四川省眉山冠城实验学校2025-2026学年高一下学期人教A版数学周测7　基本立体图形及直观图、简单几何体的表面积与体积

**基本信息** 聚焦立体几何核心内容，通过斜二测画法还原（第2题）、外接球计算（第6题）等题，考查空间观念与几何直观，结合阿基米德多面体（第8题）、预制件应用（第15题），体现数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6/30|棱锥结构判断（第1题）、圆锥表面积（第3题）|基础概念辨析，梯度合理| |多选|3/18|圆台性质（第9题）、阿基米德多面体（第8题）|跨文化情境，综合空间想象| |填空|3/15|球截面距离（第5题）、圆柱内球（第12题）|真题热点（如球的切接）| |解答|3/37|圆柱表面积（第13题）、预制件体积表面积（第15题）|实际应用，融合运算推理|

周测7　基本立体图形及直观图、简单几何体的表面积与体积 (时间：75分钟　分值：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.下列关于几何体特征的判断正确的是 A.一个斜棱柱的侧面不可能是矩形 B.底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥 C.有一个面是n(n>3，n∈N)边形的棱锥一定是n棱锥 D.平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的矩形 2.如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形的面积为 A.2 B. C.2 D.4 3.若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则圆锥的表面积为 A.2π B.3π C.4π D. 4.用一平面截圆柱，得到如图所示的几何体，截面椭圆的长轴两端点到底面的距离分别为3和5，圆柱的底面直径为4，则该几何体的体积为 A.16π B.32π C.8π D.64π 5.两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是 A.1或3 B.3或7 C.4 D.1或7 6.棱长为6的正四面体ABCD与正三棱锥E-BCD的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在同一球的球面上，则正三棱锥E-BCD的体积为 A.9 B.24 C.36 D.72 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列命题中正确的有 A.圆锥、圆台的底面都是圆面 B.用一个平面去截圆柱，截面一定是圆 C.用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台 D.分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周后得到的两个空间图形是两个不同的圆柱 8.“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同.有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体E-ABCD-F的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体 A.共有18个顶点 B.共有36条棱 C.表面积为6+8 D.与正八面体E-ABCD-F的体积之比为8∶9 9.如图，在圆台O1O2中，母线AB与下底面所成的角为60°，BC为上底面直径，O2A=6O1B=6，则 A.圆台的母线长为10 B.圆台的侧面积为70π C.由点A出发沿侧面到达点C的最短距离是2 D.在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是4 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 10.圆台的两底面半径分别为2，5，母线长是3，则其轴截面面积是　　　　　.  11.已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为16π，则球心O到平面ABC的距离为　　　　.  12.(2025·全国Ⅱ卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为　　　　　　 cm.  四、解答题(本题共3小题，共37分) 13.(12分)已知一个圆柱的侧面展开图是边长为6π和8π的矩形，求该圆柱的表面积. 14.(12分)如图所示，已知一个半径为6的半圆面剪去了一个等腰△ABC，将剩余部分绕着直径AB所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点C为半圆弧的中点，求该几何体的表面积和体积. 15.(13分)某市政府为做好城市基础设施配套建设，优化公园环境，方便市民休闲活动，计划在城市公园内的一条小河上建造一座桥.建造该桥时所用的钢筋混凝土预制件示意图(由一个长方体挖去一个直四棱柱而成)及其尺寸(单位：m)如图所示. (1)浇制一个这样的预制件需要多少立方米钢筋混凝土(钢筋体积忽略不计)？(6分) (2)为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液(假定保护液涂层均匀，且单位面积使用的保护液一定)，为合理购买保护液数量，请计算该预制件的表面积是多少.(≈0.32，结果精确到0.01)(7分) 参考答案 1.答案　C 解析　对于A，斜棱柱的侧面中，可以有的侧面是矩形，所以A不正确；对于B，根据正棱锥的定义，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面多边形的中心的棱锥是正棱锥，所以B不正确；对于C，根据棱锥的分类，可得有一个面是n(n>3，n∈N)边形的棱锥一定是n棱锥，所以C正确；对于D，平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的平行四边形，所以D不正确. 2.答案　D 解析　把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示. 设该梯形的上底为a，下底为b，高为h， 则直观图中等腰梯形的高为h'=hsin 45°， ∵等腰梯形OA'B'C'的面积为 (a+b)h'=(a+b)·hsin 45°=， ∴(a+b)·h==4. ∴原梯形的面积为4. 3.答案　C 解析　∵圆锥侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形， ∴圆锥的母线长为l=3，底面周长即扇形的弧长为×3=2π， ∴底面圆的半径r=1， ∴圆锥的表面积为×2π×3+π×12=4π. 4.答案　A 解析　作出几何体的轴截面如图所示， 则所求几何体是由一个底面直径为4，高为3的圆柱与一个底面直径为4，高为2的圆柱的一半构成， 所以所求几何体的体积为 V=π×22×3+π×22×2=16π. 5.答案　D 解析　由题意得，两截面圆半径分别为 r1==3，r2==4， 如图①所示，若两个平行平面在球心同侧， 则这两个平面间的距离CD=OC-OD=-=4-3=1； 如图②所示，若两个平行截面在球心两侧， 则这两个平面间的距离CD=OC+OD=+=4+3=7. 6.答案　A 解析　如图，G是△BCD的外心，AG是正四面体ABCD的高，O是外接球球心，O在AG上，设外接球的半径为R， 则DG=××6=2， AG===2， 由OD2=OG2+DG2得 R2=+，解得R=， 所以EG=2R-AG=2×-2=， 因为S△BCD=×62=9， 所以V正三棱锥E-BCD=×9×=9. 7.答案　AD 解析　对于A，圆锥、圆台的底面都是圆面，故A正确；对于B，用一个平面去截圆柱，如轴截面是矩形，故B错误；对于C，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故C错误；对于D，分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周后得到的两个空间图形是两个不同的圆柱，故D正确. 8.答案　BD 解析　由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A错误，B正确； 该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成， 故该多面体的表面积为6×1+8×6××1×1×sin 60°=6+12，故C错误； 每个角截去的小正四棱锥与正四棱锥E-ABCD的棱长之比为1∶3，则它们的体积之比为1∶27，所以截去的6个角与正八面体E-ABCD-F的体积之比为6∶(27×2)=1∶9，故该阿基米德多面体与正八面体E-ABCD-F的体积之比为8∶9，故D正确. 9.答案　ABD 解析　对A，母线长为=10，故A正确； 对B，由A知母线长为10，则根据圆台的侧面积公式S=π×10×(1+6)=70π，故B正确； 对C，由题意，侧面展开图的圆心角为=π，且AC==2，但线段AC有小部分不在扇环上，所以由点A出发沿侧面到达点C的最短距离大于2，故C错误； 对D，由题意得，该圆台的轴截面可补全为一个边长为12的正三角形，故圆台中能放下的最大球的半径为=2，直径为4，故在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体为该球的内接正方体，棱长为=4，故D正确. 10.答案　63 解析　设圆台的高为h，则h==9， 所以轴截面面积S=×(4+10)×9=63. 11.答案　1 解析　如图，设O1是△ABC的外心，由△ABC是面积为的等边三角形，可得AB2=， ∴AB=BC=AC=3， ∴AO1=××3=， 设球O的半径为R，由球O的表面积为16π， 得4πR2=16π，解得R=2， ∴点O到平面ABC的距离为 ==1. 12.答案　 解析　设铁球的半径为r cm. 分三种情况讨论. 情况一：竖直排列(一个在上，一个在下)，则4r≤9， ∴r≤； 情况二：水平排列(并排放置)，则4r≤8， ∴r≤2； 情况三：斜向排列，截面图如图所示，0<r<4， 由图可知(8-2r)2+(9-2r)2=4r2， 即4r2-68r+145=0，即(2r-5)(2r-29)=0， 解得r=或r=(舍去). 综上所述，铁球半径的最大值为 cm. 13.解　当以AB边为底面周长时，底面圆半径r1==3，高h1=8π， 所以表面积为2π+2πr1h1=2π×32+2π×3×8π=18π+48π2 ； 当以AD边为底面周长时，底面圆半径r2==4，高h2=6π， 所以表面积为2π+2πr2h2=2π×42+2π×4×6π=32π+48π2， 综上，该圆柱的表面积是48π2+32π或48π2+18π. 14.解　作CO⊥AB，如图所示， 因为△ABC是等腰三角形， 所以O为圆心， 因为r=6，所以AC=BC=6，CO=6， 所以S圆锥AO侧=S圆锥BO侧=π×6×6=36π， 所以S几何体=S球+S圆锥AO侧+S圆锥BO侧=4π×62+2×36π=(144+72)π， 则V圆锥AO=V圆锥BO=π×62×6=72π， 所以V几何体=V球-(V圆锥AO+V圆锥BO) =π×63-2×72π=144π. 15.解　(1)由题意知，该预制件是由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的直四棱柱EFGH-E1F1G1H1后剩下的几何体， 则所求混凝土的量等价于该几何体的体积， 因为S几何体底ABCDEFGH=0.6×1.1-×(0.5+0.3)×0.3=0.54(m2)， 所以V=S几何体底ABCDEFGH·AA1=0.54×21=11.34(m3)， 故浇制一个这样的预制件需要11.34 m3钢筋混凝土. (2)由(1)可知，该预制件底面面积为2S几何体底ABCDEFGH=2×0.54=1.08(m2)， 其余侧面均为长方形，且AB=CD=0.6，BC=1.1，EF=GH==≈0.32， HA=DE=FG=0.3， 所有侧面面积之和为(AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA)×AA1 =(0.6+1.1+0.6+0.3×3+0.32×2)×21=80.64(m2)， 所以该预制件的表面积是1.08+80.64=81.72(m2). 学科网（北京）股份有限公司 $