平面向量的运算-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以概念-运算-定理-应用为逻辑主线，通过辨析、几何应用、综合计算等题型，系统训练平面向量核心内容，培养几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本概念与线性运算|例2（正六边形）、练习（三角形）|概念辨析（多选）、几何图形线性运算|从向量基本概念（相等、共线）到线性运算法则，结合几何图形强化直观理解| |数量积及应用|例3（投影向量）、练习（坐标运算）|数量积计算（模、夹角）、投影向量求解|数量积定义延伸至性质应用，衔接坐标运算与几何意义| |平面向量基本定理|例1（三角形分点）、例3（轨迹问题）|基底表示、动态几何问题|基本定理为工具，解决平面图形中向量分解及轨迹判定| |垂直与共线|例1（三点共线）、例2（垂直求参）|共线条件应用、垂直坐标判定|向量位置关系的代数表达，体现数形结合思想|

平面向量的运算 1、 基本概念与线性运算 例1、（多选）给出下列命题，不正确的有（   ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 例2、如图所示，在正六边形中，设，则（    ） A． B． C． D． 练习.已知为所在平面内的一点，，则（    ） A． B． C． D． 2、 数量积及应用 例1．设向量，，且，，，则______． 例2．已知，． (1)若，的夹角为，求；(2)若，与的夹角为，求的值． 例3．已知，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 练习：1．已知平面向量，满足，，. (1)求，；(2)若，求实数t的值. 2．已知平面直角坐标系中，． (1)若点满足，求点坐标；(2)若点使得的夹角为锐角，求实数的取值范围． 3．已知正六边形，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为________. 3、 平面向量基本定理 例1、如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例2．如图，在等边中，，点在边上，且.过点的直线分别交射线于不同的两点. (1)设，试用表示： (2)设，求的最小值. 例3、是所在平面内一点，动点满足，则的轨迹一定通过的（      ） A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心 练习：1．如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 2．（多选）在中，点M，N满足，，P为直线MN上一点，则（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 4、 垂直与共线 例1、设，是两个不共线的向量，且，，，若A，C，D三点共线，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．4 例2、已知向量． (1)当时，求实数的值．(2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 练习：1．已知向量，，且与共线，则______． 2．已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 平面向量的运算小练习 1、 选择题 1．在中，是上一点，满足是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 2．已知，，若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知不共线向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 4．已知，为平面内两个不共线的向量，那么一定与垂直的向量为（     ） A． B． C． D． 5．在平行四边形中，点满足，与交于点.若，则（   ） A． B． C． D．1 6．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 2、 多选题 7．下列说法中正确的有（   ） A．单位向量都相等 B．物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若非零向量，满足，则在上的投影向量为 8．在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．满足，则点是的外心 B．满足，则点是的内心 C．满足，则点是的垂心 D．满足，且，则为等边三角形 9．已知圆半径为，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A． B．的最大值为 C． D．满足的点仅有一个 3、 填空题 10．已知边长为2的菱形，，设中点为，，点为线段上一点，且满足，则__________；此时__________． 四、解答题 11.已知． (1)若，求；(2)若的夹角为，求；(3)若，求与的夹角． 1 学科网（北京）股份有限公司 $