等比数列-午练半小时-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** “午练半小时 等比数列”作业采用三级分层设计，基础题占比70%，梯度从概念理解到综合应用，适配新授课知识巩固与能力提升，体现数学眼光、思维与语言的素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|等比数列定义、通项公式、前n项和等单一知识点|选择填空为主，巩固基础公式应用，如等比数列基本量计算| |B级|等比数列性质、实际应用|中档解答题，结合流行病学传染数情境，培养数学建模意识| |C级|递推关系、等比数列证明及求和综合|综合解答题，融合数列递推与证明推理，发展逻辑思维能力|

午练半小时 等比数列 A级 必备知识基础练 1.在等比数列{an}中,a1+a3=1,a6+a8=-32,则=(　　) A.-8 B.16 C.32 D.-32 2.已知数列{an}中,a1=1,an=3an-1+4(n∈N*且n≥2),则数列{an}通项公式an为(　　) A.3n-1 B.3n+1-8 C.3n-2 D.3n 3.设等比数列{an}的前n项和Sn=3n-1+a,则a的值为(　　) A.1 B.-1 C. D.- 4.已知一个等比数列的项数是偶数,其奇数项之和为1 012,偶数项之和为2 024,则这个数列的公比为(　　) A.8 B.-2 C.4 D.2 5.(多选题)已知等比数列{an}中,满足a1=1,q=2,则(　　) A.数列{a2n}是等比数列 B.数列是递增数列 C.数列{log2an}是等差数列 D.数列{an}中,S10,S20,S30仍为等比数列 6.(多选题)已知等比数列{an}是递增数列,q是其公比,下列说法正确的是(　　) A.a1>0 B.q>0 C.a1q>0 D.a1(q-1)>0 7.已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,S11=11,b3b7=3,则log3=　　　. B级 关键能力提升练 8.在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.初始感染者传染R0个人为第一轮传染,这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染,….假设某种传染病的基本传染数R0=3,那么初始一名感染者,经过三轮传染后,感染总人数将达到　　　人;若感染总人数达到1 000人后,则应采取紧急防控措施,那么应在第　　　　轮传染开始前采取紧急防控措施.  9.等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通项公式; (2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m的值. C级 学科素养创新练 10.已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,且满足Sn+n=an+1-1. (1)求证:数列{an+1}是等比数列; (2)设bn=an+log2(an+1),求数列{bn}的前n项和Tn. 参考答案 1.D　2.C　3.D　4.D　5.AC　6.BD 7.-1 8.40　7　由题知,初始感染者传染R0个人为第一轮传染,设第n轮传染的人数为an, 第一轮传染给R0个人,a1=R0, 第二轮每人又传染给R0个人,a2=R0×R0=, 第三轮每人又传染给R0个人,a3=×R0=,…, 第n轮传染的人数为an=. 故R0=3时,第n轮传染的人数为an=3n,是以3为首项,以3为公比的等比数列. 设前n轮感染人数为Sn,则Sn=(3n-1). 初始一名感染者,经过三轮传染后,感染总人数将达到1+S3=1+×(33-1)=40. 若感染总人数达到1 000人,则应采取紧急防控措施, 令1+Sn=(3n-1)+1≥1 000,得3n≥667. 又n∈N*,y=3n随n的增大而增大,35=243,36=729,故n≥6且n∈N*. 所以经过第6轮传染后总人数超过1 000人,即在第7轮传染开始前采取紧急防控措施. 9.解 (1)∵等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.设{an}的公比为q,∴1×q4=4×(1×q2),解得q=±2,当q=2时,an=2n-1,当q=-2时,an=(-2)n-1,∴{an}的通项公式为an=2n-1,或an=(-2)n-1. (2)记Sn为{an}的前n项和. 当a1=1,q=-2时,Sn=,由Sm=63,得Sm==63,m∈N*,无解; 当a1=1,q=2时,Sn==2n-1,由Sm=63,得Sm=2m-1=63,m∈N*,解得m=6. 10.(1)证明 由已知得,Sn+n=an+1-1, 当n≥2时,Sn-1+n-1=an-1, 两式相减得,an+1=an+1-an,即an+1=2an+1,于是an+1+1=2(an+1),即=2,n≥2, 又a2=a1+1+1=3,a2+1=4,a1+1=2,所以=2满足上式, 所以=2对∀n∈N*都成立,故数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列. (2)解 由(1)得an+1=2n,∴an=2n-1,bn=2n+n-1, ∴Tn=(2+22+23+…+2n)+[0+1+2+3+…+(n-1)]==2n+1-2+. 学科网（北京）股份有限公司 $