第六节　离散型随机变量及其分布列与数字特征课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“离散型随机变量及其分布列与数字特征”专题，依据高考评价体系明确了随机变量概念、分布列性质、均值方差计算及实际决策四大考查要求，通过考点梳理突出分布列性质应用（占比30%）、均值方差计算（占比40%）等高频考点，归纳概率计算、性质应用、决策分析三类常考题型。 课件亮点在于“真题引领+步骤化解题+核心素养培养”，如以2025全国一卷“有放回取球”真题为例，示范“确定取值-求概率-列分布列-算期望”四步解题法，培养数学思维与数据观念。特设“练后悟道”总结分布列性质应用技巧，通过模拟题强化决策问题建模能力，助力学生高效突破考点，为教师提供精准复习指导。

第六节 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布列与数字特征 【目标要求】　1.通过具体实例,了解离散型随机变量的概念,理解离散型随机变量的分布列. 2.通过具体实例,了解离散型随机变量的均值、方差的含义,会计算简单离散型随机变量的均值、方差. 1.离散型随机变量 一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有_____________的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写字母表示随机变量的取值,例如x,y,z. 唯一 2.离散型随机变量的分布列 一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n)为X的概率分布列,简称分布列. 3.离散型随机变量分布列的性质 (1)pi_____________0(i=1,2,…,n); (2)p1+p2+…+pn=_____________. ≥ 1 4.离散型随机变量的均值与方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn x1p1+x2p2+…+xnpn 平均水平 (2)方差 称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=________________为随机变量X的方差,有时也记为Var(X),并称为随机变量X的_____________,记为σ(X).它们都可以度量随机变量取值与其均值的_____________. (xi-E(X))2pi 标准差 偏离程度 aE(X)+b a2D(X) 1.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数. 2.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). 3.D(X)=E(X2)-(E(X))2. 4.若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)E(X2). 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)若随机变量X服从两点分布,则P(X=1)=1-P(X=0).(　　) (2)在离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(　　) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离变量的平均程度越小.(　　) 2.(人A选三P63例1改编)在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值为(　　) A.0.2 B.0.4 C.0.8 D.1 某运动员罚球1次的得分为X,X的取值可能为0,1,P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=1)=0.8,E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8.故选C. 解析 3.(苏教选二P146T7)设随机变量X的可能取值为1,2,…,n,并且取1,2,…,n是等可能的.若P(X<4)=0.3,则下面结论中正确的是(　　) A.n=3 B.n=4 C.n=10 D.n不能确定 依题意,0.4+a+0.3=1,解得a=0.3,则E(X)=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2,所以E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.2+4=15. 解析 5.已知一盒子中有围棋子10粒,其中7粒黑子,3粒白子.任意取出2粒,若X表示取得白子的个数,则X的均值E(X)=_____________,方差D(X)=_____________. 随机变量X的取值为0,1,2,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2) ==.所以E(X)=0×+1×+2×=,D(X)=×+×+×=. 解析 (1)(多选题)已知随机变量X的分布列为P(X=n)=(n=0,1,2),其中a是常数,则(　　) A.P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1 B.a= C.P(0≤X<2)= D.P(X=1)= 考点一 离散型随机变量分布列、均值、方差的性质………………自练自悟 根据题意,随机变量X 的分布列为P(X=n)=(n=0,1,2),则有P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=++=1,解得a=,故A,B正确;则P(X=1)=,P(0≤X<2)=P(X=0)+P(X=1)=+=,故C正确,D错误. 解析 (2)已知随机变量X的分布列如下表所示,则P(|2X-3|<3)=(　　) A. B. C. D. 由题得0.1+m+0.3+0.2=1,则m=0.4,故P(|2X-3|<3)=P(0<X<3)=P(X=1) +P(X=2)=0.5.故选C. 解析 X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 (3)(2026·福建模拟)(多选题)已知离散型随机变量X的分布列如下,则下列选项中正确的是(　　) A.q=0.2 B.E(X)=0.68 C.E(X2)=0.462 4 D.D(X)=0.297 6 X 0 1 2 P 0.36 1-2q q2 A,由0.36+1-2q+q2=1可得q=0.2,正确;B,因为E(X)=0×0.36+1×0.6+2 ×0.04=0.68,正确;C,因为E(X2)=0×0.36+1×0.6+4×0.04=0.76,错 误;D,因为D(X)=E(X2)-[E(X)]2=0.76-0.682=0.297 6,正确.故选ABD. 解析 1.离散型随机变量分布列的性质应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值. (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. 2.离散型随机变量均值、方差的性质应用 若给出的随机变量Y与X的关系为Y=aX+b(a,b为常数),一般思路是先求出E(X),D(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)求E(Y),D(Y). 【例1】　(1)(2025·全国一卷)有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次,每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1 次的球的个数,则X的数学期望E(X)=_____________. 考点二 求离散型随机变量的均值与方差 X的所有可能取值为1,2,3,则P(X=1)===,P(X=2)= ×6==,P(X=3)=××6==,所以X的分布列为 解析 X 1 2 3 P 所以E(X)=1×+2×+3×=. (2)(2026·石家庄模拟)在一次班级联欢晚会上,某班设计了一个摸球表演节目的游戏:在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个,这些球除颜色外完全相同,同学不放回地每次摸出1个球,若摸到黑球,则停止摸球,否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目,摸到白球或黄球表演1个节目,摸到黑球不用表演节目. ①求a同学摸球三次后停止摸球的概率; 设“a同学摸球三次后停止摸球”为事件E,则P(E)==,故a同学摸球三次后停止摸球的概率为. 解 随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X=0)=,P(X=1)==,P(X=2) =+=,P(X=3)==,P(X=4)==.所以随机变量X的分布列为 解 ②记X为a同学摸球后表演节目的个数,求随机变量X的分布列和数学期望、方差. X 0 1 2 3 4 P 期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2,方差D(X)=(0-2)2×+(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×+(4-2)2×=. 解 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 1.理解ξ的意义,写出ξ的所有可能取值. 2.求ξ取每个值的概率. 3.写出ξ的分布列. 4.由均值、方差的定义求E(ξ),D(ξ). 【训练1】　(2026·T8检测训练)(1)1个质点在数轴上运动,每次向左或向右移动1个单位长度(相对于原点O,质点向右移动了i(i∈N)个单位长度后位置记为i,向左移动了i(i∈N)个单位长度后位置记为-i).已知质点每次向右移动的概率为p(0<p<1).记X为质点从原点O出发,移动2次后的位置,求满足随机变量X的期望大于0的p的取值范围; 解 (2)1个质点从平面直角坐标系中某点A出发,每次等可能地向上或向下或向左或向右移动1个单位长度,求该质点经过4次移动后回到点A的概率. 移动4次,样本空间的样本点总数为n=44=256,每个样本点出现的可能性相等,且为有限个.记质点经过4次移动后回到点A为事件B,要4次回到起点A,则向左向右移动次数相等,向上向下移动次数相等,所以事件B包含的样本点个数为m=++=36(或m=+2=36),由古典概型计算公式得P(B)==.所以质点移动4次后回到点A的概率为. 解 【例2】　(2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立. (1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率; 考点三 决策问题 设A1=“甲、乙所在队进入第二阶段”,则P(A1)=1-(1-0.4)3=0.784.设A2=“乙在第二阶段至少得5分”,则P(A2)=1-(1-0.5)3=0.875.设A3= “甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”,则P(A3)=P(A1)·P(A2)= 0.686. 解 (2)假设0<p<q. (ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛? 设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P甲,则P甲=[1-(1-p)3]·q3=pq3·(3-3p+p2).设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P乙,则P乙=[1-(1-q)3]·p3=qp3·(3-3q+q2).则P甲-P乙=pq(3q2-3pq2+p2q2-3p2+3p2q-p2q2)=3pq(q-p)(p+q-pq),由0<p<q≤ 1,得q-p>0,p+q-pq=p+q(1-p)>0,所以P甲-P乙>0,即P甲>P乙.故应该由甲参加第一阶段比赛. 解 (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛? 若甲参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15.P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3]·(1-q)3,P(X=5)=[1-(1-p)3]··q·(1-q)2,P(X=10)=[1-(1-p)3]··q2·(1-q),P(X=15)= [1-(1-p)3]·q3,所以E(X)=[1-(1-p)3]·[15q(1-q)2+30q2(1-q)+15q3]= [1-(1-p)3]·15q=15pq(p2-3p+3).若乙参加第一阶段比赛,则甲、乙所 解 在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15.同理,可得E(Y)=15pq(q2-3q+3).E(X)-E(Y)=15pq(p2-3p-q2+3q)=15pq·(q-p)(3-p-q),由0<p<q≤1,得q-p>0,3-p-q=3-(p+q)>0,所以E(X)-E(Y)>0,即E(X)>E(Y).故应该由甲参加第一阶段比赛. 解 随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定. 【训练2】　(2026·南昌模拟)甲公司现有资金200万元,考虑一项投资计划,假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势,若投资期间经济形势好,投资有25%的收益率,若投资期间经济形势不好,投资有10%的损益率;如果不执行该投资计划,损失为1万元.现有两个方案,方案一:执行投资计划;方案二:聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势,聘请费用为5 000元,若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好,则执行投资计划;若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好,则不执行该计划.根据以往的资料表明,投资咨询公司乙预测不一定正确,投资期间经济形势好,咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8;投资期 间经济形势不好,咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定,投资期间经济形势好的概率是40%,经济形势不好的概率是60%. (1)求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率; 记投资期间经济形势好为事件B1,投资期间经济形势不好为事件B2,投资咨询公司预测投资期间经济形势好为事件A,则P(B1)=0.4,P(B2) =0.6,因此P(A)=P(B1A+B2A)=0.4×0.8+0.6×0.3=0.5. 解 (2)根据获得利润的期望值的大小,甲公司应该执行哪个方案?说明理 由. 若采取方案一,设该公司获得的利润值为X万元,其分布列是 解 X 50 -20 P 0.4 0.6 E(X)=50×0.4-20×0.6=8万元; 采取方案二:设该公司获得的利润值为Y万元,有以下情况,投资期间经济形势好,咨询公司乙预测经济形势为好,Y=49.5,其发生的概率为: P(B1A)=0.4×0.8=0.32,投资期间经济形势好,咨询公司乙预测经济形势为不好,Y=-1.5,其发生的概率为:P(B1)=0.4×0.2=0.08,投资期间经济形势不好,咨询公司乙预测经济形势为好,Y=-20.5,其发生的概率 为:P(B2A)=0.6×0.3=0.18,投资期间经济形势不好,咨询公司乙预测经济形势为不好,Y=-1.5,其发生的概率为:P(B2)=0.6×0.7=0.42, 解 解 (1)均值 称E(X)=___________________=为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的____________. 5.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=_____________. (2)D(aX+b)=_____________(a,b为常数). (3)D(X)=pi-(E(X))2. 4.已知随机变量X的分布列如表,则E(5X+4)=(　　) X 1 2 4 P 0.4 a 0.3 A.1 B.2.2 C.11 D.15 由题可知X的可能取值为-2,0,2,所以P(X=-2)=(1-p)2,P(X=0)=2p(1-p),P(X=2)=p2.X的分布列如下. X -2 0 2 P (1-p)2 2p(1-p) p2 所以E(X)=-2·(1-p)2+2p2=4p-2>0,所以<p<1. 因此,随机变量Y的分布列为: Y -20.5 -1.5 49.5 P 0.18 0.5 0.32 因此,E(Y)=-20.5×0.18-1.5×0.5+49.5×0.32=-3.69-0.75+15.84=11.4万元,因为E(X)<E(Y),所以甲公司应该选择方案二. $