14.4用样本估计总体 教学课件 2025-2026学年苏教版高一数学必修第二册

该高中数学课件聚焦“用样本估计总体”，涵盖集中趋势参数、离散程度参数、频率直方图及百分位数，通过“导思”问题衔接旧知，以定义辨析和基础小测为支架，引导学生从数据计算过渡到统计估计思想。 其亮点在于融合数据分析与数学建模，通过题组训练、频率直方图分析（如空气质量评估）及实际案例（电子元件寿命估计），培养数学思维。分层练习与解题策略总结助力学生深化理解，教师可直接利用丰富例题提升教学效率。

14.4.1　用样本估计总体的集中趋势参数 14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数 P36 14.4.3　用频率直方图估计总体分布 P86 14.4.4　百分位数 P140 14.4 用样本估计总体 平均数、中位数、众数的定义 (1)平均数、均值 ①(算术)平均数:一组数据的___除以数据个数所得到的数. ②总体均值:一般地,我们把总体中所有数据的___________,称为总体的均值. ③一个平均数的计算公式 一般地,若取值为x1,x2,…,xn的频率分别为p1,p2,…,pn,则其平均数为x1p1+x2p2+…+xnpn. 导思 1.什么是平均数、众数和中位数? 2.如何用样本估计总体的集中趋势? 算术平均数 和 14.4.1　用样本估计总体的集中趋势参数 (2)众数 一般地,我们将一组数据中出现次数_____的那个数据叫作该组数据的众数. (3)中位数 一般地,将一组数据按照从小到大的顺序排成一列,如果数据的个数为奇数,那 么排在_______的数据就是这组数据的中位数;如果数据的个数为偶数,那么,排 在正中间的_________________即为这组数据的中位数. 正中间 最多 两个数据的平均数 【思考】 (1)中位数一定是样本数据中的一个数吗? 提示:不一定.一组数据按大小顺序排列后,如果有奇数个数据,处于中间位置的 数是中位数;如果有偶数个数据,则中间两个数据的平均数是中位数. (2)一组数据的众数可以有几个?中位数是否也具有相同的结论? 提示:一组数据的众数可能有一个,也可能有多个,中位数只有唯一一个. 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)中位数是一组数据中间的数. (　　) (2)众数是一组数据中出现次数最多的数. (　　) (3)一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的. (　　) (4)若改变一组数据中其中的一个数,则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变. (　　) 提示:(1)×.由中位数的定义可知,中位数与一组数据个数的奇偶性有关. (2)√.由众数的定义可知,众数是一组数据中出现次数最多的数. (3)×.由众数的定义可知,一个样本的众数可能有一个,也可能有多个. (4)×.若改变一组数据中的一个数,则这组数据的平均数一定会改变,而中位数与众数可能不变. 2.一组样本数据为:19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27,则这组数据的众数和 中位数分别为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　 A.14,14 B.12,14 C.14,15.5 D.12,15.5 【解析】选A.把这组数据按从小到大排列为:10,12,12,14,14,14,17,18,19, 23,27,则可知其众数为14,中位数为14. 3.(教材二次开发:例题/习题改编)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的 平均数为________.  【解析】 =6. 答案:6 类型一 平均数、中位数和众数的计算(数学运算、数据分析) 【题组训练】 1.(2020·江苏高考)已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是 ______.  【解析】由 =4可知a=2. 答案:2 2.已知10名工人生产同一零件,生产的件数分别是16,18,15,11,16,18, 18,17,15,13,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有 (　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 【解析】选D.由题意得a= (16+18+15+11+16+18+18+17+15+13)= =15.7,中 位数为16,众数为18,则b=16,c=18,所以c>b>a. 3.一个样本数据按从小到大的顺序排列为:13,14,19,x,23,27,28,31,中位数为 22,则x=________.  【解析】由题意知 =22,则x=21. 答案:21 【解题策略】 (1)求样本数据的中位数和众数时,把数据按照从小到大的顺序排列后,按照其求法进行. (2)求样本数据的平均数的难点在于计算的准确性. 注意:一组数据中的众数可能不止一个,中位数是唯一的,求中位数时,必须先排序. 【补偿训练】 1.一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2,则样本平均数约为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　 A.4.55 B.4.5 C.12.5 D.1.64 【解析】选A.由条件得样本平均数= (4×3+3×2+5×4+6×2)≈4.55. 2.某市地铁1号线12月28日开通运营,某趟车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中,10个车站上车的人数统计如下:70,60,60,50,60,40,40,30,30,10,则这组数据的众数、中位数、平均数的和为 (　　) A.170 B.165 C.160 D.150 【解析】选D.数据70,60,60,50,60,40,40,30,30,10的众数是60,中位数是45,平均数是45,故众数、中位数、平均数的和为150. 3.已知一组数据2,1,x,7,3,5,3,2的众数是2,则这组数据的中位数是(　　) A.2 B.2.5 C.3 D.5 【解析】选B.由众数的意义可知x=2,然后按照从小到大的顺序排列这组数据, 则中位数应为 =2.5. 类型二　集中趋势参数与统计图的综合应用(数据分析) 【题组训练】 1.如图是根据某地2019年4月上旬每天的最低气温绘成的折线图,那么这段时间最低气温的众数、中位数依次是 (　　) A.5℃,4.5℃ B.5℃,4℃ C.5℃,5℃ D.4℃,5℃ 【解析】选A.这10日的最低气温依次是2℃,5℃,5℃,6℃,4℃,5℃,4℃,6℃, 2℃,1℃,故这10日的最低气温的众数是5℃,将这10日的最低气温按从小到大 的顺序排列是1℃,2℃,2℃,4℃,4℃,5℃,5℃,5℃,6℃,6℃,中间两个数是4℃, 5℃,故这组数据的中位数为 =4.5℃. 2.小王数学成绩分别为:测验一得89分,测验二得78分,测验三得85分,期中考试 得90分,期末考试得87分,如果按照平时、期中、期末的10%、30%、60%量分,那 么小王该学期的总评成绩应该为多少? 【解析】小王平时测试的平均成绩 = =84(分). 所以 =87.6(分). 所以小王该学期的总评成绩应该为87.6分. 3.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数. (1)若n=19,求y与x的函数解析式. (2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值. (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件? 【解析】(1)当x≤19时,y=3 800; 当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700, 所以y与x的函数解析式为 y= (x∈N*). (2)由题图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7, 故n的最小值为19. (3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购 买易损零件上的费用为3 800元,20台的费用为4 300元,10台的费用为4 800元, 因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 (3 800×70+ 4 300×20+4 800×10)=4 000(元). 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易 损零件上的费用为4 000元,10台的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易 损零件上所需费用的平均数为 (4 000×90+4 500×10)=4 050(元). 比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 【解题策略】 利用折线图求众数、中位数时,首先由折线图读出相应数据,然后再求其值. 类型三　平均数、中位数和众数的实际应用(数据分析) 【典例】某校高一(1)(2)班各有49名学生,两班学生在一次数学测试(满分100分)中的成绩(单位:分)统计如表: (1)请你对下面的一段话给予简要分析: 高一(1)班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测试中,全班的平均分为79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算是上游了.” 班级 平均分 众数 中位数 高一(1)班 79 70 87 高一(2)班 79 70 79 (2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况,并提出教学建议. 四步 内容 理解 题意 条件:高一(1)(2)班各班学生成绩的平均分、众数、中位数. 结论:(1)对一段话进行分析;(2)依据数据分析两班测试情况,并提出教学建议. 思路 探求 可按照平均分、中位数、众数的定义以及在统计上所起的作用进行分析. 书写 表达 (1)由高一(1)班成绩的中位数是87分可知,85分排在25名以后,从名次上讲并不能说85分在班里是上游,但也不能从这次测试的名次上来判断学习的好坏.小刚得了85分,说明他对这阶段的学习内容掌握得较好,从掌握的学习内容上讲也算是上游. (2)高一(1)班成绩的中位数是87分,说明高于87分的人数占一半左右,而平均分为79分,说明存在低分者很多,两极分化严重,建议对学习差的学生给予帮助. 高一(2)班成绩的中位数和平均数都是79分,说明学生成绩之间的差别较小,学习差的学生较少,但学习优秀的学生也很少,建议采取措施提高优秀学生的人数. 题后 反思 根据平均数、中位数、众数的定义,全面分析,并根据数据分析给出相应的建议. 【解题策略】 利用样本数字特征进行决策时的两个关注点 (1)平均数与每一个数据都有关,可以反映更多的总体信息,但受极端值的影响大;中位数是样本数据所占频率的等分线,不受几个极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点,无法客观反映总体特征. (2)当平均数大于中位数时,说明数据中存在许多较大的极端值. 【跟踪训练】 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄如下(单位:岁): 甲群　13,13,14,15,15,15,15,16,17,17; 乙群　54,3,4,4,5,5,6,6,6,57. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征? (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征? 【解析】(1)甲群市民年龄的平均数为 =15(岁),中位数为15岁,众数为15岁. 平均数、中位数和众数相等,因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征. (2)乙群市民年龄的平均数为 =15(岁),中位数为5.5岁,众数为6岁. 由于乙群市民大多数是儿童,所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄 特征,而平均数的可靠性较差. 1.下列说法错误的是 (　　) A.一个样本的众数、中位数和平均数不可能是同一个数 B.统计中,我们可以用样本平均数去估计总体平均数 C.样本平均数既不可能大于也不可能小于这个样本中的所有数据 D.众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 【解析】选A.用样本估计总体情况时,在一组数据中,众数、中位数和平均数可能是同一个数. 2.已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.平均数>中位数>众数 B.平均数<中位数<众数 C.中位数<众数<平均数 D.众数=中位数=平均数 【解析】选D.众数、中位数、平均数都是50. 3.(教材二次开发:练习改编)某厂抽查了某节能灯泡的使用寿命数据如下: 则这些节能灯泡使用寿命的平均数是________. 【解析】这些节能灯泡使用寿命的平均数是 =597.5(天). 答案:597.5天 寿命/天 450 550 600 650 700 只数 20 10 30 15 25 4.某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77, 则这组数据的中位数是________.  【解析】因为6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77, 从小到大排列为1.69,1.72,1.75,1.77,1.78,1.80,位于中间的两个数值为1.75, 1.77,所以这组数据的中位数是 =1.76(米). 答案:1.76米 5.某学校抽查了某班级某月5天的用电量,数据如表(单位:度): (1)求这个班级这5天用电量的平均数; (2)求这个班级这5天用电量的众数、中位数; (3)学校共有36个班级,若该月按22天计,试估计该校该月的总用电量. 度数 9 10 11 天数 3 1 1 【解析】(1)因为(9×3+10×1+11×1)÷5=9.6(度), 所以这个班级这5天用电量的平均数为9.6度. (2)这个班级这5天用电量的众数是9度,中位数是9度. (3)因为9.6×36×22=7 603.2(度), 所以估计该校该月的总用电量为7 603.2度 14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数 1.一组数据的极差、样本方差、样本标准差 (1)一组数据的极差 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差. (2)样本方差和样本标准差 设一组样本数据x1,x2,…,xn,其平均数为 ,则称s2= 为这个样本的方 差.其算术平方根s= 为样本的标准差,分别简称样本方差、样本标 准差. 导思 1.什么是标准差、方差和极差? 2.如何用样本估计总体的离散程度? (3)一个方差的计算公式 一般地,若取值为x1,x2,…,xn的频率分别为p1,p2,…,pn,则其方差为p1(x1― )2+p2(x2- )2+…+pn(xn- )2. 2.分层抽样数据的方差 一般地,如果总体分为k层,第j层抽取的样本为xj1,xj2,…, ,第j层的样本量为 nj,样本平均数为 ,样本方差为 ,j=1,2,…,k.记 nj=n,那么,所有数据的样 本方差为 = . 【思考】 (1)对一组数据进行统计分析,应该从哪几个方面进行? 提示:用平均数反映数据的平均水平,用众数反映数据的最大集中点,用中位数反映数据的集中趋势和一般水平,用标准差或方差反映数据的离散程度. (2)对比两组数据时,要从哪几个方面进行? 提示:从众数、中位数、平均数和方差等几个方面. (3)数据x1,x2,…,xn的平均数是 ,方差为s2,数据x1,x2,…,xn, 的方差为 ,那 么s2与 的大小关系如何? 提示:因为数据x1,x2,…,xn, 比数据x1,x2,…,xn相对集中,所以方差变小了,即 <s2. 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)计算分层随机抽样的均值与方差时,必须已知各层的权重. (　　) (2)若一组数据的值大小相等,没有波动变化,则标准差为0. (　　) (3)标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散. (　　) 提示:(1)√.由分层抽样的均值及方差公式可知,该说法正确. (2)√.由标准差的定义及计算公式可知,该说法正确. (3)×.标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散;标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中. 2.已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5,则该样本的标准差为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B. C. D.2 【解析】选B.因为样本容量n=5,所以 = (1+2+3+4+5)=3,所以 s= = 3.(教材二次开发:例题/习题改编)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的 方差是________.  【解析】 = ×(6+7+8+8+9+10)=8, 所以方差为 ×[(6-8)2+(7-8)2+0+0+(9-8)2+(10-8)2]= . 答案: 4.有一笔统计资料,共有11个数据如下(不完全以大小排列):2,4,4,5,5,6,7, 8,9,11,a,已知这组数据的平均数为6,则这组数据的方差为________.  【解析】因为这组数据的平均数为 (2+4+4+5+5+6+7+8+9+11+a)= (61+a)=6, 所以a=5. 方差s2= =6. 答案:6 类型一　方差和标准差的计算(数学运算) 【题组训练】 1.若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差 为 (　　) A.8 B.15 C.16 D.32 【解析】选C.已知样本数据x1,x2,…,x10的标准差为s=8,则s2=64,数据 2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方差为22s2=22×64,所以其标准差为 =2×8=16. 2.如图,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为 和 ,样本标准差分别为sA和sB,则 (　　) A. > ,sA>sB B. < ,sA>sB C. > ,sA<sB D. < ,sA<sB 【解析】选B. = (2.5+10+5+7.5+2.5+10)=6.25, = (15+10+12.5+10+12.5+10)= ≈11.67. = [(2.5-6.25)2+(10-6.25)2+(5-6.25)2+(7.5-6.25)2+(2.5-6.25)2+ (10-6.25)2]≈9.90, = [(15-11.67)2+(10-11.67)2+(12.5-11.67)2+(10-11.67)2+ (12.5-11.67)2+(10-11.67)2]≈3.47.故 < ,sA>sB. 3.已知一组数据:87,x,90,89,93的平均数为90,则该组数据的方差为 ________.  【解析】由题意知 ×(87+x+90+89+93)=90,解得x=91,所以方差s2= ×[(87- 90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=4. 答案:4 【解题策略】 标准差、方差的意义 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小,标准差的大小不会超过极差. (2)标准差、方差的取值范围:[0,+∞). 标准差、方差为0时,样本各数据相等,说明数据没有波动幅度,数据没有离散性. 【补偿训练】 1.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4, 则:(1)平均命中环数为________;  (2)命中环数的标准差为________.  【解析】(1)平均命中环数 = =7. (2)s2= [(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+ (7-7)2+(4-7)2]=4,所以s=2. 答案:(1)7　(2)2 2.某校医务室抽查了高一10个同学的体重(单位:kg)如下:74,71,72,68,76, 73,67,70,65,74. (1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差; (2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差. 【解析】(1)这10个学生体重数据的平均数 = ×(74+71+72+68+76+73+67+70+65+74)=71. 这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76,位于中 间的两个数是71,72,所以这10个学生体重数据的中位数为 =71.5. 这10个学生体重数据的方差s2= ×[(74-71)2+(71-71)2+(72-71)2+(68- 71)2+(76-71)2+(73-71)2+(67-71)2+(70-71)2+(65-71)2+(74-71)2]=11, 这10个学生体重数据的标准差s= = . (2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71,中位数为71.5,方 差为11,标准差为 . 类型二　分层随机抽样的方差(数据分析) 【典例】甲、乙两支田径队体检结果为:甲队体重的平均数为60 kg,方差为 200 kg2,乙队体重的平均数为70 kg,方差为300 kg2,又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4,那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么? 四步 内容 理解 题意 条件:甲、乙两支田径队平均体重、方差以及两队的队员人数之比. 结论:两队全部队员的平均体重和方差 思路 探求 按照公式直接计算即可. 书 写 表 达 由题意可知 =60 kg,甲队队员在所有队员中所占权重为 = , =70 kg,乙队队员在所有队员中所占权重为 = , 则甲、乙两队全部队员的平均体重为 = ×60+ ×70=68(kg), 甲、乙两队全部队员的体重的方差为 s2= [200+(60-68)2]+ [300+(70-68)2]=296(kg2). 题后 反思 分层抽样的均值以及方差的计算,一定要注意各层数据所占的权重, 否则会出现计算错误. 【解题策略】　 计算分层(两层)抽样的方差s2的步骤 (1)确定 , , , ,其中 , 为各层的平均值, , 为各层的方差; (2)确定总体均值 ; (3)应用公式 .计算s2,其中s2为总体方 差,n1,n2,n分别为各层样本量,总体样本量. 【跟踪训练】 1.在高一期中考试中,甲、乙两个班的数学成绩统计如表: 其中 = ,则两个班数学成绩的方差为 (　　) A.3 B.2 C.2.6 D.2.5 班级 人数 平均分数 方差 甲 20 2 乙 30 3 【解析】选C.由题意可知两个班的数学成绩的平均数为 = = ,则两个班数学成绩的方差为 s2= =2.6. 2.已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6,2019年8月份调查得知该省二、三、四线城市房产均价为1.2万元/平方米,方差为20(万元/平方米)2,二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米,1.8万元/平方米,0.8万元/平方米,三、四线城市房价的方差分别为10(万元/平方米)2,8(万元/平方米)2,则二线城市的房价的方差为________. 【解析】设二线城市的房价的方差为s2(万元/平方米)2,由题意可知 20= [s2+(1.2-2.4)2]+ [10+(1.2-1.8)2]+ [8+(1.2-0.8)2], 解得s2=118.52(万元/平方米)2,即二线城市的房价的方差为118.52(万元/平方 米)2. 答案:118.52(万元/平方米)2 类型三 数据的数字特征的综合应用(数据分析) 角度1　数据的数字特征的综合运算  【典例】某人5次上班途中所花时间(单位:min)分别为x,y,10,11,9若这组数据的平均数为10,方差为2,则}=________.  【思路导引】先由平均数计算出x+y的值,再依据方差求出x,y的值,进而得出结论. 【解析】由题意得 =10,所以x+y=20,所以y=20-x.又因为方差为 2,所以 =2, (x-10)2+(10-x)2=8,(x-10)2=4,x=8或x=12, 则y=12或y=8,所以|x-y|=4. 答案:4 【变式探究】 典例中的条件方差为2去掉,其他条件不变,试求xy取最小值时的方差. 【解析】由题意得 =10,所以x+y=20. 所以20=x+y≥2 ,即xy≤100,当且仅当x=y=10时取“=”.此时方差为 [(10-10)2+(10-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(9-10)2]=0.4. 角度2 数据的数字特征在现实生活中的应用  【典例】在一次科技知识竞赛中(满分100分),某学校的两组学生的成绩如表: 请根据你所学过的统计知识,判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣,并说明理由. 【思路导引】分别求出这两组数据的众数、中位数、平均数和方差,从这几个方面进行统计分析. 分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 【解析】(1)甲组成绩的众数为90分,乙组成绩的众数为70分,从成绩的众数比较看,甲 组的成绩好些. (2) = (50×2+60×5+70×10+80×13+90×14+100×6)= × 4 000=80(分), = (50×4+60×4+70×16+80×2+90×12+100×12)= × 4 000=80(分). = [2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80- 80)2+14×(90-80)2+6×(100-80)2]=172(分2), = [4×(50-80)2+4×(60-80)2+16×(70-80)2+2×(80- 80)2+12×(90-80)2+12×(100-80)2]=256(分2). 因为 = , < ,所以甲组成绩较乙组成绩稳定,故甲组的成绩好些. (3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中,甲组成绩在80分以上(包括80分) 的有33人,乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人.从这一角度看,甲组的成绩较好. (4)从成绩统计表看,甲组成绩大于等于90分的有20人,乙组成绩大于等于90分的有24 人,所以乙组成绩集中在高分段的人数多.同时,乙组得满分的人数比甲组得满分的人 数多6人.从这一角度看,乙组的成绩较好. 【解题策略】 数据分析的要点 (1)要正确处理此类问题,首先要抓住问题中的关键词语,全方位地进行必要的计算、分析,而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好,像这样的实际问题还得从实际的角度去分析,如本例的“满分人数”;其次要在恰当地评估后,组织好正确的语言作出结论. (2)在进行数据分析时,不同的标准没有对和错的问题,也不存在唯一解的问题,而是根据需要来选择“好”的决策,至于决策的好坏,是根据提出的标准而定的. 【补偿训练】 1.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,标准差是 ,则xy=________.  【解析】由平均数得9+10+11+x+y=50,所以x+y=20,又由(9-10)2+(10-10)2+ (11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=( )2×5=10, 得x2+y2-20(x+y)=-192,(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,xy=96. 答案:96 2.某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训,两人各射了5箭,他们的总成绩(单位:环)相同,小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表,并计算了甲成绩的平均数和方差(见小宇的作业). 小宇的作业: = (9+4+7+4+6)=6(环), = [(9-6)2+(4-6)2+(7-6)2+(4-6)2+(6-6)2]= (9+4+1+4+0)=3.6(环2). 甲、乙两人射箭成绩统计表 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩/环 9 4 7 4 6 乙成绩/环 7 5 7 a 7 (1)a=________; =________;  (2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线; (3)①观察图,可看出________的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”).参照小宇 的计算方法,计算乙成绩的方差,并验证你的判断.  ②请你从平均数和方差的角度分析,谁将被选中. 【解析】 (1)由题意得:甲的总成绩是:9+4+7+4+6=30(环),则a=30-7-7-5-7=4, =30÷5=6(环). 答案:4　6环 (2)如图所示: (3)①观察图,可看出乙的成绩比较稳定, = [(7-6)2+(5-6)2+(7-6)2+(4-6)2+(7-6)2]=1.6(环2),由于 < ,所以 上述判断正确. ②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同,根据方差得出乙的成绩比甲稳定,所 以乙将被选中. 3.某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛,对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛,他们的成绩(单位:m)如下: 甲:1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67; 乙:1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75. 经预测,跳高1.65 m就很可能获得冠军.该校为了获取冠军,可能选哪位选手参赛?若预测跳高1.70 m方可获得冠军呢? 【解析】甲的平均成绩和方差如下: = (1.70+1.65+1.68+1.69+1.72+1.73+1.68+1.67)=1.69(m), = [(1.70-1.69)2+(1.65-1.69)2+…+(1.67-1.69)2]=0.000 6(m2). 乙的平均成绩和方差如下: = (1.60+1.73+1.72+1.61+1.62+1.71+1.70+1.75)=1.68(m), = [(1.60-1.68)2+(1.73-1.68)2+…+(1.75-1.68)2]=0.003 15(m2). 显然,甲的平均成绩高于乙的平均成绩,而且甲的方差小于乙的方差,说明甲的成绩比乙稳定.由于甲的平均成绩高于乙,且成绩稳定,所以若跳高1.65 m就很可能获得冠军,应派甲参赛. 在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m以上,虽然乙的平均成绩不如甲,成绩的稳定性也不如甲,但成绩突破1.70 m的可能性大于甲,所以若跳高1.70 m方可获得冠军,应派乙参赛. 1.参加百米半决赛同学的成绩各不相同,按成绩取前8位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后,要判断能否进入决赛,则其他15位同学成绩的下列数据中,能使他得出结论的是 (　　) A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差 【解析】选C.判断是不是能进入决赛,只要判断是不是前8位,所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他,也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可,小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛,低于这个成绩就不能进入决赛,第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数. 2.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下:90　89　90　95　93 　94　93 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 (　　) A.92,2 B.92,2.8 C.93,2 D.93,2.8 【解析】选B.去掉一个最高分95与一个最低分89后,所得的5个数分别为90,90,93,94,93,所以 , =2.8. 3.(教材二次开发:练习改编)在教学调查中,甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1、2、3,假设三个班的平均分都是75分,s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差,则有 (　　) A.s3>s1>s2 B.s2>s1>s3 C.s1>s2>s3 D.s3>s2>s1 【解析】选D.题中所给的图是成绩分布图,平均分是75分,在题图1中,集中在75分附近的数据最多,题图3中从50分到100分均匀分布,所有成绩不集中在任何一个数据附近,题图2介于两者之间.由标准差的意义可得s3>s2>s1. 4.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如表,则这100人成绩的标准差为________.  分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 【解析】因为这100人成绩的平均数 = = =3, 所以这100人成绩的方差s2= ×[20×22+10×12+30×02+30×12+10×22] = = , 所以标准差s= . 答案: 5.甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件,为检验质量,各从中抽取6件测量,数据为 甲:99　100　98　100　100　103 乙:99　100　102　99　100　100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. 【解析】(1)甲的平均数 = (99+100+98+100+100+103)=100, 乙的平均数 = (99+100+102+99+100+100)=100. = [(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103- 100)2]= , = [(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100- 100)2]=1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同, 又 > ,所以乙机床加工零件的质量更稳定. 14.4.3　用频率直方图估计总体分布 导思 1.为什么频率直方图是研究数据分布状况的数学模型? 2.怎样通过样本数据的频率直方图对总体分布进行估计? 频率直方图 (1)我们将_____________的长度称为全距,___________的长度称为组距. (2)把横轴均分成若干段,每一段对应的长度称为组距,然后以此段为底作矩形, 它的高等于该组的 ,这样得出一系列的矩形,每个矩形的面积恰好是该组的 _____,这些矩形就构成了直方图,我们将这种直方图称为频率直方图. 整个取值区间 分成的区间 频率 【思考】 (1)对数据分组时,组距、组数的确定有没有固定的标准? 提示:组距与组数的确定没有固定的标准,将数据分组时,组数应力求合适,以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来.在确定分组区间的端点,即分点时,应对分点进行适当调整,使分点比数据多一位小数,并确保每个数据均能落在一个区间内,而不是处于区间的端点. (2)当样本容量不超过100时,分多少组合适? 提示:组数与样本容量有关,一般地,样本容量越大,分的组数也越多.当样本容量不超过100时,按照数据的多少,常分成5至12组. 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)频率直方图的高表示取某数的频率. (　　) (2)频率直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值. (　　) (3)由样本的频率直方图,不能估计总体的众数、中位数和平均数. (　　) (4)用样本频率估计总体分布的过程中,总体容量越小,估计越精确. (　　) 【解析】(1)×.由频率直方图以及其纵轴的几何意义可知,频率直方图中每组矩形的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值,所以原说法错误. (2)√.理由同(1). (3)×.由样本的频率直方图,可以估计总体的众数、中位数和平均数,所以原说法错误. (4)×.用样本频率估计总体分布的过程中,总体容量越小,估计越不精确;总体容量越大,估计越精确.所以原说法错误. 2.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学有300名师生参加环保知识测试,按年龄分组:第1组[25,30),第2组[30,35),第3组[35,40),第4组[40,45),第5组[45,50],得到的频率直方图如图所示.现在要从第1,3,4组中用分层随机抽样的方法抽取16人,则在第4组中抽取的人数为________.  【解析】由频率直方图得,第1,3,4组的频率之比为1∶4∶3,所以用分层随机抽 样的方法抽取16人时,在第4组中应抽取的人数为16× =6. 答案:6 3.(教材二次开发:例题/习题改编)为了解某商场某日旅游鞋的销售情况,抽取了部分顾客购鞋的尺寸,将所得的数据整理后,画出频率直方图(如图所示),已知图中从左到右前三个小组的频率之比为1∶2∶3,第4小组与第5小组的频率分别为0.175和0.075,第二小组的频数为10,则抽取的顾客人数是________.  【解析】由条件可得,第二小组的频率为2× =0.25,因为第二小组 的频数为10,所以抽取的顾客人数是 =40. 答案:40 类型一　用频率直方图估计总体中的数据(数学分析) 【题组训练】 1.通过全国人口普查工作,得到我国人口的年龄的频率直方图如图,那么在一个总人口数约为200万的城市中,年龄在[20,60)内的人大约有________万.  【解析】在频率直方图中,小矩形的面积表示频率,年龄在[20,60)内的频率为(0.018+0.011)×20=0.58,200×0.58=116(万),故年龄在[20,60)内的人大约有116万. 答案:116 2.某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率直方图(如图),其中上学路上所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]. (1)频率直方图中x的值为________;  (2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,若招生1 200名,估计新生中可以申请住校的学生有________名.  【解析】(1)由频率直方图,可得20x+0.025×20+0.006 5×20+0.003×2×20=1, 所以x=0.012 5. (2)新生上学路上所需时间不少于1小时的频率为0.003×2×20=0.12,因为 1 200×0.12=144(名),所以估计1 200名新生中有144名学生可以申请住校. 答案:(1)0.012 5　(2)144 3.从某小学随机抽取100名学生,将他们的身高(单位:cm)数据绘制成频率直方图(如图).由图中数据可知a=________.若要从身高在[120,130),[130,140), [140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________.  【解析】因为小矩形的面积等于频率,所以除[120,130)外的频率和为0.700,所 以a= =0.030.由题意知,身高在[120,130),[130,140),[140,150]的学生 分别为30人,20人,10人, 所以由分层抽样可知抽样比为 所以在[140,150]中选取的学生人数应为3. 答案:0.030　3 【解题策略】 (1)频率直方图的性质: ①因为小矩形的面积=组距× =频率,所以各小矩形的面积表示相应各组的 频率.这样,频率直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小; ②在频率直方图中各小矩形的面积之和等于1; ③ =样本容量; (2)频率直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性,由抽样的代表性利用样 本在某一范围内的频率,可近似地估计总体在这一范围内的可能性. 【补偿训练】 　　样本容量为10的一组数据,它们的平均数是5,频率的条形统计图如图所示,则其标准差等于________.(保留根号)  【解析】由条形统计图知2与8各有4个,且5有2个,于是这10个数分别为 2,2,2,2,5,5,8,8,8,8.因为 =5,所以s2= ×[(2-5)2+(2-5)2+(2-5)2+(2- 5)2+(5-5)2+(5-5)2+(8-5)2+(8-5)2+(8-5)2+(8-5)2]= ×72= .所以s= . 答案: 类型二　频率直方图中的平均数、众数、中位数的计算(数学分析、数学运算) 【题组训练】 1.如图是一次考试成绩的统计图,根据该图可估计,这次考试的平均分数 为 (　　) A.46 B.36 C.56 D.60 【解析】选A.根据题中统计图,可估计有4人成绩在[0,20)内,其考试分数之和 为4×10=40;有8人成绩在[20,40)内,其考试分数之和为8×30=240;有10人成绩 在[40,60)内,其考试分数之和为10×50=500;有6人成绩在[60,80)内,其考试分 数之和为6×70=420;有2人成绩在[80,100)内,其考试分数之和为2×90=180,考 生总人数为4+8+10+6+2=30,由此可知,考试总成绩为40+240+500+420+180= 1 380,平均分数为 =46. 2.某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图所示的部分频率直方图.在统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,观察图形的信息,据此估计本次考试的平均分为________.  【解析】在频率直方图中,所有小长方形的面积和为1,设[70,80)的小长方形面积为x,则(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1, 解得x=0.3,即该组数据的频率为0.3, 所以本次考试的平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85× 0.25+95×0.05=71. 答案:71 3.从高三抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如下的频率直方图. 由于一些数据丢失,试利用频率分布直方图求: (1)这50名学生成绩的众数与中位数; (2)这50名学生的平均成绩. 【解析】(1)由众数的概念可知,众数是出现次数最多的数.在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求,所以众数应为75. 因为0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3, 所以前三个小矩形面积的和为0.3.而第四个小矩形面积为0.03×10=0.3,0.3+0.3>0.5, 所以中位数应位于第四个小矩形内. 由 ≈6.7, 得中位数应约为70+6.7=76.7(分). (2)平均成绩为45×(0.004×10)+55×(0.006×10)+65×(0.02×10)+ 75×(0.03×10)+85×(0.024×10)+95×(0.016×10)=76.2(分). 【解题策略】 (1)利用频率直方图估计一组数据的数字特征: ①众数的估计值是最高小矩形的底边中点的横坐标; ②中位数左右两侧直方图的面积相等; ③平均数大约等于每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积的和. (2)一点注意: 利用频率直方图求得的众数、中位数、平均数均为估计值,往往与实际数据得出的结果不一致,但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数. 类型三　用频率直方图估计总体解决实际问题(数学建模、数据分析) 【典例】某市2019年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物): 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. (1)列出频率分布表; (2)作出频率直方图; (3)根据国家标准,污染指数在0～50时,空气质量为优;在51～100时,为良;在101～150时,为轻微污染;在151～200时,为轻度污染.请你依据所给数据和国家标准,对该市的空气质量给出一个简短的评价. 四步 内容 理解 题意 条件:已知某市30天对空气污染指数的监测数据. 结论:(1)列出频率分布表; (2)作出频率直方图; (3)根据国家标准请你依据所给数据,对该市的空气质量给出一个简短的评价. 思路 探求 依据题设条件可直接列出频率分布表;作出频率直方图;可从频率的角度作出评价. 【解题策略】 在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究其偏离平均值的离散程度(方差或标准差),方差(标准差)越大,说明取值分散性越大,方差(标准差)越小,说明取值分散性越小,取值比较集中、稳定. 【跟踪训练】 对某电子元件进行寿命追踪统计,情况如下: 寿命/h [100, 200) [200, 300) [300, 400) [400, 500) [500, 600] 个数 20 30 80 40 30 (1)列出频率分布表; (2)画出频率直方图; (3)估计电子元件寿命在100 h～400 h的比例; (4)估计电子元件寿命在400 h以上的比例. 【解析】(1)频率分布表如下: 分组 频数 频率 [100,200) 20 0.10 [200,300) 30 0.15 [300,400) 80 0.40 [400,500) 40 0.20 [500,600] 30 0.15 合计 200 1.00 (2)频率直方图如图: (3)频率为0.1+0.15+0.4=0.65. 所以估计电子元件寿命在100 h～400 h的比例为65%. (4)寿命在400 h以上的电子元件的频率为1-0.65 =0.35.所以估计电子元件寿命在400 h以上的比例为35%. 1.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5),2;[15.5,19.5),4;[19.5,23.5),9;[23.5,27.5),18;[27.5, 31.5),11;[31.5,35.5),12;[35.5,39.5),7;[39.5,43.5],3; 则总体中大于或等于31.5的数据所占的比例为 (　　) 【解析】选B.由题意知,样本容量为66,而落在[31.5,43.5]内的样本个数为 12+7+3=22,故总体中大于或等于31.5的数据占 2.对某种灯泡随机地抽取200个样品进行使用寿命调查,结果如下: 寿命(天) 频数 频率 [100,200) 20 0.10 [200,300) 30 y [300,400) 70 0.35 [400,500) x 0.15 [500,600] 50 0.25 合计 200 1 规定:使用寿命大于或等于500天的灯泡是优等品,小于300天的是次品,其余的是正品.现从灯泡样品中随机地抽取n(n∈N*)个,若这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同,则n的最小值为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选C.由频率分布表,得x=200×0.15=30.灯泡样品中优等品有50个,正品有100个,次品有50个,所以优等品、正品、次品的比为50∶100∶50=1∶2∶1.所以按分层抽样方法,抽取的灯泡的个数n=k+2k+k=4k(k∈N*)所以n的最小值为4. 3.(教材二次开发:练习改编)某商场在五一促销活动中,对5月1日9时至14时的销售额进行统计,其频率直方图如图所示,已知9时至10时的销售额为2.5万元,则11时到12时的销售额为 (　　) A.6万元 B.8万元 C.10万元 D.12万元 【解析】选C.设11时至12时的销售额为x万元,由于频率分布直方图中各小组的 组距相同,故各小矩形的高度之比等于频率之比,也等于销售额之比,所以9时至 10时的销售额与11时至12时的销售额的比为 所以有 解得x=10. 4.如图是容量为100的样本的频率直方图,试根据图中的数据填空: 样本数据落在[6,10)内的频率为________,样本数据落在[10,14)内的频率为________.  【解析】样本数据落在[6,10)内的频率为0.08×4=0.32,样本数据落在[10,14)内的频率为0.09×4=0.36. 答案:0.32　0.36 5.某校高二期末统一测试,随机抽取一部分学生的数学成绩,分组统计如表. (1)求出表中m,n,M,N的值,并根据表中所给数据在给出的坐标系中画出频率直方图; 分组 频数 频率 [0,30] 3 0.03 (30,60] 3 0.03 (60,90] 37 0.37 (90,120] m n (120,150] 15 0.15 合计 M N (2)若全校参加本次考试的学生有600人,试估计这次测试中全校成绩在90分以上的人数. 【解析】(1)由频率分布表得M= =100, 所以m=100-(3+3+37+15)=42,n= =0.42, N=0.03+0.03+0.37+0.42+0.15=1. 频率直方图如图所示. (2)由题意知,全校成绩在90分以上的学生的人数约为 ×600=342. 14.4.4　百 分 位 数 1.k百分位数的定义 一般地,一组数据的k百分位数是这样一个值pk,它使得这组数据中至少有___ 的数据小于或等于pk且至少有(100-k)%的数据大于或等于pk. 导思 1.什么是k百分位数? 2.如何计算有n个数据的大样本的k百分位数? k% 2.计算有n个数据的大样本的k百分位数的步骤 第1步,将所有数值按_________顺序排列; 第2步,计算k· ; 第3步,如果结果为整数,那么k百分位数位于第k· 位和下一位之间,通常取 这两个位置上数值的平均数为k百分位数; 第4步,如果k· 不是整数,那么将其向上取整(即其整数部分加上1),在该位 置上的数值即为k百分位数. 从小到大 3.四分位数 中位数即为50百分位数,我们也把中位数、25百分位数和75百分位数称为四分位数. 【思考】 (1)p百分位数有什么特点? 提示:总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p. (2)某组数据的p百分位数在此组数据中一定存在吗?为什么? 提示:不一定.因为按照计算p百分位数的步骤,第2步计算所得的i=n×p%如果是整数,则p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数,若第i项与第(i+1)项数据不相等,则p百分位数在此组数据中就不存在. 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)若一组样本数据各不相等,则其75百分位数大于25百分位数. (　　) (2)若一组样本数据的10百分位数是23,则在这组数据中有10%的数据大于23. (　　) (3)若一组样本数据的24百分位数是24,则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24. 提示:(1)√.依据百分位数的定义可知,该命题正确. (2)×.若一组样本数据的10百分位数是23,则在这组数据中有10%的数据小于或等于23. (3)√.依据百分位数的定义可知,该命题正确. 2.下列关于一组数据的50百分位数的说法正确的是 (　　) A.50百分位数就是中位数 B.总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50% C.它一定是这组数据中的一个数据 D.它适用于总体是离散型的数据 【解析】选A.由百分位数的意义可知选项B,C,D错误. 3.(教材二次开发:例题/习题改编)数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的30百分位数是________.  【解析】数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1是按照从小到大的顺序排列的,因为8×30%=2.4,故30百分位数是第三项数据8.4. 答案:8.4 类型一　百分位数的概念与计算(数据分析) 【题组训练】 1.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩:78,70,72,86,88,79,80,81, 94,84,56,98,83,90,91,则这15人成绩的80百分位数是 (　　) A.90 B.90.5 C.91 D.91.5 【解析】选B.把成绩按从小到大的顺序排列为: 56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,因为15×80%=12,所以这15 人成绩的80百分位数是 =90.5. 2.已知100个数据的75百分位数是9.3,则下列说法正确的是 (　　) A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据 C.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第74个数据的平均数 【解析】选C.因为100×75%=75,为整数,所以第75个数据和第76个数据的平均数为75百分位数,是9.3. 3.某射手在一次训练中12次射击的成绩分别为9.6,9.7,9.0,9.1,9.4,9.4, 9.8,9.9,9.4,9.6,9.6,9.7,则该射手这次射击的成绩的75百分位数是 (　　) A.9.5 B.9.6 C.9.7 D.9.8 【解析】选C.将这12个数从小到大排列: 9.0,9.1,9.4,9.4,9.4,9.6,9.6,9.6,9.7,9.7,9.8,9.9,这组数据有12个数,因 为12×75%=9, 所以这组数据的75百分位数是第9个数据与第10个数据的平均数,即 =9.7. 4.数据148,149,154,154,155,155,157,157,158,159,161,161,162,163的25百分位数为________,75百分位数为________.  【解析】因为14×25%=3.5,14×75%=10.5,所以这组数据的25百分位数为第4个数据154,75百分位数为第11个数据161. 答案:154　161 【解题策略】 计算百分位数时,一是注意是多少百分位数;二是注意是否按从小到大的顺序排序;三是注意是否有相同的数据. 【补偿训练】 　　一次数学测试中,高一(1)班某小组12名学生的成绩分别是:58分、67分、 73分、74分、76分、82分、82分、87分、90分、92分、93分、98分,则这次测 试该小组12名学生成绩的75百分位数是 (　　) A.88分 B.89分 C.90分 D.91分 【解析】选D.因为12×75%=9,所以这组数据的75百分位数为 =91(分). 类型二　集中参数与统计图的综合应用(数据分析、数学运算) 　角度1　百分位数与频率直方图交汇  【典例】某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费,超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费,超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费. (1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:千瓦时)的函数解析式. (2)为了了解居民的用电情况,通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率直方图.若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的占80%,求a,b的值. (3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75百分位数. 【思路导引】(1)依据题设条件,分段写出函数解析式; (2)依据题设条件结合频率直方图,利用方程思想解决; (3)利用百分位数的定义结合频率直方图直接求解. 【解析】(1)当0≤x≤200时,y=0.5x; 当200<x≤400时y=0.5×200+0.8×(x-200)=0.8x-60;当x>400时y=0.5× 200+0.8×200+1.0×(x-400)=x-140.所以y与x之间的函数解析式为 (2)由(1)可知,当y=260时,x=400,即用电量不超过400千瓦时的占80%,结合频率直方图可知 解得a=0.001 5,b=0.002 0. (3)设75百分位数为m,因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001+0.002+0.003)×100=60%, 用电量不超过400千瓦时的占80%, 所以75百分位数在[300,400)内,所以0.6+(m-300)×0.002=0.75,解得m=375千瓦时,即用电量的75百分位数为375千瓦时. 【变式探究】 根据典例的(2)题中求得的数据计算用电量的15百分位数. 【解析】设15百分位数为x,因为用电量低于100千瓦时的所占比例为0.001× 100=10%,用电量不超过200千瓦时的占30%,所以15百分位数在[100,200)内,所以0.1+(x-100)×0.002=0.15,解得x=125千瓦时,即用电量的15百分位数为125千瓦时. 角度2　生活中的等级划分  【典例】从某珍珠公司生产的产品中,任意抽取12颗珍珠,得到它们的质量(单位:g)如下: 7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0. (1)分别求出这组数据的25,75,95百分位数. (2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量. (3)若用25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品,依照这个样本的数据,给出该公司珍珠等级的划分标准. 【思路导引】(1)依据百分位数的定义直接计算即可; (2)方法同(1); (3)依据题设中次品、合格品、优等品和特优品,直接划分即可. 【解析】(1)将所有数据从小到大排列,得 7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,因为共有12个数据, 所以12×25%=3,12×75%=9,12×95%=11.4, 则25百分位数是 =8.15, 75百分位数是 =8.75, 95百分位数是第12个数据为9.9. (2)因为共有12个数据,所以12×15%=1.8,则15百分位数是第2个数据为7.9. 即产品质量较小的前15%的产品有2个,它们的质量分别为7.8,7.9. (3)由(1)可知样本数据的25百分位数是8.15 g,50百分位数为8.5 g,95百分位数是9.9 g,所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品,质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品,质量大于8.5 g且小于或等于9.9 g的珍珠为优等品,质量大于9.9 g的珍珠为特优品. 【解题策略】 根据频率直方图计算样本数据的百分位数的步骤 一要理解频率直方图中各组数据频率的计算; 二估计百分位数在哪一组; 三应用方程的思想方法,设出百分位数,解方程可得. 【补偿训练】 　　为了了解市民的环保意识,某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况,有关数据如表: (1)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的平均数、中位数; (2)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的75百分位数. 每户丢弃旧塑料袋个数 2 3 4 5 户数 6 17 15 12 【解析】(1)平均数 ×(2×6+3×17+4×15+5×12)= =3.66.中位数 是4. (2)因为50×75%=37.5,所以这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的75百分 位数是4. 1.下列一组数据的25百分位数是 (　　) 2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6 A.3.2 B.3.0 C.4.4 D.2.5 【解析】选A.把这组数据按照由小到大的顺序排列,可得: 2.1,3.0,3.2,3.4,3.8, 4.0,4.2,4.4,5.3,5.6, 由i=10×25%=2.5,不是整数,则第3个数据3.2,是25百分位数. 2.(教材二次开发:练习改编)高二(1)班7人宿舍中每个同学的身高分别为170,168,172,172,175,176,180,则这7人身高数据的40百分位数为 (　　) A.168 B.170 C.172 D.171 【解析】选C.把7人的身高从小到大排列,可得 168,170,172,172,175,176,180, 7×40%=2.8, 即第3个数据172为所求的40百分位数. 3.已知甲、乙两组数据(从小到大的顺序排列): 甲组:27,28,39,40,m,50 乙组:24,n,34,43,48,52 若这两组数据的30百分位数、80百分位数分别相等,则 等于 (　　) 【解析】选A.因为30%×6=1.8,80%×6=4.8,所以30百分位数为n=28,80百分位 数为m=48,所以 4.(1)班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”,这里的“90%”是百分位数吗? (2)“这次数学测试成绩的70百分位数是85分”这句话是什么意思? 【解析】(1)不是.是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比. (2)有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分. 5.从高三抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如图的频率直方图.试利用频率直方图求这50名学生成绩的75百分位数. 【解析】由题意可知,前四个小矩形的面积之和为0.6,前五个小矩形的面积之 和为0.84>0.75,所以75百分位数位于第五个小矩形内.由80+ ×10= 86.25,故75百分位数为86.25. $