数学-【名校面对面】2026春高三试题（一）（河南专版）

高三数学试题（一) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知一组数据从小到大排列为70,72,75,76,82,83,84，m,90,92,这组数据的 第70百分位数是86，则m=() A.86 B.87 C.88 D.89 2.已知复数z满足(2+)z=1-i,则z·z=() A号 B. c D. 3.已知集合A={-1<x<3,B={x∈Nx2-3x-4≤0}，则AnB=() A.（-1,3) B.【-1,3] C.1,2 D.{0,1,2} 4.不等式-3 2的解集是() x-] A.（-oo,1] B.[1,+oo) C.（-o,-1[1,+∞） D.(-0,-1U(1,+o) 5.记△1BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知4=号，a=4,b+c=8,则△MBC 的面积为() A.85 B.4V5 C.245-36 D.12W3-18 6.若抛物线C:y2=8x的焦点为F,P是C上的一个动点，点A(7,1),则PA+PF的最 小值为() A.8 B.9 C.10 D.11 7.2025年，江西省成功举办了城市足球超级联赛.在某场比赛开始前，主办方安排了5名 志愿者分别负责赛场3个不同入口的安保工作，要求每人只负责一个入口，每个入口至少有 1名志愿者，则不同的分配方案共有() A.60种 B.90种 C.150种 D.240种 8.已知函数f(x)=sinx-cosx+sin2x,则下列选项正确的是() A.兀是函数f(x)的一个周期 B.x=匹是函数f(x)的一条对称轴 2 C函数了)的最大值为，最小值为万-1D,函数了()在[经智] 上单调递域 数学试题第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在等比数列{an}中，a4=3,ag=48,公比为9，则() A.as=±12 B.9=+2 C.{a}是公比为4的等比数列 D.{anan}是公比为4的等比数列 10.如图，已知双自线C号卡-a>06>0的左、右焦点分别为5,5，两条新近线 4:ay=bx,2:y=-bx互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说法正确的是() A.双曲线C的离心率为√2 B.存在点P,使得△PFF2为等腰直角三角形 C.当k∈(-1,1)时，直线1：y=c+1与双曲线C一定有两个交点 p. 一的最大值为22+3 11.已知f(x)=x+ax2+bx-2,若不等式f(x)<2的解集为(-o,-2)U(-2,1),则下列说法中 正确的是() A.ab=-2 B.函数f(x)的对称中心为(-1,0) C.过点(-2,3)可作一条直线与曲线y=f(x)相切 D.当-2<<时，a432 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若向量a=(2,-1),6=(1y),a1(a-b),则1 13.若函数g)=(c-1e2-x2恰有两个极值点，则实数m的取值范围为 14.侧棱长为2的正三棱A-BCD中，棱BC上存在点E,使得AE⊥AD,以A为球心的 球与平面BCD相切，则该球被三棱锥A-BCD截得的几何体的体积为一· 数学试题第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知函数f(x)=sin(ox+p)。 >00<9引的小正为，得月-号 (1)求f(x)的解析式： 2球y=2-引-1在0上的值域。 16已知蒂图C号若-a>6>0的离心毫务 3 ，上项点B的坐标为(0,1). (1)求C的标准方程 (2)过(-1,0)的直线1与椭圆交于P、2两点，0为坐标原点，直线09与椭圆的另一个交点为 G,S心，求直钱I的方程 17.已知菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2,E为AD中点，如图一所示，现将AABE沿着BE 折起，使得点A到达点P，如图二所示. P(A 图一 图二 (I)当PD=√2时，证明：平面PBC⊥平面PBE: (2)当PD=1时，求平面PBC与平面PCD所成角的余弦值. 数学试题第3页共4页 18.已知函数f(x)=ax-lnx(a∈R). (1)求函数f(x)的极值： (2)函数g(x)=ae-x有两个零点X1,x2· ()求实数a的取值范围； ()若函数f(x)有两个零点为x2,x,证明：1<xx2x<e3, 19.某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出7位候选人，然后在这7人中随机选出3 人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛 (1)已知某班甲、乙、丙三人已经入围7位候选人之中，现从这7人中抽签随机选出3人组 成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为X,求X的分布列与数 学期望； (2)预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决 赛，若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为， ,求此竞赛小组能进入决赛的概率 (3)假如只有A组与B组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有2+1道题， 两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组 得1分，另一组不得分A组每道题先做对的概率都为p(0.5<p<1),B组先做对的概率都为 9,且p+9=1,各题做题结果相互独立现在有两种赛制可以供A组选择，赛制一：从题库 巾选出2n-1道题，这2n-1道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完2n+1道 题，得分高的小组获得冠军.你认为A组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写 出推导过程 数学试题 第4页共4页河南省实验中学2025-2026学年高三下期测试2 参考答案 题号 2 3 5 6 P 9 10 11 答案 D B B BCD ACD BD 12.√10 13.(0,1)J(1,+o∞)0 14.8V3x 27 8.C 【详解1c:令1-如-os五m-到引 则te[0,V2],对t=sinx-cos刘两边同 时平方，得t2=(sinx-cosx)2=sin2x+cos2x-2 sinxcosx=1-sin2x→sin2x=1-t2, 80-11-f:(?该=次质数开口向上，对搭辅为号 1 当1[02]时，当1=时，函数/()取得最大值子，因为g0)=lg)=2-1, 所以当t=√2时，函数f(x)取得最小值，最小值为√2-1，因此本选项说法不正确： D当xe[要号]时，牙[后兴]=径小，所以数=mx-s--引 单调递减，且t∈[0，V2],由上可知：函数g()=t+1-f的对称轴为t=), 所以该函数在 [02上先增后减，因为函数f()在 3π4π 45 上不单调，所以本选项说法不正确 14.8V3m 27 【详解】取线段BC的中点M,连接AM,DM,因为△ABC为等腰三角形，△BCD为等边 三角形，所以AM⊥BC,DM⊥BC,又AM∩DM=M,AM,DMc平面AMD,所以BC⊥ 平面AMD,因为ADC平面AMD,所以BC⊥AD,因为AE⊥AD,AE∩BC=E,AE,BCc 平面ABC,所以AD⊥平面ABC,又AB,ACC平面ABC,所以AD⊥AB,AD⊥AC, 因为AB=AC=AD=2,所以BC=CD=BD=2√2，所以AB LAC,过点A作AF⊥平面 CD,垂足为P,则FEMD,因为MD=V6,所以DF=6,c=V6 3 则4r=0-0F-习，即以4为球心的球的半径为2。 3 答案第1页，共6页 则该球的体积为 4π 23 32W3元 3 27 则该球被三棱维4-BCD截得的几何体的体积为上×32V5m_8N3π 42727 15.f倒=s2x+ (2)[-2,1] 【详解】(1)最小正周期为元，且0>0，则2元=元，解得0=2，…n2分 出/倍-2g+小e引-9g+肾-号+2ae2. 0+ -+2m(ke2列，即p=2版碳+2akeZ,由0<9号，则p-于 33 所以f()=2x+骨-6分 ey-2-9}-122x号号}1=2个2r到} 9分 当0sx,2+号，则e2x+到} 由ym=-2×}-1=-2,y=-2x(-)-1-1,则y[-2别…13分 2 16.①等+y2=1 (2)x+y+1=0或x-y+1=0 【详解】(1)椭圆的上顶点B的坐标(0,1)，.b=1. 又椭圆的离心率e=S=6,且a2=b2+c2,得a=V5. a 3 则椭圆C的方程为3十1………4分 (2)当直线1的斜率为0时，此时P,2,G三点共线，△PQG不存在，不符合题意5分 当直线1的斜率不为0，设直线1的方程为x=y-1 x=my-1 将直线1与椭圆C联立方程组{ 3+2=1’得m+3-2少-2=0 得到△=4m2+8(m2+3)=12m2+24>0. 答案第2页，共6页 度P医Q则+%=8分 -2 因为O0与椭圆的另一交点为G,所以Q,G关于原点对称，即O为G中点， 3 3 所以Sago=2Sa0g=2所以Saom=手…l0分 8ae-1%-川-x1x0+⅓r-4%-243 1 1 2m2+ 8 m2+3 1 4m2+8(m2+3)_112m2+24_3 (m2+3)2 2V(m2+3)}2=4…l3分 化简得3m4+2m2-5=0,即(m2-1)(3m2+5)=0，解得m=±1 可得直线1的方程为x=±y-1,即x+y+1=0或x-y+1=0.…15分 17.(1)证明见解析. 2)5 【详解】(1) 取BC的中点F,连接DF,在△PBE中，由余弦定理可得cOs60°=4+1~B ,解得BE=√3， 2×2×1 所以PE2+BE2=PB2,即PE⊥BE,因为PD=V2,所以PE2+DE2=PD2,即PE⊥ED, EB∩ED=E,EB,EDC平面BFDE,BCC平面BFDE,所以PE⊥BC,4分 又菱形中BD=CD=AB=2,∠C=∠A=60°，F为BC的中点，DF⊥BC且DF=√5， 所以四边形BFDE为平行四边形，即∠BED=∠CBE=90°，所以BC⊥BE, 因为BEOPE=E,BE,PEC平面PEB,所以BC⊥平面PEB, 因为BCC平面PBC,所以平面PBC⊥平面PBE…7分 (2)取ED的中点为O,连接PO,作Ox/1EB, 因为PD=1,所以△PED为正三角形，由(I)可知Ox⊥ED, P(A) 所以以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则P9}-小c -》c-2m-} 9分 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z), 答案第3页，共6页 r-V3 1 mPB=0 5x- z=0 则 2 mPC=0 ,取x=1,则m=(1,0,2),11分 3√3 3x+2y 2 2=0 同理设平面PCD的法向量为i=(a,b,c), √ nPD=0 c=0 则 2 2 → …13分 PC=0 ，3 ，取b=5,则万=（-山5，， 3a+b- c=0 2 2 所以平面PBC与平面PCD所成角的余弦值为cosm,列- m.列_1+2_1 m例同V5x55…l5分 18.(1)答案见解析： (2 ()0, ()证明见解析. e 【详解】因为f()=ax-nx(x>0),所以f'()=a-1--1 当a≤0时，f'(x)<0在(0，+∞)上恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减，无极值： 1 当a>0时，由f(x)<0→0<x<；由f'(x)>0→x> Q a 所以f在()上单调递减，在合+)上单调港。 所以(有极小值f1-n。1+lna,无授大值4分 (2)()g(x)=ae*-x=0台a= 设A()=二，则问题转化为y=a与函数h)的图象有两个交点 因为h(x) xe*-x(e）_1-x 由h(x)>0→x<1,由H(x)<0→x>1. ( 所以h(x)在(-o,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减。 A0=是且当x→0时，A()<0,A0)=0;当→时，h(>0. 所以当0<a<二时，y=a与函数h(x)的图象有两个交点. 所以实数a的取值范围为 0, 9分 Inx (i词由（①可知，0<x<1<x2.由f(x)=0→a= x 答案第4页，共6页 设p()=,>0,则p(倒=1n,由p(>0→0<x<e:由p因<0→x>e 所以p()在(0，c)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减又p()=0,p(⊙)=】，当x>1时， p(x)>0.当0<a<时，y=a与函数p()的图象有两个交点， 且1<<e<所以0<x<1<<e<,且a=点-点=血-血 ee x2 x3 又警，要-当，4血xe@名h5e) x2e血 结合(，x=hx2,x2=hx313分 由点=点→石=x,e,由2=h为→为=e ee 所以x2x3=xe·x2e=xe因为0<x<1<x2<e,所以1<x<e2,1<e<e, 所以1<xe<e3,即1<xx2x3<e317分 19.(分布列见解折，号 a品 (3)A组采用赛制二更有利于胜出，理由见解析 【详解】(1)由题意知随机变量X的取值可以为0,1,2,3， PK-答-声Px-瓷 C335 x=答号x== C335 所以X的分布列为 0 2 4 18 12 1 35 35 35 35 X的数学期望E(X)=0x4+1x 35 +2x2 3x1=459 35 35 3535735分 (2)设甲、乙、丙能独立做对该题的事件分别为A、B、C, 则至少有两人做对该题的事件为： ABC+ABC+ABC+ABC,所以竞赛小组能进入决赛的概率为 P(ABC +ABC+ABC+ABC =P (ABC +P (ABC +P ABC P ABC 号引-引-引好品 8分 答案第5页，共6页 (3)按照赛制一，设做完选定的2n-1题后，A组的得分为Y,则Y~B(2n-1,p), A组取得胜利的概率为P,=P(Y≥n)=P(Y=n)+P(Y≥n+1); 按照赛制二，可以认为在赛制一的基础上再把剩下的两道题做完， 不妨设做完2n+1题，A组取得胜利的概率为p2, 则p,=P(Y=n-)p2+P(Y=n[1-Q-p)]+P(Y≥n+1), P2-p=P(Y=n-1)p2-P(Y=n)1-p)2=C2p1-p)p2-C2n-p1-p)-1-p)2 =C2np+1-p)”-Cnp1-p)1=C2mp"(1-p)[p-(1-p)] =2pr0-prp-》 已知p>05,所以2cp0-p旷p-》0, 所以p2>p,因此A组采用赛制二更有利于胜出17分 答案第6页，共6页