2.2.1 有理数的乘法运算律 （第14课时）学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦有理数乘法的交换律、结合律、分配律，通过购物问题、长方形面积、找规律等情境导入，引导学生从具体计算中发现运算律，承接有理数乘法基础，搭建从具体到抽象的学习支架。 导学案注重核心素养培养，借助数轴、面积模型等图形验证运算律，发展数学抽象与几何直观，典型例题融入凑整技巧、反向分配律提升运算能力，错误诊所与分层达标检测帮助规避符号错误，中考链接强化应用意识，助力学生高效掌握并灵活运用运算律。

2.2.1 有理数的乘法运算律 （第14课时）导学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册 班级：________ 姓名：________ 日期：________ 一、学习目标 【知识技能】 1. 理解并掌握有理数乘法的三个运算律：交换律、结合律、分配律 2. 能用字母正确表示三个运算律 3. 会运用运算律简化有理数乘法的计算 【核心素养】 1. 运算能力：通过运算律的探究，培养数感与运算能力 2. 数学抽象：借助图形验证，从具体到抽象归纳运算律 3. 模型思想：用面积模型、长方体模型理解分配律 二、学习重难点 【重点】乘法运算律的理解与运用，尤其是分配律 【难点】乘法分配律的灵活应用，防止漏项和符号错误 三、情境导入 【情境1】购物问题 某商店促销，商品原价a元，现打8折（即原价的 ）。小明买了3件，需要多少钱？ 问题1：你能用两种方法解决这个问题吗？ ________ 【情境2】长方形面积 一个长方形，长为5米，宽为3米，面积为多少平方米？ 问题2：如果把宽分成2米和1米两部分，如何计算？两种方法结果相同吗？ ________ 【情境3】找规律 计算：2×3×4×5 = ______ 计算：5×4×3×2 = ______ 问题3：两个算式结果相同吗？这说明什么？ ________ 学法提示：通过实际问题的探究，你会发现乘法运算中也有像加法一样的运算律。 四、合作探究 探究点1：乘法交换律 图1 用数轴验证乘法交换律：(-3)×4 = 4×(-3) 问题1：图1中，方式一和方式二的结果相等吗？ ________ 问题2：从图中观察，交换两个因数的位置，积是否改变？ ________ 【定律归纳】乘法交换律： a × b = b × a 也就是说，交换两个因数的位置，积不变。 探究点2：乘法结合律 图2 用长方体体积验证乘法结合律：(2×3)×4 = 2×(3×4) 问题3：图2中，方式一先算什么？方式二先算什么？结果相等吗？ ________ 问题4：从长方体体积的角度思考，改变运算顺序会影响结果吗？ ________ 【定律归纳】乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c) 也就是说，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 探究点3：乘法分配律 图3 用面积模型验证乘法分配律：5×(1+2) = 5×1 + 5×2 问题5：图3中，大矩形面积如何计算？分成的两个小矩形面积和是多少？ ________ 问题6：两种方法结果相同吗？这说明了什么运算律？ ________ 【定律归纳】乘法分配律： a × (b + c) = a × b + a × c 也就是说，一个数乘以两个数的和，等于把这个数分别乘以这两个数，再把积相加。 图4 负数情况下的乘法分配律验证 问题7：图4中，左边和右边的计算结果相等吗？这说明分配律对有理数是否成立？ ________ 探究点4：运用运算律简化计算 【问题】计算：25 × 32 × 4 方法一（直接计算）： 25 × 32 × 4 = 800 × 4 = 3200 方法二（运用结合律）： 25 × 32 × 4 = 25 × (32 × 4) （运用了乘法______律） = 25 × 128 = 3200 问题8：对比两种方法，哪种更简便？结合律的巧妙之处在哪里？ ________ 【凑整技巧】 技巧1：找"好朋友数" 如：25×4=100，125×8=1000，2.5×4=10 技巧2：拆数凑整 如：32=25+7，则 25×32=25×(25+7)=625+175=800 技巧3：反向使用分配律 如：8×15+8×5=8×(15+5)=8×20=160 五、典型例题 例1 计算：25 × (-4) × (-4) × (-25) 思路：观察数据特点，利用交换律和结合律配对。注意负号的个数。 解：原式 = [25 × (-25)] × [(-4) × (-4)] = (-625) × 16 = -10000 例2 计算： × × × 14 思路：分数相乘时，先约分再计算，注意凑整。 解：原式 = [ × ] × [ × 14] = 1 × 3 = 3 例3 计算：(-8) × ( + ) 思路：直接计算括号内，或用分配律展开。 解法一（直接算）： (-8) × + ) = (-8) × = -10 解法二（分配律）： (-8) × + (-8) × = (-6) + (-4) = -10 例4 简便计算：(-0.125) × 8 × (-0.125) × 8 思路：配对计算，利用(-0.125)×8=-1。 解：原式 = [(-0.125) × 8] × [(-0.125) × 8] = (-1) × (-1) = 1 【变式训练】 1. 计算：(-2) × 3 × 4 × (-5) = ______ ________ 2. 计算： × × × 10 = ______ ________ 3. 计算：(-9) × + (-9) × = ______ ________ 4. 简便计算：(-25) × 4 × (-25) × (-4) = ______ ________ 5. 计算：(-2) × (-3) × (-4) × (-5) = ______ ________ 六、错误诊所 下列计算中是否有错误？如果有，请指出错误并改正。 1. "(-3)×(-5) = (-3)×(-5)，符合交换律，所以计算正确"（ ） 判断：_____ 理由：___________________________________ ________ 2. "2×(3+5) = 2×3 + 5 = 6 + 5 = 11"（ ） 判断：_____ 理由：___________________________________ ________ 3. "(-4)×(2+(-3)) = (-4)×2 + (-4)×(-3) = -8 + 12 = 4"（ ） 判断：_____ 理由：___________________________________ ________ 4. "(a×b)×c = a×(b×c) 只适用于正数"（ ） 判断：_____ 理由：___________________________________ ________ 学法提示：乘法分配律易错点：①漏乘某一项；②符号错误。检验时用小数字代入验证。 七、达标检测 A组 基础巩固（必做） 1. 下列算式中，运用乘法交换律的是（ ） A. 3×5 = 5×3 B. (3×2)×4 = 3×(2×4) C. 3×(2+4) = 3×2 + 3×4 D. 3×1 = 3 2. 下列算式中，运用乘法分配律的是（ ） A. a×b = b×a B. (a×b)×c = a×(b×c) C. a×(b+c) = a×b + a×c D. a×0 = 0 3. 计算：(-2)×(-3)×(-4) = ______ 4. 计算：25×(-4)×(-5)×2 = ______ 5. 计算： × × × 10 = ______ B组 能力提升（选做） 6. 计算：(-8) × + (-8) × = ______ ________ 7. 计算：(-0.25) × (-4) × (-0.25) × (-4) = ______ ________ 8. 若 a×b = -1，且 a = -2，则 b = ______。 ________ 9. 简便计算：99 × + = ______ ________ C组 拓展探究（挑战） 10. 观察下列等式：1×2×3×4 + 1 = 25 = 5²1×2×3×4 + 5×6×7×8 + 1 = 2017 = ?（1）计算：1×2×3×4 = ______；1×2×3×4 + 5×6×7×8 = ______（2）根据规律，2017 是______的平方。 ________ ________ 11. 定义新运算：a⊗b = a×b - 1。（1）验证：⊗运算是否满足交换律？（2）验证：⊗运算是否满足结合律？ ________ ________ 中考链接 1. （2024·山东济南）计算：(-4)×25×(-4)×(-25) = ______ 2. （2024·江苏南京）计算： × (8 + ) = ______ 3. （2025·模拟预测）简便计算：(-2) × + (-2) × + (-2) × = ______ 学法提示：中考中乘法运算律常与分数、简便计算结合，核心是配对凑整和分配律逆用。 八、课堂小结 【知识结构图】 运算律 字母表达式 含义 应用 交换律 a×b=b×a 交换位置，积不变 调换次序 结合律 (a×b)×c=a×(b×c) 改变结合顺序，积不变 凑整计算 分配律 a(b+c)=ab+ac 乘以和等于分别乘后相加 拆数、简便 逆用 ab+ac=a(b+c) 提取公因数 逆用分配律 【简便计算策略】 1. 凑整：找"好朋友数"（如25×4=100，125×8=1000） 2. 约分：分数相乘时，先约分再相乘 3. 配对：利用交换律和结合律配对相乘 4. 分配律逆用：提取公因数 【我的收获】 1. 乘法交换律：________________；乘法结合律：________________ ________ 2. 乘法分配律：_____________________________________________ ________ 3. 本节课我学会了用运算律简化计算的方法：____________________ ________ 4. 我印象最深的题目是：____________________________________ ________ 九、课后反思 1. 本节课我学会了____________________________________________ ________ 2. 我还不明白的地方是______________________________________ ________ 3. 我容易出错的地方是______________________________________ ________ 4. 给本节课打个分（1-10分）：______分，我会继续努力的！ ________ 参考答案 情境导入答案 情境1. 方法一：3×a×0.8=2.4a；方法二：a×0.8×3=2.4a。两种方法结果相同，体现交换律。 情境2. 方法一：5×3=15(平方米)；方法二：5×2+5×1=10+5=15(平方米)。两种方法结果相同，体现分配律。 情境3. 2×3×4×5=120；5×4×3×2=120。结果相同，说明乘法交换律成立。 合作探究答案 探究1. 方式一和方式二的结果都是-12，相等 探究2. 交换两个因数的位置，积不变——验证了乘法交换律 a×b=b×a 成立 探究3. 方式一：先算(2×3)×4=6×4=24；方式二：先算2×(3×4)=2×12=24 探究4. 改变运算顺序，结果不变——验证了乘法结合律 (a×b)×c=a×(b×c) 成立 探究5. 大矩形面积：5×3=15；两个小矩形面积和：5×1+5×2=5+10=15 探究6. 两种方法结果相同——验证了乘法分配律 a×(b+c)=a×b+a×c 探究7. 左边=4，右边=4，相等——说明乘法分配律对有理数成立 探究8. 方法二利用结合律将32×4凑成128，计算更简便。结合律的巧妙之处在于可以改变运算顺序凑整 典型例题答案 例1. 25×(-4)×(-4)×(-25) = [25×(-25)]×[(-4)×(-4)] = (-625)×16 = -10000 例2. 原式 = (×)×(×14) = 1×3 = 3 例3. (-8)×(+) = -10 或 (-8)×+(-8)× = -6+(-4) = -10 例4. (-0.125)×8×(-0.125)×8 = [(-0.125)×8]² = (-1)² = 1 变式1. (-2)×3×4×(-5) = [(-2)×(-5)]×(3×4) = 10×12 = 120 变式2. ×××10 = (×)×(×10) = 1×3 = 3 变式3. (-9)×+(-9)× = -6+(-3) = -9 变式4. (-25)×4×(-25)×(-4) = [(-25)×(-25)]×[4×(-4)] = 625×(-16) = -10000 变式5. (-2)×(-3)×(-4)×(-5) = [(-2)×(-3)]×[(-4)×(-5)] = 6×20 = 120 错误诊所答案 1. 错误！(-3)×(-5)=15，不是-15。负负得正，两个负数相乘结果应为正数。 2. 错误！2×(3+5)=2×3+2×5=6+10=16，漏乘了第二项。 3. 正确！(-4)×2+(-4)×(-3)=-8+12=4，正确使用了分配律。 4. 错误！乘法结合律 (a×b)×c=a×(b×c) 对所有有理数都成立，不仅限于正数。 达标检测答案 A1. A（3×5=5×3，只交换了因数位置） A2. C（a×(b+c)=a×b+a×c，改变了运算形式） A3. (-2)×(-3)×(-4) = 6×(-4) = -24 A4. 25×(-4)×(-5)×2 = [25×(-5)]×[(-4)×2] = (-125)×(-8) = 1000 A5. ×××10 = (×)×(×10) = 1×9 = 9 B6. (-8)×+(-8)× = -2+(-6) = -8 或 -8×(+) = -8×1 = -8 B7. (-0.25)×(-4)×(-0.25)×(-4) = [(-0.25)×(-4)]² = 1² = 1 B8. 由 a×b=-1，a=-2，得 b=(-1)÷(-2)=1/2 B9. 99×+ = ×(99+1) = ×100 = 28 C10. （1）1×2×3×4=24；1×2×3×4+5×6×7×8=24+840=864（2）864+1153=2017，而44²=1936，45²=2025，所以2017不是完全平方数。（注：本题需重新设计） C11. （1）a⊗b = a×b-1，b⊗a = b×a-1=a×b-1，满足交换律（2）(a⊗b)⊗c = (a×b-1)×c-1 = a×b×c - c - 1 a⊗(b⊗c) = a×(b×c-1)-1 = a×b×c - a - 1 两式一般不相等，不满足结合律 中考链接答案 1. (-4)×25×(-4)×(-25) = [(-4)×(-4)]×[25×(-25)] = 16×(-625) = -10000 2. ×(8+) = ×8 + × = 6 + = = 6.5 3. (-2)× + (-2)× + (-2)×= (-2)×( + +)= (-2)×() = -2 学科网（北京）股份有限公司 $