（阶段拔高复习）专题11 找次品解决问题（能力清单+实战演练）-2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测（人教版）

**基本信息** 以“能力清单+实战演练”构建找次品问题系统训练，整合定义理解、最优策略与多场景应用，突出逻辑推理与方法迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |能力清单|9项能力要点|平均分三份最优策略、直接称量/逻辑推理/分组对比法|从次品特征与天平原理，到数量-次数对应关系，再到实际问题应用| |实战演练|23道梯度解答题|已知/未知次品轻重分类解法、反推最大数量逻辑|覆盖基础数量（5-19）到复杂数量（823），结合生活情境培养模型意识与推理能力|

开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测》。本书专为人教版五年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测 （期末拔高复习）专题11 找次品解决问题 （能力清单+实战演练） 1、能清晰说出找次品问题的核心定义，明确次品的特征（比正品轻或重），掌握天平称量的原理，牢记找次品的最优策略，理清不同物品数量与最少称量次数的对应关系。 2、能熟练运用“平均分三份”的最优策略，根据待测物品数量，快速确定最少称量次数，并说明“每次称量尽可能缩小次品范围”的逻辑，理解三等分法背后的数学原理。 3、能熟练通过天平称量，一步步缩小次品范围，直至找出次品，并能清晰表述每一次称量的分组方法和判断依据，理解“可能性分析”在找次品中的作用。 4、能根据不同题目要求，灵活选用“直接称量法”“逻辑推理法”“分组对比法”解决找次品相关问题，比如已知次品轻重、未知次品轻重等不同场景。 5、解题前，会习惯性确定“待测物品数量”与“次品轻重特征”，明确问题所求（最少称量次数/找出次品的具体步骤），理清已知条件对应关系，避免策略误用、步骤混乱。 6、能分辨“已知次品轻重”“未知次品轻重”“多次称量找多个次品”类问题，并抓住“每次称量最大化缩小范围”这一关键。 7、做题时，能圈出题目中的“找次品”“天平”“最少称量次数”“次品轻/重”“待测物品数量”等关键词，快速定位解题方向。 8、能熟练根据已知的称量次数，反推待测物品的最大数量，说明“三的幂次方对应称量次数”的推导逻辑，理解物品数量与称量次数的对应关系。 9、能熟练将找次品的数学方法迁移到生活实际问题中，如从一批产品中找出不合格品、从一组物品中找出重量异常的物品等，理解数学方法在实际场景中的应用价值。 一、解答题 1．在9枚一模一样的金币中，有一枚比真金币轻的假金币。如果用天平称，至少称几次能保证找出这枚假金币？请把称的过程写下来。 【答案】2次，过程见详解 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止，据此答题即可。 【解答】第一次把9枚金币平均分成三份，每份3枚，任取其中两份，分别放在天平两端；若天平不平衡，则第二次从天平较高端的3枚金币中，任取2枚金币，分别放在天平两端，若天平平衡，则未取的那枚金币就是假金币，若天平不平衡，则天平较高端的是假金币；若第一次天平平衡，则第二次从未取的那3枚金币中，任取2枚金币，分别放在天平两端，若天平平衡，则未取的那枚金币就是假金币，若天平不平衡，则天平较高端的是假金币。所以至少称2次能保证找出这枚假金币。 答：至少称2次能保证找出这枚假金币。 【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 2．技术监督部门抽检一批网球的质量，看是否符合比赛要求。在抽检的15个网球中，有1个是次品，且次品的质量较重，如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？ 【答案】3次 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 【解答】把15个网球平均分成3份，每份5个，即（5，5，5），第一次称，天平两边各放5个，如果天平不平衡，次品就在较重的5个中；如果天平平衡，次品在剩下的5个中；把有次品的5个网球分成3份，即（2，2，1），第二次称，天平两边各放2个，如果天平不平衡，次品就在较重的2个中；如果天平平衡，次品就是剩下的那1个；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的2个网球分成（1，1），第三次称，天平两边各放1个，天平不平衡，次品就是较重的那1个。所以至少称3次保证能找出次品。 答：用天平称，至少称3次能保证找出次品。 【点睛】掌握找次品的最优策略是解题的关键。 3．一个古玩商店的经理不小心将1枚假铜币混入了7枚真铜币当中，原来的7枚真铜币外观、颜色、形状完全相同，假铜币与真铜币外观一样，只是质量不一样，假铜币质量轻一些。如果用天平称，至少称几次，就能保证帮助经理从8枚铜币中找出假铜币？你能用画图和文字写出你的想法吗？ 【答案】2次 【分析】把8枚铜币分成3份，即（3，3，2），第一次称，天平两端各放3枚，如果天平不平衡，次品就在较轻的3枚中；如果天平平衡，次品在剩下的2枚中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的3枚铜币分成（1，1，1），第二次称，天平两端各放1枚，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一枚；如果天平平衡，次品是剩下的那1枚。至少称2次，就能保证帮助经理从8枚铜币中找出假铜币。 【解答】如图： 答：至少称2次，就能保证帮助经理从8枚铜币中找出假铜币。 【点睛】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 4．有61盒维生素C，其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程） 【答案】4次 【分析】将61盒分成20盒、20盒、21盒，称量同是20盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面。若轻的一盒在20盒这份，将20盒分成7盒、7盒、6盒，称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面；同理若轻的一盒在21盒这份，将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面。以此类推直到找出次品为止，就能知道至少称量几次能找出轻的一盒。 【解答】第一次称量：将61盒分成20盒、20盒、21盒，找到轻的一盒在哪份里面； 第二次称量：将20盒分成7盒、7盒、6盒，找到轻的一盒在哪份里面；或者将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面； 第三次称量：找到6盒或者7盒里轻的一盒； 第四次称量：找到2盒或者3盒里轻的一盒。 答：至少称量4次能找出轻的一盒。 【点睛】本题考查运用优化策略找次品问题，找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证所称量的次数最少。 5．有5袋盐，其中4袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知道比500克重还是轻。你如何用天平称出来？ 【答案】见详解 【分析】根据找次品的方法，结合题意，分析解题即可。 【解答】答：（1）第一次称量：先把其中4袋拿出来分成2份，放在天平左右两边进行称量，如果左右两边平衡，那么说明剩下的那1袋是次品；如果左右不等，那么说明次品就在其中一边； （2）第二次称量：把左边的2袋分别放在天平的左右两边称量，如果相等，那么次品在右边一组的2袋中，如果不等，那么说明这两袋中1袋是次品； （3）第三次称量：把确定有次品的2袋盐，分别与其它3袋中的任意1袋继续称量，相等的是500克，不等的就是次品，由此也可以根据天平的平衡原理得出它的质量是大于500克或者是小于500克。 【点睛】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。 6．我国是世界上最早发现茶树和利用茶树的国家，中国是茶的故乡，中国是世界茶叶的祖国。某茶厂进行质量抽检。在抽检的15盒茶叶中，其中的14盒质量相同，另有1盒质量较重一些，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒质量较重的茶叶找出来？ 【答案】3次 【分析】15（5，5，5）其中任意两组放在天平上称。可找出有次品的一组。再把5分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，需要两次，如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上称，可找出次品，则需三次。 【解答】第一次，把15盒茶叶平均分成3份，取其中的2份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的一盒在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；第二次，把含有较重的一份（5盒）分成3份（2盒、2盒、1盒），取2盒中的2份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的一盒在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；第三次，取含有较重的那份（2盒），分别放在天平的两侧，即可找到较重的一盒。 答：至少称3次能保证将这盒质量较重的茶叶找出来。 【点睛】本题考查找次品问题，称n次，最多可以分辨3的n次方格物品数目。 7．红红家有5瓶相同的药，每颗药丸重10克，只有一瓶受到污染的药丸质量发生了变化，但是不知道是变轻了，还是变重了。给你一台无砝码的天平，至少称几次能保证找出这瓶受污染的药？ 【答案】3次 【分析】找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。 【解答】5瓶药分别是1、2、3、4、5； 第一次称：把1、2和3、4分别放在天平两边，有三种情况： ①1、2＝3、4，5是次品； ②1、2＞3、4，5是标准，1、2可能是重次品，或者3、4可能是轻次品； ③1、2＜3、4，5是标准，1、2可能是轻次品，或者3、4可能是重次品； 第二次称：假设是上面第②种情况，1、2＞3、4.把1和2分别放在天平两边，有三种情况： ①1＝2，次品在3、4中，1和2是标准品，且知道3、4是轻次品； 第三次，把1和3称，有两种情况（1）1＞3，3是轻次品，（2）1＝3，4是轻次品； ②1＞2，1是重次品或者2是轻次品，3和4是标准品；第三次，把1和3称，有两种情况：A、1＞3，1是重次品，B、1＝3，2是重次品。 答：至少称3次能保证找出这瓶受污染的药。 【点睛】此题麻烦就在不知道次品是轻还是重，而且天平没有砝码；不但要缩小次品的范围，还要弄清楚次品是轻还是重，所以要分多种情况进行分析。 8．有15块外表相同的积木，其中有一块是次品，次品比正品稍轻一点，用天平至少几次才能保证一定找出次品？你是怎样称的？ 【答案】3次；过程见详解 【分析】第一次：把15个零件分成（5、5、5）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平上翘的那一组里有次品； 第二次：把有次品的5个零件分成（2、2、1）三组，先称量（2、2）两组，若天平平衡，则另外的那1个是次品；若天平不平衡，则天平上翘的那一组里有次品； 第三次：把天平上翘的那一组再分为（1、1）两组，则天平上翘的那一端即为次品；据此解答。 【解答】用天平秤，至少3次就一定能找出次品。 【点睛】解答本题的关键是将零件进行合理的分组，逐次称量，进而找出次品。 9．有12枚硬币，其中11枚质量相同，另一枚是假币略轻些，利用天平，至少称几次就能找出假币？（请你试着用图表示称的过程。） 【答案】3次；作图见详解 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【解答】 至少称3次就能找出假币。 【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。 10．李叔叔加工了5个精密零件，其中有一个零件内部有砂眼，比别的零件轻。为保证精密零件的质量，要找出这个次品。你能用无砝码的天平很快把它找出来吗？ 【答案】能 【分析】根据找次品的办法，一般把零件分成3份，尽量平均分，不平均可以让第三份少一些，然后进行称量，由此进行解答即可。 【解答】第一次，把5个精密零件分成3份（2个、2个、1个），取2个的两份，分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的是未取的一个，若天平不平衡，取较轻的继续； 第二次，取含有较轻的零件的2个，分别放在天平两侧，即可找到较轻的精密零件。 答：至少2次能保证找到有沙眼的零件。 【点睛】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力。 11．有六个零件，其中一个是次品，用天平称了三次（如下图），则几号零件是次品？次品的质量比正品的质量轻还是重？为什么？请写出你的推导过程。 【答案】5号是次品，次品比正品质量轻；见详解 【分析】图1，把1、2号和3、4号零件分别放在天平的左右两边，天平平衡，说明这4个零件的质量相等，它们都是正品，那么次品在5号和6号零件中； 图3，把4号、6号零件放在天平的左右两边，天平平衡，说明6号是正品，那么5号零件是次品； 图2，把5号、6号零件放在天平的左右两边，天平不平衡，5号轻，6号重，说明次品的质量比正品的质量轻。 【解答】因1、2号和3、4号的质量相等，说明1、2号和3、4号都是正品； 6号和4号的质量相等，说明6号是正品，那么次品是5号； 5号比6号轻，所以次品比正品质量轻。 【点睛】理解掌握用天平找次品的方法是解题的关键。 12．有6个零件，其中有1个是次品（偏轻一些）。小红设计了如图找次品的过程：把6个物品分别标记为1、2、3、4、5、6，然后用天平称3次，可以保证找到次品。请你根据小红设计的过程，在天平两端空白的方框里和旁边的括号里填上适当的数字。 【答案】见详解 【分析】观察可知，如平衡，就接着称剩下的5和6，右边下沉，说明左边更轻，左边是几号，几号就是次品；如左边下沉，则右边更轻，次品在3和4之间，就再称3和4，右边下沉，左边更轻，左边是几号，几号就是次品。 【解答】根据分析完成填空，如下图： 13．有6袋咖啡，编号是①~⑥，其中4袋一样重，是合格产品，另外2袋都比标准质量轻10g，是不合格产品。用天平称了三次，结果如下：①＋②比③＋④重，⑤＋⑥和③＋④一样重，⑤＋③比⑥＋④重。这两袋不合格的产品分别是几号？ 【答案】这两袋不合格的产品分别是④⑥。 【分析】因为不合格产品轻10克，已知①＋②比③＋④重，说明③和④中有不合格产品，⑤＋⑥与③＋④一样重，说明⑤和⑥中有不合格产品，又因为⑤＋③比⑥＋④重，所以④和⑥是不合格产品。 【解答】由分析可得： 这两袋不合格的产品分别是④号和⑥号。 14．有823个零件，其中混进了一个比合格品轻一些的次品，如果给你一架天平，你至少称多少次就一定能找出这个次品？ 【答案】7次 【分析】找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。此题数据较大，我们可以根据规律：当所测的物品的个数3n－1＋1≤物品的数量≤3n（n≥1）时，所称次数至少为n次。 【解答】因为36＝729，37＝2187 36＜823＜37 答：至少称7次就一定能找出这个次品。 15．有5个砝码，它们的质量分别为100克、101克、102克、104克、107克，但它们的外观完全相同，无法看出轻重。现有一台带指针的台秤，它可以称出300克以内的物体的质量，怎样称至少3次就可以保证找出质量为100克的砝码？请写出操作步骤。 【答案】见详解 【分析】先根据砝码的组合进行筛选，确定范围，再继续精确寻找。先写出第一次称2个砝码，质量有10种可能：201克、202克、204克、207克、203克、205克、208克、206克、209克、211克；如果是前4种，那么100克砝码就在这两个砝码中，再称一次就可以找出来；如果是后6种，那么100克砝码就在没有称的三个砝码中，需要进一步称。据此解答即可。 【解答】第一次称2个砝码，如果质量是201克、202克、204克、207克，那么100克砝码就在这两个砝码中，再称一次就可以找出来； 如果质量是203克、205克、208克、206克、209克、211克，那么100克砝码就在没有称的三个砝码中，再一个一个称两次，就可以找出100克的砝码。 16．有一台与众不同的天平，它有三个托盘，每个托盘内都可以放物品，并且能测量出三个托盘中所放物品最轻的一个托盘，现有63个外观相同的乒乓球，其中一个为次品（较轻），则用该天平最少称几次就保证能找出这个乒乓球？写出称法。 【答案】3次；称法见详解 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 因为这台与众不同的天平有三个托盘，因此按照找次品的最优策略，将待分物品分成4份即可。 【解答】将63个乒乓球分成（16、16、16、15），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，称（16、16、16），不平衡，次品在轻的16个中；将16个分成（4、4、4、4），称（4、4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4个；将4个分成（1、1、1、1），称（1、1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次。 答：用该天平最少称3次就保证能找出这个乒乓球。 17．某工厂生产的18个羽毛球中有一个重一些，这样的球会影响运动员的比赛水平。用天平称，至少称几次能保证找出这个羽毛球？ 【答案】3次 【分析】找次品的方法：一般是把待测物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的，使其中的2份相同，第3份尽量与这两份相同，再称其中的2份，根据天平平衡、不平衡进行判断，如果不能找出次品，继续把含有次品的份数再分成3份，方法同上，直到找出次品。 【解答】18分成（6，6，6），把任意两组的放在天平上称，考虑最不利原则，可找出有次品的一组；再把有次品的一组6分成（2，2，2）放在天平上称，可找出有次品的一组；再把2分成（1，1），放在天平上称，可找出次品；共需3次。 答：至少称3次能保证找出这人羽毛球。 18．有16盒糖果，其中15盒质量相同，另有1盒少了一块。假如用天平称，至少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 【答案】3次 【分析】本题考查了利用天平判断物体质量的技能，解决这类问题的关键是每次称重后都要有效地缩小搜索范围。在首次称重时，尽量将物体分为数量相近的三组，这样可以最大化每次称重的信息量。每次称重后，根据结果排除一部分正常或不可能的选项，缩小搜索范围。最终找到质量不同的那一盒。 【解答】一、首次称重： 将16盒糖果分为三组，分别为5盒、5盒和6盒。选择两组各5盒的糖果进行称重。 情况A：如果两边平衡，说明这10盒糖果都是正常的，少一块的糖果一定在未被称重的那组6盒里。 情况B：如果两边不平衡，则说明少一块的糖果一定在较轻的那组5盒里。 二、对于情况A的后续称重： 第二次称重：将这6盒糖果分为三组，每组2盒，任选两组进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果在未被称重的2盒中。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 第三次称重：从疑似的2盒糖果中任选一盒与正常的一盒糖果进行称重。 如果平衡，则未称重的那盒是少一块的。 如果不平衡，则较轻的那盒是少一块的。 三、对于情况B的后续称重： 第二次称重：将这5盒糖果分为三组，分别为2盒、2盒和1盒。选择两组各2盒的进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果是单独的那1盒。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 如果在第二次称重后确定少一块的糖果在2盒中，则第三次称重与情况A中的第三次称重相同，即任选一盒与正常的一盒糖果进行称重，以确定哪一盒是少一块的。 综上所述，至少需要三次才能找出来。 答：至少称3次就能够保证找出这盒糖果。 【点睛】对于这类题，一定要用好“分组策略”和“排除法”。 通过合理的分组和称重策略，去排除一部分正常或不可能的情况，缩小搜索范围。一般采用“三分法”，即首次称重时把物体分成尽可能相等的三份。对于未确定的部分，要继续采用类似的分组和称重策略，直到找到异常物体。 19．六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。 【答案】 4次，见详解 【分析】根据找次品的办法，一般把饼干平均分，不平均可以让第三份少一些，然后进行称量，由此进行解答即可。 【解答】称第一次：把28盒分成两组，每组14盒，天平每边各放一组，少几块的那盒会在轻的一边； 称第二次：把有少几块盒的那组14盒分成两组，分别是7盒，7盒，少几块的盒在轻的那一边； 称第三次：把有少几块盒的那组7盒分成三组，分别是2盒，2盒，3盒，天平每边放2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边； 称第四次：若少几块的那一盒在2盒中，把这2盒分成两组，天平每边各放1盒，少几块的那盒在轻的一边；若少几块的那一盒在3盒中，把这3盒平均分成3组，先称2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边。 答：至少称4次可以保证找出这盒饼干。 【点睛】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的方法。 20．有4枚外表完全相同的硬币，其中有3枚真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，但是不知道伪币比真币轻还是重。现在只有一架没有砝码的天平。请问至少用天平称几次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重？ 【答案】2次 【分析】本题的目的是弄清楚伪币比真币轻还是重，但在称时我们还是可以使用三分法来分物品，把4枚硬币分为（1，1，2）先称数量相同的两份，再根据情况称剩下的一份（方法不唯一）。 【解答】 把4枚硬币分为（1，1，2），第一次称前两份：若天平平衡，说明这两枚都是真币，把这两枚放在天平一端，剩下一份（有伪币）放在另一端称第二次：若伪币这端更轻说明伪币比真币轻，反之则更重。 若天平不平衡，说明这两枚中有一枚是假币，剩下的一份为真币，分别放在天平两端称第二次：若伪币这端更轻说明伪币比真币轻，反之则更重。（方法不唯一） 答：至少用天平称2次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重。 21．近年来我国新能源汽车制造业发展迅速，截止到2022年我国新能源汽车产销连续8年全球第一，这归功于新能源汽车制造企业的科技研发和精益求精。质检员王师傅发现19个零件中有一个不合格的零件，比其他零件轻一些，他用天平至少称几次能保证找到这个不合格的零件？ 【答案】3次 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【解答】将19个零件分成（6、6、7），先称（6、6），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，即次品在7个中；将7个分成（2、2、3），先称（2、2），考虑最不利的情况，即次品在3个中；将3个分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡都可确定次品，共3次。 答：他用天平至少称3次能保证找到这个不合格的零件。 22．有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这瓶盐水？ 【答案】4次 【分析】用天平找次品时，所测物品数目与保证能找出次品至少需要称的次数有以下关系。（只含1个次品，已知次品比正品重或轻。） 【解答】本题一共28瓶水，其中有1瓶盐水，且已知这瓶盐水比其他水略重，对照上图可知至少要称4次。 答：至少称4次能保证找出这瓶盐水。 23．中医，是我国的瑰宝，中药学是我国古代优秀文化遗产的重要组成部分。奶奶因病需到中药馆买中药9副，每副药共计重200g，但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药。 （1）用天平称几次，能保证找到这副中药？请写出过程。 （2）如果两边各放4副药，称一次，有可能找出来这副药吗？为什么？ 【答案】（1）2次；见详解；（2）可能；见详解 【分析】（1）把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 （2）称一次是可能找出这副药，因为如果天平两端平衡的话，这8幅中药就没有次品，就说明次品就是没称的那副中药。据此解答。 【解答】（1）答：用天平称2次，能保证找到这副中药。 过程如下： （2）答：有可能找出来这副药，因为如果两边各放4副药，称一次，如果平衡的话，则没有称的一副药是要找的次品。 【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $ 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 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6、能分辨“已知次品轻重”“未知次品轻重”“多次称量找多个次品”类问题，并抓住“每次称量最大化缩小范围”这一关键。 7、做题时，能圈出题目中的“找次品”“天平”“最少称量次数”“次品轻/重”“待测物品数量”等关键词，快速定位解题方向。 8、能熟练根据已知的称量次数，反推待测物品的最大数量，说明“三的幂次方对应称量次数”的推导逻辑，理解物品数量与称量次数的对应关系。 9、能熟练将找次品的数学方法迁移到生活实际问题中，如从一批产品中找出不合格品、从一组物品中找出重量异常的物品等，理解数学方法在实际场景中的应用价值。 一、解答题 1．在9枚一模一样的金币中，有一枚比真金币轻的假金币。如果用天平称，至少称几次能保证找出这枚假金币？请把称的过程写下来。 2．技术监督部门抽检一批网球的质量，看是否符合比赛要求。在抽检的15个网球中，有1个是次品，且次品的质量较重，如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？ 3．一个古玩商店的经理不小心将1枚假铜币混入了7枚真铜币当中，原来的7枚真铜币外观、颜色、形状完全相同，假铜币与真铜币外观一样，只是质量不一样，假铜币质量轻一些。如果用天平称，至少称几次，就能保证帮助经理从8枚铜币中找出假铜币？你能用画图和文字写出你的想法吗？ 4．有61盒维生素C，其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程） 5．有5袋盐，其中4袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知道比500克重还是轻。你如何用天平称出来？ 6．我国是世界上最早发现茶树和利用茶树的国家，中国是茶的故乡，中国是世界茶叶的祖国。某茶厂进行质量抽检。在抽检的15盒茶叶中，其中的14盒质量相同，另有1盒质量较重一些，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒质量较重的茶叶找出来？ 7．红红家有5瓶相同的药，每颗药丸重10克，只有一瓶受到污染的药丸质量发生了变化，但是不知道是变轻了，还是变重了。给你一台无砝码的天平，至少称几次能保证找出这瓶受污染的药？ 8．有15块外表相同的积木，其中有一块是次品，次品比正品稍轻一点，用天平至少几次才能保证一定找出次品？你是怎样称的？ 9．有12枚硬币，其中11枚质量相同，另一枚是假币略轻些，利用天平，至少称几次就能找出假币？（请你试着用图表示称的过程。） 10．李叔叔加工了5个精密零件，其中有一个零件内部有砂眼，比别的零件轻。为保证精密零件的质量，要找出这个次品。你能用无砝码的天平很快把它找出来吗？ 11．有六个零件，其中一个是次品，用天平称了三次（如下图），则几号零件是次品？次品的质量比正品的质量轻还是重？为什么？请写出你的推导过程。 12．有6个零件，其中有1个是次品（偏轻一些）。小红设计了如图找次品的过程：把6个物品分别标记为1、2、3、4、5、6，然后用天平称3次，可以保证找到次品。请你根据小红设计的过程，在天平两端空白的方框里和旁边的括号里填上适当的数字。 13．有6袋咖啡，编号是①~⑥，其中4袋一样重，是合格产品，另外2袋都比标准质量轻10g，是不合格产品。用天平称了三次，结果如下：①＋②比③＋④重，⑤＋⑥和③＋④一样重，⑤＋③比⑥＋④重。这两袋不合格的产品分别是几号？ 14．有823个零件，其中混进了一个比合格品轻一些的次品，如果给你一架天平，你至少称多少次就一定能找出这个次品？ 15．有5个砝码，它们的质量分别为100克、101克、102克、104克、107克，但它们的外观完全相同，无法看出轻重。现有一台带指针的台秤，它可以称出300克以内的物体的质量，怎样称至少3次就可以保证找出质量为100克的砝码？请写出操作步骤。 16．有一台与众不同的天平，它有三个托盘，每个托盘内都可以放物品，并且能测量出三个托盘中所放物品最轻的一个托盘，现有63个外观相同的乒乓球，其中一个为次品（较轻），则用该天平最少称几次就保证能找出这个乒乓球？写出称法。 17．某工厂生产的18个羽毛球中有一个重一些，这样的球会影响运动员的比赛水平。用天平称，至少称几次能保证找出这个羽毛球？ 18．有16盒糖果，其中15盒质量相同，另有1盒少了一块。假如用天平称，至少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 19．六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。 20．有4枚外表完全相同的硬币，其中有3枚真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，但是不知道伪币比真币轻还是重。现在只有一架没有砝码的天平。请问至少用天平称几次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重？ 21．近年来我国新能源汽车制造业发展迅速，截止到2022年我国新能源汽车产销连续8年全球第一，这归功于新能源汽车制造企业的科技研发和精益求精。质检员王师傅发现19个零件中有一个不合格的零件，比其他零件轻一些，他用天平至少称几次能保证找到这个不合格的零件？ 22．有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这瓶盐水？ 23．中医，是我国的瑰宝，中药学是我国古代优秀文化遗产的重要组成部分。奶奶因病需到中药馆买中药9副，每副药共计重200g，但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药。 （1）用天平称几次，能保证找到这副中药？请写出过程。 （2）如果两边各放4副药，称一次，有可能找出来这副药吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $