精品解析：2026年广西壮族自治区南宁市隆安县中考第三次学情自测数学试题

2026届初中毕业班质量调研（二） 数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选和未选均不得分．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴．由题意得，手掌遮住的数大于且小于0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0， ∴四个选项中只有C选项中的数符合题意， 故选：C． 3. 我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了主视图的识别，熟练掌握主视图的定义（从正面观察几何体所得到的视图）是解题的关键．根据主视图的定义（从正面观察几何体得到的视图），分析图中模型的正面形状，判断各部分的投影． 【详解】解：该几何体的主视图是． 故选：B． 4. 在化学实验中，研究人员发现一种新型纳米材料颗粒，其直径经测量为米．在数学中，对于微小长度的表示常采用科学记数法，请问该纳米材料颗粒的直径用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，需掌握科学记数法的表示形式为（其中，为负整数），的绝对值等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】∵原数为，左边第一个非零数字5前有6个0 ∴ ∴答案选A 5. 某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中这一分数段的人数是（ ） A. 20 B. 12 C. 9 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据频数分布直方图可知总人数为，读取其他各分数段的频数，利用总人数减去其他各组频数之和即可求解． 【详解】解：由题意及直方图可知，样本容量为， 除这一分数段外，其他各分数段的频数分别为，，，，   样本中这一分数段的人数为： （人）． 6. 如图，放风筝的人与风筝的水平距离是90米，若拉紧的风筝线与水平线的夹角，则放出的线的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据余弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，米，， ∵， ∴（米）， 故选：A． 7. 若点在反比例函数的图象上，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解题的关键． 利用“图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】点在反比例函数的图象上， 将，代入中，得， 故选D． 8. 如图，中弦，相交于点P，连接，，则图中与相等的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．根据圆周角定理得出即可． 【详解】解：根据圆周角定理得：， 故选：C． 9. 多项式因式分解，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，分解因式即可作出判断．熟练掌握提取公因式法、公式法及十字相乘法分解因式是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 10. 为进一步提高老年人的生活质量，某养老中心在2025年配备了一款智能养老服务机器人．已知该中心智能养老服务机器人的数量由10月份的16台增加到12月份的25台．若设该中心11，12两个月智能养老服务机器人数量的月均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的应用题．根据题意可知：11月份数量为：，12月份的数量为：，即可得出结果． 【详解】解：由题意列方程为． 故选：A． 11. 研究表明，运动后感觉疲劳与体内血乳酸浓度升高有关．运动员未运动时体内血乳酸浓度低于；若运动后降至以下，疲劳基本消除．科研人员根据数据绘制了运动员剧烈运动后体内血乳酸浓度随时间变化的图象．下列叙述正确的是（ ） A. 运动后40分钟时，采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同 B. 剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为 C. 剧烈运动后，慢跑80分钟才能基本消除疲劳 D. 剧烈运动后，慢跑放松有助于快速消除疲劳 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，理解函数图象的意义并从中获取有用的信息是解题的关键．根据函数图象的特征逐项分析即可． 【详解】解：A、由图象知，当时，虚线所在图象高于实线所在的图象，即采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度低于采用静坐方式休息时的血乳酸浓度，故叙述错误； B、由图象知，剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为左右，故叙述错误； C、由图象知，剧烈运动后，慢跑40分钟能基本消除疲劳，故叙述错误； D、由图象知，剧烈运动后，慢跑放松相比于静坐方式放松更有助于快速消除疲劳，故叙述正确； 故选：D． 12. 如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，然后根据和相似，利用相似三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过作的垂线， ，， ， ， ， ， 则的最小值为， 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 计算：=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解：=；故答案为． 点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键． 14. 如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围)_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据机器零件的设计图纸给定的数值，可求出的取值范围． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为： 15. 桌上倒扣着背面图案相同的张扑克牌，其中张红桃，张黑桃．从中随机抽取张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，直接应用概率公式：事件发生的概率等于该事件可能发生的结果数除以所有可能的结果数。 【详解】解：从7张扑克牌中随机抽取张，共有种等可能结果， 其中抽到红桃的有种结果， 抽取红桃的概率为． 故答案为：． 16. 如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明是关键．连接，证明是等边三角形，，得到，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接， 由作图可知， 垂直平分， ∴， ∵点N恰为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 某校开展安全教育系列活动，为提升学生急救素养，了解学生对急救知识技能的掌握情况，从该校学生中随机抽取名学生进行了一次测试，共道测试题，学生答对题得分．根据测试结果绘制出如下统计图（如图）． （1）求抽取的名学生测试得分的平均数； （2）若该校共有学生人，急救知识测试得分及其以上达到“优秀”等级，请你估计该校达到“优秀”等级的学生人数． 【答案】（1）分 （2）人 【解析】 【分析】（）利用加权平均数公式计算即可； （）利用样本估计总体的方法解答即可； 本题考查了加权平均数，样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由统计图可得，平均数（分）， ∴抽取的名学生测试得分的平均数为分； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校达到“优秀”等级的学生人数为人． 19. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径画半圆，分别以点、点为圆心，，为半径画圆弧，两圆弧与半圆分别交于点和点． （1）填空：点的坐标是_____，点的坐标是_____； （2）在图中画出阴影部分图形关于原点的中心对称图形： （3）求图中阴影部分图形的周长．（结果保留） 【答案】（1），； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查了点的坐标、中心对称图形的作图等知识，正确作图是关键． （1）根据点在坐标系中的位置写出坐标即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）根据圆的周长进行进行解答即可． 【小问1详解】 解：点的坐标是，点的坐标是； 【小问2详解】 如图即为所求， 【小问3详解】 阴影部分的周长 20. 如图，等边三角形的顶点都在上，连接，． （1）求的度数； （2）若，求的半径． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（）由为等边三角形，得，然后通过圆周角定理即可求解； （）过点作于点，则，由为等边三角形，得，则，由等腰三角形性质可得，所以，则有，最后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点，则， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 21. “寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．某茶馆的店主计划购买三种不同类型的茶叶来丰富茶馆的饮品选择，其中包括龙井茶、普洱茶和茉莉花茶．龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元．店主计划采购这三种茶叶总共50千克，以满足不同顾客的口味需求． （1）设采购龙井茶千克、普洱茶千克，请用含，的代数式填表： 质量/千克 采购总价/元 龙井茶 普洱茶 茉莉花茶 _____ _____ （2）若店主总共花了15000元，其中采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克，求店主采购的龙井茶、普洱茶以及茉莉花茶各有多少千克． 【答案】（1）填表见解析 （2）店主采购的龙井茶有7千克，普洱茶有15千克，茉莉花茶有28千克 【解析】 【分析】本题考查列代数式、二元一次方程组解应用题，设采购龙井茶千克、普洱茶千克，根据茶叶总量、茶叶单价即可列出代数式，再由等量关系列方程组求解即可得到答案．读懂题意，理解相关关系是解决问题的关键． （1）由题意，直接列表达式即可得到答案； （2）由（1）中表格数据，列二元一次方程组求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：店主计划采购这三种茶叶总共50千克， 茉莉花茶质量为千克， 茉莉花茶的采购价为每千克200元， 茉莉花茶采购总价为元， 填表如下： 质量/千克 采购总价/元 龙井茶 普洱茶 茉莉花茶 【小问2详解】 解：由（1）知，设采购龙井茶千克、普洱茶千克、茉莉花茶千克， 龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元，店主总共花了15000元购茶， ， 等式两边同时除以得， 等式两边同时除以得， 采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克， ， 由题意得， ，解得， 即龙井茶有7千克，普洱茶有15千克， 茉莉花茶为． 答：店主采购的龙井茶有7千克，普洱茶有15千克，茉莉花茶有28千克． 22. 如图，在矩形中，点是边上的一个动点（点与点不重合），连接，过点作，垂足为点，交或的延长线于点． （1）当时，　　； （2）已知点是边的中点，当点在边上运动时，能不能经过点？若能，求出的长度；若不能，说明理由； （3）若点在边上，且，当点从点开始运动到点停止时，求点运动的路径长． 【答案】（1）2； （2）不能经过点，理由见解析 （3）点运动的路径长为 【解析】 【分析】（1）当时，为等腰直角三角形，从而得到也为等腰直角三角形，可以得到，即可求解． （2）假设经过点，可证明，有，然后设，，根据比例式建立二元一次方程，判断方程是否有符合条件的解，如无解，则说明不经过点，反之亦然． （3）先设为,然后用②中的比例关系表示出路径，求得取最大值时相应点所在的位置，再求出从该位置运动到点时点所运动的路径，然后把两个路径加起来就点共运动的路径． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故的长为2； 故答案为：2； 【小问2详解】 解：假设过点，则有， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， 设，， 则有， 整理得， ，该方程无解，不存在这样的， ∴不能经过点； 【小问3详解】 解：根据（2）中，，设，， 则有 当时，有最大值， 此时点为中点时，的运动路径为，如下图： 当从中点运动到点时，如下图，， 则的运动路径为 ∴运动的总路径为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、一元二次方程根的判别式、二次函数的最值等知识点，利用相似建立函数关系是求解这道题的关键． 23. 【定义新知】 如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 【特例感知】 （1）如图2，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，点是“旋补中心”． ① ； ②若为等边三角形，请判断与的数量关系，并说明理由． 【迁移探究】 （2）如图3，在中，，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，点是“旋补中心”，请你判断（1）中与的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 【答案】（1） ① ②，理由如下： 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 由旋转可知，，， ， 是的“旋补中线”， 是边上的中线， ， ， ； （2） （1）中与的数量关系仍然成立，理由如下： 是的“旋补三角形”，， ， 是直角三角形， 是边上的中线， ， 在和中，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）①根据可知； ②根据等边三角形的性质可知，由“旋补三角形”的定义可知，，，根据等腰三角形的三线合一定理可知，根据等边三角形三边相等可知； （2）根据“旋补三角形”的定义可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，可证，根据全等三角形的性质可证． 【小问1详解】 ①解：由题意可知，， ， ； ②略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届初中毕业班质量调研（二） 数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选和未选均不得分．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 在化学实验中，研究人员发现一种新型纳米材料颗粒，其直径经测量为米．在数学中，对于微小长度的表示常采用科学记数法，请问该纳米材料颗粒的直径用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中这一分数段的人数是（ ） A. 20 B. 12 C. 9 D. 0.4 6. 如图，放风筝的人与风筝的水平距离是90米，若拉紧的风筝线与水平线的夹角，则放出的线的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 若点在反比例函数的图象上，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 8. 如图，中弦，相交于点P，连接，，则图中与相等的角是（ ） A. B. C. D. 9. 多项式因式分解，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 为进一步提高老年人的生活质量，某养老中心在2025年配备了一款智能养老服务机器人．已知该中心智能养老服务机器人的数量由10月份的16台增加到12月份的25台．若设该中心11，12两个月智能养老服务机器人数量的月均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 研究表明，运动后感觉疲劳与体内血乳酸浓度升高有关．运动员未运动时体内血乳酸浓度低于；若运动后降至以下，疲劳基本消除．科研人员根据数据绘制了运动员剧烈运动后体内血乳酸浓度随时间变化的图象．下列叙述正确的是（ ） A. 运动后40分钟时，采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同 B. 剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为 C. 剧烈运动后，慢跑80分钟才能基本消除疲劳 D. 剧烈运动后，慢跑放松有助于快速消除疲劳 12. 如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 计算：=______． 14. 如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围)_________． 15. 桌上倒扣着背面图案相同的张扑克牌，其中张红桃，张黑桃．从中随机抽取张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是_____． 16. 如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算 （1） （2） 18. 某校开展安全教育系列活动，为提升学生急救素养，了解学生对急救知识技能的掌握情况，从该校学生中随机抽取名学生进行了一次测试，共道测试题，学生答对题得分．根据测试结果绘制出如下统计图（如图）． （1）求抽取的名学生测试得分的平均数； （2）若该校共有学生人，急救知识测试得分及其以上达到“优秀”等级，请你估计该校达到“优秀”等级的学生人数． 19. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径画半圆，分别以点、点为圆心，，为半径画圆弧，两圆弧与半圆分别交于点和点． （1）填空：点的坐标是_____，点的坐标是_____； （2）在图中画出阴影部分图形关于原点的中心对称图形： （3）求图中阴影部分图形的周长．（结果保留） 20. 如图，等边三角形的顶点都在上，连接，． （1）求的度数； （2）若，求的半径． 21. “寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．某茶馆的店主计划购买三种不同类型的茶叶来丰富茶馆的饮品选择，其中包括龙井茶、普洱茶和茉莉花茶．龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元．店主计划采购这三种茶叶总共50千克，以满足不同顾客的口味需求． （1）设采购龙井茶千克、普洱茶千克，请用含，的代数式填表： 质量/千克 采购总价/元 龙井茶 普洱茶 茉莉花茶 _____ _____ （2）若店主总共花了15000元，其中采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克，求店主采购的龙井茶、普洱茶以及茉莉花茶各有多少千克． 22. 如图，在矩形中，点是边上的一个动点（点与点不重合），连接，过点作，垂足为点，交或的延长线于点． （1）当时，　　； （2）已知点是边的中点，当点在边上运动时，能不能经过点？若能，求出的长度；若不能，说明理由； （3）若点在边上，且，当点从点开始运动到点停止时，求点运动的路径长． 23. 【定义新知】 如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 【特例感知】 （1）如图2，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，点是“旋补中心”． ① ； ②若为等边三角形，请判断与的数量关系，并说明理由． 【迁移探究】 （2）如图3，在中，，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，点是“旋补中心”，请你判断（1）中与的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $