数学试题-【名校面对面】河南省三甲名校2025秋高三校内自测卷（四）

河南省三甲名校25年秋季校内自测卷（四)(SSyZX-4) 数学试题 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目 要求的， 1.已知集合A={xeNx<2},B={-1,0,1,2,3},则A∩B-() A.{0,1} B.{0,1,2 C.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2} 2.若复数z满足z(1-i)=1-3i,则z对应的点在（) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知双曲线二卡=>心b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方冠为() A.x±√5y=0B.V5x±y=0 C.x±3y=0 D.3x±y=0 4.已知函数f(x)=n(x-1)-n(3-x),则f(x)的图象() A.关于x=1对称B.关于x=2对称C.关于(1,0)对称D.关于(2,0)对称 5.已知两条不同的直线a,b,两个不同的平面α，B,于是可得到（) A.若allp,alIa,bllp,则al/b. B.若a,b是一对异面直线，且al/aaWB,b/a,blp,则a∥B. C.若a⊥B,a∩B=a,a∩b=P,b⊥a,则b⊥B. D.若a⊥b,al∥a,则b⊥a. 6.如图所示，小明从家M出发到学校N,途经超市P和银行Q,已知MP11QN, M MP=5,P2=4,QN=6,MP.PQ=10,求小明家到学校的位移大小是（) A.15 B.215 C.318 D.V181 N 7.已知点2引，圆0：+=16，点F是1：2-y+16=0上的动点，过F作圆0的切线，切点分别为4B 直线AB与OF交于点M,则MEI的最小值为() A.5 B.5 C.5 D.35 8 4 2 2 8.已知实数a,b,c满足e+a=lnb+b=cosc+c,则下列关系不可能成立的是() A.a<b<c B.a=b<c C.a=c<b D.c<a<b 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 试卷第1页，共4页 9.已知向量a=山，5)，方=(cosa,sina),则下列结论正确的是（) A.若a∥万，则tana=V5 B.若al万，则ana=- 3 C.若a与的夹角为，则a-=3 D.若a与b方向相反，则方在a上的投影向量的坐标是 10.如图，在空间四边形ABCD中，AC=BD,F,G分别是BC,CD的中点，E,H分别在AB,AD上，且 E丑=BD(0<元<1)，则下列说法正确的是（) A.当元=时，四边形EFGH是一个正方形 2 B.当元=时，EG⊥HF C.当0<元<1时，E,F,G,H四点共面 D.当2+号时，直线E,HG,4C相交于一点 B F 11.已知抛物线W:y2=2px（p>0)与圆M:(x-6)+(y-4)=64相交于A,B两点，线段AB恰为圆M的直 径，且直线AB过抛物线W的焦点F,动直线I过点F且与抛物线交于CD两点，则以下结论正确的是() A.p=4 B.CF+9DF≥36 C.△CFM的周长可以为14 D.当SACOF=3S△Dor时，|CD=12 M 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12.在等比数列{an}中，a+42+a,=14,aa4=64,则公比9=一· 13.已知直线1：y=是曲线f(x)=2x-x2的切线，则k=一 14.已知(1+ix)”=a+ax+a2x2+…+anx(x∈R),其中i为虚数单位，从组合数C%、Cn、C、、C?中取出一 个数记作a,从展开式中项的系数a、a、a2、、an中取出一个数记作b,若n=40,则(a+bi)(b+ai)eR的概 率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分)在△ABC中，内角AB、C的对边分别为a,bc,且满足sin(A+C)(sinB+sinC)=sin2A-sinC. (I)求角A的大小： (2)若a=√21，△ABC的周长为5+√21，求△ABC的边BC上的高. 试卷第2页，共4页 16.(15分)已知函数f(x)=（x2+a)e*在x=-3处有极值. (I)求a的值： (2)若函数g(x)=f(x)-m恰有3个零点，求实数m的取值范围. 17.（15分)随着国内人均收入的增加，居民的健康意识也不断增加，健身器材行业发展迅速，下面为2020-2024 年中国健身器材市场规模（单位：百亿元）· 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 4.1 4.4 4.8 5.5 6.3 ()数据显示2024年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用须率估计概率，现从2024 年购买过体育用品类的中国消费者中随机抽取3人，记购买过运动防护类的消费者人数为X，求X的分布列与数 学期望E(X). (2)由上面数据可知，可用指数型函数模型y=ab拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程(a,b的值精 确到0.01)； 参考数据： 1点热 e1.278 e0108 1.602 25.107 3.590 1.114 其中=ny. 参考公式：对于一组数据()，(x2:y2),…，(xyn),其经验回归直线=x+à的斜率与截距的最小二乘法 公式为：6=白 xy-nxy 21d=6 试卷第3页，共4页 18.(17分)记f(x)=sinx,g(x)=cosx,F(x)=f2m(x)+g2m(x),n∈N. (1)判断并证明F(x)的奇偶性： (2)将F(x)的最小值记为an, (i)求数列{an}, (i)若∑(2i+1a<m恒成立，求m的最小整数值m,. 19.(17分)平面直角坐标系0中，已椭圆C:等+卡-o>b>0)的左、右焦点分别为5，，离心率为， 经过F且倾斜角为O的直线I与C交于A,B两点（其中点A在x轴上方），且△ABF,的周长为8，现将平面xOy沿x 轴向上折叠，折叠后A,B两点在新图形中对应的点分别记为A,B,且二面角A-FF,-B,为直二面角，如图所 示 折叠前 折叠后 (1)求折叠前C的标准方程； ②诺a0=,求h; (3)当0-时，折叠后，求平面8，F5,与平面4B,B的夹角的余弦值。 试卷第4页，共4页河南省三甲名校25年秋季校内自测卷（四)(SSyZX--4) 数学答案 题号 2 67 8 9 10 答案 A A 8 0 ABD BCD 题号 11 12 13 14 答案 AC 2或号 0或1 40 1681 15.(1)sin(+C)(sinB+sinC)=sin24-sin'C, sin(-B)(sinB+sinC)=sin2A-sin'C,sin2B+sinBsinC=sin2A-sin'C, 结合正弦定理可得b2+bc=ad2-c2,即b2+c2-a2=-bc, 可得cosd+c-a因为40，，所以4=2n 2bc 35分 (2)因为a=√21，△ABC的周长为5+√21，所以a+b+c=5+√21，所以b+c=5,7分 在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2 becosA=b2+c2+bc=(b+c)2-bc,所以21=25-bc,bc=4.9分 叉a1c的面积s-bsi4-x4×55,…11分 2 2 设A1BC边C上的商为，所以S=h-×xh=5,解得6=25 13分 16.(1)解：由函数f(x)=(x2+ae，,可得f'(x)=2xe*+(x2+a)e=(x2+2x+a)e*, 因为f(x)在x=-3处取极值，可得∫'(-3)=(9-6+)e3=0,解得a=-3,3分 当a=-3时，f'(x)=(x2+2x-3)e*=(x+3)(x-1)e*, 当x>1或x<-3时，f'(x)>0;当-3<x<1,f'(x)<0, 所以函数f(x)在(-∞，-3)上单调递增，在(-3，)上单调递减，在(L,+∞)单调递增，（不验证扣？3分) 故满足∫(x)在x=-3处取极值，所以a=-3..6分 (2)解：由(1)知：函数f(x)=(x2-3)e*在(-0，-3)上单调递增，在(-3,1)上单调递减，在(1，+o)单调递增， 所以f()报大值=f(-3)=6e3,∫()极信=f()=-2e,9分 由于当x<-5时，f(x)>0,x0时，f(x)→0， 5<x<√5时，f(x)<0,当x→+∞时，f(x)→+∞， 画出函数y=f(x)的图象，如图所示，.12分 又因为方程f(x)=m有3个实数根时，即函数y=∫(x)与y=m的图象有三个公共点， 结合图象，可得0<m<6e3，,所以g(x)=f(x)-m恰有3个零点时，实数m的取值范围为(0,6e)15分 答案第1页，共4页 17.(1)由题意知：X服从二项分布，即X~B3, ）2分 由二项分布的概率计算公式得： x-=c 1x1xL1 6464 -D-C =3x2×=3x3=9 4^16 36464 P(X =2)=C 9×=3x9=2 rx--c-1 64 …4分 故X的分布列为： 十 0 1 2 3 1 9 27 27 64 64 64 64 数学期望E(X)=p=3x3-9】 446分 (2)由(，=ny,则模型线性化为：t=na+xlnb, i=24=1602,24=25.107,x-1+2+3+4+5-3, 5 51 5 由2=1+2+32+4+52=55,52=5×32=45， i=l 得：-5=55-45=10， .8分 由∑x4=25.107,mx-i=5×3x1.602=24.03, 得： 立4-5✉i=25.107-24.03=1077,… .10分 代入最小二乘法估计公式，得： 24-5xi lnb= 10770.1077≈0.108，… 11分 2-x 10 lma=t-lnbx=1.602-0.1077×3=1.602-0.3231=1.2789≈1.278， b≈e0108=1.114≈1.11a≈c278-3.590=3.59,. 13分 故y关于x的回归方程为：y=3.59×1.11… 15分 答案第2页，共4页 18.(1)函数F(x)为偶函数，理由如下：F(x)=(sinx)2"+(cosx)2",定义域为R, F(-x)=[sin(-x)]2 +[cos(-x)]2 =(sinx)2"+(cosx)2"=F(x), 所以函数F(x)为偶函数；.4分 (2)(i).F(x)=(sinx)2+(cosx)2", 当n=1时，F(x)=1,a1=1,.5分 当n22时，令t=sin2x,则t∈[0,1]，.cos2x=1-t,F(x)="+(1-t)”,.6分 设H0=”+(1-),1∈0，，则H')=n[1-(1-)1], 当0s1<时，1->1，又neN,-> 0<0,万0在[0》上单调滋减：…7分 当21≤1时，1-1<， 又neN,(1-t)"1<t-1, H'()>0,.H0在 上单调递增， 8分 当1=时，0取最小值，最小值为目)-[月”，…0分 a,,当m=1时，亦适合上式a( 11分 (i)令S.=∑(2i+14, 8-s+s+份++a-份e+。 s-ss份+7++m-+em+ 则传++o- 1- 2 Sn=10-2<10,16分 所以m≥10，即m的最小整数值m为10.17分 答案第3页，共4页 c-1 [a=2 19.（1)由题意得： 4a=8 ,解得b=V5, a2=b2+c2 c=1 故折叠前椭圆C的标准方程女+上 =1… 4分 43 (2)由(1)可知F(-1,0), 直线/经过且斜率为宁，则直线方程为y+,与椭圆子+ 4+3 =1联立， 消y得：3r2+4×x+=12342+2-11=0, 设交点小(，小则与中名=方与=号 4 .7分 由孩长公式可得：写+八-5马 10分 (3)当0=时，直线1的方程为：y=5(x+), 联立 4+1, …11分 y=V3(x+1) 以原来的x轴为y轴，y轴正半轴所在直线为z轴，y轴负半轴所在的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所 示， 题4oa.s[505-0.0,l4分 故FB= 设平面AB,F的一个法向量为m=(x,,z), [35.13 则 mFB,=0 ,即5 =0 mF4=0 取y=V5,则x=13, ,2=, -y+V5z=0 9+3+1=2 16 .15分 3 平面B,FE的一个法向量为=OA=(0.0,), 故0sm,)= m.n 3V205 同啊205x5 205,..16分 3 所以平面BF5与平面4BE的夹角的余弦值为3V20西 205 17分 答案第4页，共4页