第03讲 勾股定理的应用（12类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新八年级数学新教材北师大版

第03讲 勾股定理的应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 勾股定理应用之梯子滑落高度 题型2 勾股定理应用之旗杆高度 题型3 勾股定理应用之小鸟飞行的距离 题型4 勾股定理应用之大树折断前的高度 题型5 勾股定理应用之水杯中的筷子问题 题型6 勾股定理应用之航海问题 题型7 勾股定理应用之河的宽度 题型8 勾股定理应用之台阶上地毯长度 题型9 勾股定理应用之汽车是否超速问题 题型10 勾股定理应用之是否受台风影响问题 题型11 勾股定理应用之选址距离相等问题 题型12 勾股定理应用之几何图形中最短路径问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 勾股定理、最短路径、化曲为直、建模、构造直角三角形。 1. 能运用勾股定理解决实际问题，如求线段长度、距离、高度等。 2. 掌握立体图形（如长方体、圆柱）表面最短路径问题的转化方法，体会“化曲为直”思想。 3. 能根据实际问题构造直角三角形模型，正确建立方程求解。 4. 培养空间想象能力和数学建模意识，感受勾股定理在生活中的广泛应用。 学习重点：运用勾股定理解决实际问题，特别是立体图形表面的最短路径问题。 学习难点：将实际问题转化为数学模型（构造直角三角形），以及立体图形中“展开”与“化曲为直”的转化方法。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 【易错提醒】 注意单位统一，分清直角边与斜边。无图时需分类讨论（如高在形内或形外），结果保留根号或按要求近似。 即时即练1．《西江月》中描述：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千在静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将秋千往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 【答案】秋千绳索的长为尺 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用；设秋千绳索的长为尺，结合题意可得，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设秋千绳索的长为尺， 根据题意，得，， ， 在中，， 所以，， 解得，， 所以，秋千绳索的长为尺． 2．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)观测点C到公路的距离为米 (2)此车没有超速，理由见解析 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)、含30度角的直角三角形 【分析】此题主要考查了度的角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． （1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点C作于H， 在中， ， ． 米 （米） （米） 即观测点C到公路的距离为（米）． （2）解：米， 米 米 ∴车速为（米/秒） 千米/小时米/秒， ∴此车没有超速． 知识点02 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 【易错提醒】 找准展开方式，画出正确平面图，连直线。注意分类讨论不同路线，比较后取最小值，勿忽略重合点或漏情况。 即时即练1．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 题型1 勾股定理应用之梯子滑落高度 【例1】如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为． (1)求这架云梯顶端A处的高度； (2)当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗? 【答案】(1)； (2)底端沿向外移动距离不是 【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这架云梯的顶端A处的高度是； （2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ， ∴， ∴ 底端沿向外移动了，不是． 【例2】物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际中的应用，正确理解勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可知，利用勾股定理即可解答； （2）结合题意得出，则，再利用勾股定理，算出的长，的大小即为物体升高的高度． 【详解】（1）解：由题可知，，， 绳长， 答：绳子的总长度为． （2）解：由题可知，滑块向左是水平滑动，则， ， 在直角三角形中， ， ， 物体升高， 答：物体升高了． 【技巧归纳】 1. 定不变量：梯子长度不变，墙与地面垂直。 2. 两次勾股：滑落前、后分别用a2+b2=c2列式。 3. 设变量：设滑动距离，列方程求解，注意高度非负。 【变式1-1】消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)点处与地面的距离为米 (2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确确定每个线段的长度． （1）由题意可得，米，米，米，利用勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得，，米，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，米，米，米， 由勾股定理可得，（米）， （米）， 则点处与地面的距离为米； （2）解：由题意可得，（米），米， 根据勾股定理可得，（米）， ∴（米）， 则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 【变式1-2】按要求完成以下问题 (1)教材呈现：如图1，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； (2)解决问题：如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 【答案】(1)答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为． (2)叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点． 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用，进行解答，即可． （1）根据题意，可得，，，根据勾股定理求出，根据梯子底端沿向外移动，则，根据勾股定理求出，即可求出； （2）过点作于点，由题意可得，，，，根据勾股定理求出；，根据，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴ ∵梯子底端沿向外移动， ∴， ∴， ∴． 答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为． （2）解：叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．理由如下： 过点作于点， 由题意可得，，，， 叉车高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点． 题型2 勾股定理应用之旗杆高度 【例3】八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比旗杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端刚好接触地面时，此时绳子末端与旗杆的距离为5米，求旗杆的高度． 【答案】12米 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 将旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米． 在中， 根据勾股定理得． 解得： 答：旗杆的高度为12米． 【例4】小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)他应该往回收线8米 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）根据勾股定理求出的长，即可求解； （2）设风筝沿方向下降12米后到达点F，连接，根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：由勾股定理得，米， ∴米； （2）解：如图，设风筝沿方向下降12米后到达点F，连接， 由勾股定理得： 米， ∵米， ∴他应该往回收线8米． 【技巧归纳】 1. 两次勾股：绳索拉直前后构成两直角三角形，绳长不变为公共斜边。 2. 设高与水平距：设旗杆高h，水平距离d，分别列方程。 3. 联立消元：解方程组求h。 【变式2-1】学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离为3米，到旗杆的距离为10米（如图2）． 根据以上信息，求旗杆的高度． 【答案】 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．设米，在中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设米，根据题意得： 在中，， 即：， 解得： 答：旗杆的高度为米． 【变式2-2】学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． (1)设长为米，绳子为_____米，为_____米（用的代数式表示）； (2)请你求出旗杆的高度． 【答案】(1)； (2)米 【知识点】列代数式、求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用． （1）根据题意可得，，将代入即可得解； （2）结合（1）再根据，，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出旗杆的高度． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 设长为x米，则绳子长为米，的长度为米， 故答案为：；； （2）解：在中，米， 米，米， 由勾股定理可得，， 解得：． 答：旗杆的高度为米． 题型3 勾股定理应用之小鸟飞行的距离 【例5】如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 【答案】鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设的长为，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】如答图， 设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得， 设的长为，则， 解得． 答：鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇． 【例6】如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 【答案】和 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．由题意可得：，，那么，代入数据，解方程即可． 【详解】解：由题意可得：，， 则， 故， 解得：， 则（m）， 答：两杆底部距小鱼E处的距离分别是和． 【技巧归纳】 1. 构造直角三角形：以起点与终点横向、纵向距离为直角边。 2. 勾股求斜边：飞行最短距离=。 3. 注意单位：统一长度单位，方向变化需分段计算。 【变式3-1】如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【答案】 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于，连接，由题意得：，，，求出，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，连接， ， 由题意得：，，， ， ． 即：无人机飞行的最短距离为． 【变式3-2】如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 题型4 勾股定理应用之大树折断前的高度 【例7】如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？ 【答案】大树折断前高16米 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题的关键． 先利用勾股定理计算出的长，然后再计算出即可得到大树折断前的高度． 【详解】解：∵米，米， 根据勾股定理可得（米）， ∴（米）． 答：大树折断前高16米． 【例8】如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1) (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设长为，则长，由勾股定理可得，解方程即可得到答案； （2）由题意可得，则．利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴； 答：旗杆距地面处折断． （2）解：如图， 由题意可得， ∴． 在中，， ∵， ∴， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 【技巧归纳】 1. 两次勾股：折断后树梢触地，树干直立部分、折断斜段与地面成直角三角形。 2. 设未知数：设折断处高x，斜段长y，则x+y为原高。 3. 列方程：勾股定理解y，再求原高。 【变式4-1】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部处，已知点距离甲树的根部处为米，甲、乙两树根部的距离为米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为米，且点，，在一条直线上，，求甲树原来的高度． 【答案】甲树原来的高度为米 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】问题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可． 【详解】解：， ， 米，米， （米）， （米）， （米）， 甲树原来的高度为（米）， 答：甲树原来的高度为米. 【变式4-2】如图，在倾斜角为（即）的山坡上有一棵树，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树的根部C处，已知， ． (1)求这两棵树的水平距离； (2)求树的高度． 【答案】(1)3m (2)6m 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据平行的性质，证得，根据勾股定理即可求得． （2）在中，根据勾股定理即可解得． 【详解】（1）由题可知，     ∴， ∴     在中， ， ∴， ∴（m）． 即这两棵树的水平距离为3m． （2）在中，    ∴， ∴（m）． 即树的高度为6m． 题型5 勾股定理应用之水杯中的筷子问题 【例9】如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键． 根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：设牙刷的长度为， ∵将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， ∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， ∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，， 最长时等于牙刷斜边长度是：， ∴的取值范围是：， 即． 故答案为：． 【例10】如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的长为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度最小是 cm．    【答案】5 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度． 【详解】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：， 则铅笔在笔筒外部分的最小长度为； 故答案为：5． 【技巧归纳】 1. 两次勾股：筷子竖直、倾斜时分别用勾股定理，杯深、杯径为直角边。 2. 设未知数：设筷长L，露长d，水杯深h，杯底半径r。 3. 列方程：L-d=等，解出相关量。 【变式5-1】如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为，现将一根长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出收纳盒里面筷子的最大长度是解题的关键．求出筷子露在收纳盒外的最长长度和最短长度，即可得出结论． 【详解】解：当筷子放进收纳盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长； 当筷子放进收纳盒里露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线长，高为， 由勾股定理得：收纳盒里面筷子长度， 筷子露在收纳盒外的长度最短； 筷子露在盒外的部分的取值范围是， 故答案为：． 【变式5-2】如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度是 【答案】5 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，构造出直角三角形即可求解． 【详解】解：筷子露在杯子外面的最短长度即筷子在杯子里面的长度最长，即筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形．如下： ∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线断的长度，即， ∴筷子露在杯子外面的最短长度是． 故答案为:5. 题型6 勾股定理应用之航海问题 【例11】有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 【答案】(1)此时游轮距离岸边还有米 (2)工作人员手中的绳子被收上来米 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理解应用题，读懂题意，构造直角三角形求解是解决问题的关键． （1）根据题意，求出绳子缩短的长度，进而在中，由勾股定理求解即可得到答案； （2）根据题意，先求出，在中和中由勾股定理求出线段长，再由即可得到答案 【详解】（1）解：如图所示： 则，， 若工作人员以的速度收绳，后船移动到点的位置，则绳子缩短了， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 答：此时游轮距离岸边还有米； （2）解：若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，则， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 工作人员手中的绳子被收上来米． 【例12】如图，一艘轮船先从A地出发行驶到B地，又从B地行驶到C地，B地在A地南偏西的方向，距离A地80海里，C地在B地北偏西的方向，距离B地100海里．    (1)表示出B地相对于C地的位置； (2)求A，C两地之间的距离． 【答案】(1)B地在C地南偏东的方向，距离C地100海里 (2)海里 【知识点】方向角的表示、解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了方向角，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）结合图形观察即可求解； （2）判断，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，    ∵C地在B地北偏西的方向，距离B地100海里 ∴B地在C地南偏东的方向，距离C地100海里； （2）解：根据题意，得， ∴海里， 即A，C两地之间的距离海里． 【技巧归纳】 1. 画方位图：标注航向、航速、时间，得位移线段。 2. 构直角三角形：南北、东西方向距离为直角边，实际位移为斜边。 3. 勾股求距离：c2 = a2 + b2，注意单位与时间换算。 【变式6-1】如图，一艘轮船由港口沿着北偏东的方向航行到达港口，然后再沿北偏西方向航行到达港口． (1)求，两港口之间的距离；（结果保留根号） (2)港口在港口的什么方向上？ 【答案】(1) (2)港口在港口的南偏西的方向上 【知识点】与方向角有关的计算题、解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用和方向角； （1）由题意得，由勾股定理，从而得出的长； （2）由（1）可得，求出即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 根据勾股定理，知． 答：A、C两港之间的距离是； （2）由（1）知，是等腰直角三角形，且， ∴ ∴, ∴港口在港口的南偏西的方向上． 【变式6-2】钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行6海里，乙船每小时航行8海里． (1)若甲乙两船离开港口一小时后分别位于、处（图1），且相距10海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． (2)若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到海岸线上，若他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时45海里，他能在14分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)乙船沿南偏东方向航行，理由见解析 (2)他能在14分钟内到海岸线，理由见解析 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形进行解答． （1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可； （2）作于D，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得的长，进一步计算得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：（海里）， （海里）， 在中， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴乙船沿南偏东方向航行； （2）过点C作于D， 由题知，则（海里）， ∴海里， ∴（海里）， （海里）， ∴他能在14分钟内到海岸线． 题型7 勾股定理应用之河的宽度 【例13】如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，需要几天才能把隧道凿通？ 【答案】需要天才能把隧道凿通 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用；先根据三角形的内角和定理判断是直角三角形，再根据勾股定理求得的长，从而可以求得结果. 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∵天， 答：需要天才能把隧道凿通． 【例14】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 【答案】2米 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键． 根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：根据题意画出示意图，如图，则， 所以即为河水深度，， ， 是直角三角形， ， ， 解得：， 答：河水的深度为2米． 【技巧归纳】 1. 构造全等或相似：利用等腰直角三角形、将河宽转化为可测距离。 2. 勾股计算：在直角三角形中，已知两边求第三边，或列方程求解。 3. 选参照物：如树、标杆作标记，测量水平距离。 【变式7-1】如图，池塘边有两点，点是与方向成直角的方向上一点，测得长为米，长为米．求两点间的距离（取）． 【答案】米． 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理直接计算即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， ∵米，米， ∴米， 答：两点间的距离为米． 【变式7-2】某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：） (1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米） (2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？ 【答案】(1)A、C两地之间距离为1930米 (2)小华先到达C地 【知识点】与方向角有关的计算题、含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长、求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，含30度直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，方位角等知识，构造直角三角形是解题的关键． （1）连接，过D作于E；分别在，中利用勾股定理求出，即可求得结果； （2）设两人速度为1，由（1）的计算可得的长；由题意得是等腰直角三角形，由（1）的结论及勾股定理求得，即可求得；比较即可谁先到达C地． 【详解】（1）解：如图，连接，过D作于E； 由题意得：； 在中，则， ， 由勾股定理得：， 米； 则米； 在中，， 则米，由勾股定理得：米， (米)； （2）解：由（1）的计算知，米， 米； 由题意得分别在东南方向、西南方向，则， ， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 米， 米； ， ，即小华的路程更小， 又∵两人速度相同， 所以小华先到达C地． 题型8 勾股定理应用之台阶上地毯长度 【例15】某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 【例16】如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 【答案】平方米 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜． 【详解】解：棚高，棚宽，设棚顶的宽为b， 则， 棚的长d为， ∴． 【技巧归纳】 1. 平移法：将台阶水平段、竖直段分别平移至同一水平线和竖直线。 2. 勾股求斜长：地毯总长 = 所有水平段和 + 所有竖直段和，并非斜边。 3. 若求展开长：将台阶面展开成直角三角形，直角边为总高与总长。 【变式8-1】如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 【答案】25cm 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可． 【详解】解：如图，将台阶展开， 由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，． 所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625， 即AB＝25（cm）， 答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm． 【变式8-2】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 【答案】(1)每一级台阶的高为2分米． (2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论； （2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米， 根据题意得，18×（4＋x）×4＝432， 解得x＝2， 答：每一级台阶的高为2分米； （2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米， 则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：AC＝（分米）， 答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 题型9 勾股定理应用之汽车是否超速问题 【例17】为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 【答案】这辆观光电瓶车超速了 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，进而可得观光电瓶车的速度为，即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理得，， ∴观光电瓶车的速度为， ， 这辆观光电瓶车超速了． 【例18】某城市交管部门规定：小汽车在城市快速路上行驶速度不得超过80千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市快速路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了4秒后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】这辆小汽车超速了 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列式求出，再根据速度路程时间求出小汽车的速度，然后化为千米/小时的单位即可得解． 【详解】解：由勾股定理得（米）， 小汽车的速度为：（米/秒）， 30米/秒108千米/时80千米/时， 所以，这辆小汽车超速了． 【技巧归纳】 1. 画示意图：标出路宽、车长、行驶距离、反应距离。 2. 勾股求实际路程：从刹车点到停止点，构造直角三角形求斜边长。 3. 求速度：路程÷时间，与限速比较判断是否超速。 【变式9-1】为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．    (1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由； (2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？ 【答案】(1)报亭的人能听到广播宣传，理由见解析 (2)报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传 【知识点】垂线段最短、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短： （1）根据垂线段最短，结合600米米即可得到结论； （2）如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时，报亭的人开始听不到广播宣传，连接．利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据时间等于路程除以速度即可得到答案． 【详解】（1）解：报亭的人能听到广播宣传，理由如下： ∵600米米， ∴报亭的人能听到广播宣传． （2）解：如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时，报亭的人开始听不到广播宣传，连接． 由题意得，米，米，，    由勾股定理得米，米， ∴米． ∵ (分)， ∴报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传． 【变式9-2】五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】(1) (2)小丽在家能听到广播，计算见解析 (3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判断的形状； （2）过点作，根据等积法求出的长，然后和250米作比较解答即可； （3）作，根据勾股定理求出长，再根据时间路程时间解答即可． 【详解】（1）解：， 又， ， 是直角三角形，即． （2）解：过点作，垂足为D， 直角三角形， ， ， 解得， 小丽在家能听到广播； （3）解：依题意，， 根据勾股定理，， 移动广播车的速度为10米／秒， 秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 题型10 勾股定理应用之是否受台风影响问题 【例19】如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ∵， ∴台风中心经过从B点移到D点； （2）解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得， 在中，， ∴， ∴， ∴A市受到台风影响的时间持续． 【例20】如图，，，是我国南部的三个岛屿，已知，两岛的距离为，，两岛的距离为，，两岛的距离为．2024年9月，超强台风“摩羯”登陆岛屿，台风中心由向移动，风力影响半径为． (1)请判断岛屿是否会受到台风的影响？并说明理由 (2)若台风影响岛屿的时长是小时，求台风中心的移动速度． 【答案】(1)岛屿是否会受到台风的影响；理由见解析 (2)台风中心的移动速度为． 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作于点D，利用勾股定理得可求出和，由，可知会受影响； （2）以点C为圆心，长为半径画弧与交于点E，F，利用勾股定理求出，进而得到的长，再除以台风影响岛屿的时长，即可求出台风移动的速度． 【详解】（1）解：岛屿是否会受到台风的影响；理由如下， 过点C作于点D， 由勾股定理得：， ∴， 解得，∴，， ∵， ∴岛屿是否会受到台风的影响； （2）解：以点C为圆心，长为半径画弧与交于点E，F， 则， 在中， 由勾股定理，得， ， ， 答：台风中心的移动速度为． 【技巧归纳】 1. 定临界点：以受影响最大距离R为半径，台风中心路径为直线。 2. 求垂线段长：作点到直线垂线，用勾股求垂足距离。 3. 比较判定：垂线长 ≤ R 则受影响；否则不受，也可计算影响时间段。 【变式10-1】2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析； (2) 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】（1）作，中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，根据勾股定理求出的长，即可， 此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：会受到台风的影响. 理由：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：农场A会受到台风的影响， （2）解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，，由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 【变式10-2】第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（）方向以的速度向移动，地在距离地的正北方，已知地到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】(1)8小时 (2)5小时 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，路程、速度、时间之间的关系等知识，解答本题的关键是利用勾股定理求出的长度． （1）根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算； （2）根据在范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间路程速度计算，然后求出时间段即可． 【详解】（1）在中，根据勾股定理， 得， ∴（小时）， 则台风中心经过8小时从B移动到D点； （2）如图，设 ∵距台风中心的圆形区域内都会受到台风破坏的危险， ∴人们要在台风中心到达E点之前撤离， ∵， ∴（小时）， 答：游人在5小时内撤离才可脱离危险． 题型11 勾股定理应用之选址距离相等问题 【例21】如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等． 设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米．      (1)（______）千米； (2)煤栈应建在距点多少千米处？ 【答案】(1) (2)千米处 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】（）连接，则，由勾股定理可得，解之即可求解； （）根据（）的结果即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接，则， ∵，， ∴， ∵千米， ∴千米， ∵， ∴， 解得， ∴千米， 故答案为：； （2）解：由（）得，千米， ∴煤栈应建在距点千米处． 【例22】如图，已知某学校A与直线公路相距300米（即米，），且与该公路上一个车站D相距500米（即米），现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市 C 与车站D的距离是多少米? 【答案】312.5米 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，弄清题意，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键；根据题意，，，由、的长易求，设米，米，在中运用勾股定理得关系式求解． 【详解】解：根据题意得：，， 在直角三角形中， 米，米， （米）， 设米，则米， 在中，， 即， 解得：， 答：该超市C与车站D的距离是312.5米． 【技巧归纳】 1. 建坐标系：将点置于直角坐标系，用坐标表示位置。 2. 勾股求距：两点距离d = 。 3. 列方程：根据条件（如到两点距离相等或和最小）列式求解，注意实际范围。 【变式11-1】如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A点多少千米处？ 【答案】站应建在离站处． 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，利用，得出是解决问题的关键．根据使得，两村到站的距离相等，则，再利用勾股定理得出的长． 【详解】解：，两村到站的距离相等． ， 于，于， ， ，， ， 设，则， ，， ， 解得：， ． 答：站应建在离站处． 【变式11-2】如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 【答案】(1)475米 (2)1000米 【知识点】用勾股定理解三角形、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，确定出Q、P的位置是本题的关键． （1）设，则，根据利用勾股定理即可得出结果． （2）作A关于l的对称点，连接，交l于P，由对称性得的最小值为线段的长，作于点E，在中，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1， 根据题意得：， 设，则， ， 解得， 即的长为475米； （2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P． 则， ， 的最小值为， 如图，作于点E， 在中， 米，米， 米， 的最小值为1000米． 题型12 勾股定理应用之几何图形中最短路径问题 【例23】如图①，一个圆柱的底面周长为，高为，用一根绳子从点A出发绕侧面一周到点B，则绳长至少为多少？ 解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示． 在中，______，______，_______，则运用“________”可求_______． 由“_______”可知，绳子的最短长度就是线段______的长，即绳长至少为________． 【答案】90；12；16；勾股定理；20；两点之间，线段最短；；20 【分析】根据题干图结合勾股定理和“两点之间，线段最短”作答即可． 【详解】解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示． 在中，，，，则运用“勾股定理”可求． 由“两点之间，线段最短”可知，绳子的最短长度就是线段的长，即绳长至少为20． 【例24】如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点两点嵌有一圈长度最短的金属丝．                           (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______； (2)求该金属丝的长． 【答案】(1)C (2) 【分析】本题考查了勾股定理的最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求金属丝的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：因为圆柱的侧面展开图为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故答案为：C； （2）如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度， ∵圆柱底面的周长为， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，得， ∴该金属丝的长． 【技巧归纳】 1. 对称变换：作其中一点关于直线（或棱）的对称点，连接另一点得最短路径。 2. 勾股求长：对称后线段即为所求，用勾股定理计算长度。 3. 验证合理性：路径与直线交点即为转折点。 【变式12-1】如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 【答案】(1)1000 (2)自动售货点应修建在离点C100米处 (3) 【分析】（1）连接，过点B作于点G，易得四边形是矩形，再由勾股定理即可求的长； （2）设，则，由勾股定理分别表示出、，再根据，列方程求解即可； （3）作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则到A、B两处的距离之和最小值即为，易得四边形是矩形，由勾股定理求即可； 【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：设，则， ∴，， ∵到A，B两处的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴自动售货点应修建在离点100米处； （3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 即到A、B两处的距离之和最小值为． 【变式12-2】课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 【答案】（1），（2）26（3）（4） 【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长度，进而构建直角三角形求解． 【详解】解：（1）展开后、、C构成直角三角形，两直角边分别为和． 根据勾股定理，最短路径为： （2）底面是正方形，周长为，垂直方向为直四棱柱的高，绕一周高为， 根据勾股定理，， 绕两周彩条最短长度为：； （3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为，绕一周垂直长度为； 根据勾股定理，金属丝最短长度为： （4）底面是半圆长加一个半径，，高为6， 根据勾股定理，爬行最短长度为． 一、单选题 1．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 2．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理列方程即可求解水深． 【详解】解：∵水池边长为丈，丈尺，葭生长在池中央， ∴池中心到岸边的水平距离为尺， 设池水深度为尺，则葭长为尺，引葭到岸边后，水深、池中心到岸边的水平距离、葭长构成直角三角形，葭长为斜边， 根据勾股定理可得：， 展开得：， 移项，合并同类项，得：， 解得：， ∴池水深度为尺． 3．如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（     ） A．13厘米 B．17厘米 C． 厘米 D．5厘米 【答案】A 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解： 如图所示： 由于圆柱体的底面周长为 ， 则 （）． 又因为 ， 所以 （）． 故蚂蚁爬行的最短距离为 ． 4．如图，一个长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果以的速度从长方体的表面的点处爬到点处，最快爬行的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分三种情况：①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，③当沿长方体的后侧和上面进行展开时，利用勾股定理求出最短路径，进而可求出最快爬行的时间． 【详解】解：由题意得： ①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，如图所示： ，， 在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ，， 在中，； ③当沿长方体的后侧和上面进行展开时，如图所示： ，， 在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25， ∴最快爬行的时间是． 二、填空题 5．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 【答案】12尺 【分析】根据题意可得芦苇长度，设水的深度为尺，然后在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵水面是一个边长为10尺的正方形，点是的中点， ∴尺， 设水的深度为尺， ∵尺，， ∴尺， ∵， ∴尺， ∵在中，根据勾股定理可得：， ∴，整理得：，解得：， ∴尺． 6．2026年2月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子型池场地金牌的运动员，如图，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，．从点滑到点，滑行的最短路程是______m．（边缘部分的厚度忽略不计，取3） 【答案】20 【分析】将半圆面展开成矩形，连接．则是最短距离，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将半圆面展开如图所示，连接． 根据题意，得，． ， 在中，由勾股定理，得 ， 从点滑到点，滑行的最短路程是． 7．如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 【答案】 【详解】解：如图， ∴． 8．如图，在中，，则表示线段的长度，受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点．，，，，设． （1）______； （2）的最小值是______． 【答案】 10 【分析】本题考查利用轴对称确定最短路线问题，运用数形结合思想和利用勾股定理等几何知识直观求解代数问题是解题的关键．（1）由，，即可得到；（2）作点关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点，当点与重合时，值最小，根据勾股定理求出． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）作点关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点， 当与重合时，式子取等号，值最小． ， ． 三、解答题 9．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】18米 【分析】可证明，则，据此利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵米， ∴米， ∴米， 答：点、之间的距离为18米． 10．如图，已知一架梯子斜靠在墙角处，竹梯，梯子底端离墙角的距离． (1)求这个梯子顶端A距地面有多高； (2)如果梯子的顶端A下滑到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离吗？为什么？ 【答案】(1)梯子顶端距地面24米高 (2)滑动不等于，理由见解析 【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度． （2）先利用勾股定理求出的长度，进而利用线段和差关系计算即可． 【详解】（1）解：根据勾股定理： ∴梯子距离地面的高度为：； （2）解：梯子的底部B在水平方向上滑动的距离不等于，理由如下： ∵梯子的顶端A下滑到点C， ∴，， ∴， 根据勾股定理得到， ∴， ∴梯子的底部B在水平方向上滑动的距离不等于． 11．如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且． (1)求点到点的距离； (2)根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格． 【答案】(1) (2)这个零件合格． 【分析】（1）根据勾股定理列式计算，即可作答． （2）先分别算出得出，满足勾股逆定理，得出是直角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵，，． ∴ （2）解：这个零件是合格的，理由如下： 由（1）得， ∵，， ∴ 即 ∴是直角三角形， ∴这个零件是合格的． 12．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】(1)500海里 (2)360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 13．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 【答案】(1)点C到铁路的距离为 (2)会，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为 【分析】（1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于点D，如图． 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 14．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30米 (2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 15．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) (2)海港C受台风影响， 理由如下：过点C作， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港C受台风影响； (3)海港C受台风影响的时间会持续． 【分析】（1）依据勾股定理求解即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：， ， ，， ； （2）略 （3）解：如图，当，时，正好影响C港口， ，， ， 台风的速度为， ， 答：海港C受台风影响的时间会持续． 16．项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 【答案】(1)15 (2)设计方案不符合规划要求 【分析】（1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理逆定理可得，可求出绿化区的面积，即可求解． 【详解】（1）解：因为，，， 所以． 答：这条直道的长度为． （2）解：因为，，， 所以． 所以． 所以绿化区的面积为． ． 因为， 所以设计方案不符合规划要求． 17．如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】(1)见解析 (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 18．日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活． 主题    探究最短路径问题与用数学知识设计车位 活动一：如图1，点A、B是直线l上方两点，点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，在直线l上找一点P，使最短． (1)如图2，作点与点A关于直线l对称，连接交直线l于点O，连接交直线l于点P，连接，则点P即为所求，则______， _____ （选填或）； (2)如图3，过作，过B作于C，若，则____，_____； 活动二：某小区有一个矩形停车场，长，宽，大门设在处，如图4，小区内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是边长为的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与停车场的边界及充电桩之间的距离都不小于，是两个充电桩的中心，叫做充电桩的中心距． (3)如图5，若沿方向修建一排充电桩，最多可以修建_______个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距为_______； (4)调研发现，在停车场四个角落修4个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为，需在边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到的距离的和最短，则这个最短距离为__________． 【答案】(1)1， (2)4，5 (3)11，3 (4) 【分析】（1）根据轴对称的性质解答即可； （2）根据勾股定理解答即可； （3）根据题意得：沿方向修建一排充电桩，两边需要留，充电桩的中心距最小为，再由，即可求解； （4）作点关于的对称点G，连接，交于点L，连接交于点H，过点作，交于点K，则点H即为总电箱所在的位置，则，可得该电箱到的距离的和最短为的长，即可求解． 【详解】（1）解：由作法得：，； （2）解：根据题意得：， 在中，，， ， ∴； （3）解：根据题意得：沿方向修建一排充电桩，两边需要留， 充电桩的中心距最小为， 因为， 所以最多可以修建11个充电桩， 此时此时相邻两个充电桩的中心距为； （4）解：如图，作点关于的对称点G，连接，交于点L，连接交于点H，过点作，交于点K，则点H即为总电箱所在的位置，则， ∴，即该电箱到的距离的和最短为的长， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴该电箱到的距离的和最短为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 勾股定理的应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 勾股定理应用之梯子滑落高度 题型2 勾股定理应用之旗杆高度 题型3 勾股定理应用之小鸟飞行的距离 题型4 勾股定理应用之大树折断前的高度 题型5 勾股定理应用之水杯中的筷子问题 题型6 勾股定理应用之航海问题 题型7 勾股定理应用之河的宽度 题型8 勾股定理应用之台阶上地毯长度 题型9 勾股定理应用之汽车是否超速问题 题型10 勾股定理应用之是否受台风影响问题 题型11 勾股定理应用之选址距离相等问题 题型12 勾股定理应用之几何图形中最短路径问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 勾股定理、最短路径、化曲为直、建模、构造直角三角形。 1. 能运用勾股定理解决实际问题，如求线段长度、距离、高度等。 2. 掌握立体图形（如长方体、圆柱）表面最短路径问题的转化方法，体会“化曲为直”思想。 3. 能根据实际问题构造直角三角形模型，正确建立方程求解。 4. 培养空间想象能力和数学建模意识，感受勾股定理在生活中的广泛应用。 学习重点：运用勾股定理解决实际问题，特别是立体图形表面的最短路径问题。 学习难点：将实际问题转化为数学模型（构造直角三角形），以及立体图形中“展开”与“化曲为直”的转化方法。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 【易错提醒】 注意单位统一，分清直角边与斜边。无图时需分类讨论（如高在形内或形外），结果保留根号或按要求近似。 即时即练1．《西江月》中描述：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千在静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将秋千往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 2．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 知识点02 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 【易错提醒】 找准展开方式，画出正确平面图，连直线。注意分类讨论不同路线，比较后取最小值，勿忽略重合点或漏情况。 即时即练1．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 题型1 勾股定理应用之梯子滑落高度 【例1】如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为． (1)求这架云梯顶端A处的高度； (2)当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗? 【例2】物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 【技巧归纳】 1. 定不变量：梯子长度不变，墙与地面垂直。 2. 两次勾股：滑落前、后分别用a2+b2=c2列式。 3. 设变量：设滑动距离，列方程求解，注意高度非负。 【变式1-1】消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【变式1-2】按要求完成以下问题 (1)教材呈现：如图1，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； (2)解决问题：如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 题型2 勾股定理应用之旗杆高度 【例3】八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比旗杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端刚好接触地面时，此时绳子末端与旗杆的距离为5米，求旗杆的高度． 【例4】小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【技巧归纳】 1. 两次勾股：绳索拉直前后构成两直角三角形，绳长不变为公共斜边。 2. 设高与水平距：设旗杆高h，水平距离d，分别列方程。 3. 联立消元：解方程组求h。 【变式2-1】学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离为3米，到旗杆的距离为10米（如图2）． 根据以上信息，求旗杆的高度． 【变式2-2】学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． (1)设长为米，绳子为_____米，为_____米（用的代数式表示）； (2)请你求出旗杆的高度． 题型3 勾股定理应用之小鸟飞行的距离 【例5】如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 【例6】如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 【技巧归纳】 1. 构造直角三角形：以起点与终点横向、纵向距离为直角边。 2. 勾股求斜边：飞行最短距离=。 3. 注意单位：统一长度单位，方向变化需分段计算。 【变式3-1】如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【变式3-2】如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 题型4 勾股定理应用之大树折断前的高度 【例7】如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？ 【例8】如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？ 【技巧归纳】 1. 两次勾股：折断后树梢触地，树干直立部分、折断斜段与地面成直角三角形。 2. 设未知数：设折断处高x，斜段长y，则x+y为原高。 3. 列方程：勾股定理解y，再求原高。 【变式4-1】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部处，已知点距离甲树的根部处为米，甲、乙两树根部的距离为米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为米，且点，，在一条直线上，，求甲树原来的高度． 【变式4-2】如图，在倾斜角为（即）的山坡上有一棵树，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树的根部C处，已知， ． (1)求这两棵树的水平距离； (2)求树的高度． 题型5 勾股定理应用之水杯中的筷子问题 【例9】如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度，则的取值范围是 ． 【例10】如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的长为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度最小是 cm．    【技巧归纳】 1. 两次勾股：筷子竖直、倾斜时分别用勾股定理，杯深、杯径为直角边。 2. 设未知数：设筷长L，露长d，水杯深h，杯底半径r。 3. 列方程：L-d=等，解出相关量。 【变式5-1】如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为，现将一根长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是 ． 【变式5-2】如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度是 题型6 勾股定理应用之航海问题 【例11】有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 【例12】如图，一艘轮船先从A地出发行驶到B地，又从B地行驶到C地，B地在A地南偏西的方向，距离A地80海里，C地在B地北偏西的方向，距离B地100海里．    (1)表示出B地相对于C地的位置； (2)求A，C两地之间的距离． 【技巧归纳】 1. 画方位图：标注航向、航速、时间，得位移线段。 2. 构直角三角形：南北、东西方向距离为直角边，实际位移为斜边。 3. 勾股求距离：c2 = a2 + b2，注意单位与时间换算。 【变式6-1】如图，一艘轮船由港口沿着北偏东的方向航行到达港口，然后再沿北偏西方向航行到达港口． (1)求，两港口之间的距离；（结果保留根号） (2)港口在港口的什么方向上？ 【变式6-2】钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行6海里，乙船每小时航行8海里． (1)若甲乙两船离开港口一小时后分别位于、处（图1），且相距10海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． (2)若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到海岸线上，若他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时45海里，他能在14分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（参考数据：） 题型7 勾股定理应用之河的宽度 【例13】如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，需要几天才能把隧道凿通？ 【例14】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 【技巧归纳】 1. 构造全等或相似：利用等腰直角三角形、将河宽转化为可测距离。 2. 勾股计算：在直角三角形中，已知两边求第三边，或列方程求解。 3. 选参照物：如树、标杆作标记，测量水平距离。 【变式7-1】如图，池塘边有两点，点是与方向成直角的方向上一点，测得长为米，长为米．求两点间的距离（取）． 【变式7-2】某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：） (1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米） (2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？ 题型8 勾股定理应用之台阶上地毯长度 【例15】某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【例16】如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 【技巧归纳】 1. 平移法：将台阶水平段、竖直段分别平移至同一水平线和竖直线。 2. 勾股求斜长：地毯总长 = 所有水平段和 + 所有竖直段和，并非斜边。 3. 若求展开长：将台阶面展开成直角三角形，直角边为总高与总长。 【变式8-1】如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 【变式8-2】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 题型9 勾股定理应用之汽车是否超速问题 【例17】为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 【例18】某城市交管部门规定：小汽车在城市快速路上行驶速度不得超过80千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市快速路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了4秒后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？ 【技巧归纳】 1. 画示意图：标出路宽、车长、行驶距离、反应距离。 2. 勾股求实际路程：从刹车点到停止点，构造直角三角形求斜边长。 3. 求速度：路程÷时间，与限速比较判断是否超速。 【变式9-1】为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．    (1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由； (2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？ 【变式9-2】五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 题型10 勾股定理应用之是否受台风影响问题 【例19】如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【例20】如图，，，是我国南部的三个岛屿，已知，两岛的距离为，，两岛的距离为，，两岛的距离为．2024年9月，超强台风“摩羯”登陆岛屿，台风中心由向移动，风力影响半径为． (1)请判断岛屿是否会受到台风的影响？并说明理由 (2)若台风影响岛屿的时长是小时，求台风中心的移动速度． 【技巧归纳】 1. 定临界点：以受影响最大距离R为半径，台风中心路径为直线。 2. 求垂线段长：作点到直线垂线，用勾股求垂足距离。 3. 比较判定：垂线长 ≤ R 则受影响；否则不受，也可计算影响时间段。 【变式10-1】2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【变式10-2】第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（）方向以的速度向移动，地在距离地的正北方，已知地到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 题型11 勾股定理应用之选址距离相等问题 【例21】如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等． 设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米．      (1)（______）千米； (2)煤栈应建在距点多少千米处？ 【例22】如图，已知某学校A与直线公路相距300米（即米，），且与该公路上一个车站D相距500米（即米），现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市 C 与车站D的距离是多少米? 【技巧归纳】 1. 建坐标系：将点置于直角坐标系，用坐标表示位置。 2. 勾股求距：两点距离d = 。 3. 列方程：根据条件（如到两点距离相等或和最小）列式求解，注意实际范围。 【变式11-1】如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A点多少千米处？ 【变式11-2】如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 题型12 勾股定理应用之几何图形中最短路径问题 【例23】如图①，一个圆柱的底面周长为，高为，用一根绳子从点A出发绕侧面一周到点B，则绳长至少为多少？ 解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示． 在中，______，______，_______，则运用“________”可求_______． 由“_______”可知，绳子的最短长度就是线段______的长，即绳长至少为________． 【例24】如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点两点嵌有一圈长度最短的金属丝．                           (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______； (2)求该金属丝的长． 【技巧归纳】 1. 对称变换：作其中一点关于直线（或棱）的对称点，连接另一点得最短路径。 2. 勾股求长：对称后线段即为所求，用勾股定理计算长度。 3. 验证合理性：路径与直线交点即为转折点。 【变式12-1】如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 【变式12-2】课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 一、单选题 1．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（     ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 3．如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（     ） A．13厘米 B．17厘米 C． 厘米 D．5厘米 4．如图，一个长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果以的速度从长方体的表面的点处爬到点处，最快爬行的时间是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 6．2026年2月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子型池场地金牌的运动员，如图，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，．从点滑到点，滑行的最短路程是______m．（边缘部分的厚度忽略不计，取3） 7．如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 8．如图，在中，，则表示线段的长度，受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点．，，，，设． （1）______； （2）的最小值是______． 三、解答题 9．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 10．如图，已知一架梯子斜靠在墙角处，竹梯，梯子底端离墙角的距离． (1)求这个梯子顶端A距地面有多高； (2)如果梯子的顶端A下滑到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离吗？为什么？ 11．如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且． (1)求点到点的距离； (2)根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格． 12．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 13．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 14．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 15．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 16．项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 17．如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 18．日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活． 主题    探究最短路径问题与用数学知识设计车位 活动一：如图1，点A、B是直线l上方两点，点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，在直线l上找一点P，使最短． (1)如图2，作点与点A关于直线l对称，连接交直线l于点O，连接交直线l于点P，连接，则点P即为所求，则______， _____ （选填或）； (2)如图3，过作，过B作于C，若，则____，_____； 活动二：某小区有一个矩形停车场，长，宽，大门设在处，如图4，小区内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是边长为的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与停车场的边界及充电桩之间的距离都不小于，是两个充电桩的中心，叫做充电桩的中心距． (3)如图5，若沿方向修建一排充电桩，最多可以修建_______个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距为_______； (4)调研发现，在停车场四个角落修4个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为，需在边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到的距离的和最短，则这个最短距离为__________． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $