第2章 有理数专题提优4：有理数中的其他问题巩固练习 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数规律探究、新定义运算及综合实践，通过问题引导-归纳猜想-应用拓展的逻辑链，系统培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |规律问题|5题（乘方/数塔/幻方）|观察特例→归纳共性→验证规律|以有理数概念为基础，从具体等式、数阵排列到幻方构造，逐步深化数与形的规律认知| |定义新运算|2题（乘加法/倒数差）|法则抽象→符号转化→运算应用|通过新运算定义构建数学模型，强化符号意识与运算能力的迁移| |综合实践|1题（数字艺术）|数列规律→图案设计→实际应用|结合斐波那契等数列，体现数学眼光在跨学科场景的应用，发展创新意识|

专题提优4 有理数中的其他问题 有理数中的规律问题 一、乘方规律问题 1. 观察下列等式： ①；②；③；④根据此规律，第10个等式的右边应该是，则的值是（ ） A. 45 B. 54 C. 55 D. 65 2. 【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小(是正整数)，然后我们从分析中发现规律，经归纳、猜想，得出结论. 【探究过程】 (1) 从简单的开始，比较下列各组中两数的大小(在横线上填写“＞”“＜”或“=”)： ①；②；③. (2) 根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系? 【解决问题】 (3) 根据以上探究，我们可得结论(在横线上填写“＞”“＜”或“=”)： . 二、数塔规律问题 3. 将正整数，按如图数阵排列，用数对表示该数阵中从上到下、从左到右第行第个数，如(4，5)表示14，则2024用数对表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是从第二行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，图中两平行线之间的一列数：1，，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，则的值为（ ） A. 100 B. 199 C. 5050 D. 10000 三、幻方规律问题 5. 爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将，7，－8分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数之和都相等，他已经将－4，5，7，－8这四个数填入了圆圈，则图中的值为________. 有理数中的定义新运算与阅读理解题 1. 对有理数定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”，并按照此运算写出了一些式子： (1) 根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得________，异号得________，并把绝对值________；一个数与0相“乘加”等于________. (2) 根据法则计算：(－4)★2=________；________. (3) 若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：[6★(－1)★【(−1)★]. 2. 【初步感知】已知有理数(不为0和1)，我们把称为的倒数差，如：3的倒数差是的倒数差是. 【理解运用】若是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，，以此类推. (1) 分别求出的值. (2) 的值为________. 【拓展提升】 (3) 设有理数(都不为0和1)，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得到数组，第次变换后得到数组.若数组确定为，求的值. 综合与实践 数字艺术 1. “数学”的应用包罗万象，在一些看似完全不同的领域中也可能蕴含着“数学”的知识.比如在纺织领域，可以利用数字进行图案设计，不同的数字与不同的排列方式都能组成不同的图景. 【教材呈现】 (1) ①已知，如图①，将0.142857按逆时针方向由内向外螺旋排列填入对应的方格内，请在空白方格内补全对应数字. ②在进行图案设计时，不同的颜色可以表示不同的数字，如图②，该图案是利用某个小数的数字顺序设计的，则这个小数可能是（ ） A. 1.142857 B. 0.0185 C. 0.219 D. 【类比探究】 (2) ①斐波那契数列是指这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和.如图③，共有36个小方格，请设计两种不同的图案，使其填入小方格后分别表示奇数和偶数.之后依照斐波那契数列各项的顺序，自行选择一种排列方式填入图③中.(方格需填满) ②帕多瓦数列与斐波那契数列较为相似，其是指这样一个数列： 这个数列从第4项开始，每一项都等于前面第2项与前面第3项的和，如第5项等于第3项与第2项的和.使用上一小问设计的图案与排列方式，则第4行第3列的小方格中的图案是什么?请说明理由. 【拓展创新】 (3) 卢卡斯数列由(2)中的斐波那契数列变形而得，不同的是其第1项和第2项分别是1和3，从第3项开始，每一项都等于前两项之和.通过计算发现，卢卡斯数列各项的末位数字具有规律性. ①卢卡斯数列中第100项的末位数字为________. ②随机迷宫的构建：如图④，用小方格中的不同图案表示不同的数字，小方格内的实线表示“道路”(不含小方格的边).卢卡斯数列的每一项可用其末位数字对应的图案代表，请将卢卡斯数列排列在图⑤中构成一个可行的“迷宫”，使该“迷宫”的起点和终点分别位于大正方形的一组对边上，且起点和终点之间有可通行“道路”. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题提优4 有理数中的其他问题 有理数中的规律问题 一、乘方规律问题 1. 观察下列等式： ①；②；③；④根据此规律，第10个等式的右边应该是，则的值是（ ） A. 45 B. 54 C. 55 D. 65 答案：C 解析:等式右边的数依次为，第10个等式的右边应该是，所以.故选C. 2. 【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小(是正整数)，然后我们从分析中发现规律，经归纳、猜想，得出结论. 【探究过程】 (1) 从简单的开始，比较下列各组中两数的大小(在横线上填写“＞”“＜”或“=”)： ①；②；③. (2) 根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系? 【解决问题】 (3) 根据以上探究，我们可得结论(在横线上填写“＞”“＜”或“=”)： . 答案：(1) ①＜ ②＜ ③＞ (2) 根据(1)的结果，经过归纳得当或时，；当或时，. (3) ＞ 解析:因为2024＞3，所以，即 二、数塔规律问题 3. 将正整数，按如图数阵排列，用数对表示该数阵中从上到下、从左到右第行第个数，如(4，5)表示14，则2024用数对表示为（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析:观察题图可知，每行的最大的数就是行数的平方，因为，所以2024在第45行.又奇数行从右到左，从小到大，而偶数行从左到右，从小到大.因为，所以2024排在第45行从左到右第2个，则2.024用数对表示为(45，2).故选B. 4. 如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是从第二行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，图中两平行线之间的一列数：1，，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，则的值为（ ） A. 100 B. 199 C. 5050 D. 10000 答案：C 解析:由题意可得，所以，所以当时，.故选C. 三、幻方规律问题 5. 爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将，7，－8分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数之和都相等，他已经将－4，5，7，－8这四个数填入了圆圈，则图中的值为________. 答案：－5或－8 解析:因为这8个数的和是－4，所以横、竖以及内外两个正方形的4个数之和都等于－2，根据题意有，所以;根据内圈正方形的4个数之和等于－2，得内圈右边的圆圈应填3，则或－2，所以或－8. 有理数中的定义新运算与阅读理解题 1. 对有理数定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”，并按照此运算写出了一些式子： (1) 根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得________，异号得________，并把绝对值________；一个数与0相“乘加”等于________. (2) 根据法则计算：(－4)★2=________；________. (3) 若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：[6★(－1)★【(−1)★]. 答案： (1) 正 负 相加 这个数的绝对值 (2) －6 解析:(－4) (3) . 2. 【初步感知】已知有理数(不为0和1)，我们把称为的倒数差，如：3的倒数差是的倒数差是. 【理解运用】若是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，，以此类推. (1) 分别求出的值. (2) 的值为________. 【拓展提升】 (3) 设有理数(都不为0和1)，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得到数组，第次变换后得到数组.若数组确定为，求的值. 答案： (1) 因为，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，所以结合题意可得. (2) 解析:由的值，可得三个值为一组循环数，后面每三个数一组进行重复，所以和及得数均相同，即. 所以. (3) 因为确定为，所以第1次变换后，所以第2次变换后，所以第3次变换后，所以同理可得，所以，所以 综合与实践 数字艺术 1. “数学”的应用包罗万象，在一些看似完全不同的领域中也可能蕴含着“数学”的知识.比如在纺织领域，可以利用数字进行图案设计，不同的数字与不同的排列方式都能组成不同的图景. 【教材呈现】 (1) ①已知，如图①，将0.142857按逆时针方向由内向外螺旋排列填入对应的方格内，请在空白方格内补全对应数字. ②在进行图案设计时，不同的颜色可以表示不同的数字，如图②，该图案是利用某个小数的数字顺序设计的，则这个小数可能是（ ） A. 1.142857 B. 0.0185 C. 0.219 D. 【类比探究】 (2) ①斐波那契数列是指这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和.如图③，共有36个小方格，请设计两种不同的图案，使其填入小方格后分别表示奇数和偶数.之后依照斐波那契数列各项的顺序，自行选择一种排列方式填入图③中.(方格需填满) ②帕多瓦数列与斐波那契数列较为相似，其是指这样一个数列： 这个数列从第4项开始，每一项都等于前面第2项与前面第3项的和，如第5项等于第3项与第2项的和.使用上一小问设计的图案与排列方式，则第4行第3列的小方格中的图案是什么?请说明理由. 【拓展创新】 (3) 卢卡斯数列由(2)中的斐波那契数列变形而得，不同的是其第1项和第2项分别是1和3，从第3项开始，每一项都等于前两项之和.通过计算发现，卢卡斯数列各项的末位数字具有规律性. ①卢卡斯数列中第100项的末位数字为________. ②随机迷宫的构建：如图④，用小方格中的不同图案表示不同的数字，小方格内的实线表示“道路”(不含小方格的边).卢卡斯数列的每一项可用其末位数字对应的图案代表，请将卢卡斯数列排列在图⑤中构成一个可行的“迷宫”，使该“迷宫”的起点和终点分别位于大正方形的一组对边上，且起点和终点之间有可通行“道路”. 答案： (1) ①补全数字如图①所示: ②B 解析:由题图②可得，图中有4色方格，颜色最深的黑色只有两块且连在一起，可得设计顺序如图②所示，是由外向内的螺旋排列，该小数可能是0.0185，故选B. (2) ①如图③，答案不唯一，合理即可 理由如下:观察该斐波那契数列可得，从第一项开始，各项以“奇数、奇数、偶数”的顺序不断循环.之后设计小方格中一个正方形图案表示奇数，一个圆形图案表示偶数，按照蛇形排列从左上角开始填入方格即可. ②正方形、理由:帕多瓦数列从第1项开始分别为“奇数、奇数、奇数、偶数、偶数、奇数、偶数……”7个为一组循环，则按照①中选择的排列方式第4行第3列的小方格是第22项，则为奇数，图案为正方形. (3) ①7 解析:计算可得卢卡斯数列各项的末位数字依次为1，3，4，7，项为一组循环，，则卢卡斯数列中第100项的末位数字为7. ②按照从左上角开始向下的蛇形排列填入图④中，此时可构成可行的“迷宫”，入口可位于第1行第1列左侧，出口可位于第3行第5列右侧.(答案不唯一，合理即可) 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $