精品解析：山东省淄博第五中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

山东省淄博第五中学2025-2026学年高二下学期6月阶段数学检测期末模拟2试题 一、单选题 （2024·安徽·三模） 1. 已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数近似服从正态分布，据此估计，该市二模考试数学分数介于75到115之间的人数为（ ） 参考数据：若，则. A. 13272 B. 16372 C. 16800 D. 19518 （2012·陕西宝鸡·一模） 2. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. （2025·四川绵阳·模拟预测） 3. 在的展开式中，的系数为5，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 （2022·山东济宁·二模） 4. 为研究变量x，y的相关关系，收集得到下面五个样本点： x 5 6.5 7 8 8.5 y 9 8 6 4 3 若由最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则据此计算残差为0的样本点是（ ） A. B. C. D. （15-16高二下·贵州铜仁·期末） 5. 将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有种 A. 12 B. 36 C. 72 D. 108 （2024·全国·模拟预测） 6. 已知为正项数列的前项和．若，且，则（ ） A. 7 B. 15 C. 8 D. 16 （13-14高一下·黑龙江鹤岗·期末） 7. 已知为等比数列，，，则（ ） A. 7 B. 5 C. -5 D. -7 （20-21高三上·安徽六安·阶段检测） 8. 已知函数，若时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 （22-23高二下·贵州六盘水·期末） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若变量关于的经验回归方程为且，，则 B. 若随机变量，则 C. 在回归模型中，决定系数越大，模型的拟合效果越好 D. 若随机变量的方差，则 （2026·云南曲靖·一模） 10. 已知数列满足：，（），则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是递减数列 C. 若，，成等差数列，则p，r，q也成等差数列 D. 数列为等差数列 （24-25高二下·吉林长春·期末） 11. 函数是定义域为的奇函数，当时，，下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 方程有3个不等实根 C. 函数有最大值 D. 三、填空题 （22-23高二下·北京丰台·期末） 12. 已知函数在区间上单调递增，则m的最大值为__________. （2026·四川广安·二模） 13. 记为数列的前项和，已知，是公差为1的等差数列．则的通项公式为____________． （2025·天津和平·一模） 14. 袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望__________. 四、解答题 （2017·河北衡水·一模） 15. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下： 表1：男生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 5 表2：女生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 3 （1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率； （2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”． 男生 女生 总计 优秀 非优秀 总计 参考数据与公式： ，其中. 临界值表： （21-22高三上·北京·期末） 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若对于任意的，有，求的取值范围. （2025·四川绵阳·一模） 17. 已知数列满足：当时，，且数列为等比数列（为常数），. （1）求常数的值及数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. （22-23高二下·福建莆田·期中） 18. 设等比数列{}的前n项和为，且 （1）求数列{}的通项公式； （2）设数列{}的前2n项和为，求. （2025·山东泰安·模拟预测） 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设函数. （i）当时，求的最大值； （ii）若函数的图象与轴恰有一个交点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省淄博第五中学2025-2026学年高二下学期6月阶段数学检测期末模拟2试题 一、单选题 （2024·安徽·三模） 1. 已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数近似服从正态分布，据此估计，该市二模考试数学分数介于75到115之间的人数为（ ） 参考数据：若，则. A. 13272 B. 16372 C. 16800 D. 19518 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布曲线的性质即可列式求解. 【详解】依题意，故所求人数为. 故选：C. （2012·陕西宝鸡·一模） 2. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断的奇偶性和在上的单调性，即可唯一确定正确选项. 【详解】设，则的定义域是，同时，故是奇函数，排除B选项； 当时，，，所以当时，；当时，. 故在上递增，在上递减，能够体现在上先递增后递减的图象只有D选项. 故选：D. （2025·四川绵阳·模拟预测） 3. 在的展开式中，的系数为5，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可知通项为，令，可解问题. 【详解】因为的通项为， 令，解得，则， 解方程得：． 故选：B． （2022·山东济宁·二模） 4. 为研究变量x，y的相关关系，收集得到下面五个样本点： x 5 6.5 7 8 8.5 y 9 8 6 4 3 若由最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则据此计算残差为0的样本点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出回归方程的样本中心点，从而可求得，再根据残差的定义可判断. 【详解】解：由题意可知，，， 所以回归方程的样本中心点为， 因此有， 所以， 在收集的5个样本点中，一点在上，故计算残差为0的样本点是. 故选：C. （15-16高二下·贵州铜仁·期末） 5. 将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有种 A. 12 B. 36 C. 72 D. 108 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：第一步从名实习教师中选出名组成一个复合元素，共有种，第二步把个元素（包含一个复合元素）安排到三个班实习有,根据分步计数原理不同的分配方案有种，故选B． 考点：计数原理的应用． （2024·全国·模拟预测） 6. 已知为正项数列的前项和．若，且，则（ ） A. 7 B. 15 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题可通过题中的一般项与前项和的关系式，利用公式来推导和 的关系，再通过构造法构造新数列并结合来得到的通项公式，算出结果. 【详解】因为， 所以，即． 因为，所以，所以， 所以数列是公比为2的等比数列， 所以，则， 所以，解得， 所以，则． 故选：B． （13-14高一下·黑龙江鹤岗·期末） 7. 已知为等比数列，，，则（ ） A. 7 B. 5 C. -5 D. -7 【答案】D 【解析】 【详解】为等比数列， ， 又 解得或， 所以或， 所以， 故选:D. （20-21高三上·安徽六安·阶段检测） 8. 已知函数，若时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 令，可知时，恒成立，对函数求导，并分类讨论求其单调性，使得函数的最小值，可求出的取值范围. 【详解】令，则时，恒成立， ， 令， 若，在时，，且， 此时函数单调递减，则，显然不符合题意； 若，，令，解得， ①当，即时，在时，， 单调递增，即，则， 即函数在单调递增，则成立，故时，符合题意； ②当，即时，在时，单调递减， 在时，单调递增. ，则时，，， 令，得， 函数中，，即在上单调递减，则的值域为， 因为，所以存在解，即，， 故时，，时，，即， 只需即可，则， 解得，故符合题意. 综上，当时，不等式恒成立. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想的应用，考查学生的逻辑推理与计算求解能力，属于难题. 二、多选题 （22-23高二下·贵州六盘水·期末） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若变量关于的经验回归方程为且，，则 B. 若随机变量，则 C. 在回归模型中，决定系数越大，模型的拟合效果越好 D. 若随机变量的方差，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据回归直线经过样本中心即可判断A，根据二项分布的期望公式即可判断B，根据决定系数的定义即可判断C，根据方差的性质即可判断D. 【详解】对于A,将，代入得，故A正确， 对于B, ,则，故B错误， 对于C，在回归模型中，决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，故C正确， 对于D，,故D错误， 故选：AC （2026·云南曲靖·一模） 10. 已知数列满足：，（），则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是递减数列 C. 若，，成等差数列，则p，r，q也成等差数列 D. 数列为等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知的递推关系，通过变形得到相邻两项的关系，进而判断数列的类型，再根据数列的性质逐一分析选项. 【详解】因为，则. 两边同时取倒数得， 即. 所以数列是等差数列.故选项D正确. 对于选项A，由选项D可知，数列是等差数列. 所以， 则，所以，且， 所以，故A正确. 对于选项B，因为， 所以 即对任意，，所以数列为递减数列，故B正确. 对于选项C，若成等差数列，则有， 即，化简得. 当时，满足，但， 即不成等差数列，故C不正确. （24-25高二下·吉林长春·期末） 11. 函数是定义域为的奇函数，当时，，下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 方程有3个不等实根 C. 函数有最大值 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用奇函数的定义可得时的解析式，可判断A；令，求出所对应的方程的解，即可判断；利用导数判断函数的单调性求出函数的极值，即可判断；由的值域可判断． 【详解】对于A，函数为定义在上的奇函数， 当时，，，故A正确； 对于B，当时，，解得，时，，解得， 又，所以有和0三个零点，故B正确； 对于C，当时，，，当时，，递减， 时，，递增， ∴时，有极小值，时，，，， 由是奇函数，∴时，有极大值， 又，所以的值域是，故C错误； 对于D，由C的讨论知，因此对任意的实数有，， ∴，即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 （22-23高二下·北京丰台·期末） 12. 已知函数在区间上单调递增，则m的最大值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】求出函数的导数，令可求得函数的单调增区间，结合题意即可求得答案. 【详解】由于函数，故， 令，等号仅在时取得, 而，故， 即在上单调递增， 故函数在区间上单调递增，则m的最大值为1， 故答案为：1 （2026·四川广安·二模） 13. 记为数列的前项和，已知，是公差为1的等差数列．则的通项公式为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式求得，再根据与的关系即可求解． 【详解】因为，是公差为1的等差数列， 所以，则①， 当时，②， 由①②得，， 所以数列为常数列，． （2025·天津和平·一模） 14. 袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问可根据条件概率公式求解，第二问可先确定随机变量 的取值，再求出每个取值的概率，最后根据期望公式计算期望. 【详解】设“第一次取到黑球”为事件 ，“第二次取到白球”为事件 . 则.  表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有 种取法，第二次取白球有 种取法，从 个球中依次取 个球的总取法有 种，所以 .  根据条件概率公式 ，可得 .   随机取出 个球，取出的球中白球的个数 可能取值为 ，，. 表示取出的 个球都是黑球的概率，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，从 个球中取 个球的组合数为 ，所以 .  表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 .  表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 .  根据期望公式 可得 .   故答案为：；. 四、解答题 （2017·河北衡水·一模） 15. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下： 表1：男生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 5 表2：女生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 3 （1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率； （2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”． 男生 女生 总计 优秀 非优秀 总计 参考数据与公式： ，其中. 临界值表： 【答案】（1）；（2）没有的把握认为“测评结果优秀与性别有关” 【解析】 【分析】（1）利用抽样分层的定义求出、值，然后利用古典概型的概率公式求出概率即可； （2）根据题意填写2×2列联表，计算出的值，对照临界值表得出结论. 【详解】（1）从高一年级男生中抽出的人数为人， 从高一年级女生中抽出的人数为人， 则人，人， 表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为，，，尚待改进的2人为 ，， 则从这5人中任选2人的所有可能结果为：（a，b）（a，c）（b，c）（A，B）（a，A），（a，B），（b，A）（b，B），（c，A）（c，B），共10种, 设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”， 则C的结果为：（a，A），（a，B），（b，A）（b，B），（c，A）（c，B），共6种． ∴, （2） 男生 女生 总计 优秀 15 15 30 非优秀 10 5 15 总计 25 20 45 , 所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”． （21-22高三上·北京·期末） 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若对于任意的，有，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减. （3） 【解析】 【分析】（1）直接计算导数，并利用导数的定义即可； （2）对分情况判断的正负，即可得到的单调区间； （3）对和两种情况分类讨论，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 由，知. 所以当时，有，. 故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即. 【小问2详解】 当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减； 当时，对有，故在上递增； 当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减. 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减. 【小问3详解】 我们有. 当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增. 故对任意的，都有，满足条件； 当时，由于，故. 所以原结论对不成立，不满足条件. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对进行恰当的分类讨论，方可得到所求的结果. （2025·四川绵阳·一模） 17. 已知数列满足：当时，，且数列为等比数列（为常数），. （1）求常数的值及数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设数列公比为，进而待定系数得再根据等比数列的通项公式求解即可得的通项公式； （2）结合（1）得，再根据分组求和与错位相减法求解即可. 【小问1详解】 解：因为数列为等比数列（为常数），设公比为， 所以，当时，，即， 因为，时，， 所以,解得 所以，， 又，， 所以是等比数列，公比为，首项为， 所以，即 【小问2详解】 解：由（1）知， 令的前项和为， 则 ， 两式相减得：， 所以 所以数列的前项和. （22-23高二下·福建莆田·期中） 18. 设等比数列{}的前n项和为，且 （1）求数列{}的通项公式； （2）设数列{}的前2n项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式和前项和公式求出公比和首项，进而求解； （2）结合（1）的结论，应用分组求和的方法即可求解. 【小问1详解】 由题知，，设等比数列{}的公比为q，显然， 则有. 由①÷②得，所以，代入①得，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 . （2025·山东泰安·模拟预测） 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设函数. （i）当时，求的最大值； （ii）若函数的图象与轴恰有一个交点，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，的单调递增区间为和； 当时，的单调递增区间为和， 递减区间为和. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用导数分类讨论分析函数的单调性即可； （2）（i）利用导数分析函数的单调性求解最值即可； （ii）分类讨论，利用导数分析函数的单调性，由函数的图象与轴恰有一个交点，求实数的取值范围即可. 【小问1详解】 由得 ， 当时，，在和单调递增； 当时，令，则，解得或； 令，则，解得或； 综上，当时，的单调递增区间为和； 当时，的单调递增区间为和， 递减区间为和. 【小问2详解】 则. （i）当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以； （ii）若函数的图象与轴恰有一个交点，则函数恰有一个零点， ， 当时，由（i）知，，故没有零点； 当时，令，，单调递减； 令，，单调递增； 此时，，故没有零点； 当即时，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 又， 当趋近正无穷大时，趋近于正无穷大， 所以仅在有唯一零点，符合题意； 当时，，所以在上单调递增，又， 所以有唯一零点，符合题意； 当即时，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 此时， 又，当趋近正无穷大时，趋近负无穷， 所以在有一个零点，在无零点， 所以有唯一零点，符合题意； 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $