20.1 勾股定理及其应用暑期巩固2025-2026学年人教版八年级下册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过18个模块系统覆盖从基础计算到实际应用的全场景，提炼“模型构建-方程思想-性质迁移”解题体系，逻辑链清晰。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求边长|7题|折叠性质+勾股定理列方程、分类讨论第三边|从直角三角形定义到非直角三角形转化| |坐标系距离|6题|坐标差构造直角三角形|代数坐标与几何距离的转化| |实际应用|11模块|生活场景抽象直角三角形模型|数学建模解决航海/台风等真实问题|

人教版（2024）八年级下册 20.1 勾股定理及其应用 暑期巩固 用勾股定理求边长 1如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　） A.9    B.8    C.7    D.6 2如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18 cm，BC=24 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则BD的长为 A.15 cm B.16 cm C.18 cm D.20 cm 3已知直角三角形的两边长分别为x，y，且满足|x2﹣4|+＝0，则第三边的长为（　　） A.    B.或 C.或    D.或或 4在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和3，则斜边长为　　　　　. 5如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A(1，2)，C(5，2)，B(5，4)，则AB长度为　　　. 6如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.求斜边AB的长. 7如图，在△ABC中，AB=AC，BC=10，CD⊥AB，垂足为D，CD=8.求AC的长. 求坐标系中两点间距离或点的坐标 1如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（1，3），以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则点B的坐标是（　　） A.    B.（3，0）      C.    D. 2如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（ ） A.      B.      C.      D. 3如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为（﹣3，0）和（7，0），AB＝AC＝13，则点A的坐标为（　　） A.（2，12）    B.（3，13）    C.（5，12）    D.（5，13） 4已知点，，则线段的长为         5如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A、B、C的坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的． (2)已知点P在x轴上，且，则点P的坐标是 ． (3)若y轴上存在点Q，使的周长最小，则点Q的坐标是 ． 6已知，，在坐标轴上求点，使是等腰三角形． 折叠问题 1如图，是一张纸片，，现将其折叠，点与点重合，折痕为，则的长为（ ） A.      B.7    C.      D. 2如图，在长方形纸片中，点M在边上，沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为，若，，则的长度为（ ） A.9    B.10    C.11    D.12 3如图，已知中，．现将进行折叠，使顶点重合．则线段        ． 4如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长. 线段间平方关系问题 1如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（ ） A.      B. C.      D. 2如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD交于点O，若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2的值为（　　） A.20    B.18      C.16    D.1 3对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝5，则AB2+CD2＝　      　． 4如图1，在中，，，D是边上一动点，连接，过C点作，交于点E于点F，M是边上的中点，连接交于点． (1)问题解决： （i）求证：； 连接，试探究之间的数量关系，并证明； (2)类比迁移： 如图2：在等边中,为边上的高，在线段上取点，连接，在射线上取一点E，连接使得，延长交于点F，在线段上取点N，使得，连接，请直接写出之间的数量关系． 求无理数并在数轴上表示 1如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标为（　　） A.    B.      C.    D. 2如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上表示﹣2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　） A.-      B.      C.-      D. 3在数轴上画出表示的点. 4在数轴上作出表示的点. 与赵爽弦图有关的问题 1中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（ ） A.40    B.42    C.48    D.56 2我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A.    B.8    C.    D. 3如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5，AB=13，则EF的值是　　　　　　. 4有5个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个大正方形. 求图形面积 1如图，AD是△ABC的高，分别以线段AB，BD，DC，CA为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为（　　） A.1    B.2    C.3    D.4 2有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A.22023    B.22024    C.2023    D.2024 3在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，则△ABC的面积为（　　） A.12    B.24    C.10    D.20 4如图，以直角三角形三边为直径，分别向外作半圆，半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，已知S1＝2，S2＝3，则S3＝　     　． 5如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE．若△ACD的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S1+S2的结果为 　    　． 6等腰三角形的腰长为5 cm，底边上的中线长为4 cm，求这个等腰三角形的面积. 7图中数据分别表示其所在正方形的面积，请根据这些数据，分别求出未知的正方形面积A，B和C． 网格问题 1如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的高，则AD的长为（　　） A.    B.      C.    D. 2第27届LG杯世界棋王赛决赛将于2023年2月举行，这也是2023年第一个世界围棋大赛决赛．如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（　　） A.    B.    C.    D. 3如图，在单位长度为1的4×4的网格中，下列线段长为的是（　　） A.AB      B.AC      C.AD      D.AE 4如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为         ． 5如图，每个格子都是边长为1的小正方形，∠ABC=90°，四边形ABCD的四个顶点都在格点上.则四边形ABCD的周长为　　　　　　. 6如图，图1为4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1． （1）图1中正方形ABCD的面积为 　   　，边长为 　   　； （2）①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要求： Ⅰ．所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上； Ⅱ．所作的正方形的边长为． ②请在图2中的数轴上标出表示实数的点，保留作图痕迹． 求旗杆的高度 1为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（　　） A.1.0米    B.1.2米    C.1.25米    D.1.5米 2如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6 cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8 cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10 cm时，钟摆AD的长度是（　　） A.17 cm    B.24 cm      C.26 cm    D.28 cm 3如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE，他们进行了如下操作： ①测得BD＝9米；（注：BD⊥CE） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC＝15米； ③牵线放风筝的小明身高1.6米． 则风筝的高度CE是 　   　米． 4如图，小张在投篮训练时把球打到篮板的点D处后恰好进球，已知小张与篮板底的距离BC＝米，头顶与地面的距离AB＝1.65米，头顶与篮板点D处的距离AD＝3米，则点D到地面的距离CD为　    　米． 5[问题情境]某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度.如图1. [实践发现]数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知. [实践探究]设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是m米； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为n米.如图2. [问题解决]设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度. (1)用含有x的式子表示AC为　　　　　米； (2)若m=6，n=12，请你求出旗杆的高度； (3)保持(2)中条件不变，小明在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂(拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直)，后退至将绳子刚好拉直为止(如图3)，测得小明手臂伸直后的高度EF为2米，问小明需要后退几米？ 6学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）． 根据以上信息，求旗杆AB的高度． 求梯子滑落的高度 1如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为0.7 m．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3 m，木板顶端向下滑动了0.9 m，则小猫在木板上爬动的距离为（　　） A.3 m    B.2.5 m      C.2 m    D.1.5 m 2如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（　　） A.2.5m    B.3m    C.1.5m    D.3.5m 3如图，一个梯子AB长2米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.2米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD的长为0.4米，求梯子顶端A下落了 A.0.4米    B.0.5米    C.0.6米    D.0.7米 4如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 　    　米． 5如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了　 　米． 6如图，一架2.6米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4米. ①求梯子的底端B距墙角O多少米？ ②如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？ 7如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？ 求大树折断前的高度 1如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从高地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　） A.4.5米    B.6米    C.米    D.9米 2东汉《九章算术》中，“折竹抵底”问题，意思是：一根竹子，原高10尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后剩余部分的竹子高度为（　　） A.4.2尺    B.4尺      C.5.2尺    D.5尺 3如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前的高度是　      　． 4一根竹子高0.9丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代数学著作《九章算术》是的一个问题.其中丈、尺是长度单位，1丈=10尺.） 求河的宽度 1如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　） A.3米    B.6米    C.9米    D.10米 2如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A.0.7米    B.1.5米    C.2.2米    D.2.4米 3如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（∠C＝90°）绕过两地间的一片湖，在A，B间建好桥后，就可直接从A村到B村．若AC＝5km，BC＝12km，那么建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为　 　km． 4在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间（kǔn）一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D、C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸）两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度的和AB为 　    　寸． 5如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60 m，AC=20 m.求A，B两点间的距离（结果取整数）. 6如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 求台阶上毛毡的长度 1如图，在一个高为3米的楼梯表面铺地毯，地毯总长度为7米，则楼梯斜面长为（ ） A.4米    B.5米    C.6米    D.7米 2如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ） A.      B.      C.      D. 3如图，一段楼梯高是，斜边长，在楼梯上铺地毯，地毯至少长      m． 4某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　    　元． 选址使到两地距离相等 1如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．则E应建在距A　    　km. 2如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是         ． 3小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离． 4两根电线杆、，，，它们的底部相距，现在要在两根电线杆底端之间线段上选一点，由分别向两根电线杆顶端拉钢索、，若使钢索与相等，那么点应该选在距点多少米处？ 航海问题 1如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿南偏东30°方向以9节（1节＝1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西60°方向以12节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（　　） A.9海里    B.12海里      C.15海里    D.30海里 2如图，在水塔O的东北方向12 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向5 m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（　　） A.10 m    B.13 m      C.14 m    D.8 m 3如图，两艘轮船和分别从港口出发，轮船以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船以3海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离为      海里． 4如图，一艘轮船自西向东航行，航行到处测得小岛位于北偏东方向上，继续向东航行海里到达点处，测得小岛在轮船的北偏东方向上，此时轮船与小岛的距离为    海里． 5某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行.“远航”号每小时 航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位点Q，R处，且相距30n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 6如图，甲、乙两只捕捞船同时从港口出发捕鱼，甲船以每小时 千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时千米的速度沿东北方向前进，甲船航行小时到达处，于是甲船立即加速后保持匀速沿北偏东的方向追赶乙船，结果两船在处相遇． (1)求的度数； (2)求乙船航行多少小时被甲船追上． 受台风影响问题 1如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区 A.10    B.7    C.6    D.12 2如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ） A.秒      B.16秒    C.秒    D.24秒 3某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答：      ． 4某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当AC⊥BC时，A点到B，C两点的距离分别为500 km和300 km，以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域. (1)求BC； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为35 km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 5如图，、是两条公路，，沿公路方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路方向行驶的速度为18千米/小时． (1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离； (2)求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间． 最短路径问题 1如图所示，有一个高16cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底2cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处2cm的点F处有一滴凝固的蜂蜜，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度是（　　）cm． A.12    B.20    C.24    D.28 2如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m． A.8    B.5    C.20    D.10 3如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为 A.2      B.2 C.4      D.2 4如图，点A是正方体的棱CD上的一点，点B是正方体的一个顶点，已知正方体的棱长为3，且CA=2AD，则一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程为　　　　　. 5一只螳螂在一圆柱形松树树干的A点处，发现它的正上方B点处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干的周长为20cm，A、B两点的距离为15cm．若螳螂想吃掉在B点的小虫子，求螳螂绕行的最短路程． 其他实际问题 1如图，长为16cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了（　　） A.6cm    B.5cm    C.4cm    D.2cm 2如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近路，已知AB＝40米，BC＝30米，则走这条近路AC可以少走（　　）米路． A.20    B.30    C.40    D.50 3如图，有一根电线杆垂直立在地面D处，在电线杆的点C处引拉线固定电线杆，拉线AC＝BC＝6m，且和地面成60°，则电线杆引线处C离地面的高度（即CD的长）是（　　） A.3m    B.    C.    D. 4如图，公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的AB，BC两段构成，若BC段长度为8 cm，点A，C之间的距离比AB段长2 cm，则AB段的长度为_________cm. 5如图，某斜拉桥的主梁AD垂直桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB，AC长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B，C之间的距离为　　　　米. 6解决本课时的“情境引入”中的问题. 人教版（2024）八年级下册 20.1 勾股定理及其应用 暑期巩固（参考答案） 1用勾股定理求边长 1如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　） A.9    B.8    C.7    D.6 【答案】D 【解析】 解：由题意得：MN是AC的垂直平分线， ∴AC＝2AE＝8，DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C， ∵BD＝CD， ∴BD＝AD， ∴∠B＝∠BAD， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°， ∴2∠BAD+2∠DAC＝180°， ∴∠BAD+∠DAC＝90°， ∴∠BAC＝90°， 在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10， ∴AB＝＝＝6， 故选：D． 2如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18 cm，BC=24 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则BD的长为 A.15 cm B.16 cm C.18 cm D.20 cm 【答案】A 【解析】 由勾股定理，得AB==30 (cm)， 根据图形折叠的性质可知AE=AC=18 cm，CD=DE，则BE=AB-AE=12(cm). 设BD=x cm，则CD=DE=BC-BD=(24-x)cm. 根据BD2=BE2+DE2，可得 x2=122+(24-x)2， 解得x=15， 所以BD=15 cm. 3已知直角三角形的两边长分别为x，y，且满足|x2﹣4|+＝0，则第三边的长为（　　） A.    B.或 C.或    D.或或 【答案】D 【解析】 解：∵|x2﹣4|+＝0 ∴x2﹣4＝0，y2﹣5y+6＝0， 解得：x＝2（负值已舍去），y＝2或y＝3， 当x＝2，y＝2时，第三边长为＝2； 当x＝2，y＝3时，如果x、y都为直角边，第三边长为＝； 当x＝2，y＝3时，如果y为斜边，第三边长为＝； 综上所述，第三边的长为或或2， 故选：D． 4在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和3，则斜边长为　　　　　. 【答案】 【解析】 由勾股定理，斜边长为==. 5如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A(1，2)，C(5，2)，B(5，4)，则AB长度为　　　. 【答案】 2 【解析】 ∵△ABC的各顶点坐标为A(1，2)，C(5，2)，B(5，4)， ∴AC⊥BC，AC=5-1=4，BC=4-2=2， 根据勾股定理得AB===2. 6如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.求斜边AB的长. 【答案】 解：在Rt△ABC中， ∵∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC， 设BC=x，则AB=2x，∴AB2=BC2+AC2， ∴（2x）2=x2+22，∴4x2=x2+4， 解得x=（负值舍去）， ∴BC= ，AB=. 7如图，在△ABC中，AB=AC，BC=10，CD⊥AB，垂足为D，CD=8.求AC的长. 【答案】 解　∵CD⊥AB， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∵BC=10，CD=8， ∴在Rt△BCD中，BD===6， 设AC=AB=x，则AD=x-6， 在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2，即x2=(x-6)2+82， 解得x=，即AC=. 2求坐标系中两点间距离或点的坐标 1如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（1，3），以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则点B的坐标是（　　） A.    B.（3，0）      C.    D. 【答案】A 【解析】 解：∵O（0，0），A（1，3）， ∴OA＝＝， ∴OB＝OA＝， ∴点B的坐标是（，0）， 故选：A． 2如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】B 【解析】 解：点，的坐标分别为，， ． 故选：B． 3如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为（﹣3，0）和（7，0），AB＝AC＝13，则点A的坐标为（　　） A.（2，12）    B.（3，13）    C.（5，12）    D.（5，13） 【答案】A 【解析】 解：过点A作AD⊥BC于点D， ∵B（﹣3，0），C（7，0）， ∴OB＝3，BC＝10， ∵AC＝AB＝13， ∴BD＝CD＝BC＝5， ∴AD=＝12． ∴OD＝BD﹣OB＝2， ∴A（2，12）． 故选：A． 4已知点，，则线段的长为         【答案】 【解析】 解：∵点，， ∴． 故答案为：． 5如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A、B、C的坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的． (2)已知点P在x轴上，且，则点P的坐标是 ． (3)若y轴上存在点Q，使的周长最小，则点Q的坐标是 ． 【答案】 （1）解：如图，即为所求， （2）解：设点，由勾股定理得： ，， ∵， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 故答案为：； （3）解：连接，交轴于点，如图： ∵关于轴对称， ∴，， ∴的最小值为的长， ∴此时的周长最小， 设的函数关系式为， ∴， 解得：， ∴的函数关系式为， 当时，， ∴点， 故答案为：． 6已知，，在坐标轴上求点，使是等腰三角形． 【答案】 解：①当点在轴上时， 设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， （Ⅰ）当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为或； （Ⅱ）当时，是等腰三角形， 则，即， 整理得：， ， 解得或（舍去）， 此时点的坐标为； （Ⅲ）当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为； ②当点在轴上时， 设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， （Ⅰ）当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为或； （Ⅱ）当时，是等腰三角形， 则，即， 整理得：， ， 解得或（舍去）， 此时点的坐标为； （Ⅲ）当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或或或或或． 3折叠问题 1如图，是一张纸片，，现将其折叠，点与点重合，折痕为，则的长为（ ） A.      B.7    C.      D. 【答案】C 【解析】 解：∵， ∴， 根据翻折可得：， 设，根据图形翻折可得∶，， 在直角三角形中，根据勾股定理可得∶， 解得， ∴； 故选C． 2如图，在长方形纸片中，点M在边上，沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为，若，，则的长度为（ ） A.9    B.10    C.11    D.12 【答案】B 【解析】 解：∵长方形纸片沿所在的直线折叠， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴； 由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3如图，已知中，．现将进行折叠，使顶点重合．则线段        ． 【答案】 【解析】 解：在中，， ∴ ∵将进行折叠，使顶点重合 ∴， 设，在中， ∴ 解得： 则 ∴在中， 故答案为：． 4如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长. 【答案】 解　设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9-x， ∵D是BC的中点， ∴BD=3， 在Rt△NBD中，x2+32=(9-x)2， 解得x=4. 即BN=4. 4线段间平方关系问题 1如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（ ） A.      B. C.      D. 【答案】D 【解析】 解：设与交于点， ∵， ∴，，，， ∴， 整理得， 故选：D． 2如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD交于点O，若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2的值为（　　） A.20    B.18      C.16    D.1 【答案】A 【解析】 解：∵AC⊥BD， ∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝（OA2+OD2）+（OB2+OC2） ＝AD2+BC2＝22+42＝20， 故选：A． 3对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝5，则AB2+CD2＝　      　． 【答案】 29 【解析】 解：由题意知BD⊥AC， ∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°， 根据勾股定理得，OA2+OD2＝AD2＝22＝4，OB2+OC2＝BC2＝52＝25， ∴OA2+OD2+OB2+OC2＝4+25＝29， 根据勾股定理得，OA2+OB2＝AB2，OC2+OD2＝CD2， ∴AB2+CD2＝29， 故答案为：29． 4如图1，在中，，，D是边上一动点，连接，过C点作，交于点E于点F，M是边上的中点，连接交于点． (1)问题解决： （i）求证：； 连接，试探究之间的数量关系，并证明； (2)类比迁移： 如图2：在等边中,为边上的高，在线段上取点，连接，在射线上取一点E，连接使得，延长交于点F，在线段上取点N，使得，连接，请直接写出之间的数量关系． 【答案】 （1）证明：，， ， 点M是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：如图1， ，理由如下： 由（1）得， ，，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ，， ， ； （2）解：如图2， ，理由如下： 连接，并延长，交于G，连接， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ，，， ， ， ， 在中，，过点N作的垂线，垂足为点（如下图），则,， 在中， ， ， 5求无理数并在数轴上表示 1如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标为（　　） A.    B.      C.    D. 【答案】A 【解析】 解：根据题意，可知AB＝＝＝，AC＝AB， ∴AC＝， 又∵点A的坐标为（﹣2，0）， ∴点C的坐标为， 故选：A． 2如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上表示﹣2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　） A.-      B.      C.-      D. 【答案】A 【解析】 解：∵Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，AO＝2， ∴OB＝， 又∵OB＝OP， ∴OP＝， 又∵点P在原点的左边， ∴点P表示的数为-， 故选：A． 3在数轴上画出表示的点. 【答案】 解　如图所示，点C即为表示的点. 4在数轴上作出表示的点. 【答案】 解：∵17=16+1， ∴作出以1和4为直角边的直角三角形， 则斜边长是， 再以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的正半轴交于一点A， 则点A为,如图1所示： 6与赵爽弦图有关的问题 1中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（ ） A.40    B.42    C.48    D.56 【答案】D 【解析】 解：如图， ∵小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的，， ∴，，“数学风车”的周长为， ∵，， ∴， ∴“数学风车”的周长为， 故选：D． 2我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A.    B.8    C.    D. 【答案】D 【解析】 解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x， 则x2＝62+22＝40， 所以x＝2， 所以风车的外围周长为4（BD+AC）＝4×（2+3）＝8+12． 故选：D． 3如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5，AB=13，则EF的值是　　　　　　. 【答案】 7 【解析】 如图，∵AE=5，AB=13， ∴BE==12， ∴小正方形的面积为132-4××5×12=49， ∴EG=FG=7， ∴EF2=EG2+FG2=98， ∴EF的值是7. 4有5个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个大正方形. 【答案】 解　如图1，分割小正方形.如图2，拼接大正方形. 7求图形面积 1如图，AD是△ABC的高，分别以线段AB，BD，DC，CA为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为（　　） A.1    B.2    C.3    D.4 【答案】C 【解析】 解：∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴AD2＝AB2﹣BD2＝15﹣6＝9， ∴CD2＝AC2﹣AD2＝12﹣9＝3， ∴第四个正方形的面积为3， 故选：C． 2有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A.22023    B.22024    C.2023    D.2024 【答案】D 【解析】 解：由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1 ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024， 故选：D． 3在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，则△ABC的面积为（　　） A.12    B.24    C.10    D.20 【答案】A 【解析】 解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D， ∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴BD＝CD＝BC＝×6＝3， 在△ABD中， ∵AD2+BD2＝AB2， ∴AD＝＝＝4， ∴S△ABC＝BC•AD＝×4×6＝12， 故选：A． 4如图，以直角三角形三边为直径，分别向外作半圆，半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，已知S1＝2，S2＝3，则S3＝　     　． 【答案】 5 【解析】 解：设直角三角形三边分别为a，b，c，则三个半圆的半径分别为，，， 由勾股定理得a2+b2＝c2，即（）2+（）2＝（）2 两边同时乘以π得π（）2+π（）2＝π（）2 即S1、S2、S3之间的关系是S1+S2＝S3， ∵S1＝2，S2＝3， ∴S3＝5， 故答案为：5． 5如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE．若△ACD的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S1+S2的结果为 　    　． 【答案】 【解析】 解：∵分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE．△ACD的面积为S1，△BCE的面积为S2， ∴＝，＝， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AC2+BC2＝AB2＝25， ∴S1+S2＝＝， 故答案为：． 6等腰三角形的腰长为5 cm，底边上的中线长为4 cm，求这个等腰三角形的面积. 【答案】解　如图，∵AB=AC=5 cm，AD为底边上的中线，且AD=4 cm， ∴AD⊥BC，BD=CD=BC， ∴∠ADB=90°， ∴BD===3(cm)， ∴BC=2BD=2×3=6(cm)， ∴S△ABC=BC·AD=×6×4=12(cm2). 7图中数据分别表示其所在正方形的面积，请根据这些数据，分别求出未知的正方形面积A，B和C． 【答案】 解：如图， 由图及勾股定理得：，且， ∴，即正方形的面积为153； 同理可得：，． 8网格问题 1如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的高，则AD的长为（　　） A.    B.      C.    D. 【答案】D 【解析】 解：由题可得＝3×3－1×3×－2×3×－1×2×＝，BC＝＝， ∴AD××＝， 解得AD＝， 故选：D． 2第27届LG杯世界棋王赛决赛将于2023年2月举行，这也是2023年第一个世界围棋大赛决赛．如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（　　） A.    B.    C.    D. 【答案】D 【解析】 解：黑、白两棋子的距离＝． 故选：D． 3如图，在单位长度为1的4×4的网格中，下列线段长为的是（　　） A.AB      B.AC      C.AD      D.AE 【答案】D 【解析】 解：根据勾股定理得： AE＝＝， AD＝＝2， AC＝＝， AB＝＝2， 故选：D． 4如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为         ． 【答案】 【解析】 解：如图，作， 由勾股定理得， ∵， ， 解得：． 故答案为：． 5如图，每个格子都是边长为1的小正方形，∠ABC=90°，四边形ABCD的四个顶点都在格点上.则四边形ABCD的周长为　　　　　　. 【答案】12+5 【解析】AB=4，BC=3，CD==5，AD==5， ∴C四边形ABCD=4+3+5+5=12+5. 6如图，图1为4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1． （1）图1中正方形ABCD的面积为 　   　，边长为 　   　； （2）①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要求： Ⅰ．所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上； Ⅱ．所作的正方形的边长为． ②请在图2中的数轴上标出表示实数的点，保留作图痕迹． 【答案】 解：（1）正方形的边长为：，面积为：， 故答案为：10，； （2）①如图所示的正方形即为所作； ②如图2中，正方形EFGH是所画的面积为8的格点正方形， 以点E为圆心、EF为半径画弧，交数轴于点P，则点P的坐标为实数． 9求旗杆的高度 1为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（　　） A.1.0米    B.1.2米    C.1.25米    D.1.5米 【答案】A 【解析】 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.4米，BE＝CD＝1.8米，ED＝BC＝0.8米， ∴AE＝AB﹣BE＝2.4﹣1.8＝0.6（米）， 在Rt△ADE中，由勾股定理得到： AD＝＝＝1.0（米）， 故选：A． 2如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6 cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8 cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10 cm时，钟摆AD的长度是（　　） A.17 cm    B.24 cm      C.26 cm    D.28 cm 【答案】C 【解析】 解：设AB＝AD＝x cm， 根据题意可知CE＝BF＝8 cm， ∴AC＝AD+DE﹣CE＝x+6﹣8＝（x﹣2）cm， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AB2＝AC2+BC2，即x2＝（x﹣2）2+102， 解得x＝26． 故选：C． 3如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE，他们进行了如下操作： ①测得BD＝9米；（注：BD⊥CE） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC＝15米； ③牵线放风筝的小明身高1.6米． 则风筝的高度CE是 　   　米． 【答案】 13.6 【解析】 解：∵BD⊥CE， ∴∠BDC＝90°， 由勾股定理得， CD＝＝＝12（米）， ∵四边形BAED是矩形， ∴DE＝AB＝1.6（米）， ∴CE＝CD+DE＝12+1.6＝13.6（米）， 故答案为：13.6米． 4如图，小张在投篮训练时把球打到篮板的点D处后恰好进球，已知小张与篮板底的距离BC＝米，头顶与地面的距离AB＝1.65米，头顶与篮板点D处的距离AD＝3米，则点D到地面的距离CD为　    　米． 【答案】 3.15 【解析】 解：如图，过点A作AE⊥CD，则CE＝AB＝1.65米，AE＝BC＝米，AD＝3米， Rt△ADE中，DE＝＝（米）， ∴CD＝CE+ED＝1.65+1.5＝3.15（米）． 5[问题情境]某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度.如图1. [实践发现]数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知. [实践探究]设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是m米； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为n米.如图2. [问题解决]设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度. (1)用含有x的式子表示AC为　　　　　米； (2)若m=6，n=12，请你求出旗杆的高度； (3)保持(2)中条件不变，小明在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂(拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直)，后退至将绳子刚好拉直为止(如图3)，测得小明手臂伸直后的高度EF为2米，问小明需要后退几米？ 【答案】 解　(1)∵旗杆的高度AB为x米，多出部分绳子的长度是m米， ∴AC为(x+m)米. (2)∵m=6，n=12， ∴BC=12米，AC=(x+6)米， ∵AB2+BC2=AC2，即x2+122=(x+6)2， 解得x=9， 故旗杆的高度是9米. (3)由(2)知AB=9米，BC=12米，AE=AC=9+6=15(米)， 过点E作EM⊥AB于点M，如图，则BM=EF=2米，EM=BF， ∵AM2+EM2=AE2，即(9-2)2+EM2=152， 解得EM=4米， ∵BC=12米， ∴CF=BF-BC=EM-BC=(4-12)米. 故小明需要后退(4-12)米. 6学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）． 根据以上信息，求旗杆AB的高度． 【答案】 解：设AB＝x，则AE＝x﹣1，AC＝x+2，根据题意得： 在Rt△ACE中，根据勾股定理得：AC2＝AE2+CE2， ∴（x+2）2＝（x﹣1）2+92， ∴x＝13． 答：旗杆AB的高度为13米． 10求梯子滑落的高度 1如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为0.7 m．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3 m，木板顶端向下滑动了0.9 m，则小猫在木板上爬动的距离为（　　） A.3 m    B.2.5 m      C.2 m    D.1.5 m 【答案】B 【解析】 解：如图，已知AE＝1.3 m，AC＝0.7 m，BD＝0.9 m， 设CD＝x，AB＝DE＝y， 则BC＝0.9+x， 则在Rt△ABC中，y2＝（0.9+x）2+0.72， 在Rt△CDE中，y2＝x2+（1.3+0.7）2， 所以（0.9+x）2+0.72=x2+（1.3+0.7）2 解得x＝1.5 m，y＝2.5 m， 故选：B． 2如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（　　） A.2.5m    B.3m    C.1.5m    D.3.5m 【答案】A 【解析】 解：设BO＝xm， 依题意得：AC＝0.5m，BD＝0.5m，AO＝2m． 在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝22+x2， 在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2， ∴22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2， 解得：x＝1.5， ∴AB＝＝2.5（m）， 即梯子的长度AB为2.5m， 故选：A． 3如图，一个梯子AB长2米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.2米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD的长为0.4米，求梯子顶端A下落了 A.0.4米    B.0.5米    C.0.6米    D.0.7米 【答案】A 【解析】在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=22-1.22=2.56， ∴AC=1.6米， ∵BD=0.4米， ∴CD=1.6米. 在Rt△ECD中，EC2=ED2-CD2=22-1.62=1.44， ∴EC=1.2米， ∴AE=AC-EC=1.6-1.2=0.4(米). 即梯子顶端A下落了0.4米. 4如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 　    　米． 【答案】 2.7 【解析】 解：如图， 根据题意得：AE＝DE， 在Rt△ABE中，AB＝1.5米，BE＝2米， ∴AE=（米）， 在Rt△CDE中，DE＝2.5米，CD＝2.4米， ∴CE=（米）， ∴BC＝BE+CE＝2+0.7＝2.7（米）， ∴小巷的宽度为2.7米， 故答案为：2.7． 5如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了　 　米． 【答案】 9 【解析】 解：在Rt△ABC中： ∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米， ∴AB＝＝＝15（米）， ∵CD＝10（米）， ∴AD＝＝6（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米）， 答：船向岸边移动了9米， 故答案为：9． 6如图，一架2.6米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4米. ①求梯子的底端B距墙角O多少米？ ②如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？ 【答案】 解　①在Rt△AOB中， OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，则OB=1米. 所以梯子的底端B距墙角O1米. ②在Rt△COD中， OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15， 则OD≈1.77米.BD=OD-OB≈0.77(米). 所以梯子的顶端A沿墙下滑0.5米时，梯子的底端B并不是也外移0.5米，而是外移约0.77米. 7如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？ 【答案】 解：由题意可知，梯子底端B移到点D处，此时BD=OD-OB. AB=2.6 m，AO=2.4 m，AC=0.5 m，AO⊥BO， 根据勾股定理可得OB===1（m）． 在Rt△COD中，OC=OA-AC=2.4-0.5=1.9(m)． OD====（m）． 所以BD=OD-OB=(m)． ∴如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B外移，而外移的距离不是0.5 m. 11求大树折断前的高度 1如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从高地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　） A.4.5米    B.6米    C.米    D.9米 【答案】D 【解析】 解：∵AB＝3，∠ACB＝30°，∠ABC＝90°， ∴AC＝6， ∴这棵树在折断前的高度为AC+AB＝6+3＝9（米）． 故选：D． 2东汉《九章算术》中，“折竹抵底”问题，意思是：一根竹子，原高10尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后剩余部分的竹子高度为（　　） A.4.2尺    B.4尺      C.5.2尺    D.5尺 【答案】A 【解析】 解：如图所示， 由题意得∠AOB＝90°， 设折断处离地面的高度OA是x尺， 由勾股定理得x2+42＝（10﹣x）2，解得x＝4.2， 即折断后的竹子高度OA为4.2尺． 故选：A． 3如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前的高度是　      　． 【答案】 18 m 【解析】 解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12 m，旗杆离地面5 m折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，折断的旗杆为＝13（m）， 所以旗杆折断之前高度为13+5＝18（m）． 4一根竹子高0.9丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代数学著作《九章算术》是的一个问题.其中丈、尺是长度单位，1丈=10尺.） 【答案】 解：0.9丈=9尺， 设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（9-x）尺， 由勾股定理得x2+32=（9-x）2，解得x=4， ∴竹子折断处离地面的高度是4尺． 12求河的宽度 1如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　） A.3米    B.6米    C.9米    D.10米 【答案】C 【解析】 解：由题意可知，∠ACB＝90°， ∵AB＝15米，BC＝12米， ∴AC＝（米）， 故选：C． 2如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A.0.7米    B.1.5米    C.2.2米    D.2.4米 【答案】C 【解析】 解：如图， ∠ACB＝∠ACB＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.5m，DE＝2m． 在Rt△ABC中，AB＝＝＝2.5（m）． ∵AB＝BE， ∴BE＝2.5（m）， ∴BD＝＝＝1.5（m）， ∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米． 故选：C． 3如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（∠C＝90°）绕过两地间的一片湖，在A，B间建好桥后，就可直接从A村到B村．若AC＝5km，BC＝12km，那么建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为　 　km． 【答案】 4 【解析】 解：由勾股定理得AB＝＝＝13（km）， ∴建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为（5+12）﹣13＝4（km）． 故答案为4． 4在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间（kǔn）一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D、C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸）两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度的和AB为 　    　寸． 【答案】 101 【解析】 解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E， 则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1． 在Rt△ADE中， AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2， 解得2r＝101． 故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸． 故答案为：101． 5如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60 m，AC=20 m.求A，B两点间的距离（结果取整数）. 【答案】 解：∵CB=60 m,AC=20 m,∠BAC=90°， 在Rt△ABC中，AB===40≈57（m）． ∴A，B两点间距离约为57 m. 6如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 【答案】 解：（1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米， ∴AC=（米）， ∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米）， ∴BC=（米）， ∴CE＝AC﹣BC＝（25﹣）米， 答：此人需向右移动的距离为（）米． （2）∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米）， 且此人以0.5米每秒的速度收绳， ∴收绳时间， 答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 13求台阶上毛毡的长度 1如图，在一个高为3米的楼梯表面铺地毯，地毯总长度为7米，则楼梯斜面长为（ ） A.4米    B.5米    C.6米    D.7米 【答案】B 【解析】 解：如图所示， 由题意得米， ∵米， ∴米， ∴则米， 故选：B． 2如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】C 【解析】 解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选C． 3如图，一段楼梯高是，斜边长，在楼梯上铺地毯，地毯至少长      m． 【答案】 14 【解析】 解：∵是直角三角形，， ∴， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为（米）． 故答案为：14． 4某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　    　元． 【答案】 680 【解析】 解：由勾股定理得AB＝＝＝12（m）， 则地毯总长为12+5＝17（m）， 则地毯的总面积为17×2＝34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）． 故答案为：680． 14选址使到两地距离相等 1如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．则E应建在距A　    　km. 【答案】 15 【解析】 解：设AE＝xkm，则BE＝（25﹣x）km，根据题意可得： ∵DE＝CE， ∴AD2+AE2＝BE2+BC2， 故102+x2＝（25﹣x）2+152， 解得；x＝15． 故答案为：15． 2如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是         ． 【答案】 【解析】 解：由题意知，，，， 设，则， 因为于A，于B， 所以在与中， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离． 【答案】 解：由题意得：公里，公里，，， （公里）， 设公里，则公里， 在中，，即， 解得（公里）， 答：小渝家到见面地点的距离为公里． 4两根电线杆、，，，它们的底部相距，现在要在两根电线杆底端之间线段上选一点，由分别向两根电线杆顶端拉钢索、，若使钢索与相等，那么点应该选在距点多少米处？ 【答案】 解；由题意可得：， 设，则， ∵， ∴ 解得： 答：E点应该选在距B点的地方． 15航海问题 1如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿南偏东30°方向以9节（1节＝1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西60°方向以12节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（　　） A.9海里    B.12海里      C.15海里    D.30海里 【答案】D 【解析】 解：如图， 由题意得AO＝2×9＝18（海里），BO＝2×12＝24（海里），∠COB＝60°，∠AOC＝30°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°， 在Rt△AOB中，AB＝＝＝30（海里）， ∴此时两舰的距离是30海里． 故选：D． 2如图，在水塔O的东北方向12 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向5 m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（　　） A.10 m    B.13 m      C.14 m    D.8 m 【答案】B 【解析】 解：∵∠AOB＝90°， 又∵OA＝12 m，OB＝5 m， ∴AB＝＝＝＝13（m）． 故选：B． 3如图，两艘轮船和分别从港口出发，轮船以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船以3海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离为      海里． 【答案】 25 【解析】 解：连接如图， ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 在中，（海里），（海里）， 根据勾股定理得（海里）． 故答案为：25． 4如图，一艘轮船自西向东航行，航行到处测得小岛位于北偏东方向上，继续向东航行海里到达点处，测得小岛在轮船的北偏东方向上，此时轮船与小岛的距离为    海里． 【答案】 【解析】 过点作于点， ∴，， ∵（海里）， ∴（海里）， ∵小岛在轮船的北偏东方向上， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴（海里）， 故答案为：． 5某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行.“远航”号每小时 航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位点Q，R处，且相距30n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】 解：由题意可得RP=12×1.5=18（海里）， PQ=16×1.5=24（海里），QR=30海里， ∵182+242=302， ∴△RPQ是直角三角形， ∴∠RPQ=90°， ∵“远航”号沿东北方向航行， ∴∠RPS=45°， ∴“海天”号沿北偏西45°方向航行. 6如图，甲、乙两只捕捞船同时从港口出发捕鱼，甲船以每小时 千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时千米的速度沿东北方向前进，甲船航行小时到达处，于是甲船立即加速后保持匀速沿北偏东的方向追赶乙船，结果两船在处相遇． (1)求的度数； (2)求乙船航行多少小时被甲船追上． 【答案】 解：（1）如图： 由题意得： ，，， ， ， ， ， 的度数为； （2）过点作，垂足为， 由题意得： ， 在中，， 千米， 千米， 在中，， 千米， 小时， 乙船航行4小时被甲船追上． 16受台风影响问题 1如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区 A.10    B.7    C.6    D.12 【答案】B 【解析】 解：由题意，作图如下： 设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出： CE=40x千米，BB′=20x千米， ∵BC=500km，AB=300km， ∴AC=400km， ∴AE=400-40x，AB′=300-20x， ∴AE2+AB′2=EB′2， 即（400-40x）2+（300-20x）2=2002， 解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）． 故答案为：B． 2如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ） A.秒      B.16秒    C.秒    D.24秒 【答案】B 【解析】 解：如图， 以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴ AC＝120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB＝200米，∵ AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得: BC＝160米∴BD＝2BC＝320米,∵72千米/小时＝20米/秒,∴影响时间应是320÷20＝16 (秒)，故答案选B. 3某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答：      ． 【答案】 需要封锁 【解析】 解：公路AB需要暂时封锁．理由如下： 如图，过C作CD⊥AB于D． 根据题意得：BC=40米，AC=30米，∠ACB=90°， ∴米， ∵， ∴米， ∵24米＜25米， ∴有危险，公路段需要暂时封锁． 故答案为：需要封锁 4某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当AC⊥BC时，A点到B，C两点的距离分别为500 km和300 km，以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域. (1)求BC； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为35 km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】 解　(1)∵AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， ∵AB=500 km，AC=300 km， ∴BC===400(km). (2)海港C受台风影响，理由如下： 过点C作CD⊥AB，如图. ∵AC=300 km，BC=400 km，AB=500 km， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴AC·BC=CD·AB， ∴300×400=500·CD， ∴CD=240 km， ∵以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响. (3)当EC=250 km，FC=250 km时，正好影响C港口， ∵ED==70(km)， ∴EF=140 km， ∵台风的速度为35 km/h， ∴140÷35=4(h)， 故海港C受台风影响的时间会持续4 h. 5如图，、是两条公路，，沿公路方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路方向行驶的速度为18千米/小时． (1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离； (2)求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间． 【答案】 解：（1）如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度． ∴的长度为对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离． ∵，， ∴． 答：卡车对学校的噪声影响最大时，卡车与学校的距离为． （2）如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 17最短路径问题 1如图所示，有一个高16cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底2cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处2cm的点F处有一滴凝固的蜂蜜，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度是（　　）cm． A.12    B.20    C.24    D.28 【答案】B 【解析】 解：如图所示，作点F关于AB的对称点F′，连接SF′，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度＝SF′的长度， 过S作SE⊥F′F于E， 在Rt△SEF′中，∵SE＝×24＝12（cm），EF＝16﹣2+2＝16（cm）， ∴SF'＝＝20（cm）． 故选：B． 2如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m． A.8    B.5    C.20    D.10 【答案】C 【解析】 解：如图，线段AB即为所需彩带最短， 由图可知AC＝3×4＝12，BC＝16， ∴由勾股定理得，， 故选：C． 3如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为 A.2      B.2 C.4      D.2 【答案】A 【解析】 如图，圆柱的侧面展开得到一个矩形， 矩形的长为×π×4=2π，宽为4， 因为S是BC的中点，所以SB=2，所以利用勾股定理可得最短距离为=2. 4如图，点A是正方体的棱CD上的一点，点B是正方体的一个顶点，已知正方体的棱长为3，且CA=2AD，则一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程为　　　　　. 【答案】 5 【解析】 共有两种不同结果： ①如图1， ∵正方体的棱长为3，且CA=2AD， ∴AD=×3=1，DE=BE=3， ∴AE=3+1=4， 则由勾股定理得AB==5； ②如图2， ∵AD=1，BD=3+3=6， 由勾股定理得AB==， ∵5<， ∴蚂蚁从点A沿正方体的表面爬行到点B的最短路程是5. 5一只螳螂在一圆柱形松树树干的A点处，发现它的正上方B点处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干的周长为20cm，A、B两点的距离为15cm．若螳螂想吃掉在B点的小虫子，求螳螂绕行的最短路程． 【答案】 解：把这段树干看成用纸卷成的圆柱，从AB处将它展开如下： 则AB极为所为的最短距离． 其中BC＝15cm，AC＝20cm， 在Rt△ACB中，AB＝＝＝25（cm）． 答：螳螂绕行的最短路程是25cm． 18其他实际问题 1如图，长为16cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了（　　） A.6cm    B.5cm    C.4cm    D.2cm 【答案】C 【解析】 解：由题意可知：AB＝16cm，DC垂直平分AB，DC＝6cm， ∴AC＝AB＝8cm，AD＝BD， 根据勾股定理可得：AD＝（cm）， ∴橡皮筋被拉长了：AD+BD﹣AB＝10+10﹣16＝4（cm）， 故选：C． 2如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近路，已知AB＝40米，BC＝30米，则走这条近路AC可以少走（　　）米路． A.20    B.30    C.40    D.50 【答案】A 【解析】 解：在Rt△ABC中， ∵AB＝40米，BC＝30米， ∴AC＝＝50（米）， 30+40﹣50＝20（米）， ∴走这条近路AC可以少走20米的路． 故选：A． 3如图，有一根电线杆垂直立在地面D处，在电线杆的点C处引拉线固定电线杆，拉线AC＝BC＝6m，且和地面成60°，则电线杆引线处C离地面的高度（即CD的长）是（　　） A.3m    B.    C.    D. 【答案】D 【解析】 解：∵CD⊥AB，∠CBD＝60°， ∴∠BCD＝30°， ∴DB=BC=3m， 在Rt△BCD中，CD=， 故选：D． 4如图，公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的AB，BC两段构成，若BC段长度为8 cm，点A，C之间的距离比AB段长2 cm，则AB段的长度为_________cm. 【答案】 15 【解析】 由题意，∠ABC=90°，BC=8 cm， 设AB=x cm，则AC=cm， 由勾股定理，得AC2=AB2+BC2， ∴=x2+82， 解得x=15， ∴AB=15 cm. 5如图，某斜拉桥的主梁AD垂直桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB，AC长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B，C之间的距离为　　　　米. 【答案】 21 【解析】 ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵AB，AC长分别为13米、20米，AD的高度为12米， ∴BD===5(米)，DC===16(米)， ∴BC=BD+DC=5+16=21(米). 6解决本课时的“情境引入”中的问题. 【答案】 解　设AD=x尺，则AC=(x+3)尺， 有AD2+DC2=AC2， 可列方程，得x2+62=(x+3)2， 解方程得x=4.5. 所以这个湖水在此的深度是4.5尺. 学科网（北京）股份有限公司 $