专题13.4 三角形的内角（举一反三讲义）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学讲义围绕三角形内角构建知识体系，梳理内角和定理及直角三角形性质判定核心知识点，结合图示呈现拓展倒角模型，形成“定义-定理-应用”的逻辑脉络，突出内角和定理证明及综合应用等重难点。 讲义亮点在于题型分层设计，涵盖证明、角度计算等9类题型，如通过三角板拼接证明内角和培养推理意识，结合秋千旋转问题强化模型意识。变式题满足不同学生需求，教师可据此实施精准教学，助力学生提升数学思维与应用能力。

专题13.4 三角形的内角（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 三角形内角和定理的证明】 2 【题型2 直接应用三角形内角和定理求角度】 5 【题型3 内角和与角平分线的综合应用】 7 【题型4 三角形内角和与平行线的综合应用】 10 【题型5 应用三角形内角和定理解决三角板问题】 16 【题型6 应用三角形内角和解决折叠中的角度问题】 21 【题型7 三角形内角和的应用】 24 【题型8 利用直角三角形的两个锐角互余求角度】 26 【题型9 利用有两个角互余的三角形是直角三角形判断三角形的形状】 29 考点1 三角形的内角 知识点1 三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°． 图 (1) 图 (2) 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4． 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D． 【题型1 三角形内角和定理的证明】 【例1】（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 【答案】(1) (2)三角形内角和为； (3)见解析 【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键． （1）根据图形直接写出结果即可； （2）根据（1）写出猜想即可； （3）根据题意，延长，过点C作，然后利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：通过、、的拼接，发现； （2）猜想：三角形内角和为； （3）延长，过点C作，如图所示：    ∴， ∵， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）证明：三角形的内角和等于． 已知：如图，． 求证：___________． 证明： 【答案】，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明、平行线性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 根据图形以及三角形内角和定理写成求证；如图，过点作，根据平行线性质得出，再根据平角的定义以及等量代换即可解答． 【详解】解：求证：． 证明：如图，过点作， ， （两直线平行，内错角相等）， （平角的定义）， （等量代换）． 【变式1-2】（24-25八年级上·湖北宜昌·月考）小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 在边上任取一点E，作 交于点D，作 交于点F． ， _______，_______． ， _______． ， _______， _______． ， _______． 【答案】；；；；； 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，根据平行线的性质和已给推理过程进行证明即可． 【详解】解； ， ，． ， ． ， ， ． ， ． 【变式1-3】（24-25八年级上·山西大同·阶段检测）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 【题型2 直接应用三角形内角和定理求角度】 【例2】（25-26七年级下·山东济南·期中）已知中，，则为（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据三个内角的比例，利用三角形内角和定理求出最大内角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵， ∴中最大角为， ∵三角形内角和为， ∴ ， ∵最大角， ∴三个内角均为锐角， ∴是锐角三角形． 【变式2-1】（25-26七年级下·河南周口·期中）将一副三角尺按如图所示的方式放置，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角尺的角度求出所在三角形的另外两个角，再根据三角形的内角和为求出． 【详解】解：如图， 由三角尺可知，，，， ∴， ∴． 【变式2-2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，将平移到的位置．若，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据平移的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵将平移到的位置． ∴， ∴ 【变式2-3】（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）在中，已知，，求的度数． 【答案】的度数为． 【分析】由三角形内角和定理可得，然后代入得，从而求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 【题型3 内角和与角平分线的综合应用】 【例3】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ∵，， ∴， 又是的角平分线， ， ． 【变式3-1】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，平分，得出 ，根据，得出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，点D、E分别为、边上的点，平分，平分，、相交于点O，若，则______． 【答案】/125度 【分析】首先由三角形内角和定理求出，然后结合角平分线求出，然后证明，即可得到． 【详解】解：∵ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【变式3-3】如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，见解析 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：如图，记，，． ， 又 平分， ， （2） 理由如下：设，， 平分 ， 又 【题型4 三角形内角和与平行线的综合应用】 【例4】已知，，，，若，则____________． 【答案】88° 【分析】根据平行线的性质、角的和差倍分、三角形的内角和定理、外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案是： 【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分、三角形内角和定理、外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式4-1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：∵直线、， ∴， ∵，， ∴． 【变式4-2】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，定点，分别在定直线，上，动点不在，，上． (1)当动点位于，之间时，如图②、图③，连接，，，，，之间满足怎样的数量关系？请说明理由； (2)当点在不同的位置时，请画出当，，三个角的其中一个角的度数等于另外两个角的度数之和时的所有示意图，并直接写出相应关系式，第（1）小题的关系式除外． 【答案】(1)或，理由见解析 (2)示意图有四种，见解析；图①和③关系式：， 图②和④关系式： ． 【分析】（1）①如题图②中，结论：．利用平行线的性质得到，利用三角形的内角和定理得到，再根据角度的和差关系解决问题即可．②如题图③中，结论：．利用平行线的性质，利用三角形的内角和定理得到，再根据角度的和差关系解决问题即可． （2）有四种情形，分别画出图形写出结论即可． 【详解】（1）解：第一种情况：如题图②，． 理由：， ， 即． ， ． 第二种情况：如题图③，． 理由：， ． ， ， 即． （2）解：如图，； 如图，； 如图，； 如图，． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【变式4-3】如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 【答案】(1)115，25 (2)不会发生变化，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，则，再由不变，即可分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ， ，． 平分， ． ； ， ． 平分，平分， ，． ， ，即， ． 故答案为：115，25； （2）解：不会发生变化，理由如下： ， ． ， ，． 平分，平分， ，． ． ， ， ， ． 当的度数发生变化时，、的度数不发生变化； （3）解：设， ． ， ，， 平分，平分， ，， ． ． 平分，平分， ，， ， ， 中存在一个内角等于另一个内角的三倍， ①当时，， 解得： ②当时，， 解得： ③当时，， 解得： ④当时，， 解得： 综上可知，或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 【题型5 应用三角形内角和定理解决三角板问题】 【例5】（2026·山西长治·一模）将一副三角板和按照如图所示的方式放置，与交于点G．已知，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，由得，在中求出，再在中利用内角和求出，最后由对顶角相等得． 【详解】解：如图，延长交于点，设与交于点， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 在中，， ， 与是对顶角， ． 【变式5-1】（25-26七年级下·天津·阶段检测）将一副三角板按如图放置，，，，则 ①；②；③如果，则有； ④如果，则有． 上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由即可判断①；由即可判断②；求出即可判断③；求出得到，则，进而可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如果，则，故，故③正确； 如果，则，故， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④错误， 综上所述，正确的有①②③，共3个． 【变式5-2】将一副直角三角板如图放置，已知，，当时，______． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理、平行线的性质和判定及三角形外角的性质计算即可. 【详解】如图： ，， ，， ， 故答案为： 【点睛】此题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和判定及三角形外角的性质掌握相应的定理和性质是解答此题的关键. 【变式5-3】小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图①，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图②，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线上，若平分，则是否平分？请说明理由． (3)小明将三角板与三角板按如图③所示方式摆放，点B与点F重合，求的度数． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题、平行线的性质、角平分线性质、三角形内角和定理： （1）先根据角度求出角度和，然后根据两直线平行，内错角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得； （3）先作辅助线，根据三角尺得到角度，根据两直线平行，同旁内角互补可得到，再根据三角形内角和可求得结果； 准确找到各个角度是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴ 故答案为：； （2）解：平分，理由如下： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； （3）解：延长交于点G，如图所示： ， 由题可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【题型6 应用三角形内角和解决折叠中的角度问题】 【例6】（25-26七年级下·广东深圳·期中）在等腰中，，将按如图方式折叠，点均落在边上的点处，线段为折痕．若，则的度数为___________． 【答案】85 【分析】由折叠的性质可得，再由三角形内角和定理和平角的定义可推出． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴． 【变式6-1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 【答案】/100度 【分析】利用三角形内角和为180度得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点落在点处， ∴， ∴． 【变式6-2】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到，再利用三角形内角和定理求出，即可求出答案． 【详解】解：设， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ． 【变式6-3】（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【题型7 三角形内角和的应用】 【例7】（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用旋转的性质以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵， ∴． 【变式7-1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用Cobb角来评估脊柱侧弯的程度，当Cobb角为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯Cobb角的检测示意图，于，于，与交于点，已知Cobb角为，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，则根据三角形内角和定理可求出，同理，最后由对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式7-2】（2026·江苏扬州·一模）如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得：，则，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∵， ∴． 【变式7-3】（2026·广西桂林·一模）如图为某种可调节式露营椅的示意图．，分别与相交于点，，当各个角度调节至如图所示的位置时，适合半躺放松、观景或小憩，体感最佳，若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：依图得， 中，， 中，， ，，， ， 点在上， ，选项符合题意． 考点2 直角三角形的性质及判定 知识点2 直角三角形的性质及判定 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°． 2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 ． 【题型8 利用直角三角形的两个锐角互余求角度】 【例8】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，则（   ） A． B． C．140° D．145° 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， ， ， 在中，， ． 【变式8-1】（25-26七年级下·四川·期中）如图，在中，，，垂足为．，则________度． 【答案】 【分析】由题意可得，，，则有． 【详解】解：， ， ， 又有， ． 【变式8-2】（2026·广东深圳·二模）如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点处滚向桌边，在上的点处反弹后，滚向桌边上的点，再次反弹后滚入点，共反弹两次．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据对称的性质求出，然后根据矩形的性质得到，，然后根据直角三角形两锐角互余求解． 【详解】解：∵ 根据题意得， ∵四边形是矩形 ∵， ∴ 根据题意得， ∵ ∴． 【变式8-3】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，平分交于点，为线段上的一点，过点作交线段的延长线于点，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形内角和为可以求出，根据角平分线定义可知，根据三角形内角和定理即可求出，再根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， 在中，， ， ， ， ． 【题型9 利用有两个角互余的三角形是直角三角形判断三角形的形状】 【例9】如图，平分，，，，则是____三角形． 【答案】直角 【分析】通过三角形的内角和等于，计算，再利用角平分线的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 【变式9-1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据三角形内角和定理，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，对四个选项逐一分析，再判断是否存在的角． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； ，仅知道一个角为，无法确定是否存在的角（如等边三角形三个角均为）， 不能判定△ABC为直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 【变式9-2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 【变式9-3】（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，平分．求证：是直角三角形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键； 先通过三角形内角和定理求出，再通过角平分线求出，进而可求出，从而可得到，进而得证． 【详解】证明：， ． 平分， ． ， ， ， 是直角三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.4 三角形的内角（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 三角形内角和定理的证明】 2 【题型2 直接应用三角形内角和定理求角度】 3 【题型3 内角和与角平分线的综合应用】 4 【题型4 三角形内角和与平行线的综合应用】 5 【题型5 应用三角形内角和定理解决三角板问题】 6 【题型6 应用三角形内角和解决折叠中的角度问题】 7 【题型7 三角形内角和的应用】 9 【题型8 利用直角三角形的两个锐角互余求角度】 10 【题型9 利用有两个角互余的三角形是直角三角形判断三角形的形状】 11 考点1 三角形的内角 知识点1 三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°． 图 (1) 图 (2) 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4． 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D． 【题型1 三角形内角和定理的证明】 【例1】（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）证明：三角形的内角和等于． 已知：如图，． 求证：___________． 证明： 【变式1-2】（24-25八年级上·湖北宜昌·月考）小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 在边上任取一点E，作 交于点D，作 交于点F． ， _______，_______． ， _______． ， _______， _______． ， _______． 【变式1-3】（24-25八年级上·山西大同·阶段检测）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 直接应用三角形内角和定理求角度】 【例2】（25-26七年级下·山东济南·期中）已知中，，则为（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【变式2-1】（25-26七年级下·河南周口·期中）将一副三角尺按如图所示的方式放置，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，将平移到的位置．若，则的度数为__________． 【变式2-3】（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）在中，已知，，求的度数． 【题型3 内角和与角平分线的综合应用】 【例3】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，点D、E分别为、边上的点，平分，平分，、相交于点O，若，则______． 【变式3-3】如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． 【题型4 三角形内角和与平行线的综合应用】 【例4】已知，，，，若，则____________． 【变式4-1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，定点，分别在定直线，上，动点不在，，上． (1)当动点位于，之间时，如图②、图③，连接，，，，，之间满足怎样的数量关系？请说明理由； (2)当点在不同的位置时，请画出当，，三个角的其中一个角的度数等于另外两个角的度数之和时的所有示意图，并直接写出相应关系式，第（1）小题的关系式除外． 【变式4-3】如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 【题型5 应用三角形内角和定理解决三角板问题】 【例5】（2026·山西长治·一模）将一副三角板和按照如图所示的方式放置，与交于点G．已知，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26七年级下·天津·阶段检测）将一副三角板按如图放置，，，，则 ①；②；③如果，则有； ④如果，则有． 上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】将一副直角三角板如图放置，已知，，当时，______． 【变式5-3】小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图①，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图②，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线上，若平分，则是否平分？请说明理由． (3)小明将三角板与三角板按如图③所示方式摆放，点B与点F重合，求的度数． 【题型6 应用三角形内角和解决折叠中的角度问题】 【例6】（25-26七年级下·广东深圳·期中）在等腰中，，将按如图方式折叠，点均落在边上的点处，线段为折痕．若，则的度数为___________． 【变式6-1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 【变式6-2】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【题型7 三角形内角和的应用】 【例7】（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用Cobb角来评估脊柱侧弯的程度，当Cobb角为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯Cobb角的检测示意图，于，于，与交于点，已知Cobb角为，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·江苏扬州·一模）如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·广西桂林·一模）如图为某种可调节式露营椅的示意图．，分别与相交于点，，当各个角度调节至如图所示的位置时，适合半躺放松、观景或小憩，体感最佳，若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 考点2 直角三角形的性质及判定 知识点2 直角三角形的性质及判定 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°． 2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 ． 【题型8 利用直角三角形的两个锐角互余求角度】 【例8】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，则（   ） A． B． C．140° D．145° 【变式8-1】（25-26七年级下·四川·期中）如图，在中，，，垂足为．，则________度． 【变式8-2】（2026·广东深圳·二模）如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点处滚向桌边，在上的点处反弹后，滚向桌边上的点，再次反弹后滚入点，共反弹两次．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，平分交于点，为线段上的一点，过点作交线段的延长线于点，求的度数． 【题型9 利用有两个角互余的三角形是直角三角形判断三角形的形状】 【例9】如图，平分，，，，则是____三角形． 【变式9-1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【变式9-3】（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，平分．求证：是直角三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $