专题04 三角形（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材华东师大版

### 基本信息 以三角形核心概念为轴，通过13类题型系统覆盖从基础作图到综合应用，构建"概念-性质-拓展"的递进式训练体系，培养几何直观与推理意识。 ### 专项设计 |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形要素|题型1-6（各3题）|高/中线/角平分线的作图、计算及面积应用|从图形基本要素入手，建立"几何作图-数量关系-面积转化"的认知链| |角关系应用|题型7-10（各3题）|内角和、外角、角平分线综合、折叠角度问题|以内角和定理为核心，延伸至外角性质及动态变换（折叠）中的角度推理| |边与多边形|题型11-13（各3题）|三边关系、多边形内角和/外角和、密铺问题|从三角形三边关系拓展至多边形性质，衔接实际应用（密铺），体现知识迁移|

扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04三角形 题型归纳·内容导航 题型1画三角形的高 题型7与角平分线有关的三角形内角和问题 题型2与三角形的高有关的计算 题型8三角形折叠中的角度问题 题型3利用网格求三角形的面积 题型9三角形内角和定理的应用 题型4根据三角形中线求长度 题型10三角形的外角 题型5根据三角形中线求面积 题型11三角形的三边关系 题型6三角形角平分线 题型12多边形的内角和与外角和 题型13用正多边形铺设地面 题型通关·靶向提分 题型一画三角形的高（共3小题） 1.如图，在△ABC中，BC边上的高是线段 2.图中能表示△ABC的BC边上的高的是() H B.4 B C D E 3.用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是() 1/12 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D 题型二与三角形的高有关的计算（共3小题） 4.在直角△ABC中∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，且AB=5,AC=4,BC=3,则CD的长为 5.在△ABC中，∠A=90°，AB=3,AC=4,BC=5,则点A到BC的距离是() A.9 B.号 c.号 D.号 6.如图，己知△ABC,∠C=90°，AC=3,BC=4,AB=5,则点C到AB边的距离是 B 题型三利用网格求三角形的面积（共3小题） 7.如图，每个小正方形的边长为1个单位 6 (I)画出△ABC的AB边上的高CD,垂足为D; (2)求△ABC的面积. 8.如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上. 2/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (I)仅利用无刻度的直尺画出△ABC的中线AD与角平分线CE: (2)△ABC的面积为 △ABD的面积为 9.在如图所示的方格纸中，点A、B、C均在格点上 B (I)连接BC,过点A作BC的平行线AD; (2)连接AC,过点B作AC的垂线，垂足为E; (3)连接AB,则三角形ABC的面积为_， 题型四根据三角形中线求长度（共3小题） 10.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长是23cm,△ABD的周长是18cm,AC比 AB长多少cm? D 11.如图，△ABC的周长为30cm,AD是边BC上的中线，若CD=6cm,AC=11cm,则AB的长为(） 3/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.11cm B.7cm C.6cm D.5cm 12.如图，在△ABC中AC>AB,AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求 AC和AB的长. A B 题型五根据三角形中线求面积（共3小题） 13.如图，在△ABC中，D,B,F分别为BC,AD,CE的中点，且S△ABC=4cm2,则S△BE= cm2. B D 14.如图，在△ABC中，AD为中线，DE,DF分别是△ADB,△ADC的高，若AB=4cm,AC=3cm' DF=2cm,则DE的长是() E D A.号cm B.1cm C.2cm D.cm 15.如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边BD上的中线，BF是△ABE的边AE上的中线，连 接CE,CF.若△ABC的面积是16，则阴影部分的面积是 B 题型六三角形角平分线（共3小题） 16.如图，已知：CD平分∠ACB,ACDE,CDIEF,求证：EF平分∠DEB. 4/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 证明：：CD平分∠ACB(已知)， ·∠DCA=∠DCE(角平分线的定义). :ACDE(己知)， ·∠DCA=_-; ·∠DCE=∠CDE(等量代换). :CDEF(己知)， -=∠CDE(), ∠DCE=∠BEF(), “=_(等量代换)， ·EF平分∠DEB() 17.如图，己知直线AB、CD相交于点0，OA平分∠E0C. D M B (1)若∠E0C=70°，求∠B0D的度数； (2)过点O作ON⊥OE,M为OE上异于点0的一点.连接MN.则线段MN与0N的大小关系为：MNON (填如图“>”、“<”、“=”)，理由为 18.如图，AC与BD相交于点E,∠1=65°，∠D=65°. (1)若∠A=30°，求∠ACD的度数； (2)取线段AB的中点F,连结EF.若∠AFE+∠BCD=180°，∠A=∠AEF.求证：CA平分∠BCD, 题型七与角平分线有关的三角形内角和问题（共3小题） 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 19.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点，PELAD交直线BC于点E: B D (1)∠B=30°，∠ACB=80°，求∠E的度数； (②)当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，并证明. 20.【问题情境】 如图，在△ABC中，∠BAC=a,BF是△ABC的角平分线，过AC边上一点D,作DE⊥BC于点E,∠ADE的 平分线DG交BC于点G. 【特例分析】 (1)如图1，若=90°，求∠1与∠2的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，若0°<C<90°，DG的延长线与FB的延长线交于点H,求∠H的度数.（结果用含c的代数式 表示) 4 D 2 B☑ G G 图1 H 图2 21.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,∠A=68°，∠BCD=31°，求∠ADC的度数 题型八三角形折叠中的角度问题（共3小题） 22.如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=50°，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED ,AE与BC相交于点F. 6/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B-- E (I)填空：∠AFC= (2)求∠EDF的度数. 23.如图，有一张三角形纸片ABC,∠B=30°，∠C=50°，D是AB边上的固定点(BD<克AB)·E为BC 上一点，将纸片沿DE折叠(DE为折痕)，使点B落在点F处，EF与三角形ABC的一边平行.此时 ∠BED的度数为 B< E 24.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A处，且BA'平分∠ABC,CA平分∠ACB,若 ∠BAC=115°，∠1=50°，则∠2的度数为() B A.50° B.55° C.60° D.65° 题型九三角形内角和定理的应用（共3小题） 25.如图，已知ABIICD,点Q为射线CD外一点，AH平分∠QAB,CH交AH于点H.若∠QCH:∠HCD=2:3 ,∠HCD=30°，∠AHC=25°，则∠AQC=° 26.如图，在四边形ABCD中，G是BC上一点，过点G作GEIAB,GFIJCD.若∠A+∠D=115°，∠EGF= 7/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 27.如图，在△ABC中，AB=AC,∠ABC=2∠A,BD是边AC上的高，求∠DBC的度数. D 题型十三角形的外角（共3小题） 28.综合与探究 【感知】如图1，在△ABC中，BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， 【应用】 图1 图2 (1)若∠ABC=50°，LACB=70°，则∠BPC=-;若∠BAC=70°，则∠BPC=-; (②)求∠BPC与∠A之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形ABCD中，BP,CP分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，求∠BPC与∠A+∠D的数量关系. 29.综合与探究. 问题背景：已知如图1，凹四边形ABDC 图(1) 图(2) 图(3) 初探： 8/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)试探究∠BDC与∠A,∠B,∠C之间的数量关系，并说明理由； 应用 (②)请你直接利用以上结论，解决下面问题. 如图2，把一块三角尺EFG放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边EG,FG恰好经过点B,C,若 ∠A=38°，则LABG+ACG=; 拓展 (3)如图3，DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=70°，∠DBE=120°，求∠DCE的度数. 30.如图，点E,F,G分别在直线CD,ABAD上，已知∠A=∠D,∠CEB=∠BFG (1)FG与BE平行吗？请说明理由； (2)若∠D=30°，∠BFG=135°，求∠FGD的度数. 题型十一三角形的三边关系（共3小题） 31.有两根长度分别为4cm,9cm的木棒，再确定一根长为整数（单位：cm)的木棒与己有的两根木棒钉 成一个三角形木框，木棒长度的选择方案有() A.6种 B.7种 C.8种 D.9种 32.己知△ABC的两条边长分别为2和5，则第三边x的取值范围为 33.如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB 和CD)，这样做的依据是 题型士二多边形的内角和与外角和（共3小题） 34.若一个凸多边形的内角和的宝比一个七边形的外角和多135°，求多边形的边数. 35.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是()· A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形 36.如图，过一个顶点，四边形有1条对角线：五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：按此规律， 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过十二边形一个顶点的对角线有() … A.9条 B.10条 C.11条 D.12条 题型土三用正多边形铺设地面（共3小题） 37.综合与实践 问题背景：平面密铺不仅在数学题目中常见，它在实际生活中也有着广泛的应用.例如图1，在建筑装饰中， 常常可以看到用不同形状和颜色的地砖进行拼接，以达到美观和实用的效果.为了更多地了解平面密铺， 七(2)班的同学们就多边形的平面密铺进行了一系列的研究，并提出了一些问题. 图1 E 图2 图3 问题一： (I)“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成(n一2)个三角形，得到其内角和是为 (n一2)×180”，其中体现的数学思想主要是 ； A.整体思想 B.转化思想 C.方程思想 D.类比思想 (2)填表： 正多边形的边数 4 5 6 10/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 正多边形每个内角的 90° 度数 问题二 (3)给出下列正多边形：①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形；用上述正多边形中的一种能 够铺满地面的是；（填序号） (④)用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是 ； A.内角都是整十数度数 B.边数都是3的整数倍 C.内角整除360° D.内角整除180° 问题三 (⑤)用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有a个正三角形，b个正六边形， 请探究ab之间满足的关系式，并说明理由； (⑥图3是图2中的一个基本图形，若LC=∠E=90°，∠A=∠B=∠D,则∠A= 正多边形的边数 4 5 6 正多边形每个内角的 90° 108° 120° 度数 38.小芳用三个全等的正m边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处 无空隙，不重叠.如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则m=· 39.如图是一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化情况，解答下列问题. (①)将表格补充完整； 11/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 正多边形的 5 6 边数 《的度数 (②)观察上面表格中α的变化规律，&的度数与正多边形的边数的关系为； (3)根据规律，当α=18时，正多边形的边数n= 12/12专题04 三角形 题型1 画三角形的高 题型7 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型2 与三角形的高有关的计算 题型8 三角形折叠中的角度问题 题型3 利用网格求三角形的面积 题型9 三角形内角和定理的应用 题型4根据三角形中线求长度 题型10 三角形的外角 题型5 根据三角形中线求面积 题型11 三角形的三边关系 题型6 三角形角平分线 题型12 多边形的内角和与外角和 题型13 用正多边形铺设地面 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 画三角形的高（共3小题） 1．如图，在中，边上的高是线段______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高，根据在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点到垂足之间的线段来确定高是． 【详解】解：由图可知，中，边上的高是． 故答案为：． 2．图中能表示△ABC的BC边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形高线的定义对各选项进行判断． 【详解】解：题中需要画的边上的高．应当过顶点A向边作垂线，顶点A到垂足E的垂线段就为边上的高． 故选：D． 3．用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高，根据三角形的高的定义一一判断即可． 【详解】解：A、可以作的边上的高，此选项符合题意； B、不是的边上的高，此选项不符合题意； C、不是的边上的高，此选项不符合题意； D、是的边上的高，不是边上的高，此选项不符合题意； 故选：A． 题型二 与三角形的高有关的计算（共3小题） 4．在直角中，是边上的高线，且，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积计算、一元一次方程的应用等知识点，利用等面积法列出方程成为解题的关键． 由直角三角形的面积公式得到，然后代值求解方程即可． 【详解】解：如图： ∵，， ∴，即， ∴， 解得：． 故答案为． 5．在中，，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直角三角形中，点到斜边的距离可以通过面积法求解；利用两种不同的面积表达式建立方程，解出高即可. 【详解】解：∵ 为直角三角形，直角边，， ∴ ∵设点 到的距离为， ∴ ∴，解得： 故选：C. 6．如图，已知，，，，，则点到边的距离是__________． 【答案】 【分析】本题考查点到直线的距离，根据面积相等即可求出点C到的距离． 【详解】解：如图，作于点D， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴点C到边的距离是． 故答案为：． 题型三 利用网格求三角形的面积（共3小题） 7．如图，每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出的边上的高，垂足为D； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)的面积为． 【分析】本题考查画三角形的高，求格点三角形的面积，解题的关键是会用割补法求面积． （1）延长，过点作延长线的垂线即可； （2）用割补法，借助网格，即可求得三角形的面积． 【详解】（1）解：如图，延长，过点作延长线的垂线，垂足为，线段即为的边上的高． （2）解：∵每个小正方形的边长为1个单位， ∴ 答：的面积为． 8．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． (1)仅利用无刻度的直尺画出的中线与角平分线； (2)的面积为___________，的面积为___________． 【答案】(1)作图见解析 (2)， 【分析】本题考查了中线，角平分线，三角形与格点等知识．熟练掌握知识并灵活运用是解题的关键． （1）取上格点，满足，取与格线的交点，满足即可； （2）割补法求的面积，根据，求的面积即可． 【详解】（1）解：如图，，即为所求； 理由如下： 由格点可知，， ∴为的角平分线， ∴， 由网格特点可得：， ∴为中上的中线； （2）解：由题意知， ∵为中上的中线， ∴. 9．在如图所示的方格纸中，点A、B、C均在格点上． (1)连接，过点作的平行线； (2)连接，过点作的垂线，垂足为E； (3)连接，则三角形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查了格点作图的应用，利用网格求三角形的面积，掌握网格线的特征和割补法求三角形的面积是解题的关键． （1）根据网格线的特征作图； （2）根据网格线的特征作图； （3）根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：如图，线段，直线即为所求作． （2）解：如图，线段，即为所求作， （3）解：如图， ． 故答案为：5． 题型四 根据三角形中线求长度（共3小题） 10．如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少？ 【答案】 【分析】根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算即可得到答案．本题主要考查三角形的中线，熟练掌握“三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线”是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴的周长 的周长， ∴比长． 11．如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的周长等知识，根据三角形中线的性质得到，求出，再根据三角形的周长即可得出答案． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 故选：B． 12．如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形中线的定义； 根据中线的定义结合已知可得，求出，再根据边上的中线把的周长分成60和40两部分列式计算即可． 【详解】解：∵中线把的周长分成60和40两部分，， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 题型五 根据三角形中线求面积（共3小题） 13．如图，在中，，，分别为，，的中点，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积与中线的性质，解题的关键是利用“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”这一性质逐步推导． 根据三角形中线分面积相等的性质，依次求出、、、、，最后求出． 【详解】解：∵分别为，的中点， ， ， ， ， 故答案为：1． 14．如图，在中，为中线，，分别是，的高，若，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线的性质、与三角形的高有关的计算，由题意可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，为中线， ， ∵和分别为和的高， ， 即， ， 故选：A． 15．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是_____． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积，中线的性质．掌握“中线把一个三角形分成面积相等的两个三角形”是解题的关键．根据中线的性质计算即可． 【详解】解：∵是的边上的中线， ， ∵是的边上的中线， ， ， ∵是的边上的中线， ， ， ， 故答案为：6． 题型六 三角形角平分线（共3小题） 16．如图，已知：平分，，，求证：平分． 证明： 平分（已知）， （角平分线的定义）． （已知）， ； （等量代换）． （已知）， （　　）， （　　）， = （等量代换）， 平分（　　） 【答案】；；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；；角平分线的定义 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质和判定，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．根据平行线的性质和平行线的判定及等量代换，即可完成解答． 【详解】证明： 平分（已知）， （角平分线的定义）． （已知）， ； （等量代换）． （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， =（等量代换）， 平分（角平分线的定义） 故答案为：；；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；；角平分线的定义． 17．如图，已知直线、相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)过点作，为上异于点的一点．连接．则线段与的大小关系为：_____（填如图“”、“”、“”），理由为：_____． 【答案】(1) (2)；垂线段最短 【分析】本题考查了角平分线的定义、对顶角的性质以及垂线段的性质．解题的关键是熟练运用角平分线分得两个角相等、对顶角相等的性质求解角度，利用垂线段最短的性质判断线段的大小关系． （1）根据“角平分线定义”与“对顶角相等”即可求解； （2）根据“垂线段最短”即可判定 【详解】（1）因为平分，且，根据角平分线的定义，可知 ． 又因为直线 和相交于点O，与是对顶角，根据对顶角相等， 可得． （2）因为，所以是点N到直线的垂线段．而M是上异于点O的一点，是点N到直线上点 M（异于点O） 的斜线长．根据垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，可知 故答案为：；垂线段最短． 18．如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由，得，根据两直线平行内错角相等，即可求解； （2）由得，由，得，进而得，根据，，可得平分． 本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即平分． 题型七 与角平分线有关的三角形内角和问题（共3小题） 19．如图，在中，平分为线段上的一个动点，交直线于点． (1)，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解 ，， ， 平分， ， ， ； （2）解：，证明如下： 如图所示： 平分， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ． 20．【问题情境】 如图，在中，，是的角平分线，过边上一点D，作于点E，的平分线交于点G． 【特例分析】 （1）如图1，若，求与的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，若，的延长线与的延长线交于点H，求的度数．（结果用含的代数式表示） 【答案】（1），见解析；（2） 【分析】本题考查三角形内角和定理，知识点比较简单，但解题过程非常复杂．解答本题的关键是找到各相关角之间的等量关系，然后利用三角形内角和定理列出等式即可； （1）利用角平分线的性质及三角形内角和定理即可解答； （2）利用角平分线的性质及三角形内角和定理找到各角之间的等量关系求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线，是的平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∵是的角平分线，是的平分线， ∴，， 由（1）知：， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴． 21．如图，在中，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，由角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 题型八 三角形折叠中的角度问题（共3小题） 22．如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与相交于点． (1)填空：________； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的特点得出，再根据三角形一个外角等于它不相邻两个内角之和，即可得出答案； （2）根据已知求出的值，再根据沿折叠得到，得出，最后根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：沿折叠得到， ， ， ； （2）解：，， ∴． 沿折叠得到， ， ∴， ∴． 23．如图，有一张三角形纸片ABC，，，D是AB边上的固定点（）．E为BC上一点，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），使点B落在点F处，EF与三角形ABC的一边平行．此时的度数为__________． 【答案】或或 【分析】此题考查的是翻折变换和平行线的性质，掌握其性质是解决此题的关键． 分三种情况：①当时，②当时，，③当时，，根据折叠性质、平行线的性质即可解决问题． 【详解】解：分三种情况讨论： ①如图①，当时， 由折叠可知，，． ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图②，当，且点F在BC上面时，， ∴； ③如图③，当，且点F在BC下面时，， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 24．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接．由平分，平分，可得平分，求出，再求出，由折叠可知：，，然后求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，平分， ∴，， 由折叠可知：，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴． 题型九 三角形内角和定理的应用（共3小题） 25．如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则______°． 【答案】60 【分析】过点H作，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可． 【详解】解：过点H作，设与交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 26．如图，在四边形中，是上一点，过点作，．若，________． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，，因此，结合三角形的内角和定理计算出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．如图，在中，，是边上的高，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及直角三角形的性质．利用等腰三角形的性质得到底角与顶角的关系，设出顶角度数，结合三角形内角和定理求出底角的度数；再根据高的定义得到，最后利用直角三角形两锐角互余求出的度数． 【详解】解：设， ， ， 又， ， 根据三角形内角和定理，， ，解得， ， 是边上的高， ， ． 题型十 三角形的外角（共3小题） 28．综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) ；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】（1）解：若， 由条件可知 ， ∴； 若， ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知， ， 由条件可知， ∴， ∴ ， 即． 29．综合与探究． 问题背景：已知如图1，凹四边形． 初探： (1)试探究与，，之间的数量关系，并说明理由； 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题． 如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 拓展 (3)如图，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)． 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线，掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线的定义是正确解答的关键． （1）连接并延长至点，由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果； （2）由（1）得，结合，，计算即可得出结果； （3）根据角平分线的定义以及（1）、（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：连接并延长至点， 则，， ∵，， ∴ （2）解：由（1）得：， ∵，， ∴； （3）解：由（1）可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 30．如图，点E，F，G分别在直线上，已知 ． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键． （1）根据内错角相等，两直线平行得，根据平行线的性质得出，等量代换得，根据平行线的判定得出即可； （2）由平角的定义，根据平行线的性质得出，根据三角形外角的性质得出即可． 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十一 三角形的三边关系（共3小题） 31．有两根长度分别为4cm，9cm的木棒，再确定一根长为整数（单位：cm）的木棒与已有的两根木棒钉成一个三角形木框，木棒长度的选择方案有（   ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，再找出范围内的整数个数即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， ∵三角形三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴， 即， 又∵为整数， ∴可取6、7、8、9、10、11、12，共7种选择方案， ∴木棒长度的选择方案有7种． 32．已知的两条边长分别为和，则第三边的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系定理，熟练掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．根据三角形三边关系定理，用两边之差与两边之和确定第三边的取值范围． 【详解】解：由三角形三边关系，得， 即． 故答案为： 33．如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的依据是________． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查的知识点是三角形的稳定性．将四边形的上部固定为两个三角形，根据的原理就是三角形的稳定性． 【详解】解：钉上斜拉的木板条后，门框的结构中会形成三角形，而三角形的三边一旦确定，形状和大小就不会改变，这种特性就是三角形的稳定性，能有效防止门框变形． 故答案为：三角形具有稳定性． 题型十二 多边形的内角和与外角和（共3小题） 34．若一个凸多边形的内角和的比一个七边形的外角和多，求多边形的边数． 【答案】 【分析】设多边形有条边，由题意，可得，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：设多边形有条边， 根据题意，得， 解得：． 答：多边形的边数为． 35．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【分析】本题考查多边形对角线的性质，根据规律：从边形的一个顶点出发的所有对角线，会将多边形分成个三角形，据此列方程求解即可得到边数. 【详解】解：∵从边形一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成个三角形，题目中分成个三角形， ∴， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故选：． 36．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．9条 B．10条 C．11条 D．12条 【答案】A 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， …， ∴n边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 故选：A． 题型十三 用正多边形铺设地面（共3小题） 37．综合与实践． 问题背景：平面密铺不仅在数学题目中常见，它在实际生活中也有着广泛的应用．例如图在建筑装饰中，常常可以看到用不同形状和颜色的地砖进行拼接，以达到美观和实用的效果．为了更多地了解平面密铺，七（2）班的同学们就多边形的平面密铺进行了一系列的研究，并提出了一些问题． 问题一： (1) “对于正边形，从一个顶点出发作对角线，它们将边形分成个三角形，得到其内角和是为”，其中体现的数学思想主要是______； A．整体思想 B．转化思想 C．方程思想 D．类比思想 (2)填表： 正多边形的边数 正多边形每个内角的度数 ______ ______ ______ 问题二 (3)给出下列正多边形：①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形；用上述正多边形中的一种能够铺满地面的是______；（填序号） (4)用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是______； A．内角都是整十数度数 B．边数都是的整数倍 C．内角整除 D．内角整除 问题三 (5)用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有个正三角形个正六边形，请探究之间满足的关系式，并说明理由； (6)图是图中的一个基本图形，若，，则______． 【答案】(1)B； (2)见解析； (3)①③； (4)C； (5)，理由见解析 (6)． 【分析】（1）根据题意将多边形的内角和转化为三角形的内角和解决问题，体现的是转化思想，据此即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论； （3）求出对应多边形的每个内角的度数，再根据平面镶嵌的定义解答即可； （4）根据平面密铺的特点求解； （5）根据平面密铺的特点求解； （6）根据五边形的内角和列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵对于正边形，从一个顶点出发作对角线，它们将边形分成个三角形，且每个三角形的内角和为， ∴这个三角形的内角的总和为， ∴这个n边形的内角和为，这体现的数学思想主要是转化思想； （2）解：正五边形的内角和为， ∴正五边形的每个内角的度数为； 正六边形的内角和为， ∴正六边形的每个内角的度数为； 正n边形的内角和为， ∴正n边形的每个内角的度数为； 填表如下： 填表： 正多边形的边数 正多边形每个内角的度数 （3）解：由（2）可知，正三角形的每个内角的度数为，正五边形的每个内角的度数为，正六边形的每个内角的度数为；正八边形的每个内角的度数为， ∵，，，， ∴用上述正多边形中的一种能够铺满地面的是正三角形和正六边形； （4）解：由题意得，用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是内角整除； （5）解：理由如下： 由题意得 即 （6）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴． 38．小芳用三个全等的正边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则______． 【答案】 【分析】本题考查了无缝拼接的条件，多边形的内角和，正多边形的定义，理解无缝拼接的条件和正多边形的定义，掌握多边形的内角和公式：是解题的关键．由无缝拼接的条件得，由多边形的内角和公式和正多边形的定义，进行列式计算，即可求解； 【详解】解：由题意得：正m边形的内角为， ， 解得：， 故答案为：． 39．如图是一组正多边形，观察每个正多边形中 的变化情况，解答下列问题． (1)将表格补充完整； 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 ________ ________ ________ ________ (2)观察上面表格中 的变化规律， 的度数与正多边形的边数的关系为______； (3)根据规律，当时，正多边形的边数__________． 【答案】(1)；；； (2) (3)10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、多边形内角的计算及观察总结能力，解题的关键是利用多边形内角的计算公式计算内角，并与等腰三角形两底角相等结合应用． （1）先根据多边形的内角公式求出每一个内角的度数，再根据多边形的性质每条边都相等，得到等腰三角形，结合三角形内角和定理，即可求出的度数； （2）根据（1）中的数据总结规律； （3）引用（2）中总结的公式计算即可． 【详解】（1）解：∵正多边形每个内角的度数为， ∴，， ，， 正五边形的内角为，此时， 正六边形的内角为，此时， 故答案为：；；；． （2）解：观察（1）中的结论， ，， ，， ，， ，， 总结规律，则有． （3）解：根据（2）中规律， 当时，即 ∴该正多边形的边数， 故答案为：10． $