精品解析：山西省晋中市介休市第一中学校2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

介休一中2025-2026学年高二下学期6月考试 数学试题 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 3. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 设全集，集合（ ） A. B. C. D. 5. 若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知为正实数，，则下列选项正确的是（ ） A. ab的最小值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为8 D. 的最小值为2 11. 是自然对数的底数，，，已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为__________. 13. 若函数在区间上的值域为，则的最大值为_____． 14. 已知函数，①若对任意，且都有，则实数的取值范围为___________；②若在上的值域为，则实数的取值范围为___________. 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 16. 已知 （1）若在上单调，求实数的取值范围； （2）若，求的最小值. 17. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围． 18. 为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的，，三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换，，三种商品的概率分别为，，，乙兑换，，三种商品的概率分别为，，，且他们兑换何种商品相互独立. （1）求甲、乙两人兑换同一种商品的概率； （2）记为两人兑换商品后的积分总余额，求的分布列与期望 19. 在科技日新月异的今天，无人驾驶网约车正逐渐成为出行领域的新宠，根据统计数据显示，某区域过去5天的订单数如下： 日期x（天） 1 2 3 4 5 订单数y（件） 13 21 45 55 66 为了进一步了解订单数的变化情况，甲乙两个数学学习小组分别进行了研究， （1）甲小组决定用线性回归模型进行拟合，求此时y关于x的经验回归方程； （2）乙小组采用非线性回归模型进行拟合，求得y关于x的经验回归方程为，并计算出决定系数， ①根据回归模型的决定系数，说明哪个小组的模型拟合效果更好； ②用①中选择的模型预测该区域第10天的订单数（结果保留整数）． 附：，；决定系数．参考数据： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 介休一中2025-2026学年高二下学期6月考试 数学试题 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 2. 已知集合，则集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A作答. 【详解】解不等式，得，因此， 所以集合的子集个数为. 故选：C 3. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为，，且， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 4. 设全集，集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，结合和并集定义可判断各选项正误. 【详解】因为 所以即，即表示全体奇数构成的集合. 对于AD选项，集合中的元素分别是由4的偶数倍和奇数倍的数组成，故AD错误； 对于BC选项，集合B中的元素是由全体偶数减1对应的数组成，即集合B中的元素是由全体奇数组成， C中的元素是由4的倍数减1对应的数组成，为部分奇数，故B正确，C错误. 故选：B 5. 若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集. 【详解】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上，实数的取值范围是或，即. 故选：D 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，则，即可以推导出，故充分性成立； 由推不出，如，，满足，但是，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数的取值范围，再求其真子集，即可判断选项. 【详解】若命题“，”为假命题， 则命题的否定“，”为真命题， 即，恒成立， ，，当，取得最大值， 所以，选项中只有是的真子集， 所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为. 故选：D 8. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值. 【详解】解：因为满足， 则 ， 当且仅当时取等号， 故选：． 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用不等式性质，即可判断出选项A和B的正误，再通过取特殊值，即可判断出选项C和D的正误. 【详解】对于选项A，因为，所以，故选项A正确， 对于选项B，因为，所以，所以，故选项B正确， 对于选项C，取时，满足， 此时，，，故选项C错误， 对于选项D，当时，，，此时，故选项D错误， 故选：AB. 10. 已知为正实数，，则下列选项正确的是（ ） A. ab的最小值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为8 D. 的最小值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式结合消元转化一一判定选项即可. 【详解】由为正实数， 对于A，，解之得， 所以，当且仅当时取得最小值，故A错误； 对于B，由， 所以， 当且仅当，即时取得最小值，故B正确； 对于C，，由A知， 结合二次函数的性质知，当且仅当时取得最小值，故C正确； 对于D，， 而，即，解之得， 当且仅当时取得最小值，故D正确. 故选：BCD 11. 是自然对数的底数，，，已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由题可得单调性，.A选项，通过取可构造反例；B选项，由题可得，结合单调性可判断选项；C选项，当时，显然正确；当时，在时，，则此时，后结合单调性可判断选项；D选项，通过取可构造反例. 【详解】构造函数.则， 当时，，则,， 当时，，则,， 而， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又由题. A选项，取，则，因在上单调递增， 则满足题意，但此时，故A错误； B选项，若，，则，又由题可知， 且在上单调递增，则，故B正确； C选项，若，当时，，满足题意； 当时，构造函数，注意到当时， ，又，则. 又因，则.因，在上单调递增， 则.综上，若，则，故C正确； D选项，取，则，又在上单调递减， 则满足题意，但此时，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点精：本题涉及证明不等式，常需通过观察找到题目中的相同结构，进而构造出需要的函数，此外此题作为选择题，找到合适的反例可帮助我们快速解决问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由解析式可得，求解即可. 【详解】由题意可得,故，即. 故函数的定义域为. 故答案为:. 13. 若函数在区间上的值域为，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】函数，当时，取得最小值，， ，解得或， 已知函数在区间上的值域为，则 区间必包含，且区间端点值不超过， 取最大值时，取最小值，取最大值，此时． 14. 已知函数，①若对任意，且都有，则实数的取值范围为___________；②若在上的值域为，则实数的取值范围为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由已知可得在单调递减，利用二次函数的对称轴的位置可得的取值范围； 分、 利用单调性可得实数的取值范围. 【详解】若对任意，且都有， 则在单调递减，则，即，所以实数的取值范围； 当时，若在上的值域为，， 解得或（舍去），又，所以； 当时，因为在单调递减， 则在上的最大值为，不合题意，所以实数的取值范围为. 故答案为：①；②. 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据对进行变形，再根据不等式的性质计算求解； （2）用待定系数法将变形，根据已知范围确定的范围． 【详解】（1）， ∴，，， ， 且， ， 的取值范围为． 设， 解得，即， ， ， 又， ， 即的取值范围为． 16. 已知 （1）若在上单调，求实数的取值范围； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】分类讨论参数值，结合一次函数，二次函数的单调性求解； 【小问1详解】 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，的图象对称轴是，注意到， 而在上单调，则，解得； 当时，注意到对称轴，满足在上单调； 综上，. 【小问2详解】 ①当时，在上单调递减，， ②当时，的图象开口方向向上，且对称轴为， （ⅰ）当，即时，对称轴， 则在上递减，在上递增， ； （ⅱ）当，即时，在上递减， ； ③当时，的图象开口方向向下，且对称轴，在轴的左侧， 则在上单调递减，故； 综上所述，. 17. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知的两根为和2，且，代入运算求解； （2）整理可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集； （3）分析可得，换元令，结合二次函数最值分析求解. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为和2，且， 所以，解得：． 【小问2详解】 由（1）知可化为， 即， 又，则不等式可化为， 当，即时，解得，即的解集为； 当，即时，解得，即的解集为； 当，即时，解得，即的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 若对任意的实数，恒成立， 由（1）可化为， 即，对任意恒成立， 令，则，可得对任意的恒成立， 令，， 因为，对称轴为，可知在内单调递增， 所以当时，，可得， 所以实数的取值范围为． 18. 为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的，，三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换，，三种商品的概率分别为，，，乙兑换，，三种商品的概率分别为，，，且他们兑换何种商品相互独立. （1）求甲、乙两人兑换同一种商品的概率； （2）记为两人兑换商品后的积分总余额，求的分布列与期望 【答案】（1）； （2） 0 100 200 300 400 . 【解析】 【分析】（1）应用独立乘法公式、互斥事件加法求甲、乙两人兑换同一种商品的概率； （2）根据题设确定的可能取值并确定对应概率，即可写出分布列，进而求期望. 【小问1详解】 由题可知，甲、乙两人兑换同一种商品的概率为； 【小问2详解】 由题意，兑换，，三种商品所需的积分分别为800，900，1000， 则的取值可能为0，100，200，300，400， ，， ，， ， 则的分布列为 0 100 200 300 400 . 19. 在科技日新月异的今天，无人驾驶网约车正逐渐成为出行领域的新宠，根据统计数据显示，某区域过去5天的订单数如下： 日期x（天） 1 2 3 4 5 订单数y（件） 13 21 45 55 66 为了进一步了解订单数的变化情况，甲乙两个数学学习小组分别进行了研究， （1）甲小组决定用线性回归模型进行拟合，求此时y关于x的经验回归方程； （2）乙小组采用非线性回归模型进行拟合，求得y关于x的经验回归方程为，并计算出决定系数， ①根据回归模型的决定系数，说明哪个小组的模型拟合效果更好； ②用①中选择的模型预测该区域第10天的订单数（结果保留整数）． 附：，；决定系数．参考数据： 【答案】（1） （2）①甲小组的线性回归模型拟合效果更好 ；②138件 【解析】 【分析】（1）根据公式求，可得回归方程. （2）计算甲小组模型的决定系数，比较决定系数的大小，可得结论；把代入线性回归方程，可预测该区域第10天的订单数. 【小问1详解】 由题可知： ，， ，， 关于x的回归方程为． 【小问2详解】 ①由（1）知，从而有． x 1 2 3 4 5 12 26 40 54 68 ， ， ， ，从来看甲小组的线性回归模型拟合效果更好． ②当时，．预测第10天的订单数为138件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $