4.2 方差（题型专练）数学新教材湘教版八年级下册

**基本信息** 本练习通过“基础达标+能力提升+拓展培优”三层设计，以方差为核心，从单一计算到综合应用，梯度推进知识巩固，培养运算能力与数据观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|方差计算、已知方差求数据、稳定性判断、方差决策、离差平方和|聚焦基础考点，如“求一组数据的方差”夯实运算能力，“根据方差判断稳定性”培养数据意识| |能力提升|平均数、中位数、众数、方差综合运用|结合实际情境（如射击成绩、满意度调查），通过分析统计量做决策，发展推理意识| |拓展培优|复杂数据处理与跨知识应用|设置开放性问题（如区域空气质量评估），强化数学建模与综合分析能力，体现应用意识|

4.2 方差 （5大题型基础达标练+1大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一  求一组数据的方差 题型二  已知方差求未知数据的值 题型三  根据方差判断稳定性 题型四 利用方差做决策 题型五 求离差平方和 能力提升题 题型一 平均数、中位数、众数、方差的综合运用 题型一  求一组数据的方差 1．一组数据2，3，4，3，3，则这组数据的方差为（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.8 D．2 2．某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中5名同学的成绩（单位：分）分别为：86，88，90，92，94，这组数据的方差是（    ） A．7分 B．8分 C．9分 D．10分 3．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 4．已知一组数据：，，，它们的平均数是3，方差是2，那么数据，，的平均数与方差分别是（   ） A．3，2 B．6，8 C．3，4 D．6，4 5．如果一组数据，，，的方差是，那么数据，，，的方差是（     ） A． B． C． D． 6．已知一组数据，，，，…，的平均数为2，方差为，那么另一组数据，，，，…，的平均数和方差分别是（    ） A．4， B．2，1 C．2， D．4，3 题型二  已知方差求未知数据的值 7．若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（  ） A． B． C．或 D．或 8．一组数据：，，，，，若加入一个数后，方差变小，则最可能为（   ） A． B． C． D． 9．数据A：2，3，x；数据B：4，5，6．若数据A的方差比数据B的方差大，则x的值可能是（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 10．甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则的值可能是（    ） 甲 178 179 180 181 182 乙 180 181 182 183 A．179 B．182 C．184 D．185 11．一组数据：2，3，4，x，y的平均数是3，方差是0.8，则（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 12．设数据，，，的平均数为，方差为，若，则（    ） A． B． C． D． 题型三  根据方差判断稳定性 13．甲、乙两名同学一周内五次引体向上的测试成绩（单位：个）如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A．乙的成绩的方差比甲的小 B．乙的最好成绩比甲的最好成绩好 C．乙的后三次测试成绩都比甲高 D．该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高 14．某校举行啦啦操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都为1.68米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级为（   ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．无法确定 15．下列说法正确的是（    ） A．了解某班同学的身高情况适合用全面调查 B．一个游戏的中奖率是1%，做100次这样的游戏一定会中奖 C．甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别是，，则甲组数据更稳定 D．数据2、3、4、2、3的众数是2 16．某体育老师为了解九年级男生篮球运球绕杆的训练效果，随机从甲、乙、丙、丁四个训练小组中各抽取20名男生进行模拟测试．各组的平均用时（秒）及方差如下表所示： 小组 甲 乙 丙 丁 平均用时 13.2 13.2 12.8 12.8 方差 2.9 3.0 2.6 调查显示，20名丙组男生的测试成绩各不相同，且丙组的平均用时更短、发挥也更稳定，则的值可能是（   ） A．0 B．2.5 C．3.8 D．2.9 17．学校组织“算法设计挑战赛”，每位选手完成5次编程任务．甲、乙、丙、丁四位同学5次编程的平均成绩与方差如下表，则成绩又高又稳定的是（） 选手 甲 乙 丙 丁 平均成绩（分） 87 87 85 85 方差 3.6 27.6 8.6 7.6 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 18．现有两批苹果，从中各随机抽取个，测量它们的直径（单位：）并绘制成如图所示的统计图．从第一批中抽取的苹果直径的方差记为，从第二批中抽取的苹果直径的方差记为，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 题型四 利用方差做决策 19．甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（   ） 甲 乙 丙 丁 平均数 9.6 9.5 9.5 9.6 方差 0.25 0.25 0.27 0.27 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 20．八（2）班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 96 96 98 98 方差 2.6 0.3 0.3 1.8 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 21．某校准备从甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组，参加全区中小学知识竞赛，下表记录了各组几轮比赛成绩的平均数（单位：分）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（    ） 小组 甲组 乙组 丙组 丁组 平均数 92 96 96 95 方差 1.5 0.6 1.4 1.1 A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 22．我国新能源汽车产业实现了快速发展，产销量和出口量均居世界第一，形成了完整且竞争力强的产业链，涌现了一批具有国际竞争力的企业.某汽车制造公司对旗下四款新型新能源汽车进行续航性能测试，测试结果记录了甲、乙、丙、丁四种车型在满电状态下的平均续航里程（单位：）与续航里程的方差，根据表中数据，要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投入市场，应该选择（   ） 车型 甲 乙 丙 丁 平均续航里程 420 420 410 400 续航里程的方差 0.03 0.06 0.03 0.05 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 23．某射击队要从甲、乙两名运动员中选拔一名参加决赛，两人在相同条件下各打靶5次，成绩如下：甲：8，9，9，10，9；乙：8，8，9，10，10．教练最终选择了甲，他最看重的数据是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 24．随着电子产品普及和学业压力增大，青少年颈椎病发病率持续上升．某健康研究机构为对比城市与农村青少年的颈椎健康差异，从两地各随机抽取60名12～15岁青少年进行颈椎功能评估（10分为满分，得分越高颈椎健康状况越好），整理数据后得到部分得分分布及统计量如下： 相关数据 城市青少年得分分布/分 分人 分人 分人 分人 分人 分人 农村青少年得分分布/分 分人 分人 分人 分人 分人 分人 两组数据的部分统计量对照表如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 优秀率（8分及以上） 城市青少年 ％ 农村青少年 ％ (1)表格中的______，______，______； (2)结合方差数据，哪个地区青少年的颈椎健康状况更整齐？请说明理由； (3)综合所有统计量，从预防颈椎病的角度，你对城市青少年有哪些建议？（一条即可） 题型五 求离差平方和 25．青青记录了某一周每天下午放学回家所用的时间（单位：分）：10，11，12，10，12，则这组数据的离差平方和为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 26．“强省会·劳动美”2025贵阳贵安职工篮球赛于7月19日晚正式落下帷幕，贵阳教育工会夺得机关组冠军．若比赛中六位队员得分（单位：分）分别为：7，7，8，8，9，9，则这六位队员得分的离差平方和为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 27．已知一组数据为3，5，7，9，11，其离差平方和为（    ） A．40 B．45 C．50 D．55 28．某班级将学生按性别分为两组，计算数学成绩的组间离差平方和．若组间离差平方和为，说明（    ） A．两组学生的数学成绩完全相同 B．两组学生的数学平均成绩相同 C．每组内部学生的成绩没有差异 D．男生成绩都高于女生成绩 29．学校举行秋季运动会，仪仗方队一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和离差平方和与原6名队员相比（    ） A．平均数变大，离差平方和变小 B．平均数不变，离差平方和不变 C．平均数不变，离差平方和变大 D．平均数变小，离差平方和变大 30．校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（    ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 ． 题型一 平均数、中位数、众数、方差的综合运用 31．请完成如下项目式学习表． 【调查主题】 甲、乙两个射箭队队员射箭成绩调查报告 【设计调查方式】 在甲、乙两个射箭队中各随机抽取了10名队员的某次射箭成绩（单位：环） 【收集、整理、描述数据】 队员射箭成绩数据： 甲队：8、9、9、8、7、8、10、9、7、8 乙队：7、8、6、8、9、5、9、10、8、10 数据分析： 平均数 中位数 众数 方差 甲队 8 0.81 乙队 8 8 2.4 【解决问题】 (1)上述表格中：_____，_____，_____； (2)在两个队中，如果某个队成绩的10个数据的波动越小，则认为队员的发挥越稳定．据此推断：在甲、乙两个队中，______队队员的发挥更稳定（填“甲”或“乙”）； (3)综合上表中的统计量，现要给成绩突出的队颁奖，你认为应该给哪个队颁奖？请说明理由．（至少写出两条理由） 32．“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：9，7，8，7，8，10，8，7，8，8． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 0.8 八年级 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______； (2)求m的值； (3)综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 33．在人工智能时代，软件迅猛发展，某团队测评了A、B、C三款软件，本次测评由软件性能评分（满分100分）和软件使用体验评分（满分100分）两个部分构成．其中A、B、C三款软件的软件性能评分分别为85分，82分，90分．软件使用体验评分由10位专业测试员对软件分别打分，打分之和为该款软件使用体验评分，以下是A、B、C三款软件的软件使用体验评分的部分数据信息： A、B、C三款软件的软件使用体验打分情况统计表 软件名称 中位数 方差 软件使用体验评分 A 8.5 p a B 8.5 q 87 C m 2.01 83 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，a的值； (2)通过分析，可以发现专业测试员对________款软件的软件使用体验评分评价更一致（填写A、B或C）； (3)按照软件性能评分占，软件使用体验评分占来计算综合成绩，综合成绩较高的软件排序靠前，若综合成绩一致，则软件使用体验评分较高的软件排序靠前，则这三款软件中排序由前到后依次是_________． 34．为促进学生全面发展，充分培养学生兴趣，学校运动会新增了射击比赛，经过初赛，有甲、乙、丙、丁四位选手进入了决赛，在决赛中，每位选手要进行五轮比赛，记录员对这四位选手五轮比赛成绩（单位：环）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名选手这五轮成绩的条形统计图： b．丙选手这五轮成绩依次为，，，，； c．甲、乙、丙三位选手五轮比赛成绩的平均数、中位数、方差如下表： 统计量 选手 甲 乙 丙 平均数 中位数 方差 (1)表中的值为_____，的值为_____； (2)丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有_____轮； (3)根据这五轮比赛成绩，排名规则按照平均数大的排名靠前，若平均数相同，方差小的排名靠前，现已知丁选手其中三轮的成绩分别为环、环、环，经过最后的核算，丁选手获得第二名，则丁选手其余两轮的成绩分别为_____环、_____环、（成绩均为整数） 35．2025年，某市空气质量达到有监测以来最优水平；主要空气污染物“细颗粒物（）”年均浓度降至27微克/立方米，首次实现“破30”；空气质量优良天数比率超几成，重污染天数基本清零． 某环保部门收集了该市甲、乙、丙、丁四个区域2025年1至12月月均浓度（数值取整，单位：微克/立方米）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两区域12个月的月均浓度折线图： b．丙区域12个月的月均浓度： c．四个区域12个月月均浓度的平均数、中位数、方差（结果保留一位小数）： 甲 乙 丙 丁 平均数 23.6 23.6 27.6 23.6 中位数 22.5 24.0 24.0 方差 30.8 15.9 30.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为_____； (2)表中_____30.8（填“”“”或“”）； (3)为综合评估2025年四个区域空气质量，该环保部门制定了以下评估准则（优先级从高到低）： ①全年月均浓度的平均数尽可能低； ②全年月均浓度的波动幅度尽可能小； ③全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份尽可能多． 评估结果：甲、乙、丙、丁四个区域按空气质量从高到低依次为_____． 36．2026年是“十五五”规划开局之年，全国两会在北京召开．某校举办了“学习两会精神，争做好少年”的知识竞赛．学校分别从八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（采用百分制，学生成绩均不低于60分，用表示，分为4个等级：A．；B．；C．；D．），并对竞赛成绩进行了整理、描述、分析、得到部分信息如下． 信息1  八年级被抽取的20名学生成绩如下：63，65，66，73，75，77，78，79，82，84，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99． 九年级被抽取的学生成绩在组的数据为：85，85，85，86，87，88，88． 信息2  八、九年级被抽取学生成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 八年级 83 84 九年级 83 85 120 信息3 根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ， ； (2) 年级的成绩更整齐（填“八”或“九”）； (3)根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条即可）． 37．【问题背景】 在科技飞速发展的今天，智能机器人已成为备受关注的热门研究领域．某科研团队成功研发了三款智能机器人，分别命名为A，B，C．为全面评估这三款机器人在图像识别与运动能力上的综合表现，该团队对它们开展了全方位测试，在图像识别能力测试环节，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分，85分，90分．运动能力测试则由10位专业测试员依据一系列动作任务逐一评分，每位测试员最高可打10分，最终成绩取所有测试员打分的总和． 【数据收集、整理与分析】 现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，获得两幅统计图（如图-1，图-2）和统计表，以评估哪款机器人的综合性能更优． A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 1.85 B 8.5 8 87 0.66 C 8 n p 2.01 根据上述信息，解答下列问题： (1)________，________，________； (2)通过比较方差，判断测试员对________（选填A，B或C）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 【问题解决】 (3)按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，则A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是________． 38.77．为了增强青少年消防安全意识，某校准备选出一名宣传员为大家定期宣传消防知识，为了选出综合素质最高的一名同学为宣传员，先对所有报名的同学进行了笔试，再对笔试90分以上（含90分）的同学进行面试．小强、小亮、小旭三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100）分别是98，94，90．之后组织了十位评委对小强，小亮，小旭三位同学面试表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．之后对这三位同学面试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．评委给小强同学打分情况：10，10，9，8，8，8，7，7，6，6． ．评委给小亮、小旭两位同学打分的统计图如下： ．小强，小亮，小旭三位同学面试情况统计表： 同学 评委打分中位数 评委打分众数 评委打分方差 面试成绩 小强 8 8 1.89 79 小亮 9和10 1.85 85 小旭 8.5 0.61 87 根据以上信息，回答下列问题： (1)上述表格中 ， ； (2)在面试中，小强，小亮，小旭三位同学中，评委对 的评价更一致；（填“小强”，“小亮”或“小旭”） (3)综合成绩为笔试成绩占，面试成绩占，综合成绩最高者将被录用，请通过计算说明谁将被录用？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 方差 （5大题型基础达标练+1大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一  求一组数据的方差 题型二  已知方差求未知数据的值 题型三  根据方差判断稳定性 题型四 利用方差做决策 题型五 求离差平方和 能力提升题 题型一 平均数、中位数、众数、方差的综合运用 题型一  求一组数据的方差 1．一组数据2，3，4，3，3，则这组数据的方差为（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.8 D．2 【答案】A 【分析】先求出这组数据的平均数，再代入方差计算公式计算即可得到结果. 【详解】解：这组数据为2，3，4，3，3，共5个数据. ∵ 平均数 ∴ 方差 2．某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中5名同学的成绩（单位：分）分别为：86，88，90，92，94，这组数据的方差是（    ） A．7分 B．8分 C．9分 D．10分 【答案】B 【分析】本题考查方差的计算，先求出这组数据的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果，熟记方差计算方法是解题的关键． 【详解】解：这组数据的平均数为：， 则方差为分． 3．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 【答案】D 【分析】本题考查方差公式的意义，以及平均数和方差的计算，解题思路是先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 【详解】解：∵方差算式中共有4个平方项， ∴，A选项说法正确，不符合题意； 原数据为，，，，计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 计算原方差得：， ∴C选项说法正确，不符合题意； 加入数后，新数据为，，，，，计算新方差得： 新平均数， 新方差， ∵， ∴新方差变小，D选项说法错误，符合题意． 4．已知一组数据：，，，它们的平均数是3，方差是2，那么数据，，的平均数与方差分别是（   ） A．3，2 B．6，8 C．3，4 D．6，4 【答案】B 【分析】根据平均数和方差的公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵一组数据：，，，它们的平均数是3，方差是2， ∴，， ∴数据，，的平均数为：， 数据，，的方差为：． 5．如果一组数据，，，的方差是，那么数据，，，的方差是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设一组数据，，…，的平均数为，方差是，则另一组数据，，…，的平均数为，方差是，代入方差公式，计算即可． 【详解】解：设一组数据，，…，的平均数为，方差是，则另一组数据，，…，的平均数为，方差是， ∵， ∴， ， ， ∴． 6．已知一组数据，，，，…，的平均数为2，方差为，那么另一组数据，，，，…，的平均数和方差分别是（    ） A．4， B．2，1 C．2， D．4，3 【答案】D 【分析】当数据都加上一个数(或减去一个数)时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数(或除以一个数)时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．根据数据的变化和其平均数及方差的变化规律求得新数据的平均数及方差即可． 【详解】解：数据，，，，…，的平均数为2， 数据，，，，…，的平均数是； 数据，，，…的方差为， 数据，，，，…，的方差是． 题型二  已知方差求未知数据的值 7．若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了方差的性质，利用方差的性质：一组连续整数的方差相同。第一组数据若要方差与第二组（连续整数）相等，则其也需为连续整数，从而确定x的值． 【详解】解：∵第二组数据5，6，7，8，9是连续整数，方差为固定值， 又∵第一组数据2，3，4，5，x的方差与第二组相等， ∴第一组数据也应为连续整数， 当时，数据为1，2，3，4，5，是连续整数， 当时，数据为2，3，4，5，6，是连续整数， ∴x的值为1或6． 故选：C． 8．一组数据：，，，，，若加入一个数后，方差变小，则最可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求方差，熟知方差的性质是解答的关键．先求出原数据的平均数，再根据方差性质，分析加入数a后方差变小的条件，进而确定a的可能取值． 【详解】解：由题意，原数据的平均数为， 加入一个数a后，原数据的个数变为6，平均数为，要使加入a后方差变得更小，那么a应该更接近原数据的平均数6.6， 在各选项中，∵，，，，又， ∴时最接近平均数6.6，此时方差最小， ∴a最可能为7， 故选：D． 9．数据A：2，3，x；数据B：4，5，6．若数据A的方差比数据B的方差大，则x的值可能是（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了方差，根据方差计算公式分析x的范围即可得到答案． 【详解】解：数据中，每2个数相差1， 数据，前2个数据也是相差1， 若或时，两组数据方差相等， 而数据的方差比数据的方差大， 则的值大于4或者小于1， 故选：A． 10．甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则的值可能是（    ） 甲 178 179 180 181 182 乙 180 181 182 183 A．179 B．182 C．184 D．185 【答案】D 【分析】本题考查了方差，掌握方差的定义与计算公式是解答本题的关键． 先计算出甲的平均数和方差，再根据方差的定义解答即可． 【详解】解：甲的平均数为：， 故甲的方差为：； 当乙为179或184时，乙的五个数是相邻的正整数，其方差与甲相等，即为2； 当乙为182时，乙的五个数的波动比相邻的正整数小，方差比2小； 当乙为185时，乙的五个数的波动比相邻的正整数大，方差比2大； 所以的值可能是185． 故选：D． 11．一组数据：2，3，4，x，y的平均数是3，方差是0.8，则（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查平均数和方差、完全平方公式的运用，先根据求平均数和方差的公式求得，，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵数据：2，3，4，x，y的平均数是3， ∴， ∴ ∵数据：2，3，4，x，y的方差是0.8， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 12．设数据，，，的平均数为，方差为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方差，根据方差的计算公式及非负数的性质可得，进而即可求解，熟记方差公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 题型三  根据方差判断稳定性 13．甲、乙两名同学一周内五次引体向上的测试成绩（单位：个）如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A．乙的成绩的方差比甲的小 B．乙的最好成绩比甲的最好成绩好 C．乙的后三次测试成绩都比甲高 D．该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高 【答案】A 【分析】根据方差的运算方法结合题干图逐一判断即可． 【详解】解：甲同学的成绩依次是：7，8，8，8，9， 则总成绩为：，平均数为：，方差为：， 乙同学的成绩依次是：6，7，8，9，10， 则总成绩为：，平均数为：，方差为：， ∴该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高，故D选项正确； ∵， ∴乙的成绩的方差比甲的大，故A选项错误； 由图可知，乙的最好成绩为10个，比甲的最好成绩9个好，故B选项正确； 由图可知，乙的后三次测试成绩都比甲高，故C选项正确． 14．某校举行啦啦操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都为1.68米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级为（   ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查方差的意义，方差越小，数据的波动越小，身高越整齐，只需比较三个班身高数据的方差大小即可得出结论． 【详解】∵ ，，，且 ， ∴ ． ∵ 方差越小，数据的波动越小，身高越整齐， ∴ 参赛学生的身高比较整齐的班级是丙班． 15．下列说法正确的是（    ） A．了解某班同学的身高情况适合用全面调查 B．一个游戏的中奖率是1%，做100次这样的游戏一定会中奖 C．甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别是，，则甲组数据更稳定 D．数据2、3、4、2、3的众数是2 【答案】A 【分析】根据全面调查适用条件，概率的意义，方差的意义和众数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、∵调查某班同学的身高，范围小，人数少，∴适合用全面调查，A正确， B、中奖率表示中奖的可能性大小，做100次游戏不一定会中奖，B错误， C、方差越小数据越稳定，，乙组数据更稳定，C错误， D、数据2、3、4、2、3中，2和3 出现次数最多且相同，众数是2和3，D错误． 16．某体育老师为了解九年级男生篮球运球绕杆的训练效果，随机从甲、乙、丙、丁四个训练小组中各抽取20名男生进行模拟测试．各组的平均用时（秒）及方差如下表所示： 小组 甲 乙 丙 丁 平均用时 13.2 13.2 12.8 12.8 方差 2.9 3.0 2.6 调查显示，20名丙组男生的测试成绩各不相同，且丙组的平均用时更短、发挥也更稳定，则的值可能是（   ） A．0 B．2.5 C．3.8 D．2.9 【答案】B 【详解】解：A、选项中方差为0与“成绩各不相同”相矛盾，取选项中的值不符合题意； B、选项中方差，满足“发挥更稳定”，符合条件，可取； C、D、选项中方差都大于，不满足“发挥更稳定”的要求，取选项中的值不符合题意． 17．学校组织“算法设计挑战赛”，每位选手完成5次编程任务．甲、乙、丙、丁四位同学5次编程的平均成绩与方差如下表，则成绩又高又稳定的是（） 选手 甲 乙 丙 丁 平均成绩（分） 87 87 85 85 方差 3.6 27.6 8.6 7.6 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】要选出成绩又高又稳定的选手，需结合平均数和方差的意义判断，平均成绩越高代表整体成绩越高，方差越小代表成绩波动越小，越稳定，先筛选平均成绩更高的选手，再从中选择方差更小的选手即可． 【详解】解：∵平均成绩越高，整体成绩越高，方差越小，成绩越稳定， 比较四位选手的平均成绩，得， ∴甲，乙的平均成绩高于丙，丁，排除丙，丁， 比较甲，乙的方差，， ∴甲的成绩比乙更稳定， 因此成绩又高又稳定的是甲． 18．现有两批苹果，从中各随机抽取个，测量它们的直径（单位：）并绘制成如图所示的统计图．从第一批中抽取的苹果直径的方差记为，从第二批中抽取的苹果直径的方差记为，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.观察图形可知第一批数据波动较小，第二批数据波动较大，据此即可判断． 【详解】解：观察两幅统计图可知： 第一批数据的点比较集中，围绕在平均值附近波动较小； 第二批数据的点比较分散，围绕在平均值附近波动较大， ∵方差是衡量一组数据波动大小的量，数据越稳定（波动越小），方差越小， ∴． 题型四 利用方差做决策 19．甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（   ） 甲 乙 丙 丁 平均数 9.6 9.5 9.5 9.6 方差 0.25 0.25 0.27 0.27 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【详解】解：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． ∵甲的平均分比乙高，方差比丁小，最稳定， ∴应选甲． 20．八（2）班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 96 96 98 98 方差 2.6 0.3 0.3 1.8 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题根据平均数和方差的意义选择参赛同学，平均数越大代表平均成绩越好，方差越小代表成绩越稳定，据此决策即可． 【详解】解：∵丙、丁同学的平均数为，大于甲、乙同学的平均数， ∴应从丙和丁同学中选择， ∵丙同学的方差小于丁同学的方差， ∴丙同学的成绩更好且状态稳定，应选丙同学． 21．某校准备从甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组，参加全区中小学知识竞赛，下表记录了各组几轮比赛成绩的平均数（单位：分）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（    ） 小组 甲组 乙组 丙组 丁组 平均数 92 96 96 95 方差 1.5 0.6 1.4 1.1 A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 【答案】B 【分析】平均数越大代表整体成绩越好，方差越小代表成绩波动越小，状态越稳定，先选出平均成绩更高的小组，再比较方差选出符合要求的小组即可 【详解】解：∵乙、丙的平均数为，高于甲的和丁的， ∴成绩较好的小组为乙和丙， 又∵乙的方差为，小于丙的方差，方差越小成绩越稳定， ∴乙组成绩好且状态稳定，应选择乙组 22．我国新能源汽车产业实现了快速发展，产销量和出口量均居世界第一，形成了完整且竞争力强的产业链，涌现了一批具有国际竞争力的企业.某汽车制造公司对旗下四款新型新能源汽车进行续航性能测试，测试结果记录了甲、乙、丙、丁四种车型在满电状态下的平均续航里程（单位：）与续航里程的方差，根据表中数据，要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投入市场，应该选择（   ） 车型 甲 乙 丙 丁 平均续航里程 420 420 410 400 续航里程的方差 0.03 0.06 0.03 0.05 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查平均数和方差的实际意义，平均数越大代表平均续航里程越长，方差越小代表续航表现越稳定，结合两个要求筛选即可得到答案． 【详解】解：∵ 四款车型中，平均续航里程最大的是甲和乙，均为 ， ∴甲和乙满足平均续航里程长的要求， 又∵ 方差越小续航表现越稳定，甲的方差为，小于乙的方差， ∴ 甲满足平均续航里程长且续航表现稳定的要求，因此选A． 23．某射击队要从甲、乙两名运动员中选拔一名参加决赛，两人在相同条件下各打靶5次，成绩如下：甲：8，9，9，10，9；乙：8，8，9，10，10．教练最终选择了甲，他最看重的数据是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】D 【分析】分别计算甲乙两人成绩的平均数、众数、中位数、方差，根据各统计量的结果判断，方差反映数据的波动程度，方差越小成绩越稳定． 【详解】解：将甲乙成绩从小到大排序，甲为8，9，9，9，10，乙为8，8，9，10，10， ∴甲的中位数为9，乙的中位数为9，两人中位数相同，排除C选项； 平均数：，， ∴两人平均数相同，排除A选项； 甲的众数为9，乙的众数为8和10，众数不是选拔运动员稳定发挥的核心判断依据，排除B； 方差：∵， ， ∴，甲的成绩更稳定，因此教练最看重的数据是方差． 24．随着电子产品普及和学业压力增大，青少年颈椎病发病率持续上升．某健康研究机构为对比城市与农村青少年的颈椎健康差异，从两地各随机抽取60名12～15岁青少年进行颈椎功能评估（10分为满分，得分越高颈椎健康状况越好），整理数据后得到部分得分分布及统计量如下： 相关数据 城市青少年得分分布/分 分人 分人 分人 分人 分人 分人 农村青少年得分分布/分 分人 分人 分人 分人 分人 分人 两组数据的部分统计量对照表如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 优秀率（8分及以上） 城市青少年 ％ 农村青少年 ％ (1)表格中的______，______，______； (2)结合方差数据，哪个地区青少年的颈椎健康状况更整齐？请说明理由； (3)综合所有统计量，从预防颈椎病的角度，你对城市青少年有哪些建议？（一条即可） 【答案】(1)，， (2)农村青少年的颈椎健康状况更整齐．理由见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据平均数，中位数以及众数的定义，即可求解； （2）根据方差的意义，比较方差即可求解； （3）根据题意写出建议合理即可． 【详解】（1）解： ； 60名学生的中位数是第30、31个数据的平均数． 累计得分：5～6分共20人，7分累计35人，故第30、31个数据均为7分，则； 众数c（农村）：农村青少年得分中7分出现18次，次数最多，故． （2）农村青少年的颈椎健康状况更整齐． 理由：农村青少年颈椎功能得分的方差小于城市青少年，方差越小，数据的离散程度越小，说明农村青少年的颈椎健康水平差异更小、更整齐． （3）建议城市青少年减少每日电子产品使用时长（结合城市青少年得分方差大，可能存在高分、低分两极分化，推测部分学生因过度使用电子产品导致颈椎问题）； 或增加户外运动时间，模仿农村青少年更规律的运动习惯，改善颈椎健康状况（答案合理即可）． 题型五 求离差平方和 25．青青记录了某一周每天下午放学回家所用的时间（单位：分）：10，11，12，10，12，则这组数据的离差平方和为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了离差平方和．先计算数据的平均值，然后求每个数据与平均值的差的平方和，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵数据：10，11，12，10，12， 则平均值， 依题意， ， 即这组数据的离差平方和为4， 故选：B． 26．“强省会·劳动美”2025贵阳贵安职工篮球赛于7月19日晚正式落下帷幕，贵阳教育工会夺得机关组冠军．若比赛中六位队员得分（单位：分）分别为：7，7，8，8，9，9，则这六位队员得分的离差平方和为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查求离差平方和，先计算数据的平均值，再求每个数据与平均值之差的平方和即可. 【详解】解：∵平均数为， ∴ 离差平方和. 故选C. 27．已知一组数据为3，5，7，9，11，其离差平方和为（    ） A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】A 【分析】本题考查了离差平方和的计算，掌握离差平方和等于每个数据与平均数之差的平方和是解题的关键． 计算数据的平均值，然后求每个数据与平均值之差的平方和． 【详解】解：∵ 平均值 ∴ 离差平方和 = ． 故选：A． 28．某班级将学生按性别分为两组，计算数学成绩的组间离差平方和．若组间离差平方和为，说明（    ） A．两组学生的数学成绩完全相同 B．两组学生的数学平均成绩相同 C．每组内部学生的成绩没有差异 D．男生成绩都高于女生成绩 【答案】B 【分析】本题考查组间离差平方和的统计意义，核心是明确该统计量与两组平均成绩的关联． 【详解】解：∵组间离差平方和为， ∴两组学生的数学平均成绩相同，故B选项正确，符合题意， A选项中“成绩完全相同”表述绝对，个体成绩可以不同，但均值相同，说法错误， C选项是组内离差平方和为的含义，不是组间离差平方和为的含义，说法错误，不符合题意， D选项与组间离差平方和无关联，不符合题意． 29．学校举行秋季运动会，仪仗方队一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和离差平方和与原6名队员相比（    ） A．平均数变大，离差平方和变小 B．平均数不变，离差平方和不变 C．平均数不变，离差平方和变大 D．平均数变小，离差平方和变大 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数和离差平方和，解题的关键是掌握以上两个公式． 先分别计算原6名队员与现5名队员身高的平均数，再计算两者的离差平方和，通过比较结果得出结论，用到平均数和离差平方和的定义和公式． 【详解】解：∵原6名队员身高总和为， ∴原平均数为； ∵去掉的队员后，5名队员身高总和为， ∴现平均数为； ∴平均数不变； ∵原离差平方和为 ； 现离差平方和为 ； ∴离差平方和不变； 综上，平均数不变，离差平方和不变， 故选：B． 30．校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（    ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 【答案】D 【分析】根据折线统计图读取男、女生各5次的达标次数数据，分别计算平均数、中位数和方差（或观察波动情况），逐一判断选项即可． 【详解】由图可知， 男生数据为：； 女生数据为：. ，， 男、女生训练达标次数的平均数相同， 故A错误； 将男生数据从小到大排列为：，中位数为； 将女生数据从小到大排列为：，中位数为， 男、女生训练达标次数的中位数均为， 故C错误； 男生离差平方和为：， 女生离差平方和为：， 男、女生训练达标次数的离差平方和不相等， 故B错误； ，， ， 女生达标情况更稳定， 故D正确． 故选：D． ． 题型一 平均数、中位数、众数、方差的综合运用 31．请完成如下项目式学习表． 【调查主题】 甲、乙两个射箭队队员射箭成绩调查报告 【设计调查方式】 在甲、乙两个射箭队中各随机抽取了10名队员的某次射箭成绩（单位：环） 【收集、整理、描述数据】 队员射箭成绩数据： 甲队：8、9、9、8、7、8、10、9、7、8 乙队：7、8、6、8、9、5、9、10、8、10 数据分析： 平均数 中位数 众数 方差 甲队 8 0.81 乙队 8 8 2.4 【解决问题】 (1)上述表格中：_____，_____，_____； (2)在两个队中，如果某个队成绩的10个数据的波动越小，则认为队员的发挥越稳定．据此推断：在甲、乙两个队中，______队队员的发挥更稳定（填“甲”或“乙”）； (3)综合上表中的统计量，现要给成绩突出的队颁奖，你认为应该给哪个队颁奖？请说明理由．（至少写出两条理由） 【答案】(1)8.3，8，8； (2)甲； (3)应该给甲队颁奖，见解析 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的求法，结合图中数据求解即可； （2）根据方差越小，数据波动越小求解即可； （3）根据表格中所给两队的平均数、中位数、众数、方差比较，即可得出结论． 【详解】（1）解：甲队的平均数为：， 其中数据8出现了4次，出现次数最多，故众数：， 将乙队的数据小到大排序，第5个和第6个数据分别为8和8， ∴中位数为：； （2）解：∵甲队的方差小于乙队的方差， ∴甲队队员的发挥更稳定； （3）解：应该给甲队颁奖 理由：综合上表中的统计量，甲队的平均数高于乙队，说明甲队整体成绩水平更高；同时甲队的方差比乙队小，发挥更稳定．虽然两队中位数、众数相同，但甲队在平均成绩和稳定性上更具优势，因此，应该给甲队颁奖． 32．“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：9，7，8，7，8，10，8，7，8，8． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 0.8 八年级 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______； (2)求m的值； (3)综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由见解析 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据八年级平均数即可求解； （3）根据方差的意义求解即可． 【详解】（1）解：七年级打分从小到大排列为：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10， 排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数； （2）解：八年级打分的平均分为8分， 则， 即， ∴； （3）解：七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由如下： ∵， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度的打分波动小于八年级的学生对“校园餐”的满意度的打分， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致． 33．在人工智能时代，软件迅猛发展，某团队测评了A、B、C三款软件，本次测评由软件性能评分（满分100分）和软件使用体验评分（满分100分）两个部分构成．其中A、B、C三款软件的软件性能评分分别为85分，82分，90分．软件使用体验评分由10位专业测试员对软件分别打分，打分之和为该款软件使用体验评分，以下是A、B、C三款软件的软件使用体验评分的部分数据信息： A、B、C三款软件的软件使用体验打分情况统计表 软件名称 中位数 方差 软件使用体验评分 A 8.5 p a B 8.5 q 87 C m 2.01 83 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，a的值； (2)通过分析，可以发现专业测试员对________款软件的软件使用体验评分评价更一致（填写A、B或C）； (3)按照软件性能评分占，软件使用体验评分占来计算综合成绩，综合成绩较高的软件排序靠前，若综合成绩一致，则软件使用体验评分较高的软件排序靠前，则这三款软件中排序由前到后依次是_________． 【答案】(1)， (2)B (3)C，B，A 【分析】（1）由折线图得到A款软件得分，求和即可求出a的值．根据扇形图求出C款软件打分情况，根据中位数的定义即可求出m的值； （2）根据方差的计算公式求出A，B两款软件的方差，比较方差即可解答； （3）根据加权平均数的计算公式求出这三款软件的综合成绩，根据排序规则即可解答． 【详解】（1）解：由折线图可得，A款软件得分为7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， 使用体验评分为， 即． 由扇形图可得，C款软件打分中，6分有（个）；8分有（个）；9分有（个）；10分有（个）； 中位数是第5个，第6个数据的平均数即（分）， 即． （2）解：A款软件得分的平均数为， 方差； B款软件得分的平均数为， 方差． ∵C款软件得分的方差为，而 ∴可以发现专业测试员对B款软件的软件使用体验评分评价更一致． （3）解：A款软件综合成绩为：（分）， B款软件综合成绩为：（分）， C款软件综合成绩为：（分）， 所以C款软件综合成绩最高，A款和B款软件综合成绩相同， 又B款软件使用体验评分比A款软件高， 故这三款软件中排序由前到后依次是C，B，A． 34．为促进学生全面发展，充分培养学生兴趣，学校运动会新增了射击比赛，经过初赛，有甲、乙、丙、丁四位选手进入了决赛，在决赛中，每位选手要进行五轮比赛，记录员对这四位选手五轮比赛成绩（单位：环）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名选手这五轮成绩的条形统计图： b．丙选手这五轮成绩依次为，，，，； c．甲、乙、丙三位选手五轮比赛成绩的平均数、中位数、方差如下表： 统计量 选手 甲 乙 丙 平均数 中位数 方差 (1)表中的值为_____，的值为_____； (2)丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有_____轮； (3)根据这五轮比赛成绩，排名规则按照平均数大的排名靠前，若平均数相同，方差小的排名靠前，现已知丁选手其中三轮的成绩分别为环、环、环，经过最后的核算，丁选手获得第二名，则丁选手其余两轮的成绩分别为_____环、_____环、（成绩均为整数） 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）根据平均数和方差的定义计算出结果即可； （2）先求出丙选手的中位数为，根据丙选手有两轮的成绩为，可知丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有轮； （3）根据排名的方法和丙选手获得第二名，分情况讨论确定性丙选手其余两轮成绩． 【详解】（1）解：由统计图可得甲选手五轮成绩为，，，，， 平均成绩（环）； 由统计图可得乙选手五轮成绩为，，，，，由统计表可知其平均成绩为环， 方差为； （2）解：将丙选手这五轮成绩按从小到大的顺序排列为，，，，， 排在第个的数据为， 丙选手五轮成绩的中位数为， ， 丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有轮； （3）解：根据排名规则，先比较甲、乙、丙选手成绩的平均数，可知甲、乙选手成绩的平均数均为环，且大于丙选手成绩的平均数环， 丙选手不可能是第一名和第二名； 再比较甲、乙选手成绩的方差， ， 甲排在乙前，故甲、乙、丙的排名为甲、乙、丙， 最终丁选手获得第二名， 丁选手排在甲和乙之间，根据排名规则可知丁选手的平均分为环，方差＜2.24， 丁选手五轮成绩的总环数为（环）， 丁选手其中三轮的成绩分别为环、环、环， 其余两轮的成绩总环数为16（环）， 乙选手也有三轮成绩分别为环、环、环， 丁其余两轮成绩不可能是环和环； 当丁选手的成绩为环和环时， 方差为，不符合题意； 当丁选手的成绩为环和环时， 方差为，符合题意， 丁选手其余两轮的成绩分别为环和环． 35．2025年，某市空气质量达到有监测以来最优水平；主要空气污染物“细颗粒物（）”年均浓度降至27微克/立方米，首次实现“破30”；空气质量优良天数比率超几成，重污染天数基本清零． 某环保部门收集了该市甲、乙、丙、丁四个区域2025年1至12月月均浓度（数值取整，单位：微克/立方米）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两区域12个月的月均浓度折线图： b．丙区域12个月的月均浓度： c．四个区域12个月月均浓度的平均数、中位数、方差（结果保留一位小数）： 甲 乙 丙 丁 平均数 23.6 23.6 27.6 23.6 中位数 22.5 24.0 24.0 方差 30.8 15.9 30.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为_____； (2)表中_____30.8（填“”“”或“”）； (3)为综合评估2025年四个区域空气质量，该环保部门制定了以下评估准则（优先级从高到低）： ①全年月均浓度的平均数尽可能低； ②全年月均浓度的波动幅度尽可能小； ③全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份尽可能多． 评估结果：甲、乙、丙、丁四个区域按空气质量从高到低依次为_____． 【答案】(1)28.5 (2) (3)乙、甲、丁、丙 【分析】（1）根据中位数定义计算即可得答案； （2）根据方差的概念和意义即可解答即可； （3）先比较平均数得出丙最高，再比较方差得出乙的波动幅度，最后根据比较月均浓度小于月均浓度平均数的月份的多少得出结论即可． 【详解】（1）解：丙区域12个月的月均浓度从小到大排列为：20，21，24，27，28，28，29 ，29，30，31，32，32， ∵第6个和第7个数据分别为28，29， ∴丙区域12个月的月均浓度的中位数； （2）解：根据折线图可以看出，甲区域12个月的月均浓度大约分布于14至31，乙区域12个月的月均浓度大约分布于16至28，可以发现乙区域12个月的月均浓度比甲区域12个月的月均浓度波动较小，更加稳定， 所以乙区域12个月的月均浓度的方差小于甲区域12个月的月均浓度的方差， 故； （3）解：∵甲、乙、丙、丁四个区域12个月的月均浓度的平均数分别为23.6、23.6、27.6、23.6， ∴由平均数比较，甲、乙、丁三个区域的全年月均浓度的平均数尽可能低，丙区域的12个月的月均浓度最高； ∵甲、丁两个区域的方差分别为30.8、30.8，乙区域的方差， ∴乙区域的全年月均浓度的波动幅度小，甲、丁两个区域的全年月均浓度的波动幅度较大， ∵甲区域的全年12个月的月均浓度的中位数为22.5，平均数为23.6，丁的全年12个月的月均浓度的中位数为24.0，平均数为23.6， ∴甲区域的全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份比丁区域的多， ∴四个区域按空气质量从高到低依次为：乙、甲、丁、丙． 36．2026年是“十五五”规划开局之年，全国两会在北京召开．某校举办了“学习两会精神，争做好少年”的知识竞赛．学校分别从八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（采用百分制，学生成绩均不低于60分，用表示，分为4个等级：A．；B．；C．；D．），并对竞赛成绩进行了整理、描述、分析、得到部分信息如下． 信息1  八年级被抽取的20名学生成绩如下：63，65，66，73，75，77，78，79，82，84，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99． 九年级被抽取的学生成绩在组的数据为：85，85，85，86，87，88，88． 信息2  八、九年级被抽取学生成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 八年级 83 84 九年级 83 85 120 信息3 根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ， ； (2) 年级的成绩更整齐（填“八”或“九”）； (3)根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条即可）． 【答案】(1)，， (2)八 (3)八年级更好，理由见解析 【分析】（1）根据众数的定义可得a的值，结合扇形统计图的数据可得b的值，根据九年级B组人数占比进一步可得c的值； （2）根据方差的含义判断即可． （3）根据八年级的众数比九年级的大即可得到结论． 【详解】（1）解：∵八年级竞赛成绩为86分的人数最多， ∴八年级竞赛成绩的众数为86分，即； ∵九年级竞赛成绩在A组的人数占比为， ∴； ∵九年级被抽取的学生成绩在组的数据为：85，85，85，86，87，88，88， ∴第10个，第11个数据为，， ∴中位数， ∴， ∴； （2）解：∵八年级同学的成绩的方差为，九年级同学的成绩的方差为，， ∴八年级的成绩更整齐． （3）解：八年级学生的竞赛成绩更好，理由如下： 两个年级的平均数相同，八年级的众数比九年级的众数大， ∴八年级学生的知识竞赛成绩更好． 37．【问题背景】 在科技飞速发展的今天，智能机器人已成为备受关注的热门研究领域．某科研团队成功研发了三款智能机器人，分别命名为A，B，C．为全面评估这三款机器人在图像识别与运动能力上的综合表现，该团队对它们开展了全方位测试，在图像识别能力测试环节，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分，85分，90分．运动能力测试则由10位专业测试员依据一系列动作任务逐一评分，每位测试员最高可打10分，最终成绩取所有测试员打分的总和． 【数据收集、整理与分析】 现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，获得两幅统计图（如图-1，图-2）和统计表，以评估哪款机器人的综合性能更优． A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 1.85 B 8.5 8 87 0.66 C 8 n p 2.01 根据上述信息，解答下列问题： (1)________，________，________； (2)通过比较方差，判断测试员对________（选填A，B或C）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 【问题解决】 (3)按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，则A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是________． 【答案】(1)9，8，83 (2)B (3)B 【分析】（1）根据中位数和众数的定义以及最终成绩取所有测试员打分的总和计算即可得出结果； （2）根据表格的数据，比较方差即可得出结果； （3）分别求出三款机器人的综合成绩，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由折线统计图可得，A款机器人的得分依次为：，，，，，，，，，， 将A款机器人的得分按照从小到大排列为：，，，，，，，，，，位于第个和第个的得分分别为，，故中位数； 由扇形统计图可得，分出现的次数最多，占，故众数； （分）； （2）解：∵， ∴通过比较方差，判断测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； （3）解：A款机器人的综合成绩为（分）， B款机器人的综合成绩为（分）， C款机器人的综合成绩为（分）， ∵， ∴A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是B． 38.77．为了增强青少年消防安全意识，某校准备选出一名宣传员为大家定期宣传消防知识，为了选出综合素质最高的一名同学为宣传员，先对所有报名的同学进行了笔试，再对笔试90分以上（含90分）的同学进行面试．小强、小亮、小旭三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100）分别是98，94，90．之后组织了十位评委对小强，小亮，小旭三位同学面试表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．之后对这三位同学面试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．评委给小强同学打分情况：10，10，9，8，8，8，7，7，6，6． ．评委给小亮、小旭两位同学打分的统计图如下： ．小强，小亮，小旭三位同学面试情况统计表： 同学 评委打分中位数 评委打分众数 评委打分方差 面试成绩 小强 8 8 1.89 79 小亮 9和10 1.85 85 小旭 8.5 0.61 87 根据以上信息，回答下列问题： (1)上述表格中 ， ； (2)在面试中，小强，小亮，小旭三位同学中，评委对 的评价更一致；（填“小强”，“小亮”或“小旭”） (3)综合成绩为笔试成绩占，面试成绩占，综合成绩最高者将被录用，请通过计算说明谁将被录用？ 【答案】(1)9，8 (2)小旭 (3)小亮将被录用，理由见解析 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）比较方差即可得出答案； （3）分别求出三人的最终成绩，进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：∵将小亮的面试成绩按从小到大排列如下：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10， ∴． ∵小旭的成绩中8分出现的次数最多，出现了4次， ∴； （2）解：∵， ∴评委对小旭的评价更一致； （3）解：小亮将被录用，理由如下： 小强的成绩为：（分）， 小亮的成绩为：（分）， 小旭的成绩为：（分）， ∵， ∴综合成绩最高的是小亮，即小亮将被录用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $