16.3.2 完全平方公式在几何中的应用问题 专项练习 2025-2026学年人教版八年级数学上册 -

完全平方公式在几何中的应用 1．有一张边长为厘米的正方形木板，现需要将边长增加厘米，木工师傅设计了如图①所示的三种方案： 上述三种方案都可以利用图形面积关系来验证完全平方公式． 如方案一：大正方形的面积可以看成，也可以看成， 故． 解答下列问题： 【公式验证】 （1）请根据方案二、方案三，分别写出公式的验证过程． 方案二： 方案三： 【公式应用】（2）若边长a，b之间的关系为，．求的值； （3）将两块形状相同的直角三角板，按图②所示的方式放置，点A，O，D在同一直线上，连接，，若，，直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）8；（3）20 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）方案二：大正方形面积可以看成一个边长为的正方形面积加上一个边长为b的小正方形的面积再加上两个小长方形的面积，也看作一个边长为的大正方形的面积，从而得出；方案三：大正方形面积可以看成一个边长为的正方形面积加上两个上底为，下底为，高为的梯形面积，从而得出答案； （2）根据完全平方公式变形求值即可； （3）先求出，，再根据求解即可． 【详解】解：（1）方案二：∵大正方形面积可以看成， 又可以看成， ∴可以得出； 方案三：∵大正方形面积可以看成， 又可以看成， ∴； （2）∵，， ， （负值已舍去）． （3）根据题意设， 则，， 故，， 则 ． 2．如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图）．    (1)图中的阴影部分的面积为 ； (2)观察图请你写出、、之间的等量关系是 ； (3)根据（）中的结论，若，，则 ； (4)实际上通过计算图形的面积可以对整式进行因式分解．如图，因式分解： ． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了完全平方公式和因式分解，解题的关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变式． （）根据阴影部分为一个正方形，其边长为，即可求出面积； （）利用完全平方公式、、之间的等量关系即可； （）由（）得，将，代入即可求出所求式子的值； （）可利用长方形面积的两种表示法列出等式即可． 【详解】（1）解：图中阴影部分边长为，面积为， 故答案为：； （2）解：图中阴影部分面积为， 故答案为：； （3）解：由（）得， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （4）解：由图可知，， 故答案为：． 3．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ； 利用上述公式解决问题： （2）若,则 ； （3）若，求的值； （4）如图②，在线段上取一点，分别以，为边作正方形，，连接，，．若阴影部分的面积和为17，的面积为11，求的长度． 【答案】（1）；（2）73；（3）80；（4）10 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识． （1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （4）设正方形的边长为正方形的边长为由题意可得，，根据求出的值即可． 【详解】解：（1）解：图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）∵，， ； （3）∵， ∴ ； （4）设正方形的边长为正方形的边长为由题意可得， ， 即，， ， ， ，， ， 即． 4．我们知道，在学习了课本阅读材料：《综合与实践—面积与代数恒等式》后，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式， ①②③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为_________________； (2)利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： ①已知，，，求的值； ②若x满足，求的值； (3)如图，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至T，使，延长至O，使，过点O、T作的垂线，两垂线相交于点R，请直接写出四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值）． 【答案】(1)①、③、② (2)①；②25 (3)1856． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键． （1）结合题意，根据正方形面积，利用割补法进行分析，即可得到答案； （2）①直接利用题中所给的运算方法解题即可； ②设，，利用题中所给的运算方法解题即可； （3）用表示出大正方形的边长，进而表示面积，利用完全平方公式和它的变形解题即可． 【详解】（1）解：图甲中，由图可知，，也可以表示为， ∴，即； 图乙中，由图可知，，也可以表示为， ∴； 图丙中阴影部分的面积可以表示为． 也可以表示为即， ∴； 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为①、③、②； 故答案为：①、③、②； （2）解：①∵，，， ∴， ∵， ∴； ②设，； 则，， ； （3）解：由题意得：，， ， 长方形的面积是200， ，即， 设， 则，， ． 5．（1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）公式①：；    公式②：；公式③：    公式④：．图1对应公式 ，图3对应公式 ． （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ ①已知，，求的值； ②已知，求的值． （3）如图5，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形面积和为，直接写出阴影部分的面积 ．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是90°） 【答案】（1）①④；（2）①4；②12；（3）14 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，单项式乘多项式，掌握多项式乘多项式，单项式乘多项式的计算方法以及完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据各个图形中面积之间的关系可得答案； （2）①利用（1）中的公式④即可得解； ②利用（1）中的公式③和公式④即可得解； （3）设，，则有，，利用（1）中的公式④求出的值，即可得解； 掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：（1）图1，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看三个长方形的面积和为， ∴，故图1对应公式①； 图2，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看四个长方形的面积和为， ∴，故图2对应公式②； 图3，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为， ∴，故图3对应公式④； 图4，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为， ∴，即，故图4对应公式③； 故答案为：①；④； （2）①把两边平方得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②把两边平方得：， ∴，即， ∴； （3）设，，则有，， 把两边平方得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 6．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图1得到：，基于此，请回答下列问题： 【类比】（1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：___________________； 【应用】（2）小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，则的平方根是____________． 【拓展】 （3）已知：，求的值． 【答案】（1）（2）；（3）. 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，多项式乘多项式与几何图形的面积，求一个数的平方根，完全平方公式的应用： （1）用两种方法表示大正方形的面积即可得出结论； （2）计算多项式乘以单项式，进而求得x、y、z的值，代入再求平方根，即可求解； （3）设，利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解：（1）根据图形可得：， 故答案为：；         （2）∵， ∴， ∴， ∴的平方根是：， 故答案为：；         （3）设， ∴， 由得：； ∴， ∴. 7．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，则　　　　； ②用4个长和宽分别为的长方形拼成如图2的正方形，则　　　　； 【阅读理解】“若满足，求的值” 解：设，， 则， 【解决问题】 （1）若满足，则的值为　　　　； （2）如图3，正方形的边长为，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】①，②；（1）；（2） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握公式及整体思想是解题的关键． ①根据等面积法即可得到答案. ②根据等面积法即可得到答案. （1）运用题干所给的方法进行计算即可. （2）根据题意易得、的长，然后结合图形、运用题干所给的方法求解即可． 【详解】解：①由图1的面积可得：. ②由图2正方形的面积可得：. （1）设，， 则， ， . （2）矩形的面积， 设，， 则 ∴阴影部分的面积 ． 答：阴影部分的面积为1056． 8．观察图形，解决问题： (1)如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法一：______，方法二：______；结合以上两种方法可以得到数学公式______； (2)当时，求的值； (3)如图②所示，两个正方形，的边长分别为m，n．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)2 (3)10 【分析】本题考查了乘法公式的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据直接求和间接求阴影部分的面积进行计算； （2）令，结合完全平方公式进行变形，化简，即可作答； （3）先根据条件得出的值，然后根据进行计算． 【详解】（1）解：方法一：阴影部分正方形的边长为：， ∴正方形的面积为：； 方法二：如图： 阴影部分的面积大正方形的面积； 故答案为：，，； （2）解：令， 则，， 则， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， ． 9．（1）用不同的方法计算如图1中阴影部分的面积得到的等式： ； （2）如图2是两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； （3）根据上面两个结论，解决下面问题：若如图3中，直角三边a、、c， ①满足，，求的值； ②若，，且，则的值是 ． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②10 【分析】本题考查了完全平方公式及勾股定理的几何背景及其应用，以及割补法求图形的面积，熟练掌握完全平方公式及勾股定理是解答本题的关键． （1）阴影部分的面积等于大阴影正方形的面积小阴影正方形的面积，也等于大正方形的面积两个长方形的面积； （2）一种方法是根据梯形的面积公式计算，另一种方法是三个直角三角形的面积和； （3）①利用完全平方公式的变形求出的值，再利用即可求出的值；②根据题意得出，然后可求出c值． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）发现：， 理由：图2中图形的面积：， ， ， ． （3）①当 ， 时， ， ， ∵， ∴， ∴（负值舍去）； ② ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 10．（1）图1所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路．为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种方法，结果分别如下 方法①：__________ 方法②：__________ 从小明的两种方法中，可以得出的等式为__________ （2）如图2，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示__________ （3）如果、满足，，求：①的值；②的值． 【答案】（1），，；（2）；（3）①；②． 【分析】本题利用几何图形探索完全平方公式，考查了完全平方公式的几何意义以及利用公式的变形，与平方差公式的变形进行计算． （1）方法①是将两条小路分别平移到正方形的上方和左侧，则剩余草坪可以拼成一个边长为的正方形，方法②是分割法求面积，用正方形草坪的面积减去两条小路的面积，需要注意的是两条小路的重叠部分是边长为的小正方形，减去了两次，要再加上； （2）类比（1），用两种方法求大正方形的面积，从而可得； （3）①利用（1）、（2）所得两个公式，即可求出，②根据（2）可得，进而求出，再对所求式利用平方差公式分解因式进行求解． 【详解】解：（1）方法①：将两条小路分别平移到正方形的上方和左侧， 则剩余草坪可以拼成一个边长为的正方形， 剩余草坪的面积为， 方法②：剩余草坪的面积为， 故答案为：，，； （2）类比（1）同理可得，用两种方法求图2中大正方形的面积为， 故所得等量关系为； （3）①由题意得， ， ； ②， ， ， ． 11．如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：______； 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： （2）已知，，则的值为______； （3）两个正方形如图3摆放．边长分别为x，y，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）用两种方法表示图2的面积即可解答； （2）根据即可求出； （3）根据，求出，再根据求出，由，然后代入数据计算即可． 【详解】（1）图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，图2中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为 所以有． 故答案为：． （2）∵， ∴， ∴． 故答案为：． （3）∵， ∴， ∴， ∴（已舍弃负值）， ∴ ． 12．若满足，求的值． 解：设， 则， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，则______； (2)若满足，求的值； (3)已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是48，分别以为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)11 (3)28 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）设，则，根据计算即得； （2）设，则，根据计算即得； （3）由图可知，，设，则，得，根据计算即得． 【详解】（1）解：设， 则， ∴． 故答案为：5； （2）解：设， 则， ， 即， ． （3）解：， ． 由题意知，， 阴影部分的面积． 设， 则， ． ， ． ． 即阴影部分的面积是28． 13．我们在应用完全平方公式解题时，经常会对公式进行变形．比如：已知，，则． 根据以上变形，回答下列问题： (1)______；若，，则______； (2)已知，求的值； (3)如图，点、分别是正方形边、上的两点，，，分别以、的长作正方形、，若长方形的面积等于，求正方形、的面积之和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式，仿照示例，把展开，代入相关数值，可得到结果； （2）由题意，得到，结合完全平方公式，可得，得到结果； （3）根据题意，结合图形，可得，，从而求得的值． 本题考查了完全平方公式的应用，涉及到规律的探究，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 若，， 则， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：设正方形的边长为， ，， ，， ， 长方形的面积等于， ， ， 正方形、的面积之和为． 14．将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题． (1)观察图，写出代数式，，之间的等量关系：______； (2)若，，求； (3)如图，边长为的正方形中放置两个长和宽分别为，的长方形，若一个长方形的周长为，面积为，求图中阴影部分的面积的值． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】本题考查完全平方公式的几何意义，熟练掌握正方形、长方形的面积求法，完全平方公式的灵活应用是解题的关键． （1）利用两个图形分别求出个长方形的面积，从而建立等量关系； （2）利用（1）的关系代入求值即可； （3）由题意可知，，则，结合已知条件求解即可． 【详解】（1）解：第一图个长方形的面积为， 第二个图个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）解：， ， 解得； （3）解：一个长方形的周长为，面积为， ，， ． 15．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号，2号和长方形卡片3号，如图． (1)根据图B完成因式分解：___________： (2)现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为___________； (3)现要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片___________张，2号卡片___________张，3号卡片___________张； (4)若，比较图中的两个正方形面积之和与两个长方形面积之和的大小关系．并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)1，3，4； (4)，理由见解析 【分析】本题考查完全平方公式和几何图形的应用，主要考查学生的画图能力和计算能力． （1）观察可知大长方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和，即可得到结论； （2）画出图形，观察可知大长方形面积等于两个正方形面积加上两个长方形面积，即可得到结论； （3）根据画出的图形，即可得到结论； （4）由题意可知，，，则，由完全平方公式的非负性可得结论． 【详解】（1）解：大长方形的面积可以表示为四个图形之和，即，也可以利用面积公式表示为， 即， 故答案为：； （2）解：如图， ， 即这个大正方形的边长为， 故答案为： （3）解：如图， ， 即要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片1张，2号卡片4张，3号卡片3张， 故答案为：1，3，4； （4）解：由题意可知，，， ， ， ， ，即． 16．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)若，求的值； (2)填空： ①若，则 ； ②若，则 ； (3)两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，当A，O，D在同一直线上时，连接．若，求的面积． 【答案】(1) (2)①11②2 (3)30 【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式的变形式进行求解即可； （3）先证明 三点共线， 可得 结合已知条件可得 再利用 ，求解，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴； 故答案为：11； ②，， ∴ 即， ∴； 故答案为：2； （3）解：三点共线，且 三点共线， ，， ， ； ． 17．“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题如图，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ． (2)若，求代数式的值． (3)观察图， ①从图中得到 ． ②根据得到的结论，解决问题：已知，，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②． 【分析】本题考查了因式分解的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式是解决本题的关键． （1），将数据代入求出，图中阴影部分的面积是三角形，三角形的面积底高，即，代入数据计算即可； （2）设，，由可得，，所以，代入数据计算即可； （3）①根据图形可得； ②由，得，，因为，代入求出的结果． 【详解】（1）因为，， ， 图中阴影部分的面积为：； 故答案为：． （2）因为， 设，， 所以，， 所以， ． （3）， 故答案为：； 因为，，， 所以 ， 因为，， ， 所以 ． 18．题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． 因为，所以． 因为，所以， 所以． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则___________． （2）若满足，求的值． 【拓展应用】 （3）如图，在三角形中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在三角形外部作正方形和正方形，连接．若，的面积为12，直接写出正方形和正方形的面积和．正方形和正方形的面积和为___________． 【答案】（1）43；（2）；（3）52 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握换元法以及完全平方公式的变形，是解题的关键： （1）设，，得到，，利用完全平方公式变形计算即可； （2）设，，利用完全平方公式变形计算即可； （3）易得，，，设，，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：设，，则，， ， ； （2）设，，则 ， ， ， ， ， 解得：， ； （3），，， ，， ， ， 设，， 则，， ， ． 19．阅读材料：若满足，求的值． 解：设，则，． 所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)简单运用：已知，，则 ． (2)提升运用：已知， ，求的值． (3)类比探究：若x满足．求的值； (4)拓展延伸：如图，正方形和正方形重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长，交和于H、Q两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．若正方形的边长为x，，，长方形的面积为200．求正方形的面积（结果必须是一个具体数值）． 【答案】(1)26 (2)25 (3) (4)900 【分析】本题主要考查了换元的数学思想，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方式的变形． （1）利用完全平方式进行求解即可； （2）利用完全平方式进行求解即可； （3）根据例题进行换元，令，则，，然后利用完全平方式进行求解即可； （4）根据给出的正方形和长方形，表示出相关线段的长度，令，则，，然后利用完全平方式进行求解即可． 【详解】（1）解：， 将，，代入上式得， 原式， 故答案为：26； （2）解： 将， ，代入上式得， 原式； （3）解：令，则，， ∴， 将，，代入上式得， 原式 即； （4）解：根据题意得，结合给出的正方形和长方形， 设正方形的边长为x，则， ∴， 正方形的面积为： 令，则，， ∴ 将，，代入上式得， 原式， 所以，正方形的面积为900． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $完全平方公式在几何中的应用 1.有一张边长为a厘米的正方形木板，现需要将边长增加b厘米，木工师傅设计了如图①所示的三种方案： 0 h h 方案 方案二 方案三 图① 图② 上述三种方案都可以利用图形面积关系来验证完全平方公式， 如方案一：大正方形的面积可以看成(a+b)2,也可以看成a2+ab+ba+b)=a2+2ab+b2, 故(a+b)2=a2+2ab+b2. 解答下列问题： 【公式验证】 (1)请根据方案二、方案三，分别写出公式的验证过程. 方案二： 方案三： 【公式应用】(2)若边长a,b之间的关系为a-b=2,ab=15.求a+b的值； (3)将两块形状相同的直角三角板A0B,C0D(LA0B=∠C0D=90)按图②所示的方式放置，点A,O, D在同一直线上，连接AC,BD,若AD=I0,S。4oc+S。BoD=30,直接写出图中阴影部分的面积. 试卷第1页，共3页 2.如图①是一个长为4、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长 方形拼成一个“回形”正方形（如图②）. b 0 b a aaaa b aaa ① ② ③ (1)图②中的阴影部分的面积为 ； (2)观察图②请你写出(a+b)、（a-b)、ab之间的等量关系是： 45 ③)根据（2)中的结论，若x+y=7，w=4，则x-y=一： (4)实际上通过计算图形的面积可以对整式进行因式分解.如图③，因式分解：3a2+4ab+b2= 试卷第1页，共3页 3.“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”数形结合是解决数学问题的重要 思想方法.通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式， b B G b D 图① 图② (1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为Q和b的两个正方形，长宽分别为Q和b的两个长方形， 利用这个图形可以验证公式 利用上述公式解决问题： (2)若xy=4,x+y=9,则x2+y2= (3)若(20-x)(x-30)=10,求(20-x)2+(x-30)2的值； (4)如图②，在线段CE上取一点D,分别以CD,DE为边作正方形ABCD,DEFG,连接BG,CG, EG.若阴影部分的面积和为17，aCDG的面积为11，求CE的长度. 试卷第1页，共3页 4.我们知道，在学习了课本阅读材料：《综合与实践一面积与代数恒等式》后，利用图形的面积能解释与 得出代数恒等式，请你解答下列问题： ()下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式， ①(a+b)2=a2+2ab+b2②(a-b)2=a2-2ab+b2③(a+b)2=(a-b)2+4ab b、 甲 乙 丙 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为 (2)利用(1)中所得到的等式，解决下面的问题： D已知a>6,a+b=7,h=尽，求g-b的值： ②若x满足50-x)(x-35=100,求(50-x)+(x-35)的值： (3)如图，长方形ABCD中，AD=2CD=2x,AE=44,CG=30,长方形EFGD的面积是200，四边形 NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PODH是长方形.延长MP至T,使PT=PQ,延长MF至O,使 FO=FE,过点O、T作MO、MT的垂线，两垂线相交于点R,请直接写出四边形MORT的面积.（结果必 须是一个具体的数值). M O PT E F 试卷第1页，共3页 5.(1)观察下列图形，找出可以推出的代数公式.（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应 公式的序号)公式①：(a+b+c)d=ad+bd+cd;公式②：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd;公式③： (a-b)2=a2-2ab+b2公式④：(a+b)2=a2+2ab+b2.图1对应公式-，图3对应公式-· (2)利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ ①已知a-b=1,a2+b2=9,求ab的值： (3)如图5，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G,当四边形ABGF和四边形CDEG都为 正方形时，若BE=8,正方形ABGF和正方形CDEG面积和为36，直接写出阴影部分的面积_·（提示： 正方形的四条边都相等，四个角都是90°) b d a a米b米c *b k a b 图1 图2 图3 图4 E G 试卷第1页，共3页 6.阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形 时少直观，形缺数时难入微”.例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数 学恒等式 例如图1得到：(a+b)2=a2+2ab+b2,基于此，请回答下列问题： 【类比】(1)类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式： 【应用】(2)小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方 形，拼出一个面积为(a+3b)2a+b)的长方形，则√3x+y+z的平方根是 b a a b a b b a a b 图1 图2 图3 【拓展】 (3)已知：(2026-x)2+(x-2025)2=9,求(2026-x)x-2025)的值. 试卷第1页，共3页 7.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题. E A H 图1 图2 图3 ①如图1，将边长为a+b的正方形分割成四部分，则a2+b2=(a+b)2- ②用4个长和宽分别为a、b的长方形拼成如图2的正方形，则(a+b)2=(a-b)2+_ 【阅读理解若x满足(70-x)x-50)=30,求(70-x)2+(x-50)2的值” 解：设70-x=a,x-50=b, 则(70-x)(x-50=ab=30,a+b=(70-x+x-50)=20 (70-x)2+(x-50)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=202-2×30=340 【解决问题】 (1)若x满足(40-x)(x-30)=-20,则(40-x)2+(x-30)2的值为 (2)如图3，正方形ABCD的边长为x,AE=14,CG=30,长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH 和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积.（结果必须是一个具体的数值） 试卷第1页，共3页 8.观察图形，解决问题： D m G A m b An→E B 图① 图② (1)如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法一： ，方法二：一；结合以上两种方法可以得到数学公式 (2)当(y-2024)+(y-2025)2=5时，求(y-2024)(y-2025的值； (3)如图②所示，两个正方形ABCD,AEFG的边长分别为m,n.若m2+n2=52,BE=2,求图中阴影部 分的面积， 试卷第1页，共3页 9.(1)用不同的方法计算如图1中阴影部分的面积得到的等式： (2)如图2是两个边长分别为Q、b、C的直角三角形和一个两条直角边都是C的直角三角形拼成，试用不 同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； (3)根据上面两个结论，解决下面问题：若如图3中，直角ABC三边a、b、c, ①满足a+b=10,ab=18,求C的值； ②若a=7+x,b=5-x,且(7+x(5-x)=22,则c的值是一 a B b b a 6 0 图1 图2 图3 试卷第1页，共3页 10.(1)图1所示，在边长为α米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路.为了求得剩余草坪的面积， 小明同学想出了两种方法，结果分别如下 8- -a 图1 图2 方法①： 方法②： 从小明的两种方法中，可以得出的等式为 (2)如图2，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示 (3)如果a、b(a>b>0)满足a2+b2=53,ab=14,求：①a+b的值；②a-b的值. 试卷第1页，共3页