8.1成对数据的统计相关性-8.2一元线性回归模型及其应用知识梳理-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第三册

本讲义系统梳理相关关系（正/负相关、线性/非线性相关）、样本相关系数r（判断线性相关程度）、最小二乘法（求经验回归方程）、残差分析（评估拟合效果）及预测应用等核心知识点，形成从概念到应用的完整学习支架。 以高三学生记忆力与判断力的统计分析为例，贯穿散点图绘制、相关系数计算、回归方程求解及残差分析，培养用数学眼光观察数据、用数学思维推理分析、用数学语言表达模型应用的核心素养。课中辅助教师系统教学，课后学生可通过实例巩固，查漏补缺。

8.1——8.2知识梳理 一、相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系。 1、正相关：从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关； 负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量负相关。 2、线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关。 非线性相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关。 eg.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，收集数据如下表所示： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 （1）请根据表中数据画出散点图。 解： 由散点图可以大致判断两个变量之间具有正线性相关关系。 二、样本相关系数r（判断两个变量之间线性相关程度的大小） 1、当r>0时，称成对样本数据正相关； 当r<0时，称成对样本数据负相关。 2、当越接近1时，成对样本数据的线性相关关系越来越强； 当越接近0时，成对样本数据的线性相关关系越来越弱。 3、将以上结论合并来看，即有 4、一般地，当r的绝对值大于0.75时，认为两个变量之间具有很强的线性关系。 eg.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，收集数据如下表所示： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 （2）计算样本相关系数并判断它们的相关程度。 解：（法一） （法二） 记忆力x和判断力y具有很强的线性正相关关系。 三、最小二乘法（求线性回归方程） 在一元线性回归模型中，表达式Y=bx+a+e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，需要根据成对样本数据进行估计。由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近。 我们将称为Y关于x的经验回归方程，也称为经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线。 注：经验回归直线过样本中心点 eg.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，收集数据如下表所示： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 （3）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y与x的经验回归方程。 解：（法一） y与x的经验回归方程为： （法二） y与x的经验回归方程为： 四、残差分析 1、残差：通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差，即 在残差图中，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，经验回归方程预测的精度也越高。 2、残差平方和： 残差平方和越小，模型的拟合效果越好； 残差平方和越大，模型的拟合效果越差。 3、决定系数: 越大，模型的拟合效果越好； 越小，模型的拟合效果越差； eg.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，收集数据如下表所示： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 （4）在第（3）中已用最小二乘法求出y与x的经验回归方程，进行残差分析，判断模型的拟合效果。 ①残差表 记忆力x 判断力观测值y 判断力预测值 残差 6 2 1.9 0.1 8 3 3.3 -0.3 10 5 4.7 0.3 12 6 6.1 -0.1 ②残差图 残差残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，带状区域的宽度为0.6，说明模型的拟合精度较高。 ③残差平方和 ④决定系数 残差平方和越小，越接近于1，模型的拟合效果越好。 五、经验回归方程的作用：预测、预报 eg.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，收集数据如下表所示： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 （5）根据已求出的经验回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力。 解：已知y与x的经验回归方程， 当x=9时， 1 学科网（北京）股份有限公司 $