8.1成对数据的统计相关性-8.2一元线性回归模型及其应用知识梳理-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第三册

8.1——8.2知识梳理

一、相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系。

1、正相关：从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；

   负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量负相关。

2、线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关。

  非线性相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关。

eg.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，收集数据如下表所示：

（1）请根据表中数据画出散点图。

解：

由散点图可以大致判断两个变量之间具有正线性相关关系。

二、样本相关系数r（判断两个变量之间线性相关程度的大小）

1、当r>0时，称成对样本数据正相关；

当r<0时，称成对样本数据负相关。

2、当越接近1时，成对样本数据的线性相关关系越来越强；

当越接近0时，成对样本数据的线性相关关系越来越弱。

3、将以上结论合并来看，即有

4、一般地，当r的绝对值大于0.75时，认为两个变量之间具有很强的线性关系。

 

 

eg.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，收集数据如下表所示：

（2）计算样本相关系数并判断它们的相关程度。

解：（法一）

（法二）

记忆力x和判断力y具有很强的线性正相关关系。

三、最小二乘法（求线性回归方程）

在一元线性回归模型中，表达式Y=bx+a+e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，需要根据成对样本数据进行估计。由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近。

 

我们将称为Y关于x的经验回归方程，也称为经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线。

注：经验回归直线过样本中心点

eg.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，收集数据如下表所示：

（3）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y与x的经验回归方程。

解：（法一）