2＝﹣2，那么一元二次方程ax2+bx+c＝2ax﹣a+b（a≠0）的根为　5或﹣1　 ． 【分析】根据x1+x2，x1x2求出b＝﹣2a，c＝﹣8a，再代入ax2+bx+c＝2ax﹣a+b，解方程即可． 【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x1＝4，x2＝﹣2， ∴x1+x24+（﹣2）＝2，x1x24×（﹣2）＝﹣8， ∴b＝﹣2a，c＝﹣8a， 把b＝﹣2a，c＝﹣8a代入ax2+bx+c＝2ax﹣a+b得：ax2﹣2ax﹣8a＝2ax﹣a﹣2a， 整理得：a（x2﹣4x﹣5）＝0， ∵a≠0， ∴x2﹣4x﹣5＝0， ∴（x﹣5）（x+1）＝0， ∴x＝5或x＝﹣1， 故答案为：5或﹣1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系，掌握x1+x2，x1x2是本题解题的关键． 28．（2026春•义乌市期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＜0）的两根为x1＝1，x2＝3，则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx+c＝2b（a＜0）的解为　3或5　 ． 【分析】利用根与系数的关系，用含a的代数式分别表示出b、c，代入不等式，得到关于（x﹣2）的方程，求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＜0）的两根为x1＝1，x2＝3， ∴1+3，1×3， 即b＝﹣4a，c＝3a， ∴a（x﹣2）2+bx+c＝2b可变形为 a（x﹣2）2﹣4a（x﹣2）+3a＝0 ∴（x﹣2）2﹣4（x﹣2）+3＝0 ∴（x﹣2﹣1）（x﹣2﹣3）＝0 即（x﹣3）（x﹣5）＝0 ∴x＝3或x＝5． 故答案为：3或5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法等知识点．用含a的代数式表示出b、c并代入，是解决本题的关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关 系为：x1+x2，x1•x2． 29．（2026•香坊区二模）定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称作一对“友好方程”．如2x2﹣7x+3＝0的“友好方程”是3x2﹣7x+2＝0．那么一元二次方程﹣10x2+3x+1＝0的“友好方程”的两根之和为　﹣3　 ． 【分析】先天表示出﹣10x2+3x+1＝0的“友好方程”，再根据两根之和求出结果． 【解答】解：﹣10x2+3x+1＝0的“友好方程”是x2+3x﹣10＝0， ∴它的两根之和3． 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 题型6 已知代数式的值，利用根与系数关系求字母参数的值 30．（2026•莘县模拟）若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且，则p的值为　　 ． 【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2，x1•x2＝p，然后通分，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【解答】解：∵x1+x2＝﹣2，x1•x2＝p， ∴， 而， ∴5， ∴p， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根与系数的关系，解题的关键是掌握若方程的两实数根为x1，x2，则x1+x2，x1•x2． 31．（2026•白云区二模）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+6＝0的两个实数根都是整数，则正整数m的值为（　　） A．1 B．3 C．1或2 D．2或3 【分析】先对原方程进行因式分解，得到（x﹣3）（mx﹣2）＝0，求出两个根x1＝3，x2，因为两个实数根都是整数，所以必须是整数，结合m是正整数，分析得出m的可能取值． 【解答】解：mx2﹣（3m+2）x+6＝0， mx2﹣3mx﹣2x+6＝0， mx（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（mx﹣2）＝0， 则x﹣3＝0或mx﹣2＝0， 解得x1＝3，x2， ∵方程的根都是整数， ∴必须是整数． ∴m的值为1或2． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式以及因式分解法解一元二次方程的知识点．解题关键是熟练运用根的判别式判断根的情况，以及通过因式分解将方程转化为两个一次方程求解． 32．（2026•广州一模）已知m，n是一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m2﹣km+nm+n＝6，则k的值为　5　 ． 【分析】利用根与系数的关系和根的定义，将已知条件转化为关于k的方程． 【解答】解：由条件可知m+n＝6，mn＝5， 又∵m是方程的根， ∴m2﹣6m+5＝0， 将mn＝5代入已知条件m2﹣km+nm+n＝6中， 得m2﹣km+5+n＝6，即m2﹣km+n＝1， 将n＝6﹣m代入上式，得m2﹣km+（6﹣m）＝1， 整理得m2﹣（k+1）m+5＝0， 因为m2﹣6m+5＝0， 所以k+1＝6， 解得k＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 33．（2026春•浙江期中）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为﹣1和5，则一次函数y＝bx+c的图象不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出b，c的值，再结合一次函数图象的性质即可解决问题． 【解答】解：∵二次方程x2+bx+c＝0的两根为﹣1和5， ∴﹣1+5＝﹣b，﹣1×5＝c， ∴b＝﹣4，c＝﹣5， ∴一次函数的解析式为y＝﹣4x﹣5． 函数图象如图所示， ∴一次函数y＝bx+c图象不经过第一象限． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解、一次函数的性质及一次函数与二元一次方程（组），熟知一次函数与二元一次方程之间的关系是解题的关键． 34．（2026春•包河区期中）定义：若x1，x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且满足|x1﹣x2|＝1，则称此类方程为“差1方程”．例如：（x﹣2）（x﹣3）＝0是“差1方程”．若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣（m+1）＝0是“差1方程”，则m的值为 　﹣1或﹣3　 ． 【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣mx﹣（m+1）＝0得x1＝﹣1，x2＝m+1，则利用新定义得到|m+1﹣（﹣1）|＝1，然后解绝对值方程即可． 【解答】解：x2﹣mx﹣（m+1）＝0， （x+1）[x﹣（m+1）]＝0， x+1＝0或x﹣（m+1）＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝m+1， 根据题意得|m+1﹣（﹣1）|＝1， 解得m＝﹣1或m＝﹣3， 即m的值为﹣1或﹣3． 故答案为：﹣1或﹣3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，正确理解新定义是解决问题的关键． 知识点三 根的判别式与根与系数关系综合 35．（2026春•浙江期中）已知关于x的一元二次方程M：ax2+（a+c）x+c＝2（ac≠0）． （1）判断x＝﹣1是否是方程M的根，并说明理由； （2）现有一个关于x的一元二次方程N：cx2+（a+c）x+a＝2，若方程M，N仅有一个相同的根，求证：a+c＝1； （3）若a﹣c＝1，方程M的两实数根x1，x2满足|x1|＝x2，求a，c的值． 【分析】（1）把x＝﹣1代入方程求解即可； （2）根据题意可得，则有（a﹣c）（x2﹣1）＝0，然后分类进行求解即可； （3）由题意易得，，则有，，然后根据|x1|＝x2进行分类求解即可． 【解答】（1）解：把x＝﹣1代入原等式得0＝2，不成立， 故x＝﹣1不是方程M的根． （2）证明：由题意，得， 则（a﹣c）x2+c﹣a＝0，即（a﹣c）（x2﹣1）＝0， 当a＝c时，方程M，N完全相同，不合题意， 当a≠c时，则x2＝1，故x1＝﹣1（舍去），x2＝1， 把x＝1代入M，得a+c＝1． （3）解：，， ∵|x1|＝x2， ∴x2≥0． 当x1＝x2时，Δ＝（a+c）2﹣4a（c﹣2）＝0，可得，， ∴x1+x2＝﹣10， 此时x1＝x2＝﹣5＜0，舍去． 当x1＝﹣x2时，即， 可得， ∴． 综上所述，，． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 36．（2026春•清江浦区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，另两边AB、BC恰好是该方程的两个根，请求出k的值． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝1，则Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用求根公式解方程得到AB＝k+1，BC＝k，再利用勾股定理得到k2+52＝（k+1）2，然后解关于k的方程即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+k） ＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k ＝1＞0， ∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：x， 解得x1＝k，x2＝k+1， ∵两边AB、BC恰好是该方程的两个根， ∴AB＝k+1，BC＝k， ∴∠C＝90°， ∴k2+52＝（k+1）2， 解得k＝12， 即k的值为12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 37．（2026春•杭州期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m﹣1＝0． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等实数根． （2）若△ABC的一条边AC的长为，另两边AB，CB的长是一元二次方程的两个实数根．当m为何值时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形？ 【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，需计算判别式Δ，通过配方判断Δ恒大于0即可； （2）先利用一元二次方程的根与系数关系得到方程两根的和与积，再结合勾股定理将边长关系转化为关于m的方程，求解后需验证两根为正数，舍去不符合条件的解． 【解答】解：（1）由条件可知： Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×（2m﹣1） ＝（m+3）2﹣4（2m﹣1） ＝m2+6m+9﹣8m+4 ＝m2﹣2m+13 ＝（m﹣1）2+12， ∴Δ＞0， ∴无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）设AB，CB的长分别为x1，x2，则x1，x2是方程x2﹣（m+3）x+2m﹣1＝0的两个实数根， 根据根与系数关系得：， ∵△ABC是以AC为斜边的直角三角形，， ∴， 又∵，， ∴（m+3）2﹣2（2m﹣1）＝35， 解得m＝﹣6或m＝4， ∵AB，CB是三角形的边长， ∴x1＞0，x2＞0， ∴x1+x2＝m+3＞0，x1x2＝2m﹣1＞0， 当m＝﹣6时，x1+x2＝﹣6+3＝﹣3＜0，不符合题意，舍去； 当m＝4时，x1+x2＝4+3＝7＞0，x1x2＝2×4﹣1＝7＞0，符合题意， 即当m＝4时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 38．（2026春•衢江区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a不为0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为倍根方程． （1）判断关于x的方程x2﹣6x+8＝0是不是倍根方程　是　 （是或不是）． （2）若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则　﹣1或﹣4　 ． （3）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a不为0）是倍根方程，且5a+b＝0，请求出此方程的两个根． 【分析】（1）利用因式分解法求得方程的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （2）利用因式分解法解方程，再利用“倍根方程”的定义得到或，即可得到结果； （3）利用“倍根方程”的定义设x1＝2x2，根据5a+b＝0，利用根与系数的关系得到x1+x2＝5，即可求出结果． 【解答】解：（1）∵x2﹣6x+8＝0， ∴（x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x1＝2，x2＝4， ∴方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程； 故答案为：是； （2）∵（x﹣2）（mx+n）＝0， ∴x1＝2，， 当时，； 当时，； 故答案为：﹣1或﹣4； （3）由条件可设x1＝2x2， ∵5a+b＝0， ∴， ∴x1+x2＝5， ∴x2+2x2＝5， ∴，． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 39．（2026春•黄岩区期中）已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根； （3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 【分析】（1）计算方程的根的判别式，若Δ＝b2﹣4ac≥0，则证明方程总有实数根； （2）把x＝1代入方程，得到关于k的方程，解方程求得k＝1，由k＝1得到关于x的方程为x2﹣3x+2＝0，解得另一根为2； （3）分两种情况，求得b，c的值后，再求出△ABC的周长． 【解答】解：（1）Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k）＝4（k）2≥0，此时方程有两个实数根． 综上所述，无论k取何值，此方程总有实数根． （2）若x＝1是这个方程的一个根，则1﹣（2k+1）+4（k）＝0， 解得k＝1， ∴关于x的方程x2﹣3x+2＝0， 解方程得x1＝1，x2＝2， ∴方程的另一根是2； （3）当a＝4为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0． ∴4（k）2＝0，解得：k． 此时原方程化为x2﹣4x+4＝0 ∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2． 此时△ABC三边为4，2，2，构不成三角形， 当a＝4为腰，则b＝4为腰长，c为底，则16﹣4（2k+1）+4（k）＝0， 求得k， ∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0． 解得x＝2或4， ∴c＝2， ∴周长为4+4+2＝10． 故这个等腰三角形的周长是10． 【点睛】重点考查了根与系数的关系、根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验，也考查了解一元二次方程和一元二次方程的解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $